Sur la seconde quantification. II. Théorie du positron

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Sur la seconde quantification. II. Théorie du positron

Jean G. Valatin

To cite this version:

d’où l’on tire des

équations

suivantes

Nous _{voyons ainsi que la recherche de la}

trans-formation

_{canonique précitée}

s’identifie avec la

recherche des solutions de

_{l’équation}

aux

déri-vées

_{partielles (14.7)}

du

_type

de Hamilton-Jacobi. Nous pouvons

également

définir les invariants

intégraux

en considérant

_{l’espace symbolique}

des

états

_(§z,

_Ép,

Y):x, _np; .

p’x>91>939,

!

p’::31O:10’2,

’J

7!r(Xl12,

l

7!’O:l;:312).

De

_{l’égalité (15.3)}

on tire cette _{conclusion que}

l’inté-grale

curviligne

, f/à>hl>?>

prise

sur une courbe fermé de cet _espace, est

_{indépendante}

de la section de

l’espace-temps

sur

_laquelle

l’état du

_système

est

considéré.

Manuscrit reçu le 19 septembre I950.

SUR LA SECONDE

_{QUANTIFICATION}

II.

THÉORIE

DU POSITRON

Par JEAN G. VALATIN. Institut Henri Poincaré, Paris

(1).

Sommaire. - La

représentation des états d’un système d’électrons à l’aide de l’algèbre extérieure est étendue à la théorie du positron. R+ et R_ étant les sous-espaces de _l’espace R des états d’un seul électron de Dirac correspondant à la partie positive et _négative du spectre de _{l’opérateur d’énergie} d’un électron libre, R*_ le dual de _{R_, l’espace} des états de la théorie du _positron est _{l’espace 039B (R+} + R*-)

des tenseurs _{antisymétriques} de _{R+ +} R*. Ces états _peuvent être obtenus comme combinaisons linéaires des _produits extérieurs des vecteurs caractérisant l’état des _particules individuelles, et les _opérateurs de création et d’annihilation _peuvent être introduits d’une façon analogue au cas des opérateurs de

l’espace 039BR. Les opérateurs M définis par (17), (17 03B1) ne _{contiennent pas les constantes additives} souvent infinies des définitions habituelles. Les équations vectorielles u = M|c _{sont explicitées.}

LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME

_12,

AVRIL

_1951,

Dans la

_première

Partie de ce travail

_[1]

nous avons

exposé

la

_{représentation}

des états d’un

_système

de

particules

obéissant au

_principe

d’exclusion à l’aide des notions de

_l’algèbre

extérieure de Grassmann. Celle-ci fournit le cadre _{naturel pour la}

_description

d’un

_système

d’électrons,

dans

_lequel

le rôle

géomé-trique

des

_opérateurs

de la seconde

_{quantification}

se

_présente

sous une forme très claire.

L’importance

de la méthode de la seconde

quanti-fication devient encore

_plus

_grande

dans la théorie du

_positron

où le nombre des

_particules

du

_système

est en

_général

indéterminé et

_peut

varier du fait de la

_possibilité

de création et d’annihilation de

paires.

Une

_{représentation}

_{géométrique}

claire des états du

_système

_peut

être utile en vue d’une meilleure

_{compréhension}

des nouvelles

_{possibilités}

fournies par le formalisme de cette

théorie,

ainsi que de ses difficultés. Nous établissons donc dans

cette seconde Partie les modifications du formalisme dues à l’existence des états

_d’énergie

_négative

de l’électron de Dirac.

Les solutions

_{d’énergie négative}

de

l’équa-tion de Dirac. Les _sous-espaces

R+

et R_.

-Écrivons

_{l’équation}

d’onde de Dirac d’un électron libre sous la forme

A l’aide d’un

_système

orthonormal

_complet

de

spineurs

y,,(x)

de carrés

_{sommables, (x,}

_{t) peut}

être

_développé

suivant

Pour la commodité du

_langage

nous

_appellerons

espace R soit

l’espace

de Hilbert des coefficients c-’

avec

CI’ 2

fini,

soit

l’espace

fonctionnel

iso-r

r

morphe

des

_{spineurs cp (x).}

Le

_spectre

de

_{l’opérateur d’énergie}

W d’un électron libre a une

_partie

positive

et une

_partie

_négative.

543

A ces deux

_parties

du

_spectre

de W

_{correspondent}

deux sous-espaces de

R, R+

et

R_,

définis par les

projecteurs

Les fonctions

_{y,. (x)}

de

₍₂₎

_peuvent

être choisies de

façon

à être des éléments soit de

R+

soit de R-. Une fonction

_y,.(x)

_quelconque

sera notée _par un

indice r.

_souligné;

un indice non

_souligné

r

_correspond

à un état

_{d’énergie positive,}

élément de

R+,

un

indice

_{primé r’}

à un état

_{d’énergie négative,}

élément de R-.

L’apparition

des états

_{d’énergie négative}

dans la théorie d’un seul électron montre _{que la théorie}

d’une seule

_particule

n’est

_{qu’une approximation.}

La

_possibilité

de création et d’annihilation de

_paires

est un des traits les

_plus

essentiels de la théorie de

l’électron

relativiste,

et la théorie relativiste de l’électron doit être considérée dès le début comme la théorie d’un

_système

de

_particules.

La théorie des trous.

_Remplacement

de la

notion de trou _{par la notion d’un état de}

posi-tron. - Selon l’idée de

Dirac,

on

_peut

associer aux

états

_{d’énergie négative}

d’un électron les états

d’énergie positive

d’une

_{antiparticule,}

le

_positron,

en

_supposant

_{que dans l’état du vide} tous les états

d’énergie

négative

de

_{l’électron,}

c’est à dire tous

les états du sous-espace

R--,

sont

_occupés

_{par des}

électrons,

tandis

_qu’un

état non

_occupé

de

R_,

un trou dans cette infinité

_{d’électrons,}

_correspond

à la

_présence

d’un

_positron.

Le

_{premier problème}

de cette théorie des trous est de faire

_disparaître

certains effets de l’infinité des électrons

_{d’énergie négative qui}

doivent être inobservables.

Mais,

abstraction faite des difficultés

conceptuelles,

comme on doit

_pouvoir

décrire

égale-ment les

_phénomènes

en

_partant

au lieu de l’infinité d’électrons

_{d’énergie négative}

d’une infinité de

positrons d’énergie négative,

cette infinité de

parti-cules

_{d’énergie négative}

ne

_peut

_avoir.

aucune

signification physique

réelle. Il est donc

_préférable

d’exprimer

le contenu

_physique

des

_phénomènes

qui

se manifestent par la création et l’annihilation réelle ou virtuelle de

_paires

sans faire intervenir les notions de la théorie des trous.

Comme l’ont montré Fock

_[2]

et

_Furry

et

Oppen-heimer

_[3],

en considérant les

_opérateurs

de création

et d’annihilation des électrons

_{d’énergie négative}

comme des

_opérateurs

d’annihilation et de création de

positrons,

on

_peut

reformuler la théorie des trous

en termes de

_positrons.

Le nombre infini des électrons de la théorie des trous se manifeste par une constante

additive infinie dans une

_partie

des

_opérateurs,

dont on

_peut

faire abstraction. Cette constante

additive

_apparait

sous une forme

_plus

_symétrique

par

rapport

au rôle des électrons et des

_positrons

dans la formulation de

_Heisenberg

_[4,

5,

6]

et est contenue sous cette forme

_dans

la définition des

opérateurs

de la théorie covariante de

_Schwinger

_[7].

Dans ce

_qui

suit,

nous définissons d’abord

_l’espace

des états d’un

_système

d’électrons et de

_positrons

et introduisons ensuite les

_opérateurs

de cet _espace.

Les

_opérateurs

_{correspondront}

ainsi à la contri-bution des

_{particules présentes,}

et l’absence des

constantes additives « triviales » sera une consé-quence

logique

de la théorie et non le résultat d’une

règle

de soustraction. Les infinis

_plus

fondamentaux de la théorie du

_positron

_apparaissent

naturellement de la même

_façon,

mais on

_peut

_espérer

arriver

plus

facilement à une

_{compréhension}

du formalisme en

_partant

d’une

_{représentation}

_{simple qui}

n’intro-duit pas des constantes additives infinies

_qu’on

peut

éviter.

Suivant la manière dont les

_opérateurs

de création

et d’annihilation se

_présentent

dans la

représen-tation de

_l’algèbre

extérieure

_[1],

il est _{évident que}

le

_changement

du rôle des

_opérateurs

de création

et d’annihilation de

_l’espace

R- des états

d’élec-trons

_{d’énergie négative correspond}

à la

repré-sentation des états de

_positron

_{par les} vecteurs

duals de

_l’espace

R-. Comme nous avons

_remarqué

en

(I),

dans le cas _{d’un espace de dimension} n finie

_l’espace

des vecteurs duals est

_isomorphe

à

l’espace

des

_(n

-

i)-vecteurs représentant

un trou

dans le n-vecteur

_complet,

ce

_qui

montre la

corres-pondance

avec les idées de la théorie des trous.

L’état d’un électron libre

_peut

donc être carac-térisé par un élément de

_l’espace

_R+,

l’état d’un

positron

libre par un élément de

_l’espace

_R*,

et

les états du

_système

de

_particules

_peuvent

être caractérisés par les tenseurs

_{antisymétriques}

de

l’espace

R+

+ R-*.

La distinction entre les états d’électron et de

positron,

la division de R en

_R+

et

R-,

est liée à la notion de

_particules

libres. L’effet d’un

_champ

extérieur et les interactions entre les

_particules

peuvent

être introduits d’une

_façon

relativiste dans la

_{représentation}

d’interaction.

L’espace

A

_(R,

+

R*)

des états de la théorie du

_positron.

-

Soient a,. les éléments de base de

_l’espace

_{R+, a,,1}

les éléments de base de

_l’espace

R-.

Lés

a,.

_{correspondent}

aux fonctions d’onde

_d’énergie

positive

cp,.(x)

les a,,1 aux fonctions d’onde

_d’énergie

négative

CP,.I (x)

du

_système

orthonormal

_complet

de fonctions

_y,,(x)

du

_{développement (2).}

Un

élé-ment cl de

R+

peut

s’écire sous la forme

Un élément c, de R* s’écrit

Un vecteur contravariant

_{(4 a)}

caractérise un

état

d’électron,

un vecteur covariant

_{(4 b)}

un état de

_positron.

Nous introduisons les tenseurs

_{antisymétriques}

de

l’espace

R+ +

R*- en définissant la

_{multiplication}

extérieure des éléments de cet _{espace par les relations}

En vertu de la dernière

_relation,

l’état d’un

_système

de

_particules

sera

_également

_{antisymétrique}

_par

rapport

à la

_permutation

du rôle d’un électron et

d’un

_positron.

La théorie sera

_ainsi,

en accord avec la théorie des trous, essentiellement différente d’une théorie dans

_laquelle

l’électron et le

_positron

seraient considérés comme deux

_particules

élémentaires

indépendantes.

Ceci

_peut

donner des différences

remarquables

dans les calculs à cause des effets

d’échange

[8].

Les

_produits

_{a"1 a"2}

... a"r

a",f,

...

a;,;

- a$,,

de j

facteurs a,. et de

_f’

facteurs

a,*.,

engendrent

f+f’

l’espace

A (R+-

-t

R*)

des tenseurs

_{antisymétriques}

de, Ri

fois contravariants par les indices r et

_J’

fois covariants par les indices r’. Un élément de cet

espace caractérise l’état d’un

système de i

électrons

et de

_{f’ positrons. L’espace}

des états d’un

_système

d’électrons et de

_positrons,

où le nombre des

parti-cules

_peut

être indéterminé et

_{peut varier,}

est

l’espace

/B

(R+ +

R*),

somme directe des

f+f’ v

espaces

(R,

+

R*-),

Un élément normé de cet _espace

_peut

s’écrire sous la forme

J

En introduisant les

_opérateurs

de

_l’espace

A

(R+ +

R*),

nous écrirons a,,,

a;"

également

pour les

_opérateurs

de création des électrons et

posi-trons. En

_appliquant

ces

_opérateurs

de création à

_l’état,

_représenté

_{par le} tenseur de

_degré

zéro du

0+0

sous-espace /B

(R+ + R*),

où il

n’y

a aucune

particule présente,

on obtient les éléments

₍₄

cl,

b)

de

R+

et R*. Tout élément de A

(R+

+

R*)

peut

être obtenu à

_partir

de ce tenseur de

_degré

zéro par

l’application

d’une combinaison linéaire de la forme

₍₆₎

de

_{produits d’opérateurs}

de création.

La

_{représentation}

des états à l’aide de

_l’algèbre

extérieure nous

_{paraît plus}

claire par le fait

qu’on

ne doit _pas définir un état _{du vide pour arriver} aux

états du

_système

à l’aide des

_opérateurs

de création.

La notion élémentaire est celle des vecteurs

₍₄

a,

b)

représentant

l’état des

_particules

_{individuelles,}

et

l’on obtient les états

₍₆₎

du

_système

comme combi-naisons linéaires des

_produits

de ces vecteurs.

La différence

_{f - f’}

des indices contravariants

et covariants d’un tenseur

caractérise

la

_charge

totale du

_système.

A cause de la conservation de la

_charge

_électrique,

les

_opérateurs

les

_plus

importants

de la théorie sont réductibles aux

sous-espaces

de A

(R+ + R*-) correspondant

à une valeur déterminée de

_f

-

545

Les

_opérateurs

de

_{l’espace /B (R,}

+

R*).

- Les

opérateurs

linéaires de

_l’espace

/1,

(R+

+

R*-)

peuvent

être introduits d’une

_{façon analogue}

_[1]

aux

opéra-teurs de

_{l’espace /B}

R. Ils

_peuvent

être

_exprimés

à

l’aide des

_opérateurs

de création et d’annihilation.

Les

_opérateurs

de création a,.,

a;,

sont définis comme des

multiplications

extérieures

_{par les}

vecteurs

correspondants

de

_l’espace

R+

+ R*. Ils

augmentent

le

_degré

d’un tenseur d’une unité. On a

_{[conformément}

à 1

(27)]

,

L’ordre des facteurs

_peut

être ramené à l’ordre conventionnel à l’aide des

_règles

d’anticommu-tation

₍₅

a,

b).

Les

_opérateurs

d’annihilation

_{a;, ar,}

sont définis

comme une

_espèce

de division sans reste _{par les}

éléments de base

_{correspondants.}

Ils diminuent le

degré

d’un tenseur d’une unité. On a conformément à 1

₍₂₈₎

A l’aide de ces définitions

_[et

des relations

ana-logues

à 1

₍₂₉

a,

b)]

on

_peut

vérifier les relations d’anticommutation des

_opérateurs

de création et

d’annihilation

_{a,., a; :}

où les indices r

_peuvent

être les indices r des éléments de

R+

ou les indices r’ de R*.

Les

_opérateurs

n,. = _a,.

a; ,

_n,,, =

a; ,

_a,., sont les

projecteurs

des états du

_système

dans

_lesquels

l’état r est

_occupé

_par un électron ou _{l’état r’ par} un

_positron.

Comme le nombre des

_particules

_peut

varier par la création et l’annihilation de

_paires,

tandis que la

charge

totale du

_système

est

conservée,

l’opérateur

le

_plus

_important

de la théorie du

_positron

est

_{l’opérateur}

de la

_charge

totale

Q

a les valeurs propres

_{f -}

_f’

et les vecteurs

propres

(7).

Les

_opérateurs

M et les constantes addi-tives. -

Ayant

défini

_l’espace

_1B

_(R+

+

R*)

comme

_l’espace

des états d’un

_système

_{d’électrons,}

les

_quantités

mesurables de la théorie seront

repré-sentées par des

opérateurs

hermitiens de cet

espace. Les

opérateurs

les

_{plus simples}

de

1B

(R, + R *)

sont les

_opérateurs

dont les termes contiennent un facteur covariant et un facteur contravariant.

Ils

peuvent

être écrits sous la forme

-Le rôle des

_quatre

_{opérateurs (13)}

est différent

et leur sens

_physique

_peut

être bien distinct.

_M++

est

un

_opérateur

de

l’espace /B

R+,

M-- un

_opérateur

de

_{l’espace /B}

Rl. Tous les deux laissent invariant le nombre des

_{particules. L’opérateur}

_{M+_ augmente}

d’une unité le nombre des électrons et celui des

positrons,

et

_correspond

ainsi à la création d’une

paire.

M-+

diminue d’une unité le nombre des électrons et des

_positrons

et

_correspond

à l’annihi-lation d’une

_paire.

_{La valeur moyenne des}

opéra-teurs

_{M,,-, M-+}

est nulle dans un état où le nombre des

_particules

a une valeur définie.

On

_peut

écrire avec une notation

_abrégée

_pour

l’opérateur

M

La

_{signification}

du

_{signe -,}

est selon

_(12),

₍₁₃₎

dans le cas r =

r’,

s

_{= s’, a,,, a _ - a,*,}

_a,.,. M diffère ainsi de

_{l’opérateur}

_{, M, s a,, a_*}

de

rs

l’espace /B

R par la constante

_additive,

finie ou

infinie,

_IMr,I".

j’

Nous avons choisi dans les

_expressions

₍₁₃₎

une notation des coefficients

lVl,.,s

qui

n’est pas

pour faciliter la

comparaison

de M avec les

opéra-teurs formés à l’aide des éléments de matrice

d’un

_opérateur

M de

_l’espace

R des états de la théorie d’un seul électron.

_Cependant,

_{tandis que} dans la théorie de l’électron non relativiste il existe une

_{correspondance}

_simple

entre les

_opérateurs

M de R et les

_opérateurs

_{Y, (r}

_{1 M s) a,, a,,*}

de

l’espace /B

R des états du

_système

de

_particules,

la relation

entre les coefficients de

_{l’opérateur (12 a)}

de la théorie du

_positron

et les éléments de matrice

₍₁₄₎

ne conserve _pas

_toujours

le sens

_physique

des

opérateurs

[9],

et a

_priori

il est bon de

_distinguer

entre les deux notions.

On

_pourrait

écrire au lieu de

_{(12 a)}

avec une

autre notation

_M§.;a)

a,,, un

_opérateur

_qui

rs

diffère de

_{l’opérateur}

_{M;,, ai, a,}

de

_{l’espace A R*}

rs

par la constante

1

M;,,,

et établir ainsi une

rela-r

tion avec les

_opérateurs

de

_l’espace

R*

_{correspondant}

aux états des

_positrons.

Les

_{opérateurs (12 a)}

de

l’espace /B (R+

+

R*)

des états de la théorie du

positron

ne doivent donc pas être considérés comme

résultant de la soustraction d’une constante des

opérateurs de /B

R ou

_{de /B}

_R*,

ou _par une

pres-cription

de

_{symétrisation.}

En introduisant les

_opérateurs

où les fonctions _{d’onde (p,}

_(x)

=

,. (x,

o)

sont des

spineurs

à

_{quatre composantes,}

avec

Mrs =

_{(r 1 m 1 s)}

on

_peut

écrire les

opérateurs

(13)

sous la forme

Cette notation

_peut

être considérée comme

symé-trique

par

rapport

aux _espaces

R+

et R* des états des électrons et des

_positrons.

A l’aide de

₍₁₇₎

on

_peut

former les deux

_opérateurs

et

qui correspondent

avec des sens

_physique

différents à

_{l’opérateur}

M de la théorie d’un seul électron

_[9].

Par une transformation

unitaire,

on obtient des

opérateurs (16)

de la

_{représentation}

de

_Schrôdinger

les

_opérateurs

BIf’:!:

(x,

t),

qr:

(x, 1)

de la

_{représentation}

d’interaction

_qui

satisfont aux

équations

de Dirac d’un électron libre et ont des relations d’anti-commutation invariantes relativistes. En écrivant au lieu de

₍₁₆₎

ces

_opérateurs

dans les expres-sions

_(17),

on obtient les

_opérateurs

_{correspondants}

dans la

_{représentation}

d’interaction.

Les

_opérateurs

_{41, (x,}

_o),

’*

_(x,

_o)

sont formés à l’aide des.

_opérateurs

d’annihilation,

les

opéra-teurs

_{T* (x, o),}

41-

_{(x, o)}

à l’aide des

_opérateurs

de création de la théorie du

_positron.

Ils

_jouent

ainsi

un rôle

plus

fondamental _{que les} combinaisons et

Les

_opérateurs

_{(17 a, b) exprimés}

à l’aide de ces

opérateurs

ne contiennent pas de constantes addi-tives. Il

_n’y

a aucune raison de considérer les

opé-rateurs

-ou

547

comme

_plus

fondamentaux.

_{(18) représente}

l’opé-rateur de la théorie des trous. Comme

_opérateur

de

l’espace /B (R+ + R*)

il contient une constante

additive,

souvent infinie.

₍₁₉₎

_correspond

à la

prescription

de

_Heisenberg

_[5],

où

_{l’opérateur (18)}

de

_{l’espace /B}

R de la théorie des trous avec une infinité d’électrons

_{d’énergie négative}

est

_symétrisé

à l’aide d’un

_opérateur

de

_{l’espace A}

R* des états de la théorie des trous avec une infinité de

_positrons

d’énergie

négative.

Pour les

_opérateurs

de la théorie du

_{positron représentant}

des

_{quantités changeant}

de

_signe

avec la

_charge

des

_particules

_[9],

la constante

additive de

_{l’opérateur}

₍₁₉₎

_disparaît.

Les

opéra-teurs de la théorie du

positron

indépendants

du

signe

de la

_charge

contiennent

_cependant

selon

₍₁₉₎

une constante additive finie ou infinie.

₍₂₀₎

corres-pond

avec

_{41 (x, t)}

au lieu de

_{ll’(x, o)}

à la définition de

_Schwinger

des

opérateurs

de la théorie du

posi-tron, et il est

_identique

à.

₍₁₉₎

si l’on choisit le

signe +

dans le cas

_{d’opérateurs}

hermitiens

indé-pendants

du

_signe

de la

_charge

et le

_signe

- dans le

cas

_{d’opérateurs}

hermitiens

_changeant

de

_signe

avec la

charge.

Les

_équations

u =

M ; c.

- A l’aide des définitions

(8),

(9)

des

_opérateurs

et les

_règles

d’anticommuta-tion

₍₅

a,

b)

du

_produit

extérieur,

on

_peut

facilement calculer dans

_{l’espace /B (R+}

+

Rl)

avec des

équa-tions contenant des vecteurs et des

_opérateurs.

Pour

les

_{opérateurs (13)}

on a

_[voir

aussi 1

_(48)],

on a, avec

L’opérateur

M commute avec

_{l’opérateur}

_Q

de la

_charge

totale. A un élément

₍₇₎

du sous-espace

de /B

(ht

+

R*) correspondant

à une valeur propre

f - f’

de

_{Q appartient}

selon

_{(22), (23)}

un élément u _{du même sous-espace.} En

explici-tant

₍₂₃₎

_{pour les valeurs}

_{f - f’ = o,}

_i, - T de

la

_charge,

on a

Abstraction faite des différences de

_signe

dues à des notations

_{différentes,}

les relations

_(23),

_(24),

(25), (26)

diffèrent des relations

_{correspondantes}

de

Furry

et

_{Oppenheimer [loc.}

cit.

_[3],

_{équations (2.31),}

(2.33), (2.34), (2.35)]

par les facteurs

numériques

qui

interviennent dans les coefficients du

dévelop-pement

de la fonction d’onde dans

_l’espace

de

confi,

guration

en choisissant une base dans

_l’espace

de

toutes les fonctions de

_{f particules}

au lieu des

déter-minants de Slater constituant la base des fonctions d’onde

_{antisymétriques. [Il}

est _{à remarquer que les}

facteurs

_numériques

de

_Furry

et

_Oppenheimer

correspondent

à des facteurs de normalisation

_{+,’fl +/ V.}

Pour obtenir des fonctions d’onde correctement

normalisées dans

_l’espace

de

_{configuration,}

il faut choisir des facteurs de normalisation

_{vi (f}

+

t’)

1. Ces

derniers

correspondent

à des fonctions d’onde

antisymétriques

par

rapport

à la

_permutation

des rôles d’un électron et d’un

_positron,

les

_premiers

à des fonctions d’onde

_qui

ne sont

_{antisymétriques}

que par

rapport

à la

_permutation

des rôles de deux électrons ou de deux

_positrons.]

Il n’est pas nécessaire

cependant

de considérer ces

_équations

comme des

_équations

dans

_l’espace

de

_{configuration,}

bien

_qu’avec

une fonction d’onde

antisymétrique développée

selon des déterminants de Slater les

_équations

des coefficients

cl"’ ° ° ° "f;i ... ,jj.,j

représentent

aussi les

_équations

de

_l’espace

de

configuration.

Mais elles

_peuvent

être

_également

considérées comme des

_équations

entre les coefficients

des éléments

₍₆₎

de

_{l’espace A (R+ + R*-)}

des

états du

_système

dans la

_{représentation}

de la seconde

quantification.

Là où l’ordre des indices des coeffi-cients diffère de l’ordre

_{lexicographique}

les notations

_employées

_marquent

_{seulement que} pour

simplifier

l’écriture,

nous avons inclu une

puissance

de

_{(- I)}

dans les

c[r1" .7frf...rf,J.

Il serait

cependant

presque

impossible

d’écrire les mêmes

équations

avec la notation habituelle des coeffi-cients

Les états des

_particules

libres et la

repré-sentation d’interaction. - La définition des états

d’électrons et de

_positrons,

et de

_l’espace

_{A (R,+R*-)}

est liée au

_spectre

de

l’opérateur d’énergie

d’une

particule

libre. La théorie

_prend

une forme

_plus

relativiste dans la

_{représentation}

d’interaction,

en caractérisant les états des électrons et des

_positrons

de

R+

et de R* _{par des fonctions d’onde}

_ayant

une variation

_temporelle

conforme aux

équations

d’onde de Dirac des

_particules

libres. L’effet des

_champs

extérieurs et des interactions se manifeste alors dans la variation

_temporelle

des coefficients des éléments de

_{l’espace /B}

_{(R+ + R*).}

549

L’état 4) du

système

est un élément de la forme

₍₆₎

de

_l’espace

_/B

_(R

+

R*). L’opérateur

W

_représente

l’énergie

des

_particules

_libres,

_W1

_l’énergie

d’inte-raction avec un

_champ

extérieur et les

_interactions

entre les électrons et les

_positrons.

On arrive à la

_{représentation}

_{d’interaction par} une transformation

_{canonique :}

où

(D,,

satisfait

_{l’équation}

d’onde

On

peut

naturellement

_remplacer

la variation en fonction du

_{paramètre 1}

_{par des}

_{expressions plus}

covariantes

_{correspondant}

à des

_{hypersurfaces}

de

l’espace-temps,

mais la covariance relativiste de la théorie ne

_dépend

_{que de la forme de}

_{l’opérateur}

_V1.

Étant

donné le

_rôle

_joué

par les espaces

R+

et

R-,

il

_apparaît

_{que dans la théorie} du

_positron

la

_{représentation}

_{d’interaction n’est pas seulement} une

_{représentation toujours possible,}

mais que les

états des

_particules

libres

_jouent

un rôle

_primordial

dans les bases mêmes de la théorie. Dans certains

champs

extérieurs il est encore

_possible

de faire une distinction nette entre les états

_{d’énergie positive}

et

_négative

d’un électron. Les

_champs

_analogues

à ceux

_qui

donnent lieu au

_paradoxe

de Klein

ne

_permettent

_cependant

plus

cette distinction d’une

façon univoque,

et la

_plupart

des

_exemples

mathé-matiques qu’on

peut

construire semble-t-être de ce

type

[3,

10].

D’autre

_part,

même si l’on

_peut

définir

R+

et R- dans un

_champ

extérieur

donné,

cette définition est liée au

_{champ spécial}

considéré

et doit être

_changée

_pour un

_champ

différent. Du

_point

de vue des

_calculs,

l’introduction des fonctions d’onde d’une

particule

dans un

_champ

extérieur,

ou une transformation

_canonique

corres-pondante,

peut

présenter

de

_grands

_avantages.

La manière dont les résultats

_peuvent

se traduire dans la

_{représentation}

des

_particules

libres a été montrée par

Furry

et

_{Oppenheimer [3].}

A un électron dans un

_champ

extérieur

_correspond

ainsi en

_général

un état du

_type

₍₆₎

du

_système

d’électrons avec un nombre indéterminé de

_particules.

L’appa-rition de ces états dans la théorie du

_positron

cons-titue un élément tout à fait nouveau dans le forma-lisme

_quantique

et les

_{possibilités mathématiques}

qu’ils représentent

sont encore loin d’être bien

comprises

et méritent d’être étudiées.

La mesure des

quantités

_{représentées}

_{par des}

opérateurs

qui

ne commutent _pas avec

_{l’opérateur}

du nombre des

_particules

est

_également

liée à de tels états

_comprenant

un nombre indéterminé de

particules.

Le sens

_physique

des

_expressions

diver-gentes

qui apparaissent

en relation avec ces

opéra-teurs devrait être

_analysé

en étudiant les effets de création et d’annihilation de

_paires

liés à la mesure de ces

_{quantités [11].}

Manuscrit reçu le 16 juillet t _{I 950.}

BIBLIOGRAPHIE.

[1] VALATIN J. G. - J.

Physique Rad., I95I, 12, I3_{I désigné} dans le texte _par I.

[2] FOCK V. - C. R.

Leningrad, I933, n° 6, 267. [3] FURRY W. H. et OPPENHEIMER J. R. -

Phys. Rev.,

I934, 45, 245, 343.

[4] HEISENBERG W. 2014 Z. Physik, I934, 90, 209, 92, 692. [5] PAULI W. - Rev. Mod. Phys., I94I, 13, 203.

[6] Pour une _{bibliographie plus complète} des publications

sur la théorie du _positron, voir A. PAIS, Developments

in the _Theory of the _{Electron, Princeton, I948.}

[7] SCHWINGER J. -

Phys. Rev., I948, 74, I439; I949,

75, 65I; 76, 790.

[8] BHABHA H. J. - Proc. Roy. Soc. A, I936,

154, I95. [9] VALATIN J. G. - C. R. Acad.

Sc., I950, 230, 822, 925. [10] PLESSET M. S. -

Phys. Rev., I932, 41, 278.

[11] Voir HEISENBERG W. 2014 Verh. Sachs. Ak., Leipzig, I934, 86, 3I7. - BOHR N. et ROSENFELD L. -

Phys.