Groupe paces Terminale S

Texte intégral

(1)Intro 1 : Étude du modèle discret. Séance 2. On note C0 la concentration initiale et Cn la concentration au bout de n minutes. On prend comme unité de temps la minute et pour unité de concentration la concentration initiale . Ainsi C0 = 1. Groupe paces Terminale S. 1. Expliquer. pourquoi. l’hypothèse. de. dissolution. conduite. à. la. relation. :. Cn+1 − Cn = −k × Cn Où k est un nombre réel strictement positif On considère dans la suite que :. Activités d’introduction. 2. Exprimer Cn+1 en fonction de Cn Quelle est la nature de la suite Cn ?. 3. Exprimer Cn en fonction de n pour n ≥ 0. 4. Utiliser un tableur pour construire un graphique donnant la concentration du médicament dans le sang sur cinq heures . Vous disposez d’un tableur ici : https: // accueil. framacalc. org/ fr/ Vous pouvez aussi utiliser le tableur de geogebra : https: // www. geogebra. org/ classic# spreadsheet. 5. Demi-vie (a) Au bout de combien de minutes la concentration initiale aura-t-elle été divisée par 2 ?. Introduction Dans cette activité nous allons aborder une problématique concrète. Il s’agit d’étudier la diffusion d’un médicament dans le sang. Deux approches vont être utilisées. n Étudier la concentration du médicament dans le sang toutes les minutes . On dit que l’on utilise un modèle discret. k = 0, 034. n Étudier la concentration du médicament dans le sang à chaque instant . On dit que l’on utilise un modèle continu. (b) Quelle est la concentration au bout de 30 minutes ? Au bout de combien de minutes cette concentration aura-t-elle été divisée par 2? (c) Tester cette conjecture sur d’autre durées. La problématique. (d) Exprimer Cn+20 en fonction de Cn . Justifier le résultat observé précédemment. On administre à un patient un médicament par une injection intraveineuse ( de courte durée). La concentration du médicament dans le sang est immédiatement maximale, puis elle diminue en fonction du temps. Une étude expérimentale permet de faire l’hypothèse suivante : La diminution de la concentration entre deux instants t0 et t1 est proportionnelle à la fois à la durée t1 − t0 et à la concentration à l’instant t0 .. Intro 2 : Étude du modèle continu On note f(t) la concentration du médicament dans le sang à l’instant t , On a en particulier : f(0) = 1 1. Expliquer pourquoi l’hypothèse de dissolution conduite à la relation :. f(t + h) − f(t) = −k × h × f(t) Où k est un nombre réel strictement positif 1. t ∈ [0; +∞[.

(2) 2. On déduit donc que pour h non nul :. On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les évènements suivants : Sn : « l’individu est de type S en semaine n » ; Mn : « l’individu est malade en semaine n » ; In : « l’individu est immunisé en semaine n ».. f(t + h) − f(t) = −k × f(t) h. On fait alors tendre h vers 0 et on passe à la limite dans l’égalité précédente On obtient alors : ············ On dit que f est solution de l’équation différentielle 0. y =k×y. 3 4. En semaine 0, tous les individus sont considérés « de type S », on a donc les probabilités suivantes :. y(0) = 1. k = 0, 034. P (S0 ) = 1 ; P (M0 ) = 0 et P (I0 ) = 0.. (a) Nous disposons, dans le catalogue de fonction dont on dispose en terminale, de solutions possibles à cette équation différentielle .. Partie A. On considère dans la suite que :. On étudie l’évolution de l’épidémie au cours des semaines 1 et 2.. (b) Citer une fonction qui pourrait convenir (c) Construire sur le graphique de l’exercice précédent précédent la représentation graphique de la fonction f. 1. Compléter l’arbre de probabilités donné ci-dessous :. 2. Montrer que P (I2 ) = 0,202 5.. 3. Sachant qu’un individu est immunisé en semaine 2, quelle est la probabilité, arrondie au millième, qu’il ait été malade en semaine 1 ?. Entraînement et apprentissage Exercice 3 : Propagation d’un virus On étudie un modèle de propagation d’un virus dans une population, semaine après semaine. Chaque individu de la population peut être, à l’exclusion de toute autre possibilité : n soit susceptible d’être atteint par le virus, on dira qu’il est « de type S » ; n soit malade (atteint par le virus) ; n soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus). Un individu est immunisé lorsqu’il a été vacciné, ou lorsqu’il a guéri après avoir été atteint par le virus. Pour tout entier naturel n, le modèle de propagation du virus est défini par les règles suivantes : n Parmi les individus de type S en semaine n, on observe qu’en semaine n + 1 : 85 % restent de type S, 5 % deviennent malades et 10 % deviennent immunisés n Parmi les individus malades en semaine n, on observe qu’en semaine n + 1 : 65 % restent malades, et 35 % sont guéris et deviennent immunisés. n Tout individu immunisé en semaine n reste immunisé en semaine n + 1. 2.

(3) PARTIE B. 4. Calculer les limites de chacune des suites (un ), (vn ) et (wn ).. On étudie à long terme l’évolution de la maladie. Pour tout entier naturel n, on : un = P (Sn ), vn = p (Mn ) et wn = P (In ) les probabilités respectives des évènements Sn , Mn et In . 1 Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : un + vn + wn = 1. On admet que la suite (vn ) est définie par vn+1 = 0, 65vn + 0, 05un . 2. À l’aide d’un tableur, on a calculé les premiers termes des suites (un ), (vn ) et (wn ).. 1 2 3 4 5 6 7 8 ... 20 21 22. A n 0 1 2 3 4 5 6 ... 18 19 20. B un 1 0,850 0 0,722 5 0,614 1 0,522 0 0,443 7 0,377 1 ... 0,053 6 0,045 6 0,038 8. C vn 0 0,050 0 0,075 0 0,084 9 0,085 9 0,081 9 0,075 4 ... 0,013 3 0,011 3 0,009 6. D wn 0 0,100 0 0,202 5 0,301 0 0,392 1 0,474 4 0,547 4 ... 0,933 0 0,943 1 0,951 6. Que peut-on en déduire quant à l’évolution de l’épidémie prévue à long terme par ce modèle ?. Pour répondre aux questions a. et b. suivantes, on utilisera la feuille de calcul reproduite ci-dessus. (a) Quelle formule, saisie dans la cellule C3, permet par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite (vn ) ? (b) On admet que les termes de (vn ) augmentent, puis diminuent à partir d’une certain rang N, appelé le « pic épidémique » : c’est l’indice de la semaine pendant laquelle la probabilité d’être malade pour un individu choisi au hasard est la plus grande. Déterminer la valeur du pic épidémique prévue par ce modèle. 3. (a) Justifier que, pour tout entier naturel n, on a : un+1 = 0, 85un . En déduire l’expression de un en fonction de n. (b) Montrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel n, vn =. 1 (0, 85n − 0, 65n ) . 4 3.

(4) Ce qui s’écrit aussi :    dS(t)      dt    dI(t)   dt      dR(t)    dt. Information : modèle continu de propagation d’un virus Source : http ://images.math.cnrs.fr/Modelisation-d-une-epidemie-partie-1.html Pour une population donnée, on étudie trois sous-populations au cours du temps t: n S(t) représente les personnes saines (susceptible en anglais) au temps t n I(t) représente les personnes infectées (infected) n R(t) représente les personnes retirées (removed) N = S(t) + I(t) + R(t) représente alors la population constante totale au cours du temps. Il convient de bien différencier les personnes saines des personnes retirées : les personnes saines n’ont pas encore été touchées par le virus, alors que les personnes retirées sont guéries, et donc immunisées. Autrement dit, les personnes retirées ne sont plus prises en compte. Par conséquent, le modèle SIR ne s’occupe pas directement de prédire la mortalité de l’épidémie, pour cela il faut un autre modèle : le modèle SEIR Le modèle SIR peut donc être représenté par le schéma suivant :. = =. −β × I(t) × S(t) β × I(t) × S(t) − γ timesI(t) .. =. γ timesI(t). Voici un line permettant de visualiser graphiquement les fonctions S , I et R avec différents paramètres de β et γ ( qui s’appelle λ dans cette simulation ! !) https://interstices.info/modeliser-la-propagation-dune-epidemie/. Exercice 4 : D’après Bac (Métropole - 2014) On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps. Le but de l’exercice est d’étudier pour différentes hypothèses, l’évolution de cette quantité minute par minute. 1. β représente le taux de transmission, c’est à dire le taux de personnes saines qui deviennent infectées et γ le taux de guérison, c’est à dire le taux de personnes infectées qui deviennent retirées Mathématiquement, le modèle SIR est donné par le système suivant :       S 0 (t) = −β × I(t) × S(t)      I 0 (t) =           R 0 (t) =. On effectue à l’instant 0 une injection de 10 ml de médicament. On estime que 20% du médicament est éliminé par minute. Pour tout entier naturel n, on note un la quantité de médicament, en ml, restant dans le sang au bout de n minutes. Ainsi u0 = 10. (a) Quelle est la nature de la suite (un ) ? (b) Pour tout entier naturel n, donner l’expression de un en fonction de n. (c) Au bout de combien de temps la quantité de médicament restant dans le sang devient-elle inférieure à 1% de la quantité initiale ? Justifier la réponse.. 2. β × I(t) × S(t) − γ timesI(t) γ timesI(t). Une machine effectue à l’instant 0 une injection de 10 ml de médicament. On estime que 20 % du médicament est éliminé par minute. Lorsque la quantité de médicament tombe en-dessous de 5 ml, la machine réinjecte 4 ml de produit. Au bout de 15 minutes, on arrête la machine. Pour tout entier naturel n, on note vn la quantité de médicament, en ml, restant dans le sang à la minute n. L’algorithme suivant donne la quantité restante de médicament minute par minute.. 4.

(5) (b) Pour tout entier naturel n, on pose zn = wn − 5.. Variables : n est un entier naturel v est un nombre réel Initialisation : Affecter à v la valeur 10 Traitement : Pour n allant de 1 à 15 Affecter à v la valeur 0,8*v Si v<5 alors affecter à v la valeur v+4 Afficher $v$ Fin de boucle. Démontrer que (zn ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. (c) En déduire l’expression de wn en fonction de n. (d) Quelle est la limite de la suite (wn ) ? Quelle interprétation peut-on en donner ?. (a) Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à 10−2 et pour n supérieur ou égal à 0, la quantité restante de médicament minute par minute obtenue avec l’algorithme. n vn n vn n vn. 0 10 6. 11 6,54. 1 8. 2 6,4. 3. 7 8,15. 8 6,52. 9 5,21. 12 5,23. 13 8,18. 4. 14 6,55. 5. 10 8,17 15 5,24. (b) Au bout de 15 minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l’organisme ? (c) On souhaite programmer la machine afin qu’elle injecte 2 ml de produit lorsque la quantité de médicament dans le sang est inférieure ou égale à 6 ml et qu’elle s’arrête au bout de 30 minutes. Recopier l’algorithme précédent en le modifiant pour qu’il affiche la quantité de médicament, en ml, restant dans le sang minute par minute avec ce nouveau protocole. 3. On programme la machine de façon que : n à l’instant 0, elle injecte 10 ml de médicament ; n toutes les minutes, elle injecte 1 ml de médicament. On estime que 20% du médicament présent dans le sang est éliminé par minute. Pour tout entier naturel n, on note wn la quantité de médicament, en ml, présente dans le sang du patient au bout de n minutes. (a) Justifier que pour tout entier naturel n, wn+1 = 0,8wn + 1. 5.

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