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Submitted on 1 Jan 1969
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ÉTUDE QUANTITATIVE THÉORIQUE DES RÉFLEXIONS SÉLECTIVES DE LA LUMIÈRE PAR
LES CHOLESTÉRIQUES PARFAITS
Daniel Taupin
To cite this version:
Daniel Taupin. ÉTUDE QUANTITATIVE THÉORIQUE DES RÉFLEXIONS SÉLECTIVES DE
LA LUMIÈRE PAR LES CHOLESTÉRIQUES PARFAITS. Journal de Physique Colloques, 1969, 30
(C4), pp.C4-32-C4-37. �10.1051/jphyscol:1969410�. �jpa-00213712�
JOURNAL DE PHYSIQUE Colloque C 4, supplément au no 11-12, Tome 30, Nov.-Déc. 1969, page C 4
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32ÉTUDE QUANTITATIVE THÉORIQUE DES RÉFLEXIONS SELECTIVE s
DE LA LUMIÈRE PAR LES CHOLESTÉRIQUES PARFAITS
Daniel TAUPIN
Laboratoire de Physique des Solides, Faculté des Sciences, 91, Orsay
Résumé.
-
On étudie théoriquement la propagation de la lumière dans un cholestérique parfait.On suppose le tenseur diélectrique localement uniaxe, l'axe extraordinaire étant perpendiculaire à l'axe de l'hélice et tournant autour lorsqu'on se déplace parallèlement à la direction de cet axe.
On calcule numériquement les variations du rapport de réflexion dans le cas de Bragg symétrique ; on trouve ainsi de nombreuses raies, souvent très larges lorsque la biréfringence locale est elle- même grande.
Ces résultats numériques sont expliqués d'après la structure des surfaces de dispersion. En particulier, bien que le (( réseau réciproque » d'un cholestérique parfait ne comporte que 3 nœuds (0, 1 et 1), on prévoit i'observation de raies d'ordre 1, 2, et même 3, chaque ordre correspondant d'ailleurs à trois raies distinctes.
Abstract. - Light propagation within a perfect cholesteric liquid crystal is theoretically studied.
The dielectric tensor is assumed to be locally uniaxial, the extraordinary axis being perpendicular to the helix axis and rotating around it when the point considered translates along this helix axis.
Variations of the reflection ratio are computed in the syrnmetricalBragg case ; many lines are found, which may be very broad when local birefringency itself is high.
This numerical results are explained referring to the structure of the dispersion surfaces. Espe- cially, although the reciprocal lattice consists only in 3 points (O, 1 and
ï),
one predicts observation of 1 st, 2nd and even 3rd order lines, each order consisting in fact in 3 distinct lines.1. Propriétés diélectriques. - Nous considérons un cristal liquide cholestérique dont l'axe est parallèle à
Les propriétés optiques des milieux biréfringents à deux constantes a (ordinaire) et b (extraordinaire) structure hélicoïdale ont été souvent étudiés [ l ] mais et s'écrit, sur les axes Oxyz :
les auteurs se sont en général limités au cas de l'inci-
Oz ; en tous points nous considérons le milieu opti-
quement uniaxe, l'axe extraordinaire étant toujours E ( Z ) = dence normale à la lame et parallèle à l'axe hélicoïdal.
Nous présentons ici une étude des réflexions sélec- ( ) = tives sur la surface de lames cholestériques, les inci-
perpendiculaire à Oz et faisant avec un axe de réfé-
rence Ox un angle a tel que : a + b
+-
b - a 2 cos 2 a---
b - a 2 sin 2 a cos a sin a O b O O- ,in, dences étant franchement obliques par rapport à la O
lame et à l'axe cholestérique.
(
cos cc-
sin a O1
Le tenseur diélectrique est alors caractérisé par
1
O O al-- a i - b b - a
sin 2 a
2 2 2 c o s 2 a O
.
(3)Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1969410
ÉTUDE QUANTITATIVE THÉORIQUE DES RÉFLEXIONS SÉLECTIVES D E LA LUMIÈRE C 4
-
33Ce tenseur est immédiatement développable en
« série » de Fourier en.réalité limitée à 3 termes
II.
-
Propagation de la lumière.-
Nous partons des équations de Maxwell, soit :rot rot E = m2 ,uO EE (6) et nous cherchons E de la forme :
E =
C
Ei ei(mt -ki.') i(7) ce qui, en introduisant l'expression de E, fonction périodique de r
conduit à :
C
(k? - ki x ki) Ei ei(m'-ki.r)i (8)
En regroupant de part et d'autre les facteurs d'une même exponentielle on aboutit à une infinité d'équa- tions :
m2 pO
C
E ( ~ - ~ ) Ei =(kf -
k j x kj) E j ; V j.
(9)i
Nous supposons le milieu limité par une ou deux surfaces perpendiculaires à Oz donc
où 0 est l'angle d'incidence du faisceau de lumière envoyé sur le cristal (Fig. 1). Les inconnues sont donc les E j et
k,,
= 2, c'est-à-dire que leur nombre est infini.Extérieur
CHOLESTERIQUE
FIG. 1 . - D e haut en bas : courbe de réflexion pour lumière non polarisée, courbe de réflexion pour E dans le plan d'inci- dence, courbe de réflexion pour E normal au plan d'incidence,
courbe de dispersion à fréquence constante.
Pratiquement, on n'a pas le droit, comme on le fait dans la théorie dynamique de la diffraction des rayons X, de limiter j à deux valeurs (O et celle corres- pondant à la réflexion sélective la plus proche) mais on peut limiter j à des valeurs raisonnables, ce don$
on s'assure à posteriori en vérifiant que les E j pour les valeurs extrêmes de j restent négligeables ; nous avons pris
Nous avons alors 2 n
+
1 équations vectorielles homogènes, 2 n+
1 inconnues vectorielles et en plus une inconnue supplémentaire 2, c'est-à-dire un sys- tème de la forme :(13) où A est une hyp~rmatrice complexe d'ordre 3(2 n
+
l), dont les éléments sont des qj) OU des k j x kj, faciles à exprimer en fonction de a, b,k,,
et 2, et où U est un hypervecteur constitué des E j pour j variant de-
n à+
n.3
C 4 - 3 4 DANIEL TAUPIN Malheureusement A(Z) n'est pas une fonction
linéaire de Z et la résolution du système (13) par des moyens classiques de diagonalisation, si elle est théori- quement possible, oblige pratiquement à diagonaliser une matrice complexe d'ordre 6(2 n
+
1) soit environ 80 à 120.Nous avons donc utilisé la méthode suivante inspirée de celle souvent utilisée pour calculer les vecteurs propres connaissant les valeurs propres d'une ma- trice [2] :
On résout le système :
pour une valeur arbitraire Z , de Z et, par tâtonnement (méthode du Simplexe non linéaire de Nelder et Mead [3]) on maximise ( U
12.
Pratiquement, étant donné que les termes de A sont de l'ordre de l'unité (les unités sont choisies en sorte que o / c = l), on obtient une précision meilleure que sur Z lorsque
1
Ul 2 >
1012.La résolution du système (14) est de plus grande- ment simplifiée par le fait que l'hypermatrice A est tridiagonale et que les matrices d'ordre 3 situées sur la diagonale peuvent toujours être inversées. Un pro- blème se pose enfin car le nombre des solutions en Z est très grand : 4(2 n
+
1) ; il faut alors remarquer que si Z est solution, Z f 2 nmlp (m entier quel- conque) est aussi solution et donne les mêmes valeurs de Ej à un décalage d'indices près ; de plus-
Z est également solution et correspond à la. propagation en sens inverse ; nous avons donc limité notre calcul aux 4 valeurs de Z, opposées deux à deux et telles que :Ayant ainsi déterminé les 4 modes de propagation possibles dans le cristal liquide (biréfringent, deux modes dans chaque sens), on peut calculer l'intensité des ondes réfléchies et transmises en écrivant les équations de continuité sur les deux surfaces et en résolvant le système linéaire ainsi obtenu.
III. Résultats.
-
Nous avons calculé les courbes 'de réflexion de cristaux liquides cholestériques infi- niment épais pour des incidences variant de O à90 degrés pour 3 séries de valeurs des indices ordi- naire
4;
et extraordinaire&,
afin de mettre en évé- dence l'influence de la biréfringence locale. D'autre part nous avons fait varier l'indice du milieu exté- rieur afin de montrer le déplacement des raies.Sur chaque figure nous avons présenté de haut en bas les courbes de réflexion pour
1) lumière non polarisée,
2) lumière incidente polarisée dans le plan d'inci- dence,
3) lumière incidente polarisée perpendiculairement au plan d'incidence ; et, en dessous, les surfaces de dispersion à o constant, limitées à la première zone de Brillouin, c'est-à-dire :
Les phénomènes apparaissent très clairement sur la figure 2 (Â. = 0,75, p = 1, no,, = 1,42, ne,, = 1,58,
ne,,
= 1,70),
la surface de dispersion comporte autant de paires de nappes que de nœuds du réseau réciproque unidimensionnel et « centrées » (il s'agit en réalité
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35 d'ellipses) sur chacun de ces nœuds (chaque nappeest cotée par l'indice de son « centre »). Chaquev intersection correspond à une raie ; l'intersection de deux paires de nappes donne donc lieu à 4 raies qui se ramènent à 3 pour des raisons évidentes de symétrie.
On peut donc dire que chaque << ordre » donne lieu à un triplet qui peut être facilement indexé en prenant la différence des indices des nœuds au centre de cha- cune des nappes.
On a donc diverses bandes ou raies dans la courbe de réflexion :
a) réflexion totale pour les deux modes internes se propageant vers les z positifs,
b) réflexion totale pour un seul des modes (E à peu près dans le plan d'incidence),
c, d, e ) triplet d'ordre 1,
f,
g, h) triplet d'ordre 2,i, j, k) triplet d'ordre 3.
On remarque donc que les ordres 2 et même 3 sont existants, bien que le facteur de structure (tensoriel) des nœuds, 2,
2,
3,3
du réseau réciproque soient rigoureusement nuls. Ces phénomènes, qui pourront surprendre les habitués des rayons X, sont dus au fait que dans ce dernier cas les coefficients $,,, du dévelop- pement en série de Fourier des susceptibilités élec-triques relatives sont de l'ordre de et que l'on néglige toujours les termes en $', alors qu'ici elles sont de l'ordre de 0,2 à 0,5.
Pour des raisons analogues on observe, au lieu de raies, des bandes de réflexion totale énormes, attei- gnant parfois la dizaine de degrés.
On voit, sur la figure 3 l'écartement des raies des triplets et même le recouvrement d'ordres différents lorsque ne - no augmente ; on voit au contraire sur la figure 4 leur rapprochement et l'affaiblissement des ordres supérieurs lorsque ne - no décroît.
Lorsque l'indice extérieur n, décroît (Fig. 5, 6, 7, puis 8, 9, IO), on assiste à la disparition de la zone de réflexion totale mais aussi des raies d'ordre 1.
Nous avons essayé le calcul pour des valeurs de p nettement supérieures (4 microns), mais les courbes de réflexion deviennent très rapidement inextricables du fait du chevauchement des triplets d'ordres voisins.
Les courbes ainsi présentées ont été calculées pour des angles variant de dixième de degré en dixième de degré, afin de ne pas manquer les raies élevées et très fines. Le calcul de chaque point demande de 2 à 30 secondes sur un ordinateur puissant [4], ce qui est de 5
DANIEL TAUPIN
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37 à 10 fois plus rapide et 100 fois plus précis que les méthodes classiques de diagonalisation de matrices.L'auteur tient à remercier M. le Professeur P. G. de Gennes qui lui a suggéré cette étude.
Références [l] BILLARD (J.), 1966, Thèse, Paris.
[2] DURAND, Solutions Numériques des Equations Aigé- briques, Masson, Paris (1961) tome II, 215.
[3] NELDER (J. A.) et MEAD (R.), Comput. J., 1965, 7, 308.
[4] Ordinateur Univac 1108 de la Faculté des Sciences d'Orsay, cycle de base 750 ns, 64 Kmots de 36 bits.
DISCUSSION
D. CHARLES. - Aves-VOUS envisagé l'introduction d'un E complexe ?
D. TAUPIN. - Tout au long du calcul, E est complexe ; en particulier nous avons introduit dans les calculs présentés un coefficient d'absorption très faible destiné essentiellement à lever certaines ambi- guités mathématiques. L'introduction d'un E franche- ment complexe ne pose donc aucun problème.
BERNY. -Les fondements des calculs que vous effectuez sont les mêmes que ceux utilisés dans une interaction entre une onde sonore et une onde optique, ou même entre un milieu optique présentant un défaut d'indice périodique et une onde optique. Ce phénomène est connu sous le nom de « diffraction de Bragg » (par opposition au phénomène de Raman- Nath). Jusqu'à quel point pensez-vous que l'on puisse poursuivre l'analogie avec ce qui se passe dans les cristaux liquides ? Dans le cas des cristaux liquides, peut-on concevoir des « domaines » de réflexion sélective » analogues au cas de la diffraction des ondes optiques par des ondes sonores (domaine de Raman- Nath ; domaine de Bragg) ?
D. TAUPIN. - L'analogie existe en ce qui concerne l'existence d'une forte variation périodique de i'in- dice du milieu ; mais ici le milieu est en plus biréfrin- gent, ce qui donne lieu à des triplets pour chaque ordre au lieu de simples raies ou bandes. De plus, ici, les ondes réfléchies ont une polarisation elliptique alors que, dans la diffraction de Bragg par les ondes sonores, cette polarisation reste rectiligne (nous nous limitons au cas << semi-classique » de la diffraction sans chan- gement de longueur d'onde).
