Analyse II SMPC S2

Année Universitaire : 2019-2020

Analyse II

SMPC S2

2

Table des matières

1 Intégrales simples et primitives 5

1.1 Intégrales et Sommes de Riemann . . . . 5

1.2 Propriétés de l’intégrales . . . . 6

1.3 Primitives . . . . 7

1.4 Primitives des fonctions rationnelles, Primitives de fonctions rationnelles de certaines fonctions usuelles. . . . . 12

1.4.1 Primitives de fonctions rationnelles . . . . 12

1.4.2 Primitives de fonctions rationnelles de certaines fonctions usuelles . . . . 14

1.5 Exercices . . . . 16

2 Intégrales Généralisées 17 2.1 Généralités . . . . 17

2.2 Critères de convergence pour les fonctions positives . . . . 19

2.3 Exercices . . . . 23

3 Equations différentielles 25 3.1 Equation différentielle linéaire du premier ordre . . . . 25

3.2 Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants . . . . 27

3.3 Exercices . . . . 30

4 Les Séries Numériques 33 4.1 Définitions et Propriétés . . . . 33

4.2 Série à termes positifs . . . . 35

4.3 Série à termes réels . . . . 37

4.4 Exercices . . . . 37

5 Fonctions de deux variables réelles 39 5.1 Norme euclidienne surR² . . . . 39

5.2 Limite d’une fonction définie sur une partie deR² . . . . 40

5.3 Fonctions continues sur une partie de R² . . . . 42

5.4 Dérivabilité d’une fonction deR² dansR . . . . 42

5.5 Fonctions de classe C² et lemme de Schwarz . . . . 45

5.6 Intégrales doubles d’une fonction continue sur un domaine simple . . . . 47

5.7 Formule de chagement de variables . . . . 48

5.8 Exercices . . . . 49

6 Examens 51

3

4 TABLE DES MATIÈRES

CHAPITRE 1

Intégrales simples et primitives

1.1 Intégrales et Sommes de Riemann

Définition 1.1. On appelle subdivision d’ordrende l’intervalle[a, b]toute partie finie,∆ ={x₀, x₁, ...x_n} de [a, b] telle quea=x0 < x1 < x2< ... < xn−1 < xn=b.

◦ On note Ik= [xk, xk+1]un intervalle de la subdivision et lk=xk+1−xk sa longueur.

◦ Le nombre Π_∆= max

06k6n−1l_k est dit pas de la subdivision.

Exemple 1.2. La subdivision équidistante d’ordrenest la subdivision obtenue en découpant l’intervalle [a, b]en nintervalle de même longeur : xk=a+kb−a

n aveck= 0, ..., n,lk= b−a

n et Π_∆= b−a n Définition 1.3. Soit ∆ = {x₀, x₁, ..., x_n} une subdivision de [a, b]. Pour chaque k∈ {0,1, ..., n−1}

soit t_k ∈[x_k, x_k+1]. On pose RS_∆(f) =

n−1

X

k=0

(x_k+1−x_k)f(t_k) et on l’appelle la somme de Riemann de f associé à∆ et aux points{t₀, t₁, ..., tn−1}

Théorème 1.4. Soit f : [a, b]→Rune fonction continue. Alors, lorsque le pas de la subdivision tend vers 0, la somme de Riemann RS_∆(f) tend vers une limite finie, cette limite est noté par

Z b a

f(x)dx et est appelée l’intégrale de f sur [a, b]

Remarque 1.5. Géométriquement, les sommes de Riemann peuvent être vues comme une valeur approchée de l’intégrale def par la méthode des rectangles. Le théorème 1.4 explicite qu’elles approchent effectivement l’intégrale de f.

Précisément, l’écart entre ^R_a^bf(t)dt et RS_∆(f) peut être majoré par une quantité ne dépendant que du pas de la subdivision, quantité qui tend vers 0 lorsque le pas tend vers 0.

Le plus souvent, ce théorème est appliquée lorsque la subdivision est régulière, et lorsque les t_k sont égaux àx_i ou xi−1. On a donc le résultat suivant :

Proposition 1.6. Soitf : [a, b]→R une fonction continue. Alors, 1. lim

n→+∞

1 n

n−1

X

k=0

f(a+kb−a

n ) = 1 b−a

Z b a

f(x)dx

2. lim

n→+∞

1 n

n

X

k=1

f(a+kb−a

n ) = 1 b−a

Z b a

f(x)dx

5

6 CHAPITRE 1. INTÉGRALES SIMPLES ET PRIMITIVES Preuve. Il suffit de prendre la subdivision équidistante, x_k=a+kb−a

n . 1) b−a

n

n−1

X

k=0

f(a+kb−a n ) =

n−1

X

k=0

b−a

n f(x_k) =

n−1

X

k=0

(x_k+1−x_k)f(x_k) =RS_∆(f)→_n→+∞

Z b a

f(x)dx Donc lim

n→+∞

1 n

n−1

X

k=0

f(a+kb−a

n ) = 1 b−a

Z b a

f(x)dx.

2) Même preuve.

Corollaire 1.7. Si f est continue sur [0,1] alors

n→+∞lim 1 n

n−1

X

k=0

f(k n) =

Z ₁

0

f(x)dx et

n→+∞lim 1 n

n

X

k=1

f(k n) =

Z ₁

0

f(x)dx

Exemple 1.8. Soit un= 1

n+ 1+ 1

n+ 2+...+ 1

n+n, calculer lim

n→+∞un. u_n=

n

X

k=1

1 n+k =

n

X

k=1

1

n(1 + ^k_n) = 1 n

n

X

k=1

1 1 +^k_n Soit f(x) = 1

1 +x on a :un= 1 n

n

X

k=1

f(k n)

n→+∞lim u_n= Z 1

0

f(x)dx= Z 1

0

1

1 +xdx= [log(1 +x)]¹₀= log(2)

1.2 Propriétés de l’intégrales

Proposition 1.9. Soitc∈]a, b[etf une fonction continue sur[a, b], alors on a la relation de Chasles : Z b

a

f(x)dx= Z c

a

f(x)dx+ Z b

c

f(x)dx

Proposition 1.10. Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b], alors on a : 1.

Z b a

(f +g)(x)dx= Z b

a

f(x)dx+ Z b

a

g(x)dx.

2. Pour tout λréel, Z b

a

λf(x)dx=λ Z b

a

f(x)dx.

3. Si f >0 sur [a, b] alors Z b

a

f(x)dx>0 4. Si f 6g sur [a, b]alors

Z b a

f(x)dx6 Z b

a

g(x)dx Preuve. 1) et 2)- On a

b−a n

n−1

X

k=0

(f+g)(x_k) = b−a n

n−1

X

k=0

f(x_k) +b−a n

n−1

X

k=0

g(x_k)

et b−a n

n−1

X

k=0

(λf)(xk) =λb−a n

n−1

X

k=0

f(xk) et par passage à la limite on a le résultat.

3) Si f >0 alors b−a n

n−1

X

k=0

f(x_k)>0 et par passage à la limite on a le résultat.

4) Si g−f >0 sur [a, b]alors Z b

a

(g−f)(x)dx>0, et par conséquent Z b

a

f(x)dx6 Z b

a

g(x)dx

1.3. PRIMITIVES 7 Convention :

1. Sif est définie au point aalors Z a

a

f(x)dx= 0 2. Sia > b et si f est continue sur [b, a] alors

Z b a

f(x)dx=− Z a

b

f(x)dx Corollaire 1.11. Si f est continue sur[a, b], on a : |

Z b a

f(x)dx|6 Z b

a

|f(x)|dx.

Preuve. On a −|f(x)|6f(x)6|f(x)|donc

− Z b

a

|f(x)|dx6 Z b

a

f(x)dx6 Z b

a

|f(x)|dx

D’où| Z b

a

f(x)dx|6 Z b

a

|f(x)|dx.

Proposition 1.12. (1^er Formule de la moyenne)

Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b]. On suppose que g garde un signe constant sur [a, b], alors il existe c∈[a, b]tel que

Z b a

f(x)g(x)dx=f(c) Z b

a

g(x)dx Preuve. Supposons que g est positive sur [a, b] et soient m = inf

[a,b]f et M = sup

[a,b]

f, on a ∀x ∈ [a, b]

m6f(x)6M, donc ∀x∈[a, b]

mg(x)6f(x)g(x)6M g(x) et par suite

m Z b

a

g(x)6 Z b

a

f(x)g(x)dx6M Z b

a

g(x)dx Si

Z b a

g(x)dx= 0 alors Z b

a

f(x)g(x)dx= 0 et l’égalité est vérifiée pour tout c∈[a, b].

Si Z b

a

g(x)dx6= 0 alors Z b

a

g(x)dx >0 etm6 Z b

a

f(x)g(x)dx Z b

a

g(x)dx

6M

Comme f est continue sur [a, b], f atteint ses bornes, il existe donc c₁ ∈[a, b] et d₁ ∈[a, b] tels que m=f(c1) et M =f(d1) et d’après le T.V.I, il existe c∈[a, b] tel que

Z b a

f(x)g(x)dx Z b

a

g(x)dx

=f(c), ce qui

implique que Z b

a

f(x)g(x)dx=f(c) Z b

a

g(x)dx

Corollaire 1.13. Soit f une fonction continue sur [a, b] alors il existe c∈[a, b] tel que Z b

a

f(x)dx= (b−a)f(c)

Preuve. On applique la proposition 1.12 à la fonction g≡1 sur [a, b].

1.3 Primitives

Soit I un intervalle deRetf :I −→R.

8 CHAPITRE 1. INTÉGRALES SIMPLES ET PRIMITIVES Définition 1.14. Une fonctionF :I −→Rest une primitive de f sur I si : F est dérivable sur I et

∀x∈I :F⁰(x) =f(x).

Proposition 1.15. Soit I un intervalle de R. Si F est une primitive de f sur I alors : 1. F+K, avec K∈R, est une primitive def sur I.

2. Toute primitive G de f sur I est de la forme G=F +K, avec K ∈R. Une primitive de f est appelée intégrale indéfinie de f et est notée

Z

f(x) =F+K.

Preuve. 1) (F(x) +K)⁰ =F⁰(x) =f(x) donc F+K est une primitive def.

2) Soit Gune primitive de f sur I. Soit a∈I et x∈I, par le T.A.F appliqué à la fonction G−F sur l’intervalle fermé d’éxtrémitésaet x, il existec compris strictement entreaet xtel que (G−F)(x)− (G−F)(a) = (x−a)(G−F)⁰(c)

Donc G(x)−F(x)−G(a) +F(a) = (x−a)(G⁰(c)−F⁰(c)) = 0 D’oùG(x) =F(x) +G(a)−F(a) =F(x) +K.

Théorème 1.16. Si f est continue sur I et a ∈ I, alors la fonction F définie sur I par F(x) = Z x

a

f(t)dt est une primitive de f sur I

Preuve. Soient x∈I et h∈R telle quex+h∈I, on a : F(x+h)−F(x) =

Z x+h a

f(t)dt− Z x

a

f(t)dt

= Z x

a

f(t)dt+ Z x+h

x

f(t)dt− Z x

a

f(t)dt

=

Z x+h x

f(t)dt

f étant continue sur l’intervalle d’éxtrémités x etx+h, d’après la formule de la moyenne il existe c_h compris entre x et x+h, tel que

F(x+h)−F(x) = Z x+h

x

f(t)dt= (x+h−x)f(c_h) =hf(c_h) Puisque f est continue, nous avons

h→0lim

F(x+h)−F(x)

h = lim

h→0f(c_h) =f(x) D’oùF⁰(x) =f(x)

Proposition 1.17. Soit f une fonction continue sur I. 1. Pour toute primitive G de f sur I, on a :

Z x a

f(x)dx=G(x)−G(a) 2. F(x) =

Z x a

f(x)dx est la seule primitive de f qui s’annule au pointa.

Preuve. 1) D’après la proposition 1.15, on a G(x) = F(x) +K donc G(x) = Z x

a

f(x)dx+K d’où G(a) =

Z a a

f(x)dx+K = K donc G(x) = Z x

a

f(x)dx+G(a) ce qui implique que Z x

a

f(x)dx =

1.3. PRIMITIVES 9 G(x)−G(a).

2) On a F(a) = a. Réciproquement, si G est une primitive tel que G(a) = 0 alors Z x

a

f(x)dx = G(x)−G(a) =G(x) d’oùG(x) =

Z x a

f(x)dx.

Corollaire 1.18. Soientf une fonction continue sur[a, b]etuetvdeux fonctions dérivables à valeurs dans [a, b]. Alors si F(x) =

Z v(x) u(x)

f(t)dt on a F⁰(x) =v⁰(x)f(v(x))−u⁰(x)f(u(x)).

Preuve. Posons G(x) = Z x

a

f(t)dt F(x) =

Z v(x) u(x)

f(t)dt = Z a

u(x)

f(t)dt+ Z v(x)

a

f(t)dt

=

Z v(x) a

f(t)dt− Z u(x)

a

f(t)dt

= G(v(x))−G(u(x)).

D’où

F⁰(x) = v⁰(x)G⁰(v(x))−u⁰(x)G⁰(u(x))

= v⁰(x)f(v(x))−u⁰(x)f(u(x)) Exemple 1.19. Calculer la dérivé de h(x) =

Z 2x⁵

−x² e^sin(t)dt On a : h⁰(x) = 2xe^sin(−x2)+ 10x⁴e^sin(2x5)

Primitives des fonctions usuelles Z

x^αdx= x^α+1

α+ 1+K pour α∈R\ {−1}

Z 1

xdx= log|x|+K Z

cos(x)dx= sin(x) +K Z

sin(x)dx=−cos(x) +K Z dx

cos²(x) = tan(x) +K Z −dx

sin²(x) =cotant(x) +K Z

e^xdx=e^x+K Z

chx dx=shx+K Z

shxdx=chx+K Z

ln(x)dx=xln(x)−x+K

10 CHAPITRE 1. INTÉGRALES SIMPLES ET PRIMITIVES Z dx

1 +x² = arctanx+K Z dx

√1−x² = arcsinx+K Z dx

√

1 +x² =argshx+K= log(x+^p1 +x²) +K Z dx

√

x²−1 =argchx+K = log(x+^px²−1) +K

Théorème 1.20. Soit I un intervalle de I. Si f et g ont des primitives sur I alors f +λg admet aussi une primitive sur I et on a :

Z

f +λg = Z

f+λ Z

g Théorème 1.21. (Intégration par parties)

Soient f et g deux fonctions de classe C¹ sur [a, b], on a alors : 1.

Z

f⁰(x)g(x)dx=f(x)g(x)− Z

f(x)g⁰(x)dx 2.

Z b a

f⁰(x)g(x)dx=f(b)g(b)−f(a)g(a)− Z b

a

f(x)g⁰(x)dx

Preuve. Il suffit de remarquer que (f g)⁰(x) =f⁰(x)g(x) +f(x)g⁰(x).

Exemple 1.22. 1) Calculer Z

x²e^xdx

On pose f(x) =e^x etg(x) =x² donc f⁰(x) =e^x etg⁰(x) = 2x Z

x²e^xdx=f(x)g⁰(x)− Z

f(x)g⁰(x)dx=x²e^x− Z

2xe^xdx On pose f(x) =e^x etg(x) = 2x donc f⁰(x) =e^x et g⁰(x) = 2 Z

x²e^xdx=f(x)g⁰(x)− Z

f(x)g⁰(x)dx= 2xe^x− Z

2e^xdx Donc

Z

x²e^xdx= 2xe^x−2e^x+K, d’où Z

x²e^xdx=x²e^x−2xe^x+ 2e^x+K = (x²−2x+ 2)e^x+K 2) Calculer

Z

sin(x)e^xdx

On pose f(x) = sin(x),g(x) =e^x f⁰(x) = cos(x), g⁰(x) =e^x

Z

sin(x)e^xdx = e^xsin(x)− Z

cos(x)e^xdx

= e^xsin(x)−(e^xcos(x) + Z

e^xsin(x)dx)

= e^xsin(x)−e^xcos(x)− Z

sin(x)e^xdx Donc 2

Z

sin(x)e^xdx=e^xsin(x)−e^xcos(x) D’où

Z

sin(x)e^xdx= 1

2(sin(x)−cos(x))e^x+K Remarque 1.23. Pour calculer

Z

P(x) cos(βx), Z

P(x) sin(βx) ou Z

P(x)e^αx avec P un polynôme à coefficient réels, on fait des intégration par parties pour diminuer le degré du polynômeP jusqu’à sa disparition( comme l’exemple 1.22 1)

1.3. PRIMITIVES 11 Théorème 1.24. (Changement de variables) Soientf : [a, b]−→Rcontinue et ϕ: [α, β]−→[a, b]de classe C¹ alors

Z β α

f(ϕ(t))ϕ⁰(t)dt= Z ϕ(β)

ϕ(α)

f(x)dx

Preuve. Soit F une primitive de f sur [a, b], soit G(t) =F(ϕ(t))pour t∈[α, β].

On a : G⁰(t) =ϕ⁰(t)F⁰(ϕ(t)) =ϕ⁰(t)f(ϕ(t)) donc Z β

α

f(ϕ(t))ϕ⁰(t)dt = Z β

α

G⁰(t)dt=G(β)−G(α)

= F(ϕ(β))−F(ϕ(α))

=

Z ϕ(β) ϕ(α)

f(x)dx

Remarque 1.25. Dans la pratique, il suffit d’écrire x=ϕ(t) et dx=ϕ⁰(t)dt.

Si t=α alors x=ϕ(α) Si t=β alors x=ϕ(β) Z β

α

f(ϕ(x))ϕ⁰(t)dt= Z ϕ(β)

ϕ(α)

f(x)dx.

Exemple 1.26. 1) Calculer Z 1

0

e^t 1 +e^2tdt On pose x=e^t, on adx=e^tdt.

t= 0 alors x= 1 t= 1 alors x=e Z 1

0

e^t

1 +e^2tdt= Z e

1

1

1 +x²dx= [arctan(x)]^e₁ = arctan(e)−arctan(1) 2) Calculer

Z ^π

2

0

sin³(t)dt I =

Z ^π

2

0

sin³(t)dt= Z ^π

2

0

sin²(t) sin(t)dt

I = Z ^π₂

0

sin³(t)dt = Z ^π₂

0

sin²(t) sin(t)dt

= Z ^π

2

0

(1−cos²(t)) sin(t)dt On pose x= cos(t), dx=−sin(t)dt

I =− Z 0

1

(1−x²)dx= Z 1

0

(1−x²)dx= [x−x³

3 ]¹₀= 1−1 3 = 2

3 Exemple 1.27. 1) Calculer

Z ^π

2

0

cos²(t) sin(t)dt.

On pose x= cos(t), dx=−sin(t).

Z ^π

2

0

cos²(t) sin(t)dt=− Z 0

1

x²dx= Z 1

0

x²dx= [x³ 3 ]¹₀= 1

3. 2) Calculer

Z

0

π

2cos⁵(t)dt.

Z ^π

2

0

cos⁵(t)dt= Z ^π

2

0

cos⁵(t).cos(t)dt= Z ^π

2

0

(1−sin²(t))²cosdt.

On pose x= sin(t),dx= cos(t)dt.

Z ^π

2

0

cos⁵(t)dt = Z 0

1

(1−x²)²dx= Z 1

0

(1 +x⁴−2x²)dx

= [x+x⁵ 5 −2x³

3 ]¹₀ = 1 +1 5− 2

3 = 8 15

12 CHAPITRE 1. INTÉGRALES SIMPLES ET PRIMITIVES

1.4 Primitives des fonctions rationnelles, Primitives de fonctions rationnelles de certaines fonctions usuelles.

1.4.1 Primitives de fonctions rationnelles

Une fonction rationnelles est de la forme F(x) = ^P_Q(x)^(x), où P et Qsont deux polynômes à coefficients dansR.

On sait que toute fonction rationnelle se décompose comme suit : F(x) =Q2(x) +_Q^P1(x)

1(x), où deg(P1)< deg(Q1),Q1 unitaire etQ2(x)∈R[X]

On sait que Q₁(x) peut être mis sous la forme : Q₁(x) =

n

Y

i=1

(x−r_i)^ki

m

Y

j=1

(x²+p_jx+q_j)^hj avec p²_j −4q_j <0 et par suit la décomposition en éléments simples, on obtient :

F(x) =Q2(x) +

n

X

i=1

(

ki

X

α=1

cα,i

(x−r_i)^α) +

m

X

j=1

(

hi

X

β=1

aβ,jx+bβ,j

(x²+p_jx+q_j)^β) où leski, hj ∈N etcα,i, aβ,j, bβ,j, pj, qj ∈R, avecp²_j−4qj <0

Le calcul des primitives de fonctions rationnelles se ramène donc à celui des primitives de fonctions de la forme :

1.

Z

xⁿdx,n∈N. 2.

Z 1

(x−r)ⁿdx,r ∈R,n∈N^∗ 3.

Z ax+b

(x²+px+q)ⁿdx avec p²_j −4q_j <0 Nous avons donc,

1.

Z

xⁿdx= 1

n+ 1xⁿ⁺¹+c 2.

Z 1 (x−r)ⁿ =







log|x−r|+c; sin= 1 1

−n+ 1(x−r)⁻ⁿ⁺¹= 1

(1−n)(x−r)ⁿ⁻¹ +csi n >1.

3. Calcule de

Z ax+b

(x²+px+q)ⁿdx avec p²−4q <0, n∈N^∗ on a

Z ax+b

(x²+px+q)ⁿdx= a 2

Z 2x+p

(x²+px+q)ⁿdx+ (b−pa 2 )

Z 1

(x²+px+q)ⁿdx On a

Z 2x+p

(x²+px+q)ⁿdx=







log(x²+px+q) +c; sin= 1 1

(1−n)(x²+px+q)ⁿ⁻¹ +csi n >1.

Reste l’intégrale de la forme

Z 1

(x²+px+q)ⁿdx On a :

(x²+px+q)ⁿ= ((x+ p

2)²+4q−p²

4 )ⁿ= (4q−p²

4 )ⁿ(( 2x+p

p4q−p²)²+ 1)ⁿ On poseu= 2x+p

p4q−p²,du= 2

p4q−p²dx.