1- Calculer le PGCD des nombres 360 et 504 par la méthode de l’algorithme d’Euclide.

(1)

Calculatrice autorisée EXERCICE 1 : 3 points

Répondre par vrai ou faux sans justifier ta réponse a chacune des propositions suivantes

EXERCICE 2 : 2,5 points

1- Calculer le PGCD des nombres 360 et 504 par la méthode de l’algorithme d’Euclide.

2- En déduire l’écriture de la fraction 504

360 sous forme irréductible.

3-Écrire la fraction 504

360 avec un dénominateur égal à 1001.

EXERCICE 3 : 2,5 points

On considère les trois nombres réels A, B et C suivantes :

5 1 2

3 7 3 A 5





 ; B  45  7 5  2 20 ;

₂₃

12 5

10 42

10 21 , 0 10 C 7



 

^

1-montrer que A  0 et B  0

2-Donner l'écriture scientifique de C EXERCICE 4 : 5 points

soit les deux réels X et Y tels que : X  3 7  28  63 ;

6 3

18 )

3 Y  (

_^₃⁴



1- montrer que X  2 7 et Y  3 3 . en déduire que X  Y

2- calculer X

^²

 Y

²

3-

a- montrer que  X  Y  et l’inverse de ( X  Y )

b- en déduire 2 7 3 3

3 3 7 2

3 3 7

2  





4- a-soit a et b deux réels tels que ab. développer l’expression ( a  b )( 2 7  3 3 ) b- en déduire que 2 7 a  3 3 b  2 7 b  3 3 a

1- soient a , b et c trois entiers naturels. si PGCD ( a , b )  PGCD ( a , c ) , alors b  c 2- 0 , 004  25  10

^²³

 10

^²⁴

3- 0 , 0001  10

^⁵

 0 , 4  2  10

^⁵

4-dans la figure si contre , ABC est un triangle rectangle en A

DEVOIR DE SYNTHESE DE MATHEMATIQUES N°1

 CLASSE :1

^ERE

ANNEE SECONDAIRE ^

SECTION : 1

^ERE

S1+2+3+4

DUREE : 1HEURE 30 MINUTES

LYCEE OUED ELLIL ANNEE SCOLAIRE :2011-2012



Prof : bellassoued mohamed

(2)

EXERCICE 5 : 7 points

N.B: Pour les calculs de trigonométrie, utilisez les valeurs exactes du tableau.

L’unité des mesures des longueurs est le centimètre et celle des angles est le degré Dans la figure 1 si dessous on a :

. EFG est un triangle rectangle en E tel que : EF  6 ; EG  2 3 .

. ABC est un triangle rectangle en B. L milieu de   AC et B A ˆ C  30 

. les points E , F , B et C sont alignés et BF  9

. les points A , F , K et G sont alignés et GK  3 1) Montrer que FG  4 3

2) a-montrer que E G ˆ F  60 

b- vérifier que les droites (AB)et(EG) sont parallèles c- en déduire que le triangle ACF est rectangle en A 3) a-montrer que

FG FA FE FB 

b- en déduire que FA  6 3 et AB  3 3 4) a-montrer que BC  3

b-en deduire que AC  6

5) montrer que les droites (AC)et(EK) sont parallèles

6) en déduire que le quadrilatère ALKE est un parallélogramme

Figure 1



Question bonus : 2 points X recopier la figure si contre puis construire un point M de la demi droite

 AX  et un point N de la demi droite  AY  tels-que O , M et N sont alignés et OM  2 ON

expliquer la méthode de construction Y



















90 G Eˆ F

; 90 C Bˆ A

; 30 C A ˆ B

3 KG

; 9 BF

; 3 2 EG

;

6 EF

(3)

EXERCICE 1 :

Les deux angles A Bˆ C et A Eˆ C sont inscrits dans le même cercle donc sont égaux A Bˆ C  A Eˆ C  50  et par suite B A ˆ C  180  ( 38  50 )  180  88  92  Donc le triangle ABC n’est pas rectangle en A

EXERCICE 2 :

1-

0 72 2 144

72 144 2 360

144 360 1 504



















donc PGCD(360 ,504)=72

2- On divise le numérateur et le dénominateur par leurs PGCD on obtient ₅₀₄ ³⁶⁰ _: ^: ₇₂ ⁷² ^ ₇ ⁵

3- 1001

715 143

7 143 5 7 5 504

360 



 

 donc ₅₀₄ ³⁶⁰ ^ ₁₀₀₁ ⁷¹⁵

EXERCICE 3 :

1- ⁰

3 5 3 5 7 5 3 7 3 5 5 7 3 7 3 5 5 2 5 5 3

7 3 5 5 1 2

3 7 3

A 5        











 donc A  0

B 45 7 5 2 20 9 5 7 5 2 4 5 3 5 7 5 4 5 4 5 4 5 0

5 4 5

4 5

3







































 





 



 donc B  0

2-

¹⁸

10

23 12 2 5

5 , 3 23

12 2 5

23 12

5

10 10 10 10 3 , 510

42 21 7 10

42 10 10 21 10 7 10

42 10 21 , 0 10 C 7

) 23 12 2 5 (



 



     

 



 



 







    



 

 



 Donc l’écriture scientifique de C est : ^C ^ ³ ^, ⁵¹⁰

^¹⁸

1- soient a , b et c trois entiers naturels. si PGCD ( a , b )  PGCD ( a , c ) , alors b  c : ^FAUX

JUSTIFICATION:

( 4 , 12 ) 4 PGCD

) 8 , 4 (

PGCD   mais 8  12

2- 0 , 004  25  10

^²³

 10

^²⁴

: ^VRAI JUSTIFICATION:

⁰ ^, ⁰⁰⁴ ^ ²⁵ ^ ¹⁰

^²³

^ ⁴ ^ ¹⁰

^³

^ ²⁵ ^ ¹⁰

^²³

^ ¹⁰⁰ ^ ¹⁰

^²⁶

^ ¹⁰

²

^ ¹⁰

^²⁶

^ ¹⁰

^²⁴

3- 0 , 0001  10

^⁵

 0 , 4  2  10

^⁵

: ^VRAI

JUSTIFICATION:

0 , 0001  10

^⁵

 0 , 4  10

^⁴

 10

^⁵

 4  10

^¹

 4  10

^¹⁰

 4  10

^¹⁰

 2  10

^⁵

4-dans la figure si contre , ABC est un triangle rectangle en A: ^FAUX JUSTIFICATION:

CORRECTION DU DEVOIR DE SYNTHESE N°1 DE MATHEMATIQUES

CLASSE :1

^IEME

ANNEE SECONDAIRES1+2+3+4



LYCEE OUED ELLIL

 

ANNEE SCOLAIRE :2011-2012

Prof : bellassoued mohamed

(4)

EXERCICE 4 : 1-

7 2 7 3 7 5 7 3 7 2 7 3 7 9 7 4 7 3 63 28 7

3 X

7 5



























    ;donc ^X ^ ³ ⁷

  ₃ ₃ ₃ ₃ ₃

3 3 3 6

3 3 6 )

3 ( 6 3

18 )

3 Y (

31

3 2 3

2 3

2 2 3

4

     



 



 

_ ^ _ ^







 ; donc ^Y ^ ³ ³

  ² ⁷ ²⁸

X

²



²

 ; ^Y

²

^   ³ ³

²

^ ²⁷ . X

²

 Y

²

, et puisque X et Y sont positifs alors X  Y

2- 28

27 X Y Y

X

^²



²



₂²

 donc

28 Y 27 X

^²



²



3- a- ( X  Y )  ( X  Y )  X

²

 Y

²

 28  27  1 ; donc ( X  Y ) est l’inverse de ( X  Y ) :

Y X Y 1 X   

b- ( X Y ) ( X Y ) ( X Y ) ( X Y )

) Y X ( ) 1 Y X Y (

X Y X 3 3 7 2

3 3 7

2      

2

 

 



 

 





et puisque X  Y , alors X  Y  0 et par suite ( X  Y )  X  Y , enfin ² ⁷ ³ ³ 3

3 7 2

3 3 7

2  





4- a- a et b deux réels tels-que ab

b 3 3 b 7 2 a 3 3 a 7 2 ) 3 3 7 2 )(

b a

(      

b- on compare par la différence

 ² ⁷ â ^ ³ ³ ^b   ^ ³ ³ â ^ ² ⁷ ^b  ^ ² ⁷ â ^ ³ ³ ^b ^ ³ ³ â ^ ² ⁷ ^b ^ ⁽ â ^ ^b ⁾⁽ ² ⁷ ^ ³ ³ ⁾

ab donc a  b 0 , 2 7  3 3 donc 2 7  3 3 0 et par suite ( a  b )( 2 7  3 3 ) 0 donc  2 7 a  3 b    3 3 a  2 7 b  0 ce qui donne 2 7 a  3 b  3 3 a  2 7 b

question bonus : ETAPES DE CONSTRUCTIONS DES POINTS M ET N

1

^ERE

etape 2

^ieme

etape 3

^ieme

etape

1

^ERE

étape : On trace la demi- droite  AO  et on place sur celle-ci deux points I et J telles que OA  OI  IJ 2

^ieme

étape : On trace la droite  passant par J et parallèle a (AY) .  coupe demi- droite  AX  en un point M 3

^ieme

étape : On trace la droite (OM) . celle-ci coupe   AY en un point N qui vérifie OM=2ON .en faite on appliquant le théorème de Thalès sur le triangle OMJ on aura 2

OI OJ ON

OM   donc OM  2 ON

(5)

EXERCICE 5 :

1) Le triangle EFG est rectangle en E , d’après le théorème de Pythagore on a

FG

²

 EF

²

 EG

²

signifie FG

²

 6

²

 ( 2 3 )

²

signifie FG

²

 36  12  48 signifie FG

²

 48 donc FG  4 3

2) a- Le triangle EFG est rectangle en E ,donc

2 1 3 4

3 2 GF GE e hypothenus

adjacent F

G ˆ E

cos    

et d’après le tableau ( ou le calculatrice ) on déduit que E G ˆ F  60 

b- les deux droites (AB)et(EG) sont perpendiculaires a la même droite (CE) donc elles sont parallèles : )

CE ( ) EG

(  et ( AB )  ( CE ) donc (AB) //(EG)

c- les deux angles E G ˆ F et B Aˆ F sont alternes internes formés par deux droites parallèles

(AB) et(EG) coupés par la sécante (AG) donc sont égaux E G ˆ F  B Aˆ F , et puisque E G ˆ F  60  alors



 60 F A ˆ

B et par suite C Aˆ F  C Aˆ B  B Aˆ F  30   60   90  donc le triangle ACF et rectangle en A.

3) a- les deux droites (AB)et(EG) sont parallèles . F  ( BE ) et F ( AG ) on appliquant le théorème de Thalès dans le triangle ABF , on aura 

EG AB FG FA FE

FB  

b- de  on a

3 2

AB 3

4 FA 6

9   signifie 6 3

6 3 36 6

9 3

FA  4    donc FA  6 3

de  on déduit que 3 3

6 3 18 6

9 3

AB  2    donc AB  3 3

4) a- Le triangle ABC est rectangle en B ,donc

3 3

BC AB BC adjacent

opposé C

Aˆ B

tan    ,d’autre part :

3 30 3 tan C A ˆ B

tan    , donc

3 3 3 3

BC  signifie 3

3 3 3

BC  3   donc BC  3 b-methode 1 : Le triangle ABC est rectangle en B , d’après le théorème de Pythagore on a :

2 2

2

BA BC

AC   signifie AC

²

 ( 3 3 )

²

 3

²

signifie AC

²

 27  9  36 signifie AC

²

 36

donc AC  36  6 AC  6

methode 2 : Le triangle ABC est rectangle en B ,donc

AC BC e hypothenus

opposé C

Aˆ B

sin  

d’autre part :

2 30 1 sin C A ˆ B

sin    donc

2 1 AC

3  signifie AC  3  2  6 donc AC  6

5) 2

1 12

6 FC

FE   ,

2 1 6 3 3 6

3 3 FA

FK    . On déduit que

FA FK FC FE 

les points A , F et K d’une part et les points C , F et E d’autre part sont alignés dans le même ordre donc d’après la réciproque de théorème de Thalès on déduit que les droites (AC) et (EK) sont parallèles 6) (AC) et (EK) sont parallèles .d’après le théorème de Thalès

AC EK FA FK FC

FE   donc

AC EK FC

FE  donc

6 EK 12

6 

Et par suite 3

12 6

EK  6   . D’autre part L  ( AC ) alors (AL) // (EK) . L milieu de   ^AC donc AL  3 Et par suite AL  EK et (AL) // (EK) ;

ainsi ALKE possède deux cotés opposés parallèles et égaux donc ALKE est un parallélogramme

1- Calculer le PGCD des nombres 360 et 504 par la méthode de l’algorithme d’Euclide.

Calculatrice autorisée EXERCICE 1 : 3 points

Répondre par vrai ou faux sans justifier ta réponse a chacune des propositions suivantes

EXERCICE 2 : 2,5 points