Modélisation stochastique d'écoulements diphasiques avec changement de phase

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Modélisation stochastique d’écoulements diphasiques avec changement de phase

Olivier Hurisse, Jean-Pierre Minier

To cite this version:

Olivier Hurisse, Jean-Pierre Minier. Modélisation stochastique d’écoulements diphasiques avec changement de phase. Comptes Rendus Mécanique, Elsevier, 2011, 339 (6), pp.418-431.

�10.1016/j.crme.2011.04.004�. �hal-01587685�

Mod´elisation stochastique d’´ecoulements diphasiques avec changement de phase

Olivier Hurisse ^a Jean-Pierre Minier ^a

a

EDF R&D, D´ ept. MFEE, 6 quai Watier, 78400 Chatou, France.

R´ esum´ e

La mod´ elisation stochastique avec point de vue lagrangien a d´ ej` a ´ et´ e d´ evelopp´ ee et appliqu´ ee au cadre des

´

ecoulements monophasiques et des ´ ecoulements diphasiques incompressibles. Cet article propose une extension de ce formalisme aux ´ ecoulements diphasiques compressibles avec changement de phase (de type eau-vapeur par exemple). L’accent est mis sur deux aspects essentiels, dont la formulation est nouvelle en mod´ elisation stochastique : un mod` ele de changement de phase et l’expression d’une contrainte portant sur la conservation du volume. Enfin, ` a titre d’exemple, des ´ el´ ements de r´ eflexion sont pr´ esent´ es pour deux mod` eles bifluides.

Abstract

Stochastic modelling of two-phase flows including phase change. Stochastic modelling has already been developped and applied for single-phase flows and incompressible two-phase flows. In this article, we propose an extension of this modelling approach to two-phase flows including phase change (e.g. for steam-water flows). Two aspects are emphasised: a stochastic model accounting for phase transition and a modelling constraint which arises from volume conservation. To illustrate the whole approach, some remarks are eventually proposed for two-fluid models.

Key words: Fluid mechanics; two-phase flow; stochastic process; phase change; compressible; bubble

Mots-cl´ es : M´ ecanique des fluides ; ´ ecoulement diphasique ; processus stochastique ; changement de phase ; compressible ; bulle

Abridged English version

Over the last decades, modelling of compressible two-phase flows has been tackled using approaches based on sets of Partial Differential Equations (PDEs), whose unknowns are eulerian mean fields [1,2].

Therefore, the derivation of constitutive laws, even those describing highly non-linear local phenomena

Email addresses: olivier.hurisse@edf.fr (Olivier Hurisse), jean-pierre.minier@edf.fr (Jean-Pierre Minier).

(e.g. the phase change), are directly done using mean fields, which represent a restricted statistical infor- mation. These eulerian models are satisfactory for a certain range of industrial situations. Nonetheless, when the governing phenomena are highly non-linear (e.g. when dealing with cavitation, polydispersed bubbles, nucleate boiling ...), such approaches can lead to descriptions that are not accurate enough. In these situations, one can benefit of the stochastic modelling approach using a lagrangian point of view [3,4]

(or lagrangian stochastic modelling). This approach has already been applied to different configurations:

incompressible single-phase flows have been widely addressed, see [3] among others for a complete presen- tation, whereas the effect of compressibility in single-phase flows has been less investigated [5]. Modelling of two-phase flows introduces new aspects, some of which have been addressed in [4] for incompressible flows. In the present paper, we propose an extension to compressible two-phase flows. It is worth recalling that the lagrangian stochastic approach amounts to closing the Probabiliy Density Function (PDF) of the variables chosen to describe the flow, from which classical PDEs for the corresponding mean fields may be obtained.

Flows are described using particles, where each particle represents a sufficient number of molecules so that the classical notions of the continuum mechanics still make sense. Each particle of phase k (with k = 1, 2) is associated with a mass m k , a position in the physical space x k , a velocity u k , a volume v k and an internal energy e k . This set of variables is one possible minimal set of variables necessary to describe non-uniform transient compressible flows (in the compressible single-phase case depicted in [5], the pressure has been chosen instead of the volume). All other quantities are functions of these five variables: for example pressures p k = P k (v k , e k ) and the densities ρ k = m k /v k . An important point to be put forward is that, since the position in space x k and the velocity u k (and thus the trajectory) are variable, we are dealing with a lagrangian description. The time evolution of the variables is governed by stochastic differential equations, each one involving two modelling terms: one term that describes the evolution of the expectation, and one term defining the behavour of the dispersion around the expectation.

These terms are not detailled in the sequel, except those for the volumes v _k .

Phase change is modelled using two ingredients: a condition to fulfill for each particle to change phase and an instantaneous “transformation” applied to the variables (m _k , x _k , u _k , v _k , e _k ) when the transition occurs. The choice for the latter is straightforward: the value of the variables does not change. Despite its simplicity, this choice obviously guarantees conservation of the variables (m k , x k , u k , v k , e k ) and of the total local number of particles. Phase transition is assumed to be instantaneous. In order to account for the non-zero characteristic time scale τ for the phase change of a set of identical particles, we add a variable D to each particle. This variable follows an exponential law with a parameter 1/τ . It represents the lifetime of the particle before the phase transition. Finally, phase change occurs if and only if it is followed by a decrease of the chemical potential and if the realization D of D is less than δt, where the latter stands for the physical time represented by the phase transition (i.e. for example, δt is a time step when considering a numerical scheme).

Once the model has been defined, it is possible to write a Chapmann-Kolmogorov equation (2) which governs the time evolution of the PDF f ^L (t; Z ₁ ^L , Z ₂ ^L ) of the process in the phase-space, where Z _k ^L = (x

_k , u

_k , m

_k , v _k

, e

_k ) for k = 1, 2. This PDF is the basis of the definition of the volumic fraction for the phase k:

α k (t, x) ^def = Z

v _k

δ(x − x

_k )f ^L (t; Z ₁ ^L , Z ₂ ^L )dZ ₁ ^L dZ ₂ ^L .

This eulerian field represents the fraction of volume per unit of volume occupied by the phase k. In order

to ensure the consistency of our model with the physics, the sum of the volumic fractions must always be

equal to one. This is related to the so-called volume conservation property. The Chapmann-Kolmogorov

equation for f ^L leads to PDEs (3) on the expectation of any function of Z _k ^L . Using the PDEs (3) for the

expectation of the inverse of the densities, two PDEs for α k may be found. Then, it can be shown that

the constraint α 1 (t, x) + α 2 (t, x) = 1 is equivalent to the constraint (5) on the modeling terms A ^v _k for

the volumes of the particles. When this constraint is fulfiled, it appears that all the PDE systems on the mean fields that can be derived from the stochastic model contain the two equations (6).

It is interesting to focus on the two equations (6) for dispersed spherical bubbles in a liquid. On the one hand, a simplified Rayleigh-Plesset equation (8) for the pulsation of the bubbles can be used to define A ^v ₁ . Then the modelling term A ^v ₂ is chosen according to (5), to ensure the property of volume conservation.

The resulting equation for α 1 is close to the equation of the models of [7,8,9,10]. On the other hand, a modelling term for the bubble volume that allows to retrieve the standard two-fluid model can be exhibited (12). It is very intricate and its exact physical content remains an open question.

The modelling approach proposed herein suggests some forthcoming works. First, systems of PDEs can be derived from a physical description of compressible two-phase flows, carried out by a lagrangian stochastic model. In this approach, the physical hypotheses underlying PDE systems appear more clearly.

At last, numerical simulations of two-phase flows involving phase transition could be improved by applying hybrid schemes, following the ideas developped in [12,13]. The latter requires to have a stochastic model and a PDEs system derived from this model.

1. Introduction

La physique des ´ ecoulements diphasiques compressibles est complexe et, ` a ce jour, certains de ses aspects restent encore mal compris. C’est notamment le cas des ´ echanges de masse, de quantit´ e de mouvement ou d’´ energie entre les phases qui constituent des ´ el´ ements clefs dans la ph´ enom´ enologie des applications industrielles.

Depuis plusieurs dizaines d’ann´ ees la mod´ elisation math´ ematique de tels ´ ecoulements repose essentiel- lement sur des approches bas´ ees sur des champs eul´ eriens moyens. Les syst` emes d’´ equations aux d´ eriv´ ees partielles (EDP) associ´ es ` a ces mod` eles sont obtenus en appliquant des op´ erateurs de moyenne sur des

“poches de fluide” monophasiques [1,2]. D’un point de vue formel, une fonction indicatrice d´ efinit la r´ epartition spatio-temporelle des phases et dans chacune des zones ainsi d´ ecrites un syst` eme d’EDP mo- nophasique (Euler par exemple en compressible) r´ egit l’´ evolution instantan´ ee des champs du fluide. Les syst` emes d’EDP pour les champs moyens sont ensuite obtenus par application d’un op´ erateur de moyenne.

Finalement, la mod´ elisation des ´ echanges entre les phases est r´ ealis´ ee a posteriori sur les champs moyens obtenus.

Les approches bas´ ees sur une description particulaire avec mod´ elisation stochastique permettent d’´ etablir les mod` eles sur les grandeurs instantan´ ees et non sur les champs moyens [3,4]. Ensuite, une fois le mod` ele instantan´ e ´ etabli, il est possible d’en d´ eduire un mod` ele bas´ e sur un syst` eme EDP pour les champs moyens.

Ce dernier n’est pas ´ equivalent ` a la description instantan´ ee, mais il constitue une extraction d’une partie de son information. On peut donc d´ eriver un syst` eme d’EDP sur des champs moyens ` a partir d’un mod` ele particulaire stochastique.

Il est important de noter que les deux approches sont compl´ ementaires. Suivant la physique que l’on veut mod´ eliser et suivant l’information que l’on cherche ` a obtenir, l’une ou l’autre des approches est pr´ ef´ erable. L’atout majeur de la mod´ elisation particulaire stochastique repose dans sa capacit´ e ` a traiter sans approximation les ph´ enom` enes locaux non-lin´ eaires comme la convection, les r´ eactions chimiques, etc ...

Le travail pr´ esent´ e constitue une extension aux ´ ecoulements diphasiques compressibles d’un forma- lisme de mod´ elisation particulaire stochastique qui est d´ ej` a appliqu´ e aux ´ ecoulements monophasiques r´ eactifs [3,5] (compressibles et incompressibles) ainsi qu’aux ´ ecoulements diphasiques incompressibles de type fluide-particules [4]. En effet, ce formalisme est tout particuli` erement adapt´ e ` a la mod´ elisation des

´

ecoulements diphasiques compressibles, car il permet notamment de traiter de fa¸ con naturelle le change-

ment de phase et la convection. Par ailleurs, il permet d’expliciter le lien entre une description lagrangienne stochastique et un mod` ele d’EDP portant sur des champs moyens.

Dans ce qui suit, on se propose tout d’abord d’´ ecrire un mod` ele particulaire stochastique simple prenant en compte le changement de phase. On pr´ esente ensuite les outils permettant d’obtenir un mod` ele eul´ erien sur les champs moyens. L’accent est mis sur la formulation d’une contrainte de conservation du volume qui n’est pas explicitement abord´ ee dans [4]. Ce dernier point s’av` ere essentiel, d’une part car il assure la consistance physique du mod` ele, mais aussi parce que son ´ etude permet d’ouvrir des perspectives sur les types de mod` eles sur champs moyens que l’on peut d´ eduire d’une telle approche. Ce lien est illustr´ e dans la section 5 ` a l’aide de mod` eles existants. Dans la section 5.1, le comportement du volume d’une bulle est d´ ecrit grˆ ace ` a une loi de type Rayleigh-Plesset simplifi´ ee, puis une EDP d´ ecrivant le comportement moyen des bulles est d´ eduite de la formulation instantan´ ee.

2. Le mod` ele stochastique lagrangien

Le principe de la description particulaire du fluide est de repr´ esenter l’´ ecoulement par un ensemble de particules discr` etes. Les particules sont des objets math´ ematiques ponctuels auxquels sont attach´ ees les variables permettant de d´ ecrire l’´ ecoulement : volume, pression, vitesse... Chaque particule repr´ esente un ensemble de mol´ ecules suffisamment grand pour que les notions classiques de m´ ecanique des milieux continus aient un sens, notamment les grandeurs thermodynamiques. Si la position dans l’espace est vue comme une variable attach´ ee aux particules, la trajectoire de ces derni` eres devient elle-mˆ eme une variable.

On parle alors de description particulaire lagrangienne, par opposition aux descriptions eul´ eriennes pour lesquelles la position en espace est un param` etre.

L’´ evolution en temps des variables de chaque particule est r´ egie par un syst` eme d’´ equations diff´ erentielles en temps (et non en espace puisque la position n’est pas un param` etre mais une variable). Parmi les ph´ enom` enes participant ` a la description de cette ´ evolution, certains peuvent ˆ etre mod´ elis´ es de mani` ere stochastique, ce qui refl` ete le manque d’information associ´ e au choix de la description particulaire (pro- babilit´ es ` a une particule ou ` a N particules, voir [4]). L’´ evolution en temps est alors d´ etermin´ ee par un syst` eme d’´ equations diff´ erentielles stochastiques (EDS).

Le mod` ele que l’on se propose d’´ ecrire repose sur ces deux principes : description particulaire lagran- gienne et mod´ elisation stochastique, ce que l’on d´ esigne par mod´ elisation lagrangienne stochastique.

Le point de d´ epart de cette construction est le choix des variables de description des ´ ecoulements que l’on souhaite mod´ eliser. En pratique, le jeu de variables peut ˆ etre diff´ erent pour les deux phases, mais on se contentera de prendre le mˆ eme ensemble de variables pour les deux phases. Puis, une fois le jeu de variables choisi, le syst` eme d’EDS pour chaque phase sera d´ ecrit. La construction du mod` ele est achev´ ee par la description de la prise en compte du changement de phase, qui est trait´ e de fa¸ con particuli` ere.

Pour conserver des ´ equations les plus compactes possibles, on se r´ ef´ erera ` a l’indice k = 1 pour la phase

1 et k = 2 pour la phase 2. Ainsi lorsque l’on s’int´ eresee ` a la phase d’indice k, l’indice 3 −k d´ esigne l’autre

phase : si k = 1 (resp. k = 2), alors 3 − k = 2 (resp. 3 − k = 1). De plus, les sections de pr´ esentation

du formalisme et du mod` ele sont ´ ecrites dans un cadre mono-dimensionnel, c’est-` a-dire que les positions

et les vitesses sont scalaires et que les volumes sont homog` enes ` a des distances. L’extension ` a l’espace

tri-dimensionnel est triviale et la derni` ere section est ´ ecrite dans ce cadre. Par ailleurs, il est possible

d’enrichir la mod´ elisation propos´ ee en introduisant de nombreuses variables, mais on se limite dans la

suite aux seules variables essentielles pour d´ ecrire des ´ ecoulements diphasiques compressibles.

2.1. Le choix des variables de description

Le choix des variables est essentiel car il d´ etermine les ph´ enom` enes qui peuvent ˆ etre pris en compte dans la mod´ elisation et ceux qui ne le peuvent pas. On se limite ici aux variables indispensables ` a la description des ´ ecoulements diphasiques compressibles. Chaque particule de phase k, et de masse m _k , porte donc une information sur sa propre trajectoire grˆ ace ` a une position x <sub>k</sub> et ` a une vitesse u _k . Leur thermodynamique est, quant ` a elle, d´ ecrite par un volume v _k et une ´ energie interne e _k . Pour chaque phase le jeu de variables est donc : m _k , x _k , u _k , v _k et e _k .

Toute autre grandeur associ´ ee ` a la particule doit s’exprimer en fonction de ce jeu de variables. C’est notamment le cas de la pression et de la densit´ e de la particule : p k = P k (v k , e k ) et ρ k = m k /v k ; o` u P k

est une fonction donn´ ee (loi d’´ etat). Le choix de d´ efinir deux pressions diff´ erentes pour les deux phases s’explique par la volont´ e de pouvoir prendre en compte les variations de volume associ´ es aux ´ ecarts de pression entre phases, comme dans le cas des ´ equations de type Rayleigh-Plesset. Ce point sera ´ eclair´ e dans la section 5.

La notion de phase vue a ´ et´ e introduite dans [4] pour la mod´ elisation de la vitesse. Elle repose sur le principe que les trajectoires des particules des deux phases sont diff´ erentes : on d´ efinit pour la phase 1 la vitesse u ^s,2 ₁ qui est la vitesse de phase 2 vue par une particule de phase 1 se d´ epla¸ cant ` a vitesse u 1 . Par souci de simplicit´ e, de telles variables ne sont pas d´ efinies ici. N´ eanmoins, les r´ esultats pr´ esent´ es dans le reste de ce document restent valides avec ou sans ces variables suppl´ ementaires.

2.2. Le choix des ´ equations d’´ evolution

Il y a deux mani` eres d’´ ecrire une EDS sur une variable Φ. La forme int´ egrale : Φ(t) − Φ(t 0 ) =

Z t t

Adt + Z t

t

Bdw t ,

est la plus correcte d’un point de vue math´ ematique, mais on utilisera la notation dΦ = Adt + Bdw t qui a l’avantage de la concision. Dans ces deux ´ equations, w t d´ esigne un processus stochastique de Wiener et la deuxi` eme int´ egrale du terme de droite est d´ efinie au sens de Ito [6]. Les termes A et B mod´ elisent respectivement les ph´ enom` enes lents et rapides.

Le syst` eme d´ ecrivant l’´ evolution en temps du jeu de variables des particules est donc compos´ e de cinq EDS. La premi` ere assure la constance de la masse pour chacune des particules : dm _k = 0. En fait, les masses des particules peuvent ˆ etre diff´ erentes, mais chaque particule garde la mˆ eme masse au cours du temps. Les deuxi` eme et troisi` eme ´ equations d´ efinissent la trajectoire en espace des particules :

dx k = u k dt, du k = A ^u _k dt + B _k ^u dw ^u _k . Enfin, les deux derni` eres ´ equations portent sur la thermodynamique :

dv k = A ^v _k dt + B _k ^v dw ^v _k , de k = A ^e _k dt + B _k ^e dw _k ^e .

Cette derni` ere ´ equation exprimera le premier principe de la thermodynamique. L’ensemble des termes de mod´ elisation A <sup>u</sup> <sub>k</sub> , A <sup>e</sup> <sub>k</sub> , B <sub>k</sub> <sup>u</sup> et B <sub>k</sub> <sup>e</sup> ne sera pas explicit´ e dans ce document, en revanche des fermetures seront propos´ ees ` a titre d’exemple pour A ^v _k et B _k ^v .

2.3. Prise en compte du changement de phase

La mod´ elisation du changement de phase avec une approche lagrangienne stochastique est fondamen-

talement diff´ erente de celles propos´ ees pour les approches classiques par EDP sur des champs moyens, o` u

elle est souvent identifi´ ee avec le transfert de masse. Dans l’approche adopt´ ee ici, le changement de phase n’est pas pris en compte en faisant varier la masse de chaque particule (d’o` u la forme de l’´ equation de masse d´ efinie dans la section 2.2), mais en modifiant le nombre de particules de chaque phase.

La transition de phase d’une particule est consid´ er´ ee comme instantan´ ee. La prise en compte du temps caract´ eristique τ de transition de phase pour un ensemble de particules est d´ ecrite un peu plus bas dans cette section, elle est associ´ ee ` a une variable al´ eatoire D repr´ esentant une dur´ ee de vie. Deux ingr´ edients sont alors n´ ecessaires pour d´ efinir le changement de phase : (i) une r` egle d´ efinissant les nouvelles valeurs des variables de la particule apr` es la transition et (ii) une condition ` a remplir pour que la transition de phase soit effective.

Lorsqu’une particule change de phase, les valeurs des diff´ erentes variables sont ´ egales aux valeurs correspondantes aux mˆ eme variables pour la particule avant la transition. En d’autres termes, si une particule de phase k associ´ ee aux variables (m _k , x _k , u _k , v _k , e _k ) change de phase pour devenir une particule de phase 3 − k, alors on d´ efinit :

m _3−k = m _k , x _3−k = x _k , u _3−k = u _k , v _3−k = v _k , e _3−k = e _k .

Si on attribuait une couleur diff´ erente pour chacune des phases, la d´ efinition ci-dessus revient ` a dire que lorsqu’elle change de phase la particule change juste de couleur. L’avantage de cette d´ efinition est que l’on assure naturellement la conservation de la masse du m´ elange, du volume du m´ elange, de la quantit´ e de mouvement du m´ elange et de l’´ energie du m´ elange.

Remarque. Il est possible de faire d’autres choix concernant les grandeurs conserv´ ees lors de la tran- sition de phase. Il est par exemple envisageable de conserver la pression au lieu du volume :

P 3−k (v _3−k , e _3−k ) = P k (v _k , e _k ).

N´ eanmoins, le choix qui est fait ici de conserver le volume permet d’avoir une expression simple de la notion de conservation du volume du m´ elange pr´ esent´ ee dans la section 4.

Pour compl´ eter la d´ efinition du changement de phase, une condition doit ˆ etre sp´ ecifi´ ee. Classiquement, en mod´ elisation thermodynamique, un volume de fluide change de phase si et seulement si ce changement s’accompagne d’une diminution du potentiel chimique associ´ e. Si µ _k (v _k , e _k ) d´ esigne ce potentiel chimique, et si (v _k , e _k ) et (v _3−k , e _3−k ) sont les grandeurs thermodynamiques associ´ ees ` a la particule respectivement avant et apr` es la transition de phase, la condition ci-dessus se traduit par le respect de l’in´ egalit´ e :

µ _k (v _k , e _k ) > µ _3−k (v _3−k , e _3−k ).

En fait, cette in´ egalit´ e traduit le caract` ere irreversible de la transition de phase pour des variables de descriptions donn´ ees.

Par d´ efinition la transition de phase est consid´ er´ ee comme instantan´ ee pour les particules prises indivi- duellement. Afin que le temps caract´ eristique associ´ e au changement de phase d’un ensemble de particules ne soit pas nul, une condition suppl´ ementaire est n´ ecessaire. On suppose donc que la transition de phase instantan´ ee repr´ esente une dur´ ee physique δT . Par exemple pour une simulation num´ erique, cette dur´ ee sera le pas de temps de discr´ etisation. On introduit une variable al´ eatoire D pour chaque particule. Celle- ci suit une loi exponentielle de param` etre 1/τ, o` u τ est le temps caract´ eristique de transition de phase pour un ensemble de particules. La condition suppl´ ementaire de transition de phase est que la r´ ealisation D de D soit inf´ erieure ` a δT , soit : D < δT . En d’autres termes, cette variable D mod´ elise la ”dur´ ee de vie” qu’il reste ` a la particule avant qu’elle ne change de phase. Si cette dur´ ee est sup´ erieure au temps physique repr´ esent´ e par la transition de phase, alors la particule n’a pas le temps de changer de phase.

Ainsi, le temps caract´ eristique de changement de phase d’un ensemble de particules est τ. Au final, la condition de changement de phase est donc :

µ k (v k , e k ) > µ _3−k (v _3−k , e _3−k ) et D < δT.

La transition de phase telle qu’elle est d´ ecrite ci-dessus correspond ` a un m´ ecanisme tr` es simple. Il consiste ` a modifier uniquement la phase ` a laquelle la particule appartient, les grandeurs qui lui sont attach´ ees restant inchang´ ees. Par ailleurs, il est essentiel de noter que ce mod` ele de changement de phase est ind´ ependant des mod` eles associ´ es aux ´ equations d’´ evolution des particules (section 2.2). Cette distinction est flagrante lorsque l’on consid` ere l’´ equation de Chapmann-Kolmogorov (section 3.2) : les termes de mod´ elisation associ´ es aux EDS correspondent ` a des termes de d´ eriv´ ees d’ordre 1 dans l’espace des phases, tandis que le mod` ele de changement de phase est pr´ esent en tant que terme source.

3. Description dans l’espace des phases

Le mod` ele de la section pr´ ec´ edente utilise une description bas´ ee sur des processus stochastiques. Il est donc naturel d’y associer une fonction densit´ e de probabilit´ e (FDP) dont les arguments sont : le temps et les variables de description. Cette FDP est r´ egie dans l’espace des phases (i.e. l’espace constitu´ e par l’ensemble des valeurs possibles pour les variables de description) par une ´ equation de type Chapmann- Kolmogorov [6]. Il est alors possible de d´ ecrire le comportement de champs moyens de fonctions des variables de description.

3.1. Quelques d´ efinitions sur l’espace des phases

Pour toute variable, son image dans l’espace des phases sera not´ ee ` a l’aide d’une ´ etoile. On d´ efinit sur cet espace deux vecteurs pour chaque phase : le premier correspondant ` a un point de vue lagrangien Z _k ^L = (x

_k , u

_k , m

_k , v

_k , e

_k ) et le second ` a un point de vue eul´ erien Z _k ^E = (u

_k , m

_k , v _k

, e

_k ). On notera par la suite Z ^L = (Z ₁ ^L , Z ₂ ^L ). La FDP lagrangienne jointe not´ ee f ^L a pour arguments le param` etre temps t et les vecteurs de variables lagrangiens Z _k ^L . La quantit´ e f ^L (t; Z ^L )dZ ^L repr´ esente alors la probabilit´ e de trouver le processus stochastique (x 1 , u 1 , m 1 , v 1 , e 1 , x 2 , u 2 , m 2 , v 2 , e 2 ) dans un voisinage dZ ^L autour de l’´ etat Z ^L

`

a l’instant t. On notera que cette quantit´ e est sans dimension, et donc f ^L est homog` ene ` a l’inverse de Z ^L . L’int´ egration de f ^L sur l’ensemble de l’espace des phases donne naturellement 1 ` a chaque instant t :

Z

f ^L (t; Z ^L )dZ ^L = 1 ;

et la moyenne de toute fonction H(Z ^L ) de la variable Z ^L contre f ^L s’´ ecrit alors :

< H(Z ^L ) > ^L (t) ^def = Z

H (Z ^L )f ^L (t; Z ^L )dZ ^L .

A partir de cette FDP jointe, on d´ efinit deux fonctions de densit´ e marginales eul´ eriennes associ´ ees ` a chacune des phases :

f _k ^E (t, x; Z _k ^E ) ^def = Z

δ(x − x

_k )f _k ^L (t; Z _k ^L )dx

_k , k = 1, 2,

o` u δ(.) d´ esigne la fonction de Dirac. Ces fonctions de densit´ e ne sont plus des FDP car leur int´ egrale sur l’espace des phases ne donne pas toujours 1. Une cons´ equence de la restriction en espace associ´ ee ` a la fonction de Dirac est que la position devient un param` etre et non plus une variable : avec la d´ efinition de f <sub>k</sub> <sup>E</sup> , on adopte le point de vue eul´ erien. On d´ efinit ensuite la fraction volumique α k qui d´ epend du temps et de l’espace (en tant que param` etre) :

α _k (t, x) ^def = Z

v

_k f _k ^E (t, x; Z _k ^E )dZ _k ^E .

Cette grandeur d´ efinit la proportion de volume occup´ ee par la phase k en x ` a l’instant t. La fonction de

Dirac est homog` ene ` a l’inverse d’un volume, en cons´ equence un rapide calcul permet de remarquer que

α k est sans dimension. Par ailleurs, les volumes v _k

´ etant strictement positifs, α k est positive et s’annule si statistiquement aucune particule de phase k ne se trouve en x ` a l’instant t. La fraction volumique a une grande importance dans le cadre des ´ ecoulements diphasiques, car elle assure en partie le couplage entre les phases (ce point est abord´ e dans la section 4).

Pour toute grandeur H k (Z _k ^E ) ne d´ ependant que de Z _k ^E , et donc ne d´ ependant pas de la position de la particule, on d´ efinit deux grandeurs moyennes hH k i

_k (qui correspond, dans l’esprit, ` a la moyenne de Reynolds) et hH k i

_k (qui correspond, dans l’esprit, ` a la moyenne de Favre), qui d´ ependent de la position x et du temps t consid´ er´ es :

α _k (t, x) hH k i

_k (t, x) ^def = Z

v _k

H _k (Z _k ^E )f _k ^E (t, x; Z _k ^E )dZ _k ^E , et

α k (t, x) hρ k i

_k (t, x) hH k i

_k (t, x) ^def = Z

m

_k H k (Z _k ^E )f _k ^E (t, x; Z _k ^E )dZ _k ^E .

o` u on rappelle que le masse peut s’´ ecrire m

_k = v

_k ρ _k (Z _k ^E ). Ces deux d´ efinitions n’ont de sens que si la fraction volumique n’est pas nulle, c’est-` a-dire si statistiquement il y a au moins une particule en x ` a l’instant t. Par la suite, les arguments (t, x) seront souvent omis par souci de concision.

La moyenne h.i

_k correspond ` a une moyenne d’ensemble, tandis que la moyenne h.i

_k d´ efinit une moyenne pond´ er´ ee par la masse volumique de phase k. Cet aspect est mis en lumi` ere lorsqu’on explicite les deux relations ci-dessous entre ces deux moyennes. D’une part, la d´ efinition de h.i

_k appliqu´ ee ` a 1/ρ k (Z _k ^E ) fournit une relation de consistance (1), qui est utile pour la suite :

1 ρ k (Z _k ^E )

k

= 1

ρ k (Z _k ^E )

k

. (1)

D’autre part, elle permet d’expliciter une relation entre les deux moyennes qui est ind´ ependante des fractions volumiques :

H k (Z _k ^E )

k =

ρ k (Z _k ^E )H k (Z _k ^E )

k

ρ k (Z _k ^E )

k

.

Enfin, on introduit la notion d’esp´ erance conditionnelle de la variable A sachant que la variable B est

´

egale ` a b, qui est valable pour les moyennes h.i

_k et h.i

_k . C’est une fonction de b not´ ee < A|B

= b >

ou encore de mani` ere courte < A|B >. Si (a, b) → f _A,B (a, b) d´ esigne la FDP jointe pour A et B, et si b → f B (b) = R

f A,B (a, b)da est la FDP marginale de B, alors on a la d´ efinition suivante :

< A|B

= b > ^def = Z

a

f _A|B (a

, b)da

avec f _A|B (a, b) = f _A,B (a, b) f B (b) . Cette d´ efinition conduit ` a la relation :

< A|B

= b >=< A δ(B

− b) > (f _B (b))

. 3.2. L’´ equation de Chapmann-Kolmogorov

Si le changement de phase n’est pas pris en compte dans notre mod´ elisation, les r´ esultats classiques

en terme de processus stochastiques sans sauts montrent que l’´ evolution dans l’espace des phases de la

FDP f ^L est r´ egie par une ´ equation de Fokker-Planck [6]. Or le changement de phase tel qu’il est d´ ecrit

dans la section 2.3 correspond ` a un processus de saut. En cons´ equence, l’´ evolution de f ^L est d´ ecrite par

une ´ equation de Chapmann-Kolmogorov [6], qui est plus g´ en´ erale et prend en compte les sauts dans les

processus.

On d´ efinit la mesure de probabilit´ e de saut W (Z ^L

|t; Z ^L ) pour un couple de particules compos´ e d’une particule de chaque phase. Cette mesure est d´ efinie pour Z ^L 6= Z ^L

, elle repr´ esente la densit´ e de probabilit´ e par unit´ e de temps de sauter instantan´ ement en t de l’´ etat Z ^L ` a l’´ etat Z ^L

. Conform´ ement au mod` ele d´ ecrit ` a la section 2.3, celle-ci s’´ ecrit :

W (Z ₁ ^L

, Z ₂ ^L

|t; Z ₁ ^L , Z ₂ ^L ) = 1

τ δ(Z ₁ ^L

− Z ₂ ^L )δ(Z ₁ ^L − Z ₂ ^L

)H(δt − D) H(µ ₁ (Z ₁ ^L ) − µ ₂ (Z ₂ ^L

))H(µ ₂ (Z ₂ ^L ) − µ ₁ (Z ₁ ^L

)),

o` u H d´ esigne la fonction de Heaviside. L’´ equation de Chapmann-Kolmogorov associ´ ee ` a f ^L est alors :

∂

∂t (f ^L (t; Z ^L )) = X

k=1,2







X

Y

,u

,m

,v

,e

− ∂

∂Y _k (< A ^Y _k |Z ^L > ^L f ^L ) + ∂ ²

∂Y _k ² (< (B _k ^Y ) ² /2|Z ^L > ^L f ^L )

+ Z

W (Z ^L |t; z ^L )f ^L (t; z ^L )dz ^L − Z

W (z ^L |t; Z ^L )f ^L (t; Z ^L )dz ^L . (2) En multipliant cette ´ equation par δ(x − x

_k ) et en int´ egrant sur Z _3−k ^L et x

_k , on peut d´ eduire de l’´ equation ci-dessus une ´ equation pour les densit´ es eul´ eriennes f _k ^E . Cette derni` ere permet d’obtenir une ´ equation sur les champs moyens.

3.3. L’´ equation sur les champs moyens

Si on multiplie l’´ equation sur f _k ^E par m

_k H(Z _k ^E ) puis qu’on int` egre sur Z _k ^E , on obtient une ´ equation aux d´ eriv´ ees partielles en temps et espace portant sur la moyenne

H (Z _k ^E )

k de H (Z _k ^E ) :

∂

∂t (α _k hρ k i

_k hH k i

_k ) + ∂

∂x (α _k hρ k i

_k hu k H _k i

_k ) = Z

m

_k H _k (Z _k ^E )δ(x − x

_k )T k (t; Z _k ^L )dZ _k ^L

+ X

Y

,m

,v

,e

α k hρ k i

_k

A ^Y _k ∂

∂Y k

(H k (Z _k ^E ))|Z _k ^E

k

+

(B _k ^Y ) ² /2 ∂ ²

∂Y k 2 (H k (Z _k ^E ))|Z _k ^E

k

!

. (3) Le terme T k (t; Z _k ^L ) qui apparaˆıt au second membre de l’´ equation regroupe les diff´ erentes contributions (sous forme d’int´ egrales) portant sur la probabilit´ e de saut W (Z ^L

|t; Z ^L ) :

T k (t; Z _k ^L ) = Z Z

W (Z ^L |t; z ^L )f ^L (t; z ^L )dz ^L − Z

W (z ^L |t; Z ^L )f ^L (t; Z ^L )dz ^L

dZ _3−k ^L .

Les termes associ´ es au changement de phase dans (3) satisfont la propri´ et´ e de conservation suivante.

Propri´ et´ e. Soit une fonction H (u, m, v, e) telle que H ₁ (Z ₁ ^E ) = H(Z ₁ ^E ) et H ₂ (Z ₂ ^E ) = H(Z ₂ ^E ), alors : Z

m

₁ H 1 (Z ₁ ^E )δ(x − x

₁ )T 1 (t; Z ₁ ^L )dZ ₁ ^L + Z

m

₂ H 2 (Z ₂ ^E )δ(x − x

₂ )T 2 (t; Z ₂ ^L )dZ ₂ ^L = 0.

La d´ emonstration de cette propri´ et´ e d´ ecoule directement de la forme de W . Elle est fondamentale car elle assure que lors de la transition de phase, la moyenne de toute quantit´ e H est conserv´ ee pour le m´ elange.

Par exemple, l’application de cette propri´ et´ e pour la masse, H (u, m, v, e) = 1, permet de s’assurer que la

masse moyenne du m´ elange est conserv´ ee. Pour H(u, m, v, e) = u on obtient la conservation du moment

moyen du m´ elange et pour H (u, m, v, e) = e on obtient la conservation de l’´ energie interne moyenne du

m´ elange.

L’´ equation (3) permet de d´ ecrire les variations en temps et en espace (donc avec un point de vue eul´ erien) des moyennes de n’importe quelle fonction d´ ependant des vitesse, masse, volume ou ´ energie interne des particules d’une phase. Par cons´ equent, il s’agit d’une extraction d’une partie des donn´ ees contenues dans le syst` eme d’EDS d´ efinissant l’´ ecoulement. A ce titre, les ´ equations sur les champs moyens contiennent moins d’information que les EDS.

Pour H k (Z _k ^E ) = 1, l’´ equation (3) fournit les ´ equations de masse moyennes :

∂

∂t (α k hρ k i

_k ) + ∂

∂x (α k hρ k i

_k hu k i

_k ) = Z

m

_k δ(x − x

_k )T k (t; Z _k ^L )dZ _k ^L , (4) dont la forme est classique. Il est important de remarquer que ces ´ equations sont ind´ ependantes des termes de mod´ elisation A ^φ _k . Par ailleurs, le mod` ele de changement de phase propos´ e dans la section 2.3 assure naturellement la conservation de la masse totale en (t, x). Grˆ ace ` a la propri´ et´ e ´ enonc´ ee ci-dessus, la somme sur les deux phases des termes sources de (4), associ´ es au changement de phase, est nulle. En choisissant H _k (Z _k ^E ) = u

_k et H _k (Z _k ^E ) = e

_k , on peut obtenir respectivement les ´ equations portant sur la quantit´ e de mouvement moyenne et sur les ´ energies internes moyennes.

Bien que cela ne soit pas explicit´ e ici, il est possible d’obtenir pour chaque phase une ´ equation aux d´ eriv´ ees partielles en temps et espace portant sur la corr´ elation entre n’importe quelle fonction des variables de description Z _k ^E .

4. La contrainte de conservation du volume

Dans la section 3, la fraction volumique α k a ´ et´ e d´ efinie en se basant sur le volume v k . Ces grandeurs assurent en fait un lien fort entre les deux phases, qui jusqu’` a maintenant sont trait´ ees de mani` ere relativement ind´ ependante. Le but de cette section est double. Tout d’abord la notion de conservation du volume sera explicit´ ee, puis il en sera d´ eduit des contraintes portant sur les termes de mod´ elisation des volumes A ^v ₁ et A ^v ₂ .

4.1. La notion de conservation du volume

Le point de d´ epart de cette section est la r´ e-´ ecriture de la somme des fractions volumiques d´ efinies ` a la section 3.1. En effet, celle-ci peut s’´ ecrire sous la forme d’une unique int´ egrale :

α 1 (t, x) + α 2 (t, x) = Z

(v

₁ δ(x − x

₁ ) + v

₂ δ(x − x

₂ )) f ^L (t; Z ^L )dZ ^L .

Cette somme repr´ esente le volume statistiquement occup´ e par unit´ e de volume par l’ensemble des parti- cules en x ` a l’instant t. C’est sur cette grandeur que repose l’expression de la conservation du volume, elle se traduit par la propri´ et´ e suivante.

Propri´ et´ e. En chaque point x et ` a chaque instant t, la somme des fractions de volume des particules des phases par unit´ e de volume doit ˆ etre ´ egale ` a 1. Autrement dit :

∀(t, x), α ₁ (t, x) + α ₂ (t, x) = 1.

Cette propri´ et´ e exprime le fait que les particules statistiquement pr´ esentes en x ` a l’instant t doivent

occuper tout le volume qui est ` a leur disposition. Il s’agit en fait d’assurer la consistance du mod` ele

constitu´ e de deux phases avec la physique. Pour ce faire, la mani` ere la plus ´ evidente est de traduire cette

propri´ et´ e en une contrainte portant sur la mod´ elisation des volumes (i.e. sur les termes A ^v _k ).

4.2. Contrainte de conservation du volume

La propri´ et´ e de conservation du volume telle qu’elle est exprim´ ee dans la section 4.1 porte sur le m´ elange des phases et fait intervenir les fractions volumiques, qui sont des grandeurs moyennes associ´ ees aux volumes des particules. Pour que cette propri´ et´ e soit respect´ ee, une contrainte sur les termes de mod´ elisation des volumes A ^v _k doit ˆ etre assur´ ee.

En utilisant la relation (1), pour H _k (Z _k ^E ) = 1/ρ _k (Z _k ^E ) l’´ equation de la section 3.3 donne l’´ equation suivante :

∂

∂t (α k ) + ∂

∂x (α k hu k i

_k ) = α k

A ^v _k v _k |Z _k ^E

k

+ Z

v _k

δ(x − x

_k )T k (t; Z _k ^L )dZ _k ^L .

Lorsqu’on somme ces deux ´ equations, les termes associ´ es au changement de phase s’annulent. En effet, lorsqu’une particule change de phase elle conserve son volume et sa position, ainsi le volume global est conserv´ e en tout point lors de la transition de phase.

On suppose que l’initialisation ` a t = 0 de l’´ ecoulement est telle que α 1 (0, x) +α 2 (0, x) = 1. En sommant pour les deux phases l’´ equation ci-dessus, il apparaˆıt que la propri´ et´ e de conservation du volume sera respect´ ee si et seulement si la contrainte suivante est satisfaite :

∂

∂x (α 1 hu 1 i

₁ + α 2 hu 2 i

₂ ) = α 1

A ^v ₁ v ₁ |Z ₁ ^E

1

+ α 2

A ^v ₂ v ₂ |Z ₂ ^E

2

. (5)

En posant α 2 = 0, et donc α 1 = 1, dans la contrainte (5), celle-ci redonne la contrainte de conservation telle qu’elle est classiquement ´ ecrite pour les ´ ecoulements monophasiques.

En d´ efinitive, si l’on veut assurer la conservation du volume, la mod´ elisation des volumes des parti- cules de chaque phase ne peut ˆ etre faite de mani` ere totalement ind´ ependante. On peut ainsi ´ enoncer l’´ equivalence suivante dans le cas o` u la somme des fractions volumiques est initialement ´ egale ` a 1 ` a t = 0 : la somme des fractions volumiques vaut 1 pour tout (t, x) si et seulement si la relation (5) est vraie pour tout (t, x).

Si les termes de mod´ elisation des volumes respectent la contrainte (5) et si α ₁ (0, x) + α ₂ (0, x) = 1, alors le sous-syst` eme form´ e des deux ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles sur les fractions volumiques est

´

equivalent au sous-syst` eme suivant :



 

 

α ₁ (t, x) + α ₂ (t, x) = 1,

∂

∂t (α 1 ) + ∂

∂x (α 1 hu 1 i

₁ ) = α 1

A ^v ₁ v 1

|Z ₁ ^E

1

+ Z

v ₁

δ(x − x

₁ )T 1 (t; Z ₁ ^L )dZ ₁ ^L .

(6) Ce sous-syst` eme est un ´ el´ ement clef des mod` eles de champs eul´ eriens d´ ecrivant les ´ ecoulements dipha- siques, que les phases soient compressibles ou pas. Il intervient dans le couplage entre les phases. Comme on le verra dans la section suivante, il peut ˆ etre pr´ esent soit sous forme explicite soit sous forme implicite.

Remarque. Dans le cas de deux phases incompressibles, c’est-` a-dire telles que A ^v _k = 0, la contrainte (5) s’´ ecrit simplement :

∂

∂x (α 1 hu 1 i

₁ + α 2 hu 2 i

₂ ) = 0.

5. El´ ements de mod´ elisation des volumes

La contrainte de conservation des volumes ´ enonc´ ee ` a la section 4.2 sert de guide pour la mod´ elisation des

volumes qui constitue une ´ etape importante dans la construction d’un mod` ele. Celle-ci permet notamment

d’´ eclairer le contenu physique de certains mod` eles de champs eul´ eriens actuellement utilis´ es ou ´ etudi´ es, et de pouvoir ´ etablir un lien entre une description microscopique instantan´ ee et les mod` eles d’EDP qui en d´ ecoulent. Cette section a donc pour but d’illustrer le formalisme de mod´ elisation d´ evelopp´ e dans les sections pr´ ec´ edentes, en se focalisant sur les termes de mod´ elisation des volumes. A titre d’exmple, un mod` ele simple complet pour la section 5.1 est disponnible en annexe.

La section 5.1 propose une mod´ elisation des volumes dans le cas d’´ ecoulements de bulles dispers´ ees dans un liquide. L’accent est donc mis sur les termes de mod´ elisation A ^v _k et B ^v _k = 0, ainsi que sur la forme prise par la deuxi` eme ´ equation du syst` eme (6). Puis, dans la section 5.2, quelques ´ el´ ements de r´ eflexion concernant le mod` ele bifluide standard sont propos´ es.

Dans ce qui suit, la phase des bulles sera repr´ esent´ ee par la phase 1, tandis que la phase 2 correspondra

`

a la phase liquide. De plus, on choisit de simplifier l’EDS sur les volumes en prenant B _k ^v . Pour cette section, on se place dans l’espace tri-dimensionnel. En cons´ equence, une grandeur not´ ee en gras d´ esigne un vecteur et les op´ erateurs ∇

· (Φ(t, x)) et ∇

(φ(t, x)) sont respectivement la divergence et le gradient sur l’espace physique du champ vectoriel Φ et du champ scalaire φ.

5.1. Prise en compte d’une ´ equation de type Rayleigh-Plesset simplifi´ ee

Dans ce premier cas, on ne fait pas l’hypoth` ese d’´ equilibre des pressions, c’est-` a-dire que l’on ne fait pas l’hypoth` ese qu’elles sont ´ egales en tout point x et ` a tout instant t. La variation de volume d’une bulle est alors prise en compte ` a travers deux aspects : (i) la divergence du champ moyen de vitesse de la phase bulle et (ii) l’´ ecart de pression avec la phase liquide. De plus, on fait l’hypoth` ese que ces deux ph´ enom` enes s’additionnent pour donner la variation de volume globale de la bulle.

La variation du volume d’un ´ el´ ement mat´ eriel de fluide associ´ ee ` a la divergence du champ de vitesse du fluide est un aspect classique pour les ´ ecoulements incompressibles. C’est d’ailleurs de cette propri´ et´ e qu’est issue la contrainte stationnaire de divergence nulle pour le syst` eme des ´ equations de Navier-Stokes incompressible. On choisit donc de mod´ eliser cet effet (i) sur la variation de volume de la bulle de la mˆ eme fa¸ con :

dv 1 = v 1 ∇

· hu 1 i

₁

dt + F dt,

o` u F d´ esigne le deuxi` eme effet (ii), qui est associ´ e ` a l’´ ecart de pression. Dans cette expression, seule la divergence du champs de vitesse moyen en x est retenue, et non pas sa valeur instantan´ ee. Ce choix est coh´ erent avec l’hypoth` ese B ₁ ^v = 0. D’autres choix sont ´ evidemment possibles. Par exemple, on pourrait supposer que le terme B ₁ ^v est non nul pour repr´ esenter la divergence des fluctuations de vitesse (u

− hu 1 i

₁ ). Pour expliciter le terme F, on admet qu’en pr´ esence d’un champs de vitesse moyen hu 1 i

₁ uniforme, les variations du volume de chaque particule de la phase bulle sont r´ egies par une loi issue d’une simplification de l’´ equation de Rayleigh-Plesset.

Cette loi de pulsation d’une bulle sph´ erique est ´ etablie ` a partir de l’´ equation de Rayleigh-Plesset. Celle- ci d´ ecrit les pulsations d’une bulle sph´ erique dans un champ fluide incompressible infini, on admettra n´ eanmoins qu’elle reste valide dans notre cadre. En n´ egligeant les effets de la viscosit´ e et de la tension de surface, l’´ equation de Rayleigh-Plesset s’´ ecrit en fonction du rayon r B d’une bulle :

r _B d ² r _B dt ² + 3

2 dr _B

dt 2

= p _B − p _L

ρ ⁰ , (7)

o` u p B et p L sont les pressions au sein de la bulle et dans le liquide, et ρ ⁰ est une densit´ e liquide de

r´ ef´ erence. On s’int´ eresse ` a des situations o` u la bulle est proche d’un ´ etat d’´ equilibre et faiblement per-

turb´ ee, |dr B /dt| 1. Par cons´ equent, on n´ eglige le deuxi` eme terme au membre de gauche et on explicite

le premier rayon r B dans le premier terme de l’´ equation (7). La vitesse dr B /dt ´ etant suppos´ ees faibles,

on int` egre alors cette ´ equation et on trouve une ´ equation de la forme :

dr _B

dt = τ _p p _B − p _L

ρ ⁰ r ⁰ _B , (8)

o` u τ _p et un temps caract´ eristique. Les bulles ´ etant sph´ eriques, une ´ equation ´ equivalente portant sur les volumes des bulles peut ais´ ement ˆ etre d´ eduite de (8).

Cette loi simplifi´ ee fournit alors une expression pour le terme F, et les volumes des bulles sont alors mod´ elis´ es par l’EDS :

dv 1 = v 1 ∇

· hu 1 i

₁

dt + 4Π 3v ₁

4Π 2/3

τ p

p ₁ − p ₂ ρ ⁰ r _B ⁰ dt, ce qui fournit le terme de mod´ elisation A ^v ₁ suivant :

A ^v ₁ = v 1 ∇

· hu 1 i

₁

+ 4Π 3v 1

4Π 2/3

τ p

p 1 − p 2

ρ ⁰ r _B ⁰ . (9)

Le choix du terme de mod´ elisation des volumes des particules liquides A ^v ₂ doit ˆ etre fait tel que, ´ etant donn´ e le terme A ^v ₁ choisi, la contrainte de conservation du volume (5) soit respect´ ee. Cette contrainte portant sur des valeurs moyennes et le terme A ^v ₂ ´ etant instantan´ e, le choix n’est donc pas unique. En pratique, lorsque l’on s’int´ eresse ` a des ´ ecoulements de bulles dispers´ ees dans un liquide comme c’est le cas ici, la forme instantan´ ee exacte de A ^v ₂ est secondaire. On peut donc se contenter de choisir par exemple :

α 2

A ^v ₂ v 2

= ∇

·

α 1 hu 1 i

₁ + α 2 hu 2 i

₂

− α 1

A ^v ₁ v 1

|Z ₁ ^E

1

.

Une fois les termes A ^v ₁ et A ^v ₂ pr´ ecis´ es, l’´ etape de mod´ elisation des volumes est termin´ ee. Avec les choix pr´ esent´ es ci-dessus et en omettant le terme associ´ e au changement de phase, le sous-syst` eme (6) s’´ ecrit :



 

 

α ₁ (t, x) + α ₂ (t, x) = 1,

∂

∂t (α ₁ ) + hu 1 i

₁ ∇

(α ₁ ) = α ₁ (36Π) ^1/3 ρ ⁰ r ⁰ _B

D τ _p (p ₁ − p ₂ )v ₁

|Z ₁ ^E E

1

. (10)

L’´ el´ ement le plus important dans le terme du second membre de la deuxi` eme ´ equation de (10) est le retour ` a l’´ equilibre des pressions. La forme de cette ´ equation est tr` es proche de celle qui apparaˆıt dans les mod` eles bifluides avec relaxation de pressions. Ceux-ci ont notamment ´ et´ e d´ ecrits dans [7,8] pour les

´

ecoulements de type eau-vapeur et dans [9,10] pour des ´ ecoulements gaz-particules sur des applications en d´ etonique. Un mod` ele stochastique bifluide ` a relaxation de pressions complet est d´ ecrit en annexe.

Le mod` ele simplifi´ e (8) pour la pulsation de la bulle est d’ordre 1 en temps, tandis que le mod` ele de Rayleigh-Plesset est d’ordre 2. En ajoutant au mod` ele la variable W 1 qui d´ ecrit la vitesse de variation du rayon de la bulle, on peut tout ` a fait int´ egrer (7). Le mod` ele qui en d´ ecoule est alors proche de celui propos´ e dans [11].

5.2. El´ ements de r´ eflexion concernant le mod` ele bifluide standard

Dans la section 5.1, une ´ equation sur les champs de fraction volumique a ´ et´ e d´ eduite ` a partir d’une

mod´ elisation locale instantan´ ee des volumes des particules (i.e. le choix des termes A ^v ₁ et A ^v ₂ ). Le probl` eme

va maintenant ˆ etre consid´ er´ e avec le point de vue inverse : ´ etant donn´ e un syst` eme d’EDP sur des champs

moyens, quelles sont les formes admissibles pour les termes de mod´ elisation A ^v ₁ et A ^v ₂ ? En effet, les

EDP ne peuvent fournir des indications que sur les moyennes des termes de mod´ elisation des EDS, la

forme instantan´ ee de ces derniers ne peut donc g´ en´ eralement pas ˆ etre d´ efinie de mani` ere unique ` a partir

des EDP. De plus, les mod` eles sur champs moyens sont souvent ´ ecrits en omettant les op´ erateurs de

moyennes statistiques, ce qui peut ˆ etre ` a l’origine d’ambigu¨ıt´ es dans l’identification de certains termes.

En cons´ equence, on se place dans un cadre d´ eterministe, c’est-` a-dire que pour toute grandeur φ k on a : φ k = hφ k i

_k = hφ k i

_k .

On va s’int´ eresser au mod` ele sur champs moyens bifluide standard [1,2], et plus particuli` erement ` a sa partie convective (i.e on ne garde que les termes contenant des d´ eriv´ ees d’ordre 1 en espace ou en temps), en n´ egligeant les effets de masse ajout´ ee. Contrairement au mod` ele de la section pr´ ec´ edente, ce mod` ele fait l’hypoth` ese que les pressions des deux phases sont ´ egales ` a chaque instant et en tout point de l’´ ecoulement. Dans son ´ ecriture la plus classique, il est compos´ e de deux ´ equations de conservation des masses partielles moyennes, deux ´ equations sur les moments phasiques et deux ´ equations sur les ´ energies totales :



 

 

 

 

 

 

∂

∂t (α _k ρ _k ) + ∇

· (α _k ρ _k u _k ) = 0, k = 1, 2,

∂

∂t (α k ρ k u k ) + ∇

· (α k ρ k u k ⊗ u k + α k pI 3 ) − p∇

(α k ) = 0, k = 1, 2,

∂

∂t (α k ρ k E k ) + ∇

· (α k u k (ρ k E k + p)) + p ∂

∂t (α k ) = 0, k = 1, 2,

o` u E k d´ esigne l’´ energie totale phasique : E k = e k + u <sup>2</sup> <sub>k</sub> /2 et I 3 la matrice identit´ e. Ce syst` eme d’EDP est compl´ et´ e par la relation α 1 + α 2 = 1.

L’´ equation d’´ evolution sur la fraction volumique α 1 n’apparaˆıt donc pas dans le syst` eme, qui ne contient que des informations massiques. N´ eanmoins, les deux ´ equations portant sur l’´ energie se r´ e-´ ecrivent sous forme d’une ´ equation sur la pression et d’une ´ equation sur α 1 . Cette derni` ere s’´ ecrit alors :

∂

∂t (α 1 ) + a 1 u 1 + a 2 u 2

a 1 + a 2

∇

(α 1 ) + u 1 − u 2

a 1 + a 2

∇

(p) + α ₁ a ₁

a 1 + a 2

∇

· (u ₁ ) − α ₂ a ₂ a 1 + a 2

∇

· (u ₂ ) = 0 (11)

avec α 1 a 1 = ρ 1 C ₁ ² et α 2 a 2 = ρ 2 C ₂ ² , o` u C 1 et C 2 d´ esignent les vitesses du son : ρ _k C _k ² =

∂

∂p (e _k )

p ρ k

− ρ _k ∂

∂ρ k

(e _k )

.

Les formes admissibles du terme de mod´ elisation des volumes A ^v ₁ que l’on peut d´ eduire en identifiant les

´

equations (11) et (6) (sans le terme de changement de phase et en omettant les op´ erateurs de moyenne) sont complexes :

α 1

A ^v ₁

v ₁ = ∇

· (α 1 u 1 ) − a 1 u 1 + a 2 u 2

a ₁ + a ₂ ∇

(α 1 ) − u 1 − u 2

a ₁ + a ₂ ∇

(p)

− α ₁ a ₁ a 1 + a 2

∇

· (u 1 ) + α ₂ a ₂ a 1 + a 2

∇

· (u 2 ) . (12) Ce terme permet de d´ efinir la loi de variation en temps du volume d’une bulle au sens du mod` ele bifluide standard. S’il est donc possible de trouver une expression pour A ^v ₁ , sa formulation apparaˆıt comme compliqu´ ee et, de plus, son interpr´ etation physique reste une question ouverte.

6. Conclusions

Les bases d’un formalisme stochastique de mod´ elisation des ´ ecoulements diphasiques compressibles avec

changement de phase ont ´ et´ e expos´ ees. Cette mod´ elisation est faite ` a partir d’une description particulaire

lagrangienne de l’´ ecoulement, en utilisant des lois de comportement instantan´ ees. A partir de cette des-

cription sous forme d’EDS, la forme g´ en´ erale des EDP portant sur les champs moyens eul´ eriens des fluides

a ´ et´ e explicit´ ee. Ceci a permis de clarifier la notion de conservation du volume au sens de la description retenue. Les contraintes sur les lois de comportement assurant le respect de cette conservation ont ´ et´ e

´

ecrites. Enfin, des ´ el´ ements concrets de mod´ elisation ont permis d’illustrer la d´ emarche.

L’int´ erˆ et de la d´ emarche qui a ´ et´ e d´ evelopp´ ee dans cet article est de proposer un lien entre une physique microscopique (´ ecrite sur les variables instantan´ ees associ´ ees aux particules) et les mod` eles eul´ eriens (portant sur des champs moyens) qui en r´ esultent. Cette approche permet ainsi de mieux aborder des questions pr´ ecises, notamment la contrainte de conservation du volume, et de pouvoir mieux ´ eclairer le contenu physique des mod` eles eul´ eriens macroscopiques.

Dans la derni` ere partie de ce document, essentiellement par souci de concision, l’approche a ´ et´ e ap- pliqu´ ee partiellement. Ainsi, l’accent a ´ et´ e mis sur la mod´ elisation des volumes des particules. Dans le cas de bulles dispers´ ees, le premier exemple a permis d’illustrer le passage d’une ´ equation issue de l’´ equation de Rayleigh-Plesset, ` a une ´ equation sur le champ fraction volumique. Cette derni` ere prend une forme proche de celle qui apparaˆıt dans certains mod` eles bifluides de la litt´ erature. Il est en fait possible, sous certaines conditions, de trouver un mod` ele d’EDS complet et physiquement admissible dont les champs moyens sont r´ egis par les mˆ emes EDP que ces mod` eles bifluides. Dans la section 5.2, les ´ el´ ements propos´ es concernant le mod` ele bifluide standard font apparaˆıtre une description assez complexe des variations de volume instantan´ ees des bulles.

En ce qui concerne le changement de phase, une mod´ elisation locale a ´ et´ e propos´ ee. En revanche, les termes sources associ´ es dans les EDP ne semble pas pouvoir ˆ etre explicit´ es en fonction des grandeurs moyennes eul´ eriennes. Il est tout ` a fait envisageable d’utiliser ce mod` ele tel qu’il est d´ ecrit pour la simulation num´ erique. Pour ce faire, il est possible de construire une m´ ethode m´ elangeant les syst` emes d’EDS et d’EDP en suivant l’esprit des m´ ethodes hybrides comme celle pr´ esent´ ee dans [12] ou [13]. Cette derni` ere m´ ethode combine une approche par champs eul´ eriens et une approche particulaire lagrangienne, et son but est de permettre une meilleure prise en compte de la turbulence dans le cadre d’´ ecoulements de type gaz-particules. En conservant la mˆ eme id´ ee, on peut construire un sch´ ema num´ erique ` a pas fractionnaires dont la premi` ere ´ etape consiste ` a discr´ etiser les trois premiers termes de l’´ equation (6) par une technique adapt´ ee aux EDP ; la deuxi` eme ´ etape correspond ` a la prise en compte du changement de phase tel qu’il est d´ ecrit en section 2.3. Une telle m´ ethode permet alors de prendre en compte le changement de phase de fa¸ con locale sans imposer de fermeture d´ ependant des champs moyens eul´ eriens.

R´ ef´ erences

[1] M. Ishii, T. Hibiki, Thermo-fluid dynamics of two phase flow, Springer (2005).

[2] H. B. Stewart, B. Wendroff, Two-Phase flow : models and methods, J. Comp. Phys., 56 (1984) 363-409.

[3] S. B. Pope, Turbulent flows, Cambridge University Press, 2000.

[4] J.-P. Minier, E. Peirano, The pdf approach to turbulent polydispersed two-phase flows, Phys. Rep., 352 (2001) 1-214.

[5] B. J. Delarue, S. B. Pope, Application of PDF methods to compressible turbulent flows, Phys. Fluids, 9 (1997) 2704- 2715.

[6] C. Gardiner, Handbook of stochastic methods for physics, chemistry and natural sciences, Springer (1985).

[7] F. Coquel, T. Gallou¨ et, J.-M. H´ erard, N. Seguin, Closure laws for a two-fluid two-pressure model, C.R. Acad. Sci. Paris, I-334 (2002) 927-932.

[8] V. Ransom, D. Hicks, Hyperbolic two-pressure model for two-phase flow, J. of Comp. Phys., 53 (1984) 124-151.

[9] M. R. Baer, J. W. Nunziato, A two phase miwture theory for the deflagration-to-detonation transition (ddt) in reactive granular materials, Int. J. for Multiphase Flow, 12-6 (1986) 861-889.

[10] A. K. Kapila, S. F. Son, J. B. Bdzil, R. Menikoff, D. S. Stewart, Two-phase modeling of ddt : structure of the velocity

relaxation zone, Phys. of Fluids, 9 (1997) 3885-3897.

[11] S. Gavrilyuk, R. Saurel, Mathematical and Numerical Modeling of Two-Phase Compressible Flows with Micro-Inertia, J. of Comp. Phys., 175-1 (2002) 326-360.

[12] M. Muradoglu,P. Jenny,S.B. Pope,D.A. Caughey, A consistent hybrid finite-volume/particle method for the pdf equations of turbulent reactive flows, J. Comp. Phys., 154 (1999) 342-371.

[13] K. Dorogan, J.-M. H´ erard, J.-P. Minier, A relaxation scheme for hybrid modelling of gas-particle flows, submitted to publication.

7. Annexe : un mod` ele simple pour les ´ ecoulements dispers´ es eau-vapeur

Cette annexe pr´ esente un mod` ele stochastique lagrangien pour les ´ ecoulements diphasiques dispers´ es eau-vapeur. Il correspond ` a une description assez simple de ces ´ ecoulements, sans ´ echange avec l’ext´ erieur.

La turbulence est isotrope instationnaire et ne revˆ et qu’un aspect dynamique (et pas thermodynamique).

D’autre part, la loi de fermeture du terme F, d´ ecrivant les pulsations d’une bulle, est diff´ erente de celle propos´ ee dans la section 5.1. Ce choix permet de retrouver un ensemble d’EDP proche de celui du mod` ele bifluide ` a relaxation de pression, dont les caract´ eristiques sont d´ ecrites dans [7,8,9,10]. Les termes de mod´ elisation des deux phases sont choisis conjointement, conform´ ement ` a la contrainte de conservation du volume (voir section 4.2) et de mani` ere ` a ce que la masse moyenne du m´ elange, le moment moyen du m´ elange et l’´ energie totale moyenne du m´ elange soient conserv´ ees (en l’absence de sources externes, le m´ elange des deux phases constitue un syst` eme ferm´ e).

Mod´ elisation des volumes.

Les termes de mod´ elisation des volumes sont : B ₁ ^v = B ^v ₂ = 0, et A ^v ₁ = v ₁ ∇

·

hu

i

₁ + v ₁

K p

hp ₁ i

₁ − hp ₂ i

₂

. (13)

La grandeur K p est une constante statistique positive, par exemple : 1

K p

= 1 τ p

α 2

| hp ₁ i

₁ | + | hp ₂ i

₂ | , (14) o` u τ p est une constante de temps positive. Afin d’assurer la conservation du volume, on choisit :

α ₂ v 2

A ^v ₂ = α 2 ∇

· hu

i

₂

− α 1

F v 1

1

! +

hu

i

₁ − hu

i

₂

· ∇

(α 1 ) . (15) Mod´ elisation des vitesses.

Les termes de mod´ elisation des vitesses sont : α 2 ρ 2 A ^u ₂ = −α 2 ∇

hp 2 i

₂

+ D 2 + 1 T ₂ ^L

α ₂ ρ ₂ α ₁ hρ ₁ i

₁ α 1 hρ 1 i

₁ + α 2 hρ 2 i

₂

hu

i

₂ − u

, (16)

o` u D 2 est la force de train´ ee statique et s’´ ecrit : D ₂ = 1

τ u

α 2 ρ 2 α 1 hρ 1 i

₁ α ₁ hρ ₁ i

₁ + α ₂ hρ ₂ i

₂

hu

i

₁ − u

. (17)

Les constantes de temps τ u et T ₂ ^L sont des constantes statistiques positives. Pour la phase bulle, on

choisit :