Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

−→ On cherche une solution particulière sous la forme yp =K(x)x² y⁰_p=K⁰(x)x²+ 2xK(x) y⁰_p= 2y

x +x²e^x ⇐⇒K⁰(x)x²+ 2xK(x) = 2K(x)x+x²e^x

⇐⇒K⁰(x)x² =x²e^x⇐⇒K⁰(x) =e^x⇐⇒K(x) =e^x Donc yp =x²e^x. La solution générale de (E) est y=Kx²+x²e^x, avec K∈R Proposition 3.6. (Superposition des solutions)

Soit l’équation

y⁰ =a(x)y+b(x) (E) avec b(x) =

n

X

k=1

b_k(x). Soient

y⁰ =a(x)y+b_k(x) (E_k) si y_k est une solution particulière de (E_k) alors y=

n

X

k=1

y_k est une solution particulière de (E).

Preuve.

y⁰ =

n

X

k=1

y_k⁰ =

n

X

k=1

(a(x)yk+bk(x)) =a(x)

n

X

k=1

yk+

n

X

k=1

bk(x)

= a(x)y+b(x)

3.2 Equations différentielles linéaires du second ordre à coefficients constants

Une équation différentielle linéaire du second ordre, à coefficients constants, est une équation de la forme :

ay⁰⁰+by⁰+cy=g(x) (E)

où a, b, c∈R,a6= 0 etg est une fonction continue sur un intervalleI. L’équation différentielle : ay⁰⁰+by⁰+cy = 0 (E₀)

est appelée l’équation sans second membre associée à (E).

−→ L’équationar²+br+c= 0 est appelé l’équation caractéristique de (E₀).

Soit ∆ =b²−4ac, le discriminant de l’équation caractéristique associée à (E0).

Résolution de L’ESSM.

Théorème 3.7. Soit l’ ESSM suivante ay⁰⁰+by⁰+cy = 0 (E0).

−→Si ∆>0, l’équation caractéristique possède deux racines réelles distinctes r₁ 6=r₂ et les solutions de (E0) sont les

y(x) =λe^r1x+µe^r2x où λ, µ∈R

−→ Si ∆ = 0, l’équation caractéristique possède une racine doubler₀ et les solutions de (E₀) sont les y(x) = (λ+µx)e^r0x où λ, µ∈R

28 CHAPITRE 3. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

−→ Si ∆<0, l’équation caractéristique possède deux racines complexes r₁ =α+iβ, r₂ =α−iβ et les solutions de (E0) sont y(x) =e^αx λcos(βx) +µsin(βx) où λ, µ∈R

Exemple 3.8. 1) Résoudre y⁰⁰−y⁰ −2y = 0. L’équation caractéristique est r² −r−2 = 0, ∆> 0, r₁ =−1, r₂= 2. D’où y(x) =λe^−x+µe^2x, λ, µ∈R

2) Résoudre y⁰⁰−4y⁰ + 4y = 0. L’équation caractéristique est r²−4r+ 4 = 0, ∆ = 0, r₀ = 2. D’où y(x) = (λx+µ)e^2x, λ, µ∈R.

3) Résoudre y⁰⁰−2y⁰+ 5y = 0. L’équation caractéristique est r²−2r+ 5 = 0, ∆ < 0, r1 = 1 + 2i, r₂ = 1−2i. D’où y(x) =e^x(λcos(2x) +µsin(2x)), λ, µ∈R

Résolution de L’équation complète (E)

(E) :ay⁰⁰+by⁰+cy=f(x)

Proposition 3.9. Pour tout x0 ∈I et (α, β)∈R², l’équation (E) admet une solution unique y telle que y(x₀) =α et y⁰(x₀) =β.

Remarque 3.10. (Principe de superposition des solutions)

Si f(x) est somme de plusieurs fonctionsf(x) =f1(x) +f2(x) +...+fn(x). On cherche une solution particulière z_i de chaque équation ay⁰⁰+by⁰+cy=f_i(x), et la fonctionz=z₁+z₂+....+z_n est une solution particulière de(E).

Théorème 3.11. Soit y1 une solution particulière de (E) définie sur I. Les solutions de (E) sont exactement les fonctions y₁+y où y est une solution de l’ESSM. C-à-d

y_(E)=y₁+y_(ESSM)

Preuve. On a, ay₁⁰⁰+by₁⁰ +cy1 = f(x),∀x ∈ I. z est une solution de (E) ⇐⇒ az⁰⁰+bz⁰ +cz = ay⁰⁰₁ +by₁⁰ +cy₁

⇐⇒ a(z−y1)⁰⁰+b(z−y1)⁰+c(z−y1) = 0

⇐⇒ z−y₁ =y est une solution de l’ESSM

⇐⇒ z=y1+y avec y est une solution de l’ESSM

La résolution de (E) se ramène donc à la détermination d’une solution particulière de (E).

−→ Cas général: S’il n’y a pas de solution particulière évidente, on fait la méthode de la variation de la constante :

Proposition 3.12. (Méthode de variation de la constante : Méthode de Lagrange)

On cherche une solution particulière sous la forme y=A(x)y₁+B(x)y₂ avec la condition de Lagrange A⁰(x)y₁+B⁰(x)y₂= 0

où y1 et y2 sont donnés par :







y₁=e^r1x et y₂=e^r2x si ∆>0; y₁=xe^rx et y₂ =e^rx si∆ = 0;

y1=e^αxcosβx et y2=e^αxsinβx si ∆<0.

A⁰(x) et B⁰(x) vérifiant le système ( A⁰(x)y₁+B⁰(x)y₂= 0;

A⁰(x)y₁⁰ +B⁰(x)y⁰₂= _a¹f(x). on trouve A⁰ et B⁰ et par intégration on trouve A et B.

3.2. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES DU SECOND ORDRE À COEFFICIENTS CONSTANTS29

−→ Cas particuliers

1) Cas où f(x) =e^λxP(x) avecλ∈RetP(x) un polynôme.

On cherche une solution particulière sous la forme : – y =e^λxQ(x), si λn’est pas racine de ar²+br+c= 0 – y =xe^λxQ(x), si λest une racine simple dear²+br+c= 0 – y =x²e^λxQ(x), si λest une racine double dear²+br+c= 0 avec Q(x) un polynôme tel qued^◦Q=d^◦P.

2) Cas où f(x) =P(x), oùP est un polynôme.

On applique le cas précédent avec λ= 0

– y =Q(x), si 0 n’est pas racine de ar²+br+c= 0 – y =xQ(x), si 0 est une racine simple de ar²+br+c= 0 – y =x²Q(x), si 0 est une racine double de ar²+br+c= 0 où Q(x) un polynôme tel que d^◦Q=d^◦P.

3) Cas où f(x) = e^αxP(x) cosβx ou bien f(x) = e^αxP(x) sinβx avec P(x) un polynôme, α ∈ R ,β∈R^∗

On cherche une solution particulière sous la forme :

– y =e^αx(P₁(x) cosβx+P₂(x) sinβx), si α+iβ n’est pas racine dear²+br+c= 0 – y =e^αx(xP1(x) cosβx+xP2(x) sinβx), si α+iβ est une racine de ar²+br+c= 0 avec P₁(x) et P₂(x) sont deux polynôme tels que d^◦P =d^◦P₁ =d^◦P₂.

Exemple 3.13. 1) Résoudre l’équation différentielle

y⁰⁰+ 4y⁰+ 4y=x+e^−2x (E)

−→ ESSM :y⁰⁰+ 4y⁰+ 4y= 0 l’équation caractéristique : r²+ 4r+ 4 = 0⇐⇒(r+ 2)² = 0 (∗)r =−2 La solution générale de L’ESSM est y= (Ax+B)e^−2x avec(A, B)∈R².

−→ Soient les équations :

y⁰⁰+ 4y⁰+ 4y=x (E₁) y⁰⁰+ 4y⁰+ 4y=e^−2x (E2)

Puisque0n’est pas racine de (*), on cherche une solution particulière de(E₁)sous la formey₁=ax+b On a : y⁰₁=aet y₁⁰⁰= 0

y₁⁰⁰+ 4y₁⁰ + 4y₁=x⇐⇒4a+ 4ax+ 4b=x⇐⇒

( 4a=1 ; 4a+4b=0.

⇐⇒ a= ¹₄ et b= ⁻¹₄ donc y₁= ^x−1₄ .

Puisque −2est une solution double de l’équation caractéristique, on chereche une solution particulière de (E₂) sous la formey₂ =αx²e^−2x

y₂⁰ = 2αxe^−2x−2αx²e^−2x, y⁰⁰₂ = 2αe^−2x−4αxe^−2x−4αxe^−2x+ 4αx²e^−2x.

y₂⁰⁰+ 4y₂⁰+ 4y₂ =e^−2x ⇐⇒e^−2x(2α−8αx+ 4αx²+ 8αx−8αx²+ 4αx²) =e^−2x ⇐⇒2αe^−2x=e^−2x ⇐⇒

2α= 1⇐⇒α= 1 2 y₂ = x²

2 e^−2x.

30 CHAPITRE 3. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES Donc une solution particulière de (E) esty_p =y₁+y₂ = ^x−1₄ +^x₂²e^−2x.

La solution générale de (E) est alors

y= (Ax+B)e^−2x+x−1 4 +x²

2 e^−2x avec (A, B)∈R²

2) Résoudre l’équation différentielle

y⁰⁰+ 3y⁰+ 2y= 1

1 +e^2x (E) L’ ESSM : y⁰⁰+ 3y⁰+ 2y = 0.

L’équation caractéristique : r²+ 3r+ 2 = 0 ⇐⇒r =−1 etr =−2. La solution générale de l’ESSM est

y=Ae^−x+Be^−2x, avec (A, B)∈R²

On cherche une solution particulière de (E) sous la forme y=A(x)e^−x+B(x)e^−2x avec la condition de Lagrange A⁰(x)e^−x+B⁰(x)e^−2x= 0 et A⁰(x) et B⁰(x) vérifient le système :







A⁰(x)e^−x+B⁰(x)e^−2x= 0 (1) ;

−A⁰(x)e^−x−2B⁰(x)e^−2x= 1

1 +e^2x (2).

(1) + (2)−→ −B⁰(x)e^−2x = 1

1 +e^2x =⇒B⁰(x) =− e^2x 1 +e^2x. B(x) =−

Z e^2x

1 +e^2xdx=−1

2log(1 +e^2x) 2×(1) + (2) implique A⁰(x)e^−x= 1

1 +e^2x =⇒A⁰(x) = e^x 1 +e^2x Posons t=e^x,dt=e^xdx. Donc A(x) =

Z e^x

1 +e^2xdx=

Z dt

1 +t² = arctan(t) = arctan(e^x) Une solution particulière est

yp = arctan(e^x)e^−x−1

2log(1 +e^2x)e^−2x La solution générale de (E) est

y=Ae^−x+Be^−2x+ arctan(e^x)e^−x−1

2log(1 +e^2x)e^−2x Exercice :Résoudre les équations différentielles suivantes :

y⁰⁰+y=x+e^xcos 2x y⁰⁰+y= 1

sin³x.

3.3 Exercices

Exercice 9. 1. Calculer Z √

x+ 1 x+ 2 dx.

2. Intégrer l’équation différentielle suivante :

(x+ 2)y⁰−y√

x+ 1 = 0.

Exercice 10. Intégrer l’équation suivante surR^∗ : xy⁰−y= −x

sin(^y_x)

3.3. EXERCICES 31 Exercice 11. On considère l’équation différentielle linéaire suivante :

(E) : (1 +x²)y⁰+x²y = 1 +x²arctan(x).

1. Vérifier quey₀ = arctan(x) est une solution particulière de (E).

2. Déduire la solution générale de (E).

Exercice 12. Résoudre les équations différentielles suivantes sur l’intervalleI : 1. y⁰+ 2y=x,I =R.

2. y⁰cos(x) +ysin(x) = 1,I =]−^π₂,^π₂[.

3. y⁰+ 2xy= 2xe^−x2,I =R. 4. xy⁰+ 2y= x

x²+ 1,I =R^∗.

Exercice 13. On considère l’équation différentielle

y⁰⁰+ 2y⁰+ 4y=xe^x. (E) 1. Déterminer les solutions de (E).

2. Déterminer les solutionsh de (E) qui vérifiant h(0) =h⁰(0) = 0.

3. Soit f :]0,+∞[−→Rdeux fois dérivable vérifiant

t²f⁰⁰(t) + 3tf⁰(t) + 4f(t) =tln(t) On poseg(x) =f(e^x).

– (a) Vérifier queg est solution de (E) – (b) En déduire l’expression def.

Exercice 14. Résoudre les équations différentielles suivantes : 1. y⁰⁰+y⁰−2y=xe^x+ cos(x).

2. y⁰⁰+ 2y⁰+y=ch(x).

3. y⁰⁰+y= tan(x).

4. y⁰⁰+y= 1 sin³(x).

32 CHAPITRE 3. EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

CHAPITRE 4

Les Séries Numériques

Le but est de donner un sens précis à une somme infinie de termes.

4.1 Définitions et Propriétés

Soit un, n > 0, une suite réelle. On pose Sn = u₀+u₁+....+un =

n

X

k=0

u_k, la somme des premiers termes jusqu’a l’ordren.

Définition 4.1. On appelle série attachée à la suite un et on la note par ^Xun, la suite Sn définie par Sn=

n

X

k=0

uk.

un est appelé le terme général de la série.

La série associée àun est notée par^Xun ou bien paru0+u1+....+un+....

Définition 4.2. a) La série^Xu_nest dite convergente si la suiteS_na une limite finie quandn7→+∞.

Dans ce cas S = lim

n7→+∞Sn est appelée la somme de la série, on la note par S =

+∞

X

k=0

uk. On dit aussi que la série ^Pun converge et sa somme est S.

b) La série ^Xu_n est dite divergente si la suite S_n n’a pas de limite finie (c’est-à dire S_n n’a pas de limite, ou bien admet une limite infinie)

Exemple 4.3. 1) Soit la série de terme général u_n= 1

3ⁿ, n >0. On a : S_n= 1

3 + 1

3² +...+ 1 3ⁿ = 1

3

1−(¹₃)ⁿ 1−¹₃ . Sn= 1

2(1− 1

3ⁿ), donc lim

n7→+∞Sn= 1 2.

Donc la série ^P₃¹_n est convergente de somme 1 2.

2) Série harmonique. C’est la série dont le terme général est de la forme u_n = 1

n, où n∈N^∗. Cette série n’est pas convergente.

Définition 4.4. (Nature et Caractère)

Déterminer la nature ou le caractère d’une série c’est déterminer si elle est convergente ou divergente Définition 4.5. (Série déinie à partir d’un certain rang)

33

34 CHAPITRE 4. LES SÉRIES NUMÉRIQUES si et seulement si la suite Sn admet une limite finie.

Définition 4.6. Soit ^Xu_n une série qui converge, et soit S sa somme. On pose R_n = S−S_n où

Proposition 4.7. a) Si la série^Xun converge alors lim

n7→+∞un= 0.

b) La réciproque est fausse : La série harmonique^X1

n diverge malgré que lim

n7→+∞

2 ce qui est absurde.

Donc la série ^P1_n diverge. converge alors la série ^Xλun converge. Réciproquement, si la série ^Xλun converge alors la série Xλ⁻¹λu_n converge, c-à-d la série ^Xu_n converge. la série ^Pu_n converge ⇐⇒ la suiteS_n admet une limite finie ⇐⇒la suite a_n admet une limite finie.

Exemple 4.10. un= 1

4.2. SÉRIE À TERMES POSITIFS 35

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