Extension du principe de Fermat, sur l'économie du temps, au mouvement relatif de la lumière, dans un corps transparent hétérogène animé d'une translation rapide

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Submitted on 1 Jan 1903

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temps, au mouvement relatif de la lumière, dans un corps transparent hétérogène animé d’une translation

rapide

J. Boussinesq

To cite this version:

J. Boussinesq. Extension du principe de Fermat, sur l’économie du temps, au mouvement relatif de la lumière, dans un corps transparent hétérogène animé d’une translation rapide. J. Phys. Theor.

Appl., 1903, 2 (1), pp.5-10. �10.1051/jphystap:0190300200500�. �jpa-00240809�

JOURNAL

DE PHTISIQUE

.

THËOMQUE ^{ET APPLIQUÉE.}

EXTENSION DU PRINCIPE DE FERMAT, ^SUR L’ÉCONOMIE DU TEMPS, ^{AU MOUVE-}

MENT RELATIF DE LA LUMIÈRE, ^{DANS UN} CORPS TRANSPARENT HÉTÉROGÈNE ANIMÉ D’UNE TRANSLATION RAPIDE ;

Par M. J. BOUSSINESQ.

1. J’ai démontré en octobre 1899 (Co1nptes ^{Rendus de} l’Acadéinie des Sciences, ^t. CXXIX, _p. ~9~., ^{859 et} 905), par l’intégration ^des équations ^{du mouvement} vibratoire de l’éther dans iin corps ^trans- parent hétérogène, composé, par exemple, de couches parallèles ^au plan ^des yz, que le principe ^{de hermat} avait été légitimement étendu, des rayons brisés par la réflexion ^{ou la} réfraction, ^mais composés ^de fragnlents rectilignes, ^aux rayons courbes que suit le mouvement lumineux dans les corps dont ^la constitution varie

graduellement ^d’un point ^à l’autre. Je me propose aujourd’hui ^de

faire voir que le ^même principe de l’économie du temps ^s’étend

encore au mouvement î-elatif ^{de la} lumière, ^{dans un} tel corps animé d’une vitesse V de translation un peu comparable ^à la vitesse même de propagation des ondes dans l’éther libre.

’

Si nous prenons celle-ci pour unité ^de longueur, ^les équations régissant ^les déplacements vibratoires ~, 7~ ~ ^en fonction de coordon- nées _x, y, ^z d’équilibre ^ou moyennes rattachées au corps, seront,

comme on peut ^voir par ^une Note du 28 juillet (Comptes Rendus,

t. CXXXV, p. ~0),

N désigne ^{l’indice absolu de} réfraction du corps, ^{donné en} fonction lentement variable de x ; Vx, V y, V:;, les trois composantes ^{de la}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:0190300200500

Il. Le milieu s’étendant, par exemple, ^{de x = o à x}

^{oo le mou-}

vement sera censé communiqué ^{à sa} première ^{couche x . - o} par ^un

système ^d’ondes planes, que ^nous supposerons d’abord latéralement indéfinies et qui, produites ^{au loin dans la} région ^des négatifs,

couperont la couches

o suivante une famille de droites parallèles.

Nous appellerons 1ny + ^{nz le} temps, proportionnel ^à la distance de celles-ci à l’origine, employé par chaque ^{onde à atteindre ces} droites, après ^{l’instant où la même onde amra touché} l’origine des coordon- nées. Il est clair que chaque couche x - const. se trouvera dans les mêmes conditions sur toute son étendue, c’est-à-dire en tous les

points ^où y aboutissent les diverses parallèles (~, ,~) ^{à l’axe des .r, au}

retard près my + ^nz, s’y produisant par rapport ^au point ^{où la couche}

perce l’axe ^même (o, o) ^{des x. Donc} 1, ~, ~ ^{ne seront} fonctions que des deux variables t

_~~Zy - nz et x.

Or on sait que, ^sans l’hétérogénéité, c’est-à-dire si N avait partout la même valeur qu’en (x, y, z ), ^les ondes seraient planes ^{à l’inté-}

rieur du _corps, et que x n’aurait ^à figurer ^{dans ~, ’~, ~} qu’à ^côté

de t, ^comme y et ,~, savoir par ^une variable unique de la forme

t - lx - my - ya.~, et ^{avec un} coefficient 1 relié à N, ^en raison des

équations (1) ^{vérifiées à cette} condition, par la formule :

En outre, les vibrations seraient transversales, c’est-à-dire _que l’on aurait 0

0, lç + 5n, + ⁿⁱ = o, ^ou que l’élongation ~12 + -~2 + ^~2

se réduirait à une composante ⁰ perpendiculaire ^{à la direction} (1, ^m, n; .

Dès que N et, par suite, ¹ deviennent variables, quoique ^lente-

ment, ^{avec x, il ne} peut plus ^{en être} rigoureusement ^{de même ; et} 6, lç + ^m-r,, + ⁿⁱ prennent ^de petites valeurs, de l’ordre des dérivées

N’, l’ ^de N, 1 ^{en x. Mais le mouvement} peut encore se faire _par ondes sensiblement planes, ^ou 1, x, 1 dépendre ^surtout de la variable

principale t - ~Zd~ - ^{mJ - nz, tout en variant, en outre, d’une}

manière beaucoup plus lente, ^{avec l’autre} variable de la ques-

tion, ^x.

Et, si les ondes incidentes, ^au lieu d’être indéfinies, ^{sont latérale-}

ment limitées, ^ou _{que les} déplacements ^{~, ~, ~ offrent sur la} première

couche x

o, outre leur variation rapide ^en fonction du trinome

t

n2y - nz, des variations lentes, ^mais arbitraii-es, ^avec y ^{et .~,} il y ^a lieu de voir de même si 1, °q, 1 ^ne pourraient pas, dans le milieu,

être des fonctions rapidement variables de t - f ldx

^{my - nz et}

lentement variables de _{x, y, z ,} ou représenter ^{des ondes sensible-}

ment planes limitées latéralement. Comme le problème de la suite des mouvements résultant, ^{dans le} milieu, du mode donné d’ébran- lement de la première ^{couche x}

^{o, est} déterminé par les équa-

tions (1), ^{un tel} mouvement, ^dès qu’on ^le reconnaîtra ainsi possible,

sera le mouvement effectif.

III. Nous désignerons, à la manière de Lagrange, par des ^accents les dérivées de ~, -r¡, ~, et ^{même de} 0, ^{relatives à la variable} princi- pale 1 - fidoe - ^1ny

^{nz, mais à} la manière de Leib nitz (avec ^des

à de ronde) les dérivées relatives aux variables açcessoires ^{x, y, z,}

en observant que les dérivées secondes de ^cette dernière espèce

seront négligeables, ^{à cause de la} lenteur de variation des dérivées

premières (déjà petites), ^et que même, pour ⁰ et 1; + ~ + n~, ^de l’ordre de N’ ou de l’, les dérivées premières ^{de cette} espèce ^{se trou-}

veront insensibles. On _aura, par exemple,

et les équations (’1) deviendront, ^vu (2),

Multipliées par dt ^et intégrées ^sur place, ^à partir d’un instant où le repos régnait ^{encore en} (x, y, ,~), ^{elles seront :}

On peut, ^{dans les} premiers ^{membres où} figurent partout ^{soit des} dérivations en à, ^{soit le} petit ^facteur l’, ^réduire ~, ~’, ~ ^aux projec-

tions de l’élongation transversale ~, c’est-à-dire négliger ^les projec-

tions de la petite composante longitudinale, proportionnelle ^{au tri-}

nome li + nz, + ^n~.

qui, ^en appelant ~’ ^le produit Vl

Vx ~, peut ^{s’écrire :}

Celle-ci exprime que, ^{sur une} 1nême onde suivie dans son 7710uve-

ment, ^la quantité p’2 se conserve le long des chemins ayant leurs cosi-

nus directeurs proportionnels à 1 - vu, ^{m --} Vy, n - V :~. Ces chemin5 sont donc les rayons lumineux.

Or chacun d’eux est contenu dans ^un plan ^{normal aux couches}

du corps, savoir le plan perpendiculaire ^à la droite dont les cosinus directeurs sont entre eux comme (0, ^{V r - n, m -} V y); ^{car les} produits respectifs de ceux-ci par l

V x, ^{m -} V f, n - Vs ^{ont leur}

somme nulle. De plus, ^{le carré} du sinus de l’angle ^{i de ces chemins}

avec l’axe des x a évidemment pour expression :

ou, d’après (2), ^vu que les carrés de V x, V y, ^{Vz sont} négligeables,

Et l’on a

de sorte que la loi de Descartes ^sur la proportion des sinus se

trouve également ^{vérifiée. Le} I)rincipe de Fermat s’applique ^donc

bien comme si le corps était ^en repos.

V. Ajoutons maintenant les équations (3), multipliées respective-

ment par les cosinus directeurs )~, u., v de la droite perpendiculaire

tout à la fois à ~ et à la normale à l’onde. Le second membre sera

nul; ^{et en} appelant ~B.ç, ~,. ~, >,,i ^les accroissements élémentaires des

projections 1, -rj, 1 ^le long du rayon lumineux, ^{obtenus en suivant une}

même onde dans sa propagation, c’est-à-dire sans que ^la variable

principale change, ^{il viendra :}

On aura donc, ^{tout à la} fois,

En d’autres termes, l’élongation transversale 0, ^{sur une 111Jhne onde}

suivie le long ^d’un 7>iê7>ie rayon, ^{tourne sans cesse} dans le plan qui

contient la normale actuelle à l’oncle. Ainsi, tandis que la formule (4)

déterminait le changement élémentaire de l’élongation principale ^a

en chaque point ^{d’une onde,} la relation (7) ^{détermine son} change-

ment d’orientation, ^dont dépend le mode de polarisation du rayon lumineux,. La translation V _y influe quelque peu, ^ou fait tourner le

plan ^de polarisation, ^{comme l’avait} pressenti hizeau dans une ques- tion analogue ; ^{car elle} disjoint le rayon d’avec la normale ^à l’onde et

empêche l’élongation Õ ^{de se} mouvoir dans le plan ^{du rayon.}

Lorsqu’il n’y ^a pas de translation V, l’onde, constamment perpen- diculaire à un rayon compris ^{dans le} plan d’incidence, tourne, pour

prendre sans cesse son orientation, ^{autour de la} droite, _passant par le rayon, qui ^{est normale au} plan d’incidence. Or l’azimut x de

l’élongation 0 ^{est, sur l’onde 1112111e,} l’angle ^{de 0 avec cette droite. Si}

alors on considère deux positions consécutives de _oc, la premières, ^vu

la rectangularité ^{du mouvement} élémentaire de 0 par rapport ^au plan ^{de l’onde, est la} projection ^{de la} deuxième, projection ^effectuée

sous l’angle infiniment petit ^{dont a tourné l’onde} et, ^dès lors, ^comme

’

on sait, ^{en vraie} grandeur, ^{sauf erreur} du second osdre. Donc l’a,~imut de polarisation se conserve.

VI. Pour former une troisième combinaison lînéaire simple ^des équation (3) ^et compléter ainsi leur interprétation géométrique, multiplions-les, enfin, par 21, 2~, ^{2n et} ajoutons, ^en introduisant,

aux premiers membres, ^{les dérivées} _à ⁾ (x@ ^{YI du trinome l + my}

⁺

ⁿ

qui s’y ^trouve identiquement nul. Il vient :

ou bien, par la substitution ^à [2 + m2 + n2 ^{et à} (1 - V~,) l’ ^{de leurs}

valeurs déduites de (2),

Remplaçons-y 0,

c’est-à-dire _par ^son expression

dans les trois derniers termes de laquelle ~, ~, ~, figurant par leurs dérivées -201320132013r, ^sont réductibles aux projections ^{de o.}

^{Alors cette}

)

équation ^fera connaître, ^au point (x, ^y, ), ^le trinome 11’ -f-- ,

c’est-à-dire la petite composante longitudinale de la vitesse vibra- toire et, par ^une intégration ^sur place, ^le petit déplacement ^corres- pondant, ^ou ayant la direction (1, ^m, n) de la normale aux ondes.

On voit que -les équations ^{du mouvement laissent} entièrement

arbitraire, ^dans chaque ^{onde, la} manière dont varie, ^d’un point ^à l’autre, ^le déplacement transversal 0 (seul sensible j, pourvu que ^ce mode de variation soit bien continu, ^comme le suppose ^notre analyse (~ ).

Si cette condition ne se trouvait pas réalisée, ^{il se} produirait ^des phénomènes ^de diffï-actioîî que je ^{ne me} propose nullement de ^con- sidérer ici.

DÉMONSTRATION GÉNÉRALE DE LA CONSTRUCTION DES RAYONS LUMINEUX PAR LES SURFACES D’ONDE COURBES;

Par M. J. BOUSSINESQ.

I. Huygens ^{et Fresnel ont admis} qu’un rayon lumineux, ^constitué

par des ondes planes ^limitées latéralement et se propageant ^{dans un} milieu homogène, pouvait ^se construire en menant, ^{autour d’un}

quelconque ^{de ses} points, la surface enveloppe ^d’ondes planes ^de

toute direction passées simultanément par ^ce point, ^{et en} joignant

celui-ci au point ^{de contact de cette surface avec l’onde} plane qui ^lui

est tangente parmi ^les proposées. Ce théorème ^a été, depuis long-

ternps, démontré dans le cas ordinaire ou les équations ^{du mouve-}

ment expriment l’égalité des trois dérivées secondes, ^en t, ^des

(1) ^J’ai exposé, ^dès 1~~~.i, cette manière de démontrer la délimitation latérale des rayons lumineux, sonores, etc., dans les corps ^ou milieux d’une contexture

élastique quelconque, ^aux pages ⁶¹⁴ à 697 d’un volume intitulé : Application ^des potentiels à l’étude de l’équilibi>e ^{el du} mouvejnent des solides élastiques, ^{czvee des}

Notes étendues sut divers points ^de Physique 1nathé’tnatique ^et ~l’A~zcztyse.