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Submitted on 1 Jan 1994
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Dynamique de la croissance de réseaux bi-dimensionnels
Dina Maria dos Santos-Loff, Richard Kerner
To cite this version:
Dina Maria dos Santos-Loff, Richard Kerner. Dynamique de la croissance de réseaux bi-dimensionnels.
Journal de Physique I, EDP Sciences, 1994, 4 (10), pp.1491-1511. �10.1051/jp1:1994203�. �jpa- 00247008�
J Ph_1'.i. / Fiant e 4 (1994) 1491-15 II OCTOBER 1994, PAGE 1491
Clas;ification Pfft ~it..~ Al?.;ii<i<.1.~
61.50E 61.55H 64.70
Dynamique de la croissance de réseaux bi-dimensionnels (*)
Dina Maria dos Santos-Loff(') and Richard Kerner (2)
(') Departamento de Matemàtica, Univer~idade de Coimbra. 3000 Coimbra~ Portugal.
(Ii Laboratoire GCR. Univer,ité Pierre et Marie Curie. CNRS-URA 76(). Tour 22-1?. Boîte 142.
4 place Ju~sieu. 751)1)5 Pari,. France.
(Reçu le 15 /éiiiei /994, 1.éii.ie h ?t) jmn 1994, a<.<epl<S le 4 jmlhi 1994).
Résumé. Le modèle de nucléation et de croissance cristalline ou amorphe, déjà utilisé pour la de~cription de, verre, cavalent, et de; fullerène~ (cf. Ref'~. ]3, 6]) e,t ~ippliLlué ici à la de,cription
~tatistique de germination et croiswnce de~ ~tructure~ bidimen,ionnelle~
a un nombre de
c(>t>itlii~iifin ,,iii:iblL~ le pin>ce,,ii, (le oit>i,,,rite L~,i Llé~ciit j?ti iii ,1,iémc ~léqu;tilt>n, différentielles non linémre, corre~pondant à évolution de~ probabilité, de différente, configura-
tion, élémentaire, au cour, de l~agglomération. Le; ,olution~ ,ingulière, ,ont interprétées comme
le~ point~ de convergence ou le~ ~t~itistique; préférée~ ver; lequelle, évolue le ~y,tème. Le~
hypothè~e, concernant de~ accotements élémentaire; étant trè, peu contraignantes, on rencontre parmi le~ wlution~ po,~ible, les coniïguration~ locale~ dont le~ caractén~tiLlue, ~t~iti;tique~
reprodui~ent ~i,sez bien celle, de, réseaux de Penro,e.
Abstract. A mortel of agglomeration and growth of cry~talline and amorphou~ ~ti ucture;, which ha, already been u;ed for the description of cavalent gla,,e, and fullerene~ (cf. Ref'~. [3, 6]1, is applied here ta the ~tatistical (le~cription of the mediuni-range order in the ;tructures whoee
siati,tic, of vortice, i, ;imilar te that encountered in Penrose iiling, in two dimen,ion,.
Solving the ,y~tem of non-line3r diiferenti~il eLluation, de~cribing the evolution of'prob~ibilitic,
of different element~iry conf'iguraiion~, we encounier ~ingular met~i,table wlution, who,e
,tari,tical ieature, are clo~e to tho~e characteri~tic of ihe Penrose tiling~.
1. Introduction.
La croissance d'un solide cri;tallin Ou amorphe par l'agglomération graduelle d°atomes Ou de
molécules de même type peut être décrite par 1association progressive de configurations
élémentaires (des anneaux d'atomes, par exemple) corre~pondant à deq minima de l'énergie potentielle entre les entités constitutives.
Le premier modèle que nous présentons ici concerne les éléments covalents ou métalliques
monoatomiques, où tous les atomes peuvent être considérés équivalents et le nombre de
coordination, constant. Leurs structures peuvent ainsi être assimilées à des réseaux cristallins
ou amorphes avec les vertex coincidant avec les positions moyennes des atomes, toujours
i Ce travail a été wutenu par JNICT (Li~boa, Portugal)
'()l'R~iL Dl Pllh~jt< T 4 ~ l« <Il T()SIR1')<4 ~i
entourés par le même nombre de premiers voisin;, et les arêtes avec les liaisons entre le~
atomes les plus proches.
Nous commençons donc par un modèle de croissance de réseaux cri;tallins et amorpheb et
cela, pour ;implifier, dan; le cas où, étant bi-dimensionnels et tri-coordonnés, ces réseaux ne contiennent que des pentagones, des hexagones et des heptagones.
Dans un article précédent il ], les réseaux bi-dimensionnels tri-coordonnés bont interprétés
comme des « trajectoires généralisées » dans un espace des phases convenablement choisi en
ce sens que chaque réseau est identifié à une application continue ~ de R2 dan; en~emble des
tripodes, qui associe à chacun des vertex du réseau le tripode correspondant. L'application
~ qui n'est pas nécessairement unique, doit ainsi sou;faire à une condition très restrictive : il faut que les tripode; qui correspondent aux vertex du réseau ;'a;socient toujourb de façon à
produire de; polygones.
Ainsi tout comme en Mécanique Classique la fonction t
- M(t donnant pour chaque inbtant t la po;ition M(t) de la particule, décrit le mouvement de M, de même ~ permet la construction du réseau en que;tion : prenant le vertex A pour point de départ, 1' nous donnera ;e; troi;
voi;ins A, (i =1, ?, 3) les plu~ proches; à partir de ceux-là, ~(Aj) ~(A~), ~(Ai)
déterminent les ;econds voi;ins de A (Fig. lbj et ainsi de ;uite.
Toutefoi;, poursuivant analogie mécanique précédente, il nous faut trouver une application qui jouera ici le même rôle que la vite;be d~tnb le cas du mouvement d'ufi point matériel, c ebt-
à-dire une l'iinction de la po;juan (de; tripodeb) et non néce;sairement du tempb (l~i pobition du
vertex dans le plan) qui permettra de déterminer la trajectoire (le réseau).
Or, la fonction V, qui associe à chaque tnpode le-s trois polj,gares qui entourent, peut bien
jouer ce rôle de «vitesse» (Fig. 2a), puisque si, pour chaque tripode (positionj, nous
connaissons la cellule élémentaire de son atome central, les tripodes (positions) des trot;
voisins les plus proches de ce point sont automatiquement déterminés et V nous permet donc
d'obtenir tout le réseau (la trajectoire).
Cependant, pour la détermination complète de cette fonction, il ;uffit de connaître, à partir du premier pas, le troisième polygone qu'il faut ajouter à un tripode et deux polygones pour compléter la cellule élémentaire correspondante (Fig. ?b). Ain~i donc, pour la détermination d'un réseau bi-dimen;ionnel tri-coordonné, et aprè; une première cellule de départ, il faut tout simplement connaître une application qui, à chaque tripode compris entre deux polygoneb, fait correspondre le troisième polygone qui complète la cellule, c'est-à-dire une fonction décrivant 1assemblage graduel de polygones.
Ai
B21
~ 83~ A
A3
~
~2
B~~
B31
Fig. (ai Le vertex A et ~(Aj, le tripode élémentaire de A. (b) Le veriexA, ~(A) et
~(A,1 ~(A,) ~(A~i
)(ai Vertex and ~(Ai, the elementary tnpod of A, (b) VertexA. ~(A) and ~(A,i @(A~i
/(Aii
N° 10 DYNAMIQUE DE CROISSANCE 1493
a) b)
Fig. ?. Le tripode élémentaire de A, bon image par il. (b) pour la définition de il. aprè, le premier PM, il suffit de donner le troi~ième polygone Llui complète le~ cellule; élément~iire, dei voi~in, suivants de A.
[(a) The elementary tripod A and its image by V. (hi In order to define the mapping V, after the first step
it ,uf'fice, to give the third polygon completing the element~iry cells around the immediate neighbors of A.
Le modèle que nou; allons décrire permet la construction non de V, ce qui est très complexe
et même impossible pour les réseaux amorphes, mais d'une application qui, pour chaque
s = fi (n, le nombre de polygones assemblésl, nous donne la proportion relative de chacun
des trois types de polygones en présence. Nous aurons ainsi une description statistique de la croissance des ré;eaux cristallins et amorphes.
Ce modèle est basé sur quelques règles dynamiques très simples relatives à ce processus et
possède les caractéristiques d'un automate tel qu'il est présenté par MacKay [7] et utilisé auparavant par Ulam [8], un des principaux créateurs de ce genre de modèles, pour décrire la
croissance d'un flocon de neige.
Depuis son introduction (cf. [2], Kemer et dos Santos) notre modèle a été utilisé pour la (lL,,cripiii>ii ,titi,iiqii~~ L~i l'ii iii,~~ (iii iioj~,n oidr~, (iii, l~,, tel-le, ;; lin<..<Îe, ikprnpr j~j je;
verres tioborates (Micoulaut, Kerner [4]) ainsi que pour la description de la croissance des
fullerènes (Kerner [5], Bennemann et ai. [6]) souvent avec un accord satisfaisant avec des données expérimentales.
ici nous 1appliquerons à la description statistique de la croissance des structures bi- dimensionnelles conduisant, parmi d'autres solutions, à des pavages de Penrose.
2. Description du modèle.
Nous considérons comme support du modèle le scénario physique suivant dans un milieu
approprié (qui peut être une wlution suffisamment concentrée ou la condensation d'un gaz sur une paroi froide), de; atomes trivalents ainsi que les molécules di- et triatomique;, que nous
supposon; évoluer en deux dimensions, s'associent et constituent des anneaux (polygones)
relativement stables. Nous admettons que ces configurations locales sont plus durables que
toutes les autres constituées par le même nombre d'atomes ()es lignes polygonales ouvertes et
les structures arborescentes), ou, ce qui est équivalent, que le temps de vie des anneaux est, au
moins, d'un ordre de grandeur supérieur à celui de toutes les autres configurations avec le
même nombre d'atomes.
o o o
Dans ces conditions, nous représentons par P~, P~, et Pi les probabilités de formation des
trois différents types de polygones permis (pentagones, hexagones et heptagones, respective-
o o o
ment) vérifiant la condition de normalisation P~ +Pô +P~ =1. Ces probabilités seront
supposées constantes tout au long du processus de croissance. Elles dépendent du milieu
physique (température, concentration, etc.., et de la nature chimique des atomes en question, responsable de la rigidité des tripodes, c'est-à-dire de leur résistance aux déformations à partir
de la configuration la plus symétrique où tous les angles sont égaux à 120°, conséquence du
caractère supposé central et répulsif des forces interatomique~. La nature des forces
interatomiques favorise ainsi, parmi les trois types différents de polygones permis, la formation d'hexagones réguliers qui correspondront donc au niveau énergétique le plus bas. Ce résultat est aussi une conséquence de la formule d'Euler pour les réseaux bi-dimensionnels
plans
+ = l
N~ N~ ~
où N~ et N~ représentent, respectivement, le nombre de coordination moyen et le nombre
moyen de côtés des polygones (tous convexes) dans le réseau. En effet, si ôÎ~ = 3 alor~
N~, = 6, relation qui admet comme solutions le réseau he~agonal pur et le mélange de
u o
pentagones et heptagones en proportion égale P,
= P~.
Concevant 1hexagone comme le niveau énergétique le plus bas, la formation de~
configurations avec cinq et sept atomes ~era énergétiquement plus coûteuse les pentagones et les hexagones seront donc considérés comme des </ffàut.i /o(.aiii. Il; créent des courbureb
locales (positive, pour le pentagone et négative pour l'heptagone) qui se compen~ent
mutuellement.
Nous supposons que ces considérations géométriques reflètent le coût énergétique associé à
1assemblage des polygones deux par deux, obéira à la régie simple comme suit
. nul pour 1association de deux hexagones ou d'un pentagone et d'un heptagone
. égal à ~E pour les assemblages (5-6) et (6-7),
. égal à 2 A£l pour (5-5) et (7-7).
Considérant que 1association de configurations élémentaires est un processus adiabatique proche de équilibre thermique (par exemple, une déposition lente à partir d'une solution ou
d'un gaz), nous pouvons utiliser dans ce qui ~uit les techniques de la Mécanique Statistique u;uelk, fiulctmiieiil, le; l'ct~leui; de Bull£iiaiii
D'après les considérations précédentes, la probabilité P,~ de trouver le doublet (if constitué par un i-gone et j-gone 1, j
= 5, 6, 7 peut être déterminée à partir de la formule générale
(~ ~ l) (1
~'l~ Q
'~ ~'~J~ ~'~~
ù
avec «=AE/kT (k, la constante de Boltzmann et T, la température absolue)
À,~ = [12 -1-j[, l'écart du doublet (1, j) par rapport à (6,6) et Qn, le facteur de
normaliwtion pour satisfaire la condition ~j P,~ =
donné par
, ,
o o ii ii
Qjj=P((1-e~")~+4P,P~(1-e~")+P((1-e~")~-
o u
-2P~(1-e~~)-2P~(1-e~")+1
N° 10 DYNAMIQUE DE CROISSANCE 1495
La proportion relative de pentagones, hexagones et heptagones qui constituent les doublets peut être calculée facilement à partir de l'expression :
7
p, = ' z p,~(i + à,~j 2,-~
ou bien, explicitement
u
p
=
fl p, e " (e~ " 1) pi (e~ " + e~ "
Îii
~~ ~~
o
~7 " j (~7 ~ ~~ (~ ~~ ~~(~ ~' ~ ~ ~~
(l ~~ ~~
p~,= -p~-P~.
Considérant cette nouvelle distribution de probabilités comme les valeurs des trois fonctions
P,(1 = 5, 6, 7 du paramètre.i (variable qui paramétrise le processus de croissance et qui, en
première approximation sera supposée proportionnelle au temps réel t) pour.i
=
P,(1)=P, 1=5,6,7
nous pouvons définir les dérivées premières de chacune de ces nouvelles fonctions au point
= 0,
o
ôP, Il p jj
~ ,
=o
~' ~' j ~< (~i, " = 5, 6, 7
avec
F,jP~, ni =
= (1-e~") [-P((1-e~")-4P~P~-P((1-e~")-P~(e~'~-2)+3Pi-1]
F~(P~, a
=
=
(1-e~")[-P(jl -e~")-4P~P~-P((1-e~")-P~(e "-2)+3P,-1(
Au moins tout au début, le processus de croissance d'un réseau bi-dimensionnel tri-
coordonné, dans une situation où il n y a que des pentagones, des hexagones et des heptagones créés, sera régi par le système d'équations différentielles, en levant également 1indexation
« o » de Qjj
P~
~
F~
~~ ~ ~
ÎÎ~ ~ Î~ ~~ ~~ ~~~
$ ~? Q ~~~'~?'"~'
Les solutions stationnaires, qui peuvent être facilement déterminées ici sont comme suit P, = (3 e~ ")~
= Pi, P~ P~ = 0 ; P~
=
0, P~
= P,
=
0
= P~, P,
= 1/2
= P
~.
La linéarisation du système au voisinage de chacun de ces points, permet la détermination de
la nature de ces cinq solutions singulières. Nous concluons ainsi que :
(1) les configurations purement pentagonales et heptagonales (respectivement P,
= et
Pi
=
1) sont instables elles correspondent à des points singuliers répulsifs ;
(2) la configuration purement hexagonale (configuration cristallinej est toujours stable ; elle
correspond au point singulier attractif P~
= 1;
j3) P~ = Il?
= Pi est aussi un attracteur et représente donc une configuration amorphe (ou quasi-cristalline) stable ;
(4) P~ (3 e~")~
= P~ est un point en col et correspond donc à une configuration amorphe métastable.
Nous remarquons que quand a -0 (quand T augmente), le point en col tend vers
P, = 1/2
=
P
~ et donc la probabilité d'obtenir des configurations cristallines pure~ (P~,
= 1)
croît aussi.
A partir de ces conclusions, nous avons esquissé sur la figure 3 les trajectoires de pha;e du système (?).
?) Le système d'équations différentielles du premier ordre étudié précédemment est seulement valable pour la description du tout début du processus de croissance il est fondé sur les propriétés d'assemblage de polygones en doublets, ce qui traduit un processus linéique plutôt que plan. Cependant tôt ou tard, nous serons confrontés à des situations où apparaissent de vrais assemblages plans, les cellules élémentaires constituées par trois polygones autour
d'un sommet commun. Il nous faut donc analyser la phase suivante du processus de croissance
où ces nouvelles configurations commenceront déjà à apparaître.
Nous supposerons ainsi que, dans ce deuxième pas dans la croissance du réseau, des
molécules s'associent aux doublets déjà formés et constituent ce que nou~ appelons les tiip/~t.i
de polygones. (Par hypothèse, nous négligerons les probabilités de création de triplets par
création simultanée de trois polygones.)
Pareillement, pour déterminer 1expression de la probabilité P,~j de formation du triplet ii, j, Ii constitué par un i-gone, un j-gone et un L-gone, il faut prendre en considération les
règles dynamiques supposées régir le processus d'a;semblage de polygones. Pour cela, noub
B (i,o)
Fig. 3. Trajectoire de phase du ~y~tème d'équation~ diftérentielle~ (?i.
(Pha~e trajectorieb of the ;ybtem ut diiferential equation; (2).(
N° il) DYNAMIQUE DE CROISSANCE 1497
a) b)
Fig. 4. De; triplet, (5, 6. 6) : (ai une chaîne, (b) une cellule.
(Po,,ible triplet~ (5, 6. 61: (ai ~i ch~iin (hi a oeil.(
devons distinguer entre deux types de triplets qui conduisent à des expressions différentes pour les probabilttés correspondantes :
. les chaînes (Fig. 4a) si chaque sommet appartient au maximum à deux polygones du
triplet ;
. les cellules (Fig. 4b) si les trois polygones se rassemblent autour d'un sommet commun.
En effet, il est raisonnable d'admettre que, dans le cas d'une chaîne, le troisième polygone,
ne partageant avec le doublet qu'une seule de ses arêtes, reçoit du polygone le plus éloigné une
influence qui peut être négligée. Tout se passe donc comme si un nouveau doublet se formait et ainsi, dans la création de cette configuration, il n y aura que, ~qio,1.~.o /1loch>, deux fois le proces;u; qui conduit à l'obtention d'un doublet simple. En revanche, si ce troisième polygone partage deux arêtes avec le doublet initial, la situation est complètement nouvelle, étant donné
~u'il y aura interaction simultanée avec le doublet tout entier.
En outre, nous supposerons que la proportion relative des chaînes et des cellules formées à
partir du doublet ii, _j) coïncide, en absence de toute contrainte dynamique, avec le poids statistique des « places » qui sont à la disposition du nouveau polygone pour former chacune de
ces deux configurations quand il arrive près de (1,j). Il y aura toujours parmi les
i +_j 4 placements possibles
. ? qui mènent à des cellules ;
. i + j 6, produisant des chaînes.
Compte tenu de toutes ces considérations, nous prendrons les probabilités P,~,j de formation
du triplet [ij, Il par association d'un L-gone au doublet (1, j) comme étant données par expression générale
2 ~ o
P,~ j =
~~ ~
P,~ Pj + P,~ Pj e~~~'J i, j, k = 5, 6, 7 (1w j)
1+ j -4 1+ j 4
où les facteurs
v~~ traduisent interaction des trois polygones de façon à ce que le facteur de Boltzmann final soit égal à exp (- d,~~ a ) avec d~~j
=
18 j k(, l'écart de ii j, k par
rapport à (6, 6, 6).
La proportion relative de pentagones, hexagones et heptagones qui constituent les triplets peut être calculée à partir des expressions
~ ~ ] ~
P< " j 3 P<, + 2 1 P« 1+ 2 1 P(i., + i Pli., + i P<i.j (k ~J)
, #< , #< , (#< ,#<
~ dP, d~P,
En interprétant P~ comme P~ (2 = P, (0 + 2 + 2
-, nous obtenons le système
ds d_ç2
d'équations différentielles du second ordre
d~P, dP~
~+D(P~, P~)-+ W~(P~, P~)
=
0
d.i~ d,1
d~ Pi dpi
+ D(P~, Pi)- + Wi(P~, Fil
=
0
d.i~ d-1
et nous supposons qu'il décrit le processus de croissance bi-dimensionnelle avec une très
bonne approximation.
Ce système admet les point; singuliers suivants
. le point attracteur P~
=
0
=
Pi (Pô
=
. les deux points répul;ifs P,
= P~
=
0 et P~
=
0 et Pi
=
. le point D est déterminé par
-18e~~"-62e~"-45+15,Y
~ _~
~~
12e~"(e~"+1)
~~
~
avec :
12 _1« 72
_j,, 6796
_~,, 136
_,~ ~
~~
5 ~ ~ 5 ~ ~ 225 ~ ~ 5 ~ ~
toujours au voisinage de P~
=
1/2
= P~ pour toutes les valeur~ de a, et qui représente :
(1) un point en col pour 0
w a w 0,5742 ;
(fil un attracteur pour a ~ 0,5742
. pour a ~ 0.5742, le point D à l'intérieur du triangle ABC (Fig. 3) est un point en col (D coincide avec E quand a = 0.5742).
3. Application du modèle aux structures à nombre de coordination variable.
3.1 L'ANALYSE Du PREMIER PAS. Les raisonnements et les techniques qui ont servi de baie
au modèle décrit précédemment peuvent être aussi appliqués a la description de la -structure des ré~eaux périodi~ues ou qua~i-périodiques dans lesquel~ le nombre de coordination varie, tandi~
que les seuls polygoneb présents ;ont des quadrilataires (lobange;i.
Avec quelque; modification; mineures, nous pouvons appliquer notre modèle à la
description de la croisbance de rébeaux de ce type. ici le mot « ré;eau
» est plutôt compri; au
;ens de « graphe » infini.
Danb la cla;;e de graphes ain;i définib, se trouvent au;;1 le; réseaux de Penrose étudiés abondamment dans le~ années 80 (9- II ). Nous verrons que certaines configurations localeb obtenues à partir de ce modèle semblent converger assez rapidement vers la statistique des
vertex caractéri;tique des réseaux de Penrose.
Dans le cas précédent, des1-gone; (L = 5, 6, 7) s associaient pas à pas pour constituer un
réseau bi-dimensionnel tri-coordonné. L'hexagone correspondant au niveau énergétique local le plus bas, les heptagones et les pentagones étaient inteprétés comme des défauts et donc ,i~ociés à de; coûts énergétiques supplémentaires qui réduisaient, de façon con~idérable, leur;
capacités d'assemblage.
