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Submitted on 1 Jan 1990
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PROPAGATION D’ONDES DANS UN SOL STRATIFIÉ AVEC OBSTACLE
D. Habault
To cite this version:
D. Habault. PROPAGATION D’ONDES DANS UN SOL STRATIFIÉ AVEC OBSTACLE. Journal
de Physique Colloques, 1990, 51 (C3), pp.C3-83-C3-89. �10.1051/jphyscol:1990309�. �jpa-00230737�
COLLOQUE DE PHYSIQUE
Colloque C3, supplément au 1-1'17, Tome 51, ler septembre 1990
PROPAGATION D'ONDES DANS UN SOL STRATIFIÉ AVEC OBSTACLE
D. HABAULT
CNRS, Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique, 31, chemin J. Aiguier, F-13402 Marseille Cedex 9, France
Résumé
-
L'étude présentée ici a débuté dans le cadre d'un appel d'offre du Ministère chargé de l'Environnement /1/. Son but était l'évaluation de l'atténuation des vibrations due à la présence d'obstacles dans le sol.
L'aspect que nous avons étudié plus particuliè- rement est la propagation dans une couche de sol, pour des problèmes bidimensionnels et harmoniques. Dans une première partie, le milieu de propagation est modélisé par une couche de matériau viscoélastique, homogène, d'épaisseur constante. Le déplacement est calculé à ltaide de la théorie des distributions et d'une transformation de Fourier spatiale. On sup- pose ensuite que la couche contient un obstacle de dimensions non négligeables par rapport aux longueurs d'onde du signal d'excitation. Le déplacement est calculé par une méthode d'équations intégrales (ou éléments finis de frontière). L'efficacité de l'obstacle est obtenue comme le rapport des amplitudes du déplacement en présence et en l'absence de l'obstacle.Abstract
-
The aim of the study described here is the propagation of vibrating waves in a stratified medium. First, the propagation medium is represented by a constant depth layer of viscoelastic material. The evaluation of the displacement is based upon the theory of distributions and a spatial Fourier transform. Then the displacement is computed for the same mode1 of layer in the presence of a trench, by using a boundary element method. In both cases, the problem considered is two-dimensional and the excitation is periodic. The application of this study is the evaluation of the effect of an obstacle on the propagation of the vibrations.1 - INTRODUCTION
Le sujet de cette étude est la propagation des vibrations dans un sol stratifié. Une de ses principales applications est l'étude (et la réduction) de la gêne vibratoire due aux
infrastructures productrices de vibrations, telles que les réseaux de transports.
L'aspect particulier considéré ici est le calcul du déplacement dû à une source harmonique dans une couche de matériau viscoélastique. L'étude se compose de deux parties :
-
au paragraphe 2, le milieu de propagation est modélisé par une couche de matériau homogène, viscoélastique, d'épaisseur constante. La partie supérieure de la couche est en contact avec l'air ; la partie inférieure repose sur un plan rigide ou sur un deuxième milieu viscoélastique, semi-infini. Le déplacement dans chacun des deux milieux est obtenu à l'aide de la théorie des distributions et par transformation de Fourier spatiale partielle.-
au paragraphe 3, la couche contient un obstacle de dimensions comparables à celles de la longueur d'onde du signal d'excitation. L'exemple décrit ici est celui d'une tranchée creusée à la surface du sol ; la tranchée est soit ouverte (emplie d'air), soit emplie d'un autre matériau viscoélastique. Ce sujet a fait l'objet de très nombreuses publications (voir /2/, par exemple). Ces tranchées, en vibrations, peuvent jouer un rôle analogue à celui des écrans en Acoustique et donc apporter une éventuelle solution aux problèmes de gêne vibratoire. Les résultats obtenus permettent d'évaluer l'efficacité de ces techniques. La méthode de prédiction des niveaux de vibration est basée sur la formule de Betti et les méthodes d'éléments finis de frontière.Pour l'ensemble de cette étude, les problèmes considérés sont bidimensionnels, ce qui est suffisant pour permettre une étude paramètrique.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990309
COLLOQUE DE PHYSIQUE
2 - PROPAGATION DANS UNE COUCHE HOMOGENE D'EPAISSEUR CONSTANTE
La couche est modélisée par un matériau homogène, viscoélastique d'épaisseur constante h ; elle est caractérisée par un module d'Young complexe E l , un coefficient de Poisson vl et une densité pl
.
Le module d'Young est complexe pour tenir compte de l'absorption dans le matériau. La face supérieure de la couche est en contact avec l'air, la condition aux limites est donc une condition de surface libre. La face inférieure repose sur un second milieu viscoélastique semi-infini de caractéristiques E2, v2 et p2 ; les conditions aux limites sont les conditions de continuité des déplacements et des contraintes.La source d'excitation est située dans la couche ; son comportement est périodique en fonction du temps (exp(-iwt)). Dans le plan (O,y,z), la couche correspond au milieu O&&. La géométrie du problème est présentée sur la figure 1.
Soient u et a, le champ de déplacement et le tenseur des contraintes dans la couche ; soient v et r, le champ de déplacement et le tenseur des contraintes dans le milieu semi-infini.
Ils vérifient le système d'équations suivant : 'A~u(M)
-
F(M) si M=(Y,z), o<z<~A~V(M) = O si z>h uzl (M) = mz2(M) = O si z=O u(M) = v(M) = O
1
si z=hu2 (M) = r (M) j=1,2
conditions a l'infini pour u et v 2i
où A' est l'opérateur matriciel classique en Elasticité , correspondant aux paramètres E i , vi et pi /2/. F représente la source excitatrice.
Dans le cas d'une couche reposant sur un plan parfaitement rigide, on ne considère que le déplacement u et les conditions de continuité en z=h sont remplacées par une condition de déplacement nul.
A l'aide de la théorie des distributions, il est possible de remplacer le vecteur inconnu u(y,z) par six vecteurs qui ne dépendent que de y. Ces six vecteurs s'obtiennent à partir des conditions aux limites du système (1). En utilisant une transformation de Fourier par rapport à la variable y et après quelques simplifications, on remplace ces conditions par un système algébrique d'ordre 6 qui est résolu numériquement /1,4/.
Le déplacement u est alors obtenu comme la somme d'un champ incident et d'une transformée de Fourier inverse. Cette transformée est calculée numériquement par une méthode d'intégration de type Gauss, améliorée.
Les figures 2 à 4 présentent des exemples numériques de déplacement vertical en fonction de la distance horizontale entre source et point d'observation. La force excitatrice est :
F =
[]
pl ; elle est située en S=(O,s). Les points d'observation sont situés à la profondeur z.
Les figures 2 et 3 correspondent au cas d'une couche d'épaisseur 4m, reposant sur un plan parfaitement rigide. La figure 2 correspond à un matériau à très faible amortissement : E l = 46.12 106
-
i 105 ~ / m ~ ; V , = 0.25 ; pl = 1753 kg/d.
Le déplacement oscille autour d'une valeur moyenne sans décroitre sur une quinzaine de longueurs d'onde (fréquence SOHz, longueur d'onde de l'onde de Rayleigh AR-1.9~1). Sur la figure 3, l'amortissement du matériau est beaucoup plus important :
El
-
46.12 106-
i 35.5 105 N/m2. Le déplacement décroît très rapidement.La figure 4 est un exemple de déplacement obtenu pour une couche reposant sur un deuxième milieu viscoélastique. Les caractéristiques des deux milieux sont :
El = 5. 107 - i 0.25 107 ~ / x n ~ ; vl = 1/3 ; pl = 2000 kg/m3 ; h = 50 m ; et :
E2 = 1.7 109
-
i 0.14 109 N/m2 ; v2 = 1/3 ; pz = 2740 kg/m3.
Les courbes représentent l'amplitude du déplacement vertical. La courbe continue correspond au cas de la couche reposant sur un deuxième matériau viscoélastique. Il est très semblable au déplacement obtenu pour une couche reposant sur un plan parfaitement rigide. Cette similitude est due au fait que le module d'Young du milieu semi-infini est grand devant celui de la couche : l'influence du milieu semi-infini peut alors être modélisée par une simple condition de déplacement nul.
3
-
EFFICACITE DES TRANCHEESDans ce paragraphe, la couche de sol contient un obstacle. L'exemple présenté est celui d'une tranchée creusée à la surface du sol. La géomètrie du problème est celle de la figure 5. La tranchée, rectangulaire, est soit vide, soit emplie d'un autre matériau viscoélastique. Les déplacements dans la couche et dans la tranchée sont obtenus à l'aide d'une méthode d'équations intégrales.
3.1. TRANCHEE VIDE
La partie supérieure de la couche (incluant le bord de la tranchée) est notée Cs-C,UCt. La partie inférieure, Ci , repose sur une paroi parfaitement rigide. Le déplacement u dans la couche est solution du système suivant :
A u(M) = F(M) si M est un point à l'intérieur de la couche u(M) = O si M est un point de Ci
u2, (M)
-
uZ2(M)-
O si M est un point de Cs (2) conditions à l'infini pour uLa méthode des équations intégrales utilisée ici est basée sur la formule de Betti /5/, appliquée au déplacement u et à un noyau (ou solution élémentaire) T. Le choix de
r
n'estpas unique. Le noyau choisi ici est la solution du système suivant :
iAr - [a]
dans la couche O<z<h conditions de sur£ace libre sur Cc et Cu déplacement nul sur Ciconditions à l'infini pour
r
où Cu représente la partie supérieure de la tranchée.
r
est donc le déplacement dans la couche calculé au paragraphe 2.La formule de Betti conduit alors à la représentation intégrale suivante pour u : D u(M) = (r*F) (M)
-
où D = 1 si M est un point à l'intérieur de la couche, 1/2 si M est un point de C+
.
T'")T est le tenseur des contraintes normales, P est un point de Ct.
"*"
représente le produit de convolution dans le plan.Lorsque M est un point de Ct
,
la représentation (4) devient une équation intégrale, dont l'inconnue est le déplacement u sur le bord de la tranchée. Cette équation est résolue par une méthode de collocation : le bord Ct est divisé en N sous-intervalles, u est approchée par une fonction constante par morceaux, l'équation intégrale est ainsi remplacée par un système linéaire d'ordre ZN.3.2. TRANCHEE PLEINE
La géomètrie du problème est inchangée mais la tranchée est emplie d'un matériau viscoélastique. Soient u et v les déplacements dans la couche et dans la tranchée respectivement. Ils sont solutions du système suivant :
A' u = F à l'intérieur de la couche à l'intérieur de la tranchée sur C,
T'")u
-
COLLOQUE DE PHYSIQUE
T(")u = O sur C, sur Ci sur Cu conditions à l'infini pouf u et v
Les opérateurs d'élasticité Ai correspondent aux caractéristiques de la couche (i=l) et à celles de la tranchée (i=2).
Si I? est la solution élémentaire de (3) avec l'opérateur A' et si G est la solution élémen- taire classique pour l'opérateur A2 /5/, la £ormule de Betti conduit aux représentations suivantes de u et v :
u(M) = (I?*F)(M)
+ I<:
(T(")u(P).T(M,P)-
u(P).T(")T(M,P)) &(P) si M est un point a l'intérieur de la couche, tet :
V(H.) =
-SC
{T(")v(P) .G(M' ,P)-V(P) .T(")G(M. .P)) ~u(P)+
t
+
V(P) .T(")G(M~ .P) ~u(P) si M' est un point à U l'intérieur de la tranchée.A partir de ces représentations, plusieurs systèmes d'équations intégrales équivalents peuvent être déduits, mais la solution (u,v) est unique. Le système suivant a été choisi :
où M est un point de Ct et M' un point de Cu.
Ce système d'équations a pour inconnue le vecteur : sur C,
T(")u surct
1
surLe système est résolu par une méthode de collocation comme précédemment.
3.3. RESULTATS NUMERIOUES
La figure 6 présente un exemple de comparaison d'efficacité entre une tranchée ouverte et une tranchée pleine.
Le matériau viscoélastique dans la couche est caractérisé par les aramètres El
-
4.612 107 - i 0.355 107 N/m2 ; v1 = 0.25 ; pl = 1753 kg/mP .
: Le matériau dans la tranchée est caractérisé par :E2 = 15.82 108
-
i 6.75 108 N/m2 ; v2 = 0.25 ; p2 = 2400 kg/m3.
La force d'excitation est le vecteur F
-
pl.
La fréquence émise est 50 Hz, (longueur[al
d'onde de l'onde de Rayleigh AR environ 1.89m, dans la couche). Le point d'excitation est situé à 2.5m du bord gauche de la tranchée et à la surface du sol. Les points d'observation sont également à la surface ; ils sont situés à une distance comprise entre AR et 10AR du bord droit de la tranchée.
La tranchée est rectangulaire, de largeur AR et de profondeur AR/2. L'efficacité est définie comme le rapport des amplitudes des déplacements en présence et en l'absence de la tranchée.
Les courbes sont tracées en fonction de la distance horizontale entre source et point d'observation. Les cercles pleins correspondent à la tranchée pleine et les croix à la tranchée ouverte. L'épaisseur de la couche est de 200m ( ~ 1 0 0 AR), ce qui correspond à un milieu semi-infini. Les valeurs d'efficacité obtenues pour une épaisseur de 6m sont cepen- dant du même ordre de grandeur. Pour le matériau choisi, l'influence de la couche est vite négligeable, lorsque point d'excitation et points d'obserzation sont sur la surface.
4
-
CONCLUSIONLes résultats présentés correspondent à des problèmes bidimensionnels mais les développements théoriques (pour des matériaux homogènes isotropes) sont les mêmes en dimension 3. La différence se situe au niveau numérique (transformées de Fourier à deux variables au lieu d'une par exemple). Il n'y a pas non plus de difficultés à utiliser l'ensemble de ces méthodes pour des modèles de sol avec un plus grand nombre de couches.
Les logiciels établis permettent de mettre en évidence l'influence de chacun des paramètres sur la propagation des vibrations : amortissement dans le matériau, épaisseur de la couche, etc... Ils permettent en particulier d'évaluer l'efficacité des tranchées à la surface du sol ou des inclusions dans le sol.
BIBLIOGRAPHIE
/1/ Habault, D., Rapport final de la Convention n086251 avec le Ministère chargé de l'Envi- ronnement, mai 1989. "Etude de la propagation dans un sol modélisé".
/2/ Beskos, D.E., Dasgupta, B. et Vardoulakis, I.G., Computational Mechanics, vol.1, p. 43- à 63, 1986. "Vibration isolation using open or filled tranches, Part 1 : 2-D homogeneous soil" .
/3/ Brekhovskikh, L. et Goncharov, V., Springer Series on Wave Phenomena, vol.1, Springer Verlag, Berlin, 1985. "Mechanics of Continua and Wave Dynamics".
/4/ Habault, D., ler Congrès Français d'Acoustique, Lyon, Supplément au Journal de Physique, tome 51(2), février 1990. "Propagation d'ondes vibratoires dans un sol".
/5/ Kupradze, V.D., Israel Program for Scientific Translations Ltd, Jerusalem, 1965.
"Potential Methods in the Theory of Elasticity".
COLLOQUE DE PHYSIQUE
air
Figure 1. Géomètrie du problème
Figure 2. Fréquence 50Hz, h=4m, s=O.Olm, z=O.OSm
-53 5.m 1B.m 1S.M 2 0 . U 25.88 30.88
Figure 3. Fréquence SOHz, h=4m, s=O.OIm, z=0.05rn
Figure 5. Géomètrie du problème
Figure 6. Efficacité des tranchées
