HAL Id: jpa-00234437
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Sur l’interprétation des opérateurs de la théorie du
positron
Jean G. Valatin
To cite this version:
SUR
L’INTERPRÉTATION
DESOPÉRATEURS
DE LATHÉORIE
DU POSITRONPar JEAN G. VALATIN. Institut Henri Poincaré, Paris
(1).
Sommaire. 2014 Le transformé de charge M des opérateurs M de la théorie d’un seul électron de Dirac est défini indépendamment de la matrice C et de la représentation matricielle. On distingue des opéra-teurs égaux ou opposés à leurs transformés de charge, et des relations sont établies entre les éléments
de matrice
de
ceux-ci. Ces relations relient par la correspondance formelle (3) les opérateurs hermi-tiens M = M à des opérateurs M de la théorie du positron changeant de signe par l’effet de latrans-formation (24), qui change le rôle des opérateurs de création et d’annihilation des électrons et des
positrons, les opérateurs hermitiens M = - M à des
opérateurs
M invariants par rapport à celle-ci.Pour garder le sens dynamique des opérateurs M = M on peut introduire encore une autre
corres-pondance (27) entre les opérateurs de la théorie d’une seule particule et de la théorie du positron.
Le sens physique de ces deux correspondances est étudié sur quelques exemples. La dépendance de charge des opérateurs de la théorie du positron correspondant aux différentes expressions de densité
de l’électron de Dirac est déterminée. La classification introduite des opérateurs permet de formuler
un théorème simple de symétrie contenant comme cas spécial le théorème de Furry.
JOURNAL PHYSIQUE RADIUM.
12,
1951,
La théorie du
positron présente
parrapport
à la théorie d’unsystème
d’électrons non relativistesdes
particularités
et en mêmetemps
des difficultésnouvelles. Une meilleure
compréhension
du forma-lismeparaît
désirable en vue despossibilités
mathé-matiques
nouvelles fournies par cette théorie ainsi que de ces difficulté.Dans un travail
précédent [11
]
nous avons donné unereprésentation simple
des états de la théoriedu
positron
à l’aide des notions del’algèbre
exté-rieure.Ici,
nous essayonsd’analyser quelques
questions
concernantl’interprétation
physique
desopérateurs
et lasymétrie
decharge
de la théorie. Leproblème
de lacorrespondance
entre lesopérateurs
de la théorie d’une seuleparticule
et de la théorie dupositron.
Dans la théorie de l’électron non
relativiste,
l’état du
système
est caractérisé par un élément del’espace A
R des tenseursantisymétriques
del’espace
R des états d’un seul électron. Il y a unecorrespondance
simple
[1]
entre lesopérateurs
W de R et lesopérateurs
W = 03A3‘r
W
s)
ara;
de /B
R de la secondequantification
qui
repré-sentent la somme pour tous les électrons de laquantité représentée
par W dans la théorie d’une seuleparticule.
Dans la théorie du
positron
on doitdistinguer
entre les sous-espaces
R+
et R- de Rcorrespondant
aux états
d’énergie positive
etnégative
d’un seul électron libre. L’état d’un électron est caractérisé par un élément del’espace
R+.
Lechangement
du (1) Actuellement Universitetets Institut for teoretisk Fysik, Copenhague.rôle des
opérateurs
de création et d’annihilation des états de .R_correspond
à l’introduction desvecteurs duals de
R-,
et l’état d’unpositron
estainsi caractérisé par un élément de
l’espace
dual R*.L’état du
système
d’électrons et depositrons
estreprésenté
par un élément del’espace /B (R, + R*-)
des tenseurs
antisymétriques
del’espace
R+ +
R*.[1]
]
En introduisant une base de fonctions d’onde
P.c (x)
pour caractériser les états deR,
avec des indices rsoulignés,
nous écrivons des indices r nonsouiignés
pour les éléments de
R+,
des indicesprimés s’
pourles éléments de R-.
Les
opérateurs
lesplus
simples
del’espace
1B (R+
+Rl)
sont de la formea,.,
a;
sont desopérateurs
de création des électronset
positrons,
a; ,
a,, sont desopérateurs
d’annihi-lation. Nous avonssouligné
dans le travail cité[1]
]
que la notation peu
symétrique
des coefficientsM,.,
est choisie pour faciliter la
comparaison
de Mavec les
opérateurs
formés à l’aide des éléments de matriced’un
opérateur
M de R etqu’on
peut
définir lesopérateurs
M d’unefaçon
symétrique
parrapport
608
au rôle des électrons et des
positrons
sans introduireles constantes additives infinies de la théorie des
trous ou des
opérateurs
symétrisés
deHeisenberg.
L’introduction des états depositron
au lieu des étatsd’énergie négative
desélectrons,
lechange-ment de .R_ en
R:,
change
également
l’interpré-tation des
opérateurs.
Lacorrespondance
formelleentre les coefficients
Mr
s de(1)
et les éléments dematrice
(2)
d’unopérateur
M deR,
qui
est lacorres-pondance
entre lesopérateurs
de la théorie d’une seuleparticule
et de la secondequantification
dans la théorie non relativiste etqui
est introduiteégale-ment dans la théorie du
positron,
ne conserve pastoujours
le sensphysique
desopérateurs.
Avec une base de fonctions d’onde
planes
mono-chromatiques
et un volume de normalisationfini,
(3)
faitcorrespondre
àl’opérateur
de la théorie d’un seul électron
l’opérateur
de
/B
(R+
+Rt). (4) représente
lacomposante x
de la
quantité
de mouvement d’un seulélectron,
l’opérateur (4 a)
la mêmequantité
pour lesystème
d’électrons et depositrons. Cependant
àl’opérateur
de R
correspond
selon la mêmeprescription
Tandis que
(5)
est unopérateur important
de lathéorie d’un seul électron et
p2
représente
l’approxi-2m
mation non relativist,e de
l’énergie cinétique, (5 a)
nereprésente plus
la somme des mêmesquantités
pourles différentes
particules.
Car les états depositron
fournissent une contribution
négative
à la valeurmoyenne de cet
opérateur,
et dans un état où iln’y
a que despositrons présents
cette valeur moyenneest
négative.
On doit donc étudier d’une
part
le sensphysique
de la
correspondance (3)
et trouver d’autrepart
une
correspondance
entre lesopérateurs
physi-quement
analogues
de R etde /B
(R+ + R*.).
Ceproblème
est lié à celui de lasymétrie
decharge
de la théorie dupositron
et nous étudierons d’abordle transformé de
charge
desopérateurs
de la théorie d’une seuleparticule
en divisant cesopérateurs
endeux classes suivant
qu’ils
sontégaux
ouopposés
à leurs transformés de
charge.
La matrice C. Le transformé de
charge
Mde
l’opérateur
M. -Écrivons
l’équation
d’onde d’un électron de Dirac et sacomplexe
conjuguée
sous la forme03B11*, 03B1*2, 03B1*3,
03B2*=03B1*4
sont lesconjuguées complexes
des matrices hermitiennesai,
CX2’a3, 03B2
a(4 et sont~ ~ ~ ~ ~
égales
auxtransposées
a1, ;2’a3’
=a4 de ces
matrices.
On
peut
fairecorrespondre [2, 3]
àchaque
solu-tion r’d’énergie négative
del’équation
de Dirac d’un électron une solution rd’énergie
positive
etréciproquement,
par les relationsC est une matrice unitaire déterminée dans une
représentation
donnée des matrices ai, a2, C(.3’03B2 =
03B14. Laconjuguée complexe
C*,
l’adjointe
C+,
l’inverseC-1,
latransposée
Ù
et C satisfont les rela-tionsEn écrivant
(7)
dans(6 b), multipliant
par C-1et
comparant
avec(6 a)
on obtient les relationsDans la
représentation
deMajorana [4],
enchoisissant des matrices hermitiennes a1, CX2’ a3
avec des éléments de matrice
réels,
la matricehermitienne p
a4 avec des éléments de matriceimaginaires,
on aEn
appelant conjugaison
decharge
[8]
la trans-formation(7)
faisantcorrespondre
aux étatsd’élec-tron des états de
positron
etinversement,
Belin-fante[5]
définit pourchaque
opérateur
M de Run
opérateur
transformé decharge
M
par larela-tion
Dans la
représentation (7 a)
deMajorana
letrans-formé de
charge
M
de M estidentique
aucomplexe
conjugué
M*.-Les
opérateurs
M = M etM == 2013 M.
Défi-nition du transformé decharge
indépendam-ment de la matrice C. - En écrivant
tout
opérateur
M de Rpeut
êtredécomposé
enune
partie
égale
et unepartie
opposée
à sa transformée decharge.
La définition
(10)
du transformé decharge,
etainsi les définitions
(11) dépendent
de la matrice C. La matrice Cqui
relie selon(9)
les matrices xi à leursconjuguées complexes dépend
essentielle-ment de la
représentation
choisie de ces matriceset ne
peut
pas êtreexprimée
à l’aide des «iindé-pendamment
de lareprésentation
matricielle[6].
Nous pouvonscependant
définir le transformé decharge
M d’unopérateur
Mindépendamment
de lareprésentation
matricielle des ai. Eneffet,
à l’aidedes relations
(9)
onpeut
déterminer la transformée decharge
des 16 matrices de Dirac formées desa; (1
=1, 2,3,
4)
et les relations ainsi obtenuessont
indépendantes
de lareprésentation
matricielle choisie. On a parexemple,
En
exprimant
donc unopérateur
M à l’aide de x, y-dxet des
ai(i =1, 2, 3, 4)
on obtient le transformé de
charge
de M :par la transformation
en
changeant
lesigne
de l’unitéimaginaire ’
et de a4dans
l’expression
de M. Le transforméde
charge
d’un
opérateur
ne contenant que x etdx
estégal
à son
conjugué complexe.
En
exprimant
M à l’aide desopérateurs
hermi-tienson obtient selon
(12 b)
et(13)
le transformé decharge
par
En
exprimant
M en fonction des troisopérateurs
hermitiens Y1, ’Y2,
Y3 et
del’opérateur
anti-hermi-tienYo
le transformé de
charge
s’obtientsimplement
enchangeant
lesigne
de l’unitéimaginaire i
dansl’expression
deM,
comme(14 b) correspond
àyo--Yo.
En relation avec cette définition du transformé de
charge
d’unopérateur
qui
ne fait pas intervenirla matrice
C,
on doit noter leprocédé
de Som-merfeld[7]
pour obtenir une solutiond’énergie
positive
del’équation
d’onde d’unpositron
àpartir
d’une solutiond’énergie négative
del’équation
d’onde d’unélectron,
enexprimant
les solutions del’équa-tion d’onde de Dirac à l’aide des 16 nombres de
Cliff ord y;. En
remarquant
que la transforma-tion(14 b)
faitcorrespondre
l’équation
de Diracindépendante
dutemps
dans unchamp
extérieuravec la valeur + E de
l’énergie
et + e de lacharge
d’un
positron,
à la mêmeéquation
avec la valeur - Ede
l’énergie
et - e de lacharge
d’unélectron,
il conclutqu’on
peut
obtenir les solutionscorres-pondantes
des deuxéquations, exprimées
par les nombres de Clifford y;, par la même transforma-tion(14 b).
La distinction
(11
a,b)
desopérateurs
de Ravec M
= M
ou M= 2013 M
est ainsiégalement
indépendante
de lareprésentation
matricielle des oci.d2
Les
opérateurs
hermitiensI,
x,- DX-2 ) d
OC] 1i«2
as a4sont selon
(12
a)
égaux
à leurs transformés decharge,
M = M,
lesopérateurs
hermitiensid,
> dxi(z7- y y d) ’C2 OC3,
«4sont opposés
auxleurs,
l Zd
y-
Y d z l(;(2 (;(3’ (;(4 son opposes aux eurs, M == 2013 M.
La
définition donnée du transformé decharge
desopérateurs
estcependant
liée à larepré-sentation x, et tandis que dans cette
représentation
l’opérateur
- l12d2
estréel,
i 1-td
contient le610
facteur i,
dans lareprésentation
p lesopérateurs
p,et
p,2
sont tous les deux réels.Les relations entre les éléments de matrice des
opérateurs
hermitiens avec M=== M
et M =- M. - En introduisant lesprojecteurs
A+,
A-des sous-espaces
.R+,
R_ de Rcorrespondant
auspectre
positif
etnégatif
del’opérateur d’énergie
W d’un électron libreclaque opérateur
M de .Rpeut
êtredécomposé
sousla forme
Les deux
premiers
termesreprésentent,
dans laterminologie
deSchrôdinger,
lapartie paire,
lesdeux derniers la
partie impaire
del’opérateur
M. Les éléments de matrice desquatre
termes de cettedécomposition
sont liés auxconjugués
complexes
des éléments de matrice
correspondants
dutrans-formé de
charge
M. Ceci donne pour desopérateurs
hermitiens avec lVl = lVl ou
M =- M
des rela-tionssimples
entre les éléments de matrice des différents termes.En effet, en écrivant avec 9!:
= cpr (x)
=,. (x,
o)
et la relation
C-1 =-
G’-1 de(8),
au lieu de(7)
on a pour ces éléments de matrice
Ces relations
expriment qu’on
obtient lesconjugués
complexes
des éléments de matrice du transformé decharge
M àpartir
des éléments de matrice de M parrTr’,
s # s’.Pour un
opérateur
hermitien lesconjugués
complexes
des éléments due matrices sontégaux
auxéléments de matrice
transposés,
(19)
et(20)
donne entre les éléments de matriced’opérateurs
hermitiens Mégaux
ouopposés
à leurstransformés de
charge
les relationsLes éléments de matrice d’un
opérateur
hermitienavec M =
M
sont donc invariant parrapport
àl’application répétée
del’opération.
r r’,
s ’-- s’ et d’unetransposition,
tandis que les éléments dematrice d’un
opérateur
hermitien avec M = --- Mchangent
designe
pour les mêmesopérations.
Le
changement
de la relation au transforméde
charge
à l’aide del’opérateur A.
- Commenous le verrons tout à
l’heure,
les relations(21)
entre les éléments de matrice des
opérateurs
hermi-tiens Mégaux
ouopposés
à leurs transformés decharge
déterminent ladépendance
del’opérateur
Mde la théorie du
positron
lié à M par la correspon-dance formelle(3),
M,.,, ==(r
I, M
s),
parrapport
au
signe
de lacharge
électrique.
Pourchanger
ladépendance
del’opérateur
M parrapport
ausigne
de la
charge,
nous aurons besoin de coefficients M,.,associés à un
opérateur
de R dont la relation avec son transformé decharge
estopposée
à celle de M. Lapremière
relation(21)
relie les éléments de matrice des deux’premiers
termes de ladécompo-sition
(18)
de M
etpeut
êtrechangée
enchangeant
le
signe
de 11_ MA-. La seconde relation(21)
estune relation
intrinsèque
entre les éléments dematrice de
A_
M 11_,
ainsi que la troisième entreles éléments de matrice de A- M
À_-.
L’opéra-teur (M A
+ iB M)
formé à l’aide del’opérateur
Ade
(17 b)
est selon(17 b, c)
un
opérateur
pair,
Pour M
hermitien, ’ 9- (M
A + AM)
est selon(21),
(22) opposé,
si M= M,
ouégale
à son transforméLes éléments de matrice
de-(MA
+AM)
peuvent
donc fournir les coefficients nécessaires del’opé-rateur M.
Opérateurs
de la théorie dupositron
repré-sentant des
quantités changeant
designe
avecla
charge
ouindépendantes
de celuici.-L’exigence
de lasymétrie
decharge
de la théoriedu
positron
estcomprise
engénéral
dans le sensque les résultats de la théorie doivent être les mêmes
en
partant
au lieu de lareprésentation
sur les étatsd’électrons d’une
représentation
sur les états despositrons.
Cecicorrespond
à laconjugaison
decharge (7)
avec unchangement
simultané dusigne
de la
charge
epartout
où celle-ciapparaît
explici-tement dans
l’expression
desopérateurs
[5,
8,
9].
Bien que cettesimple exigeance
permette
égale-ment
quelques
conclusions élémentaires etimpor-tantes
[9],
pour donner unedescription
dusystème
de
particules
on doit choisir dès le début une desdeux alternatives. En
partant
des étatsd’électrons,
on obtient ainsi pour les états du
système l’espace
1B
(R+ -f- R-*).
Il y acependant
unesymétrie
decharge
intrinsèque
de la théorie dupositron
avecun choix défini de
l’espace
des états dusystème.
Ceci se manifeste par le
comportement
desopé-rateurs par
rapport
auchangement
de rôle desétats d’électrons et de
positrons,
et ainsi parrapport
au
changement
dusigne
de lacharge électrique.
Les relations(7)
fontcorrespondre
àchaque
étatd’électron r de la théorie du
positron
un état depositron
r’. La transformationqui échange
lesopérateurs
de création a,.,a;,
etles
opérateurs
d’annihilationa; , a,.,
des électronset des
positrons correspond
à unchangement
designe
de lacharge électrique.
Elle transformechaque
opérateur
Z del’espace
/B
(R+
+R*-)
en unopé-rateur ZO :
En écrivant
chaque opérateur
Zpeut
êtredécomposé
en deuxopérateurs
Z,
etZ,1
tels que l’effet de(24)
soit()n
peut
doncdistinguer
deux classesd’opérateurs
del’espace /B (R+ R*).
Lesquantités
mesu-rables de la théorie du
positron changeant
designe
avec la
charge
e desparticules,
comme lacharge
totale du
système
ou lescomposantes
de la densité de courantélectrique,
sontreprésentées
par desopérateurs
hermitiensZI
changeant
designe
par la transformation(24).
Lesquantités
mesurablesindé-pendantes
dusigne
de lacharge électrique,
commele moment où le
spin
dusystème
oul’énergie
d’inter-action coulombienne des
particules,
sontreprésentées
par des
opérateurs
hermitiens dutype Zn.
En
appliquant
latransformation a; 5=
a;,,
ar T a,.,
aux
opérateurs
M de(1), (1 a), M++,
M--changent
leurs
rôles, M+-, M-+
se transformentséparément
et, en tenant
compte
des relationsd’anticommu-tation des a,.,
a*,
on obtient entre les coefficients desopérateurs
M -+ qi Mchangeant
designe
avec la
charge
électrique
ouindépendants
de cesigne
les relationsLa
correspondance
entre lesopérateurs
de lathéorie d’une seule
particule
et de la théoriedu
positron.
- Encomparant
les relations(21)
et(26),
on voit que lacorrespondance
formelleM,. s
= (r
1 M s)
de(3)
relie à unopérateur
hermi-tien
M
= M de Régal
à son transformé decharge
un
opérateur
M del’espace A (R,
-1-R*)
des étatsde la théorie du
positron changeant
designe
avecla
charge
électrique,
à unopérateur
hermitienM
= - M
de Ropposé
à son transformé decharge
un
opérateur
M de/B
(R+
-E-R*) représentant
unequantité
indépendante
dusigne
de lacharge.
Lechangement
du rôle des espaces R_ et Rl entraîneune
dépendance
parrapport
ausigne
de lacharge
électrique
desopérateurs
de la théorie dupositron,
changeant
ainsil’interprétation
physique
desopé-rateurs.
L’interprétation
de lacorrespondance
M,. ,
_(r 1 M 1 s)
est donnée par la relationindiquée.
Dans le cas des
opérateurs
hermitiens M =M,
cette
correspondance change
donc unopérateur
Mayant
uneinterprétation
dynamique (ou
cinéma-tique)
dansR,
en unopérateur
Mde /B
(R+
+Rl)
changeant
designe
avec lacharge (et
n’ayant
ainsiqu’une interprétation
électrodynamique).
Onpeut
trouver
cependant
unopérateur
Mde /B
(R+
+Rl)
indépendant
de lacharge
etayant
la mêmeinter-prétation
dynamique
pour lesystème
d’électronset de
positrons
que lapartie
paire
de M pour uneseule
particule.
Selon(23),
cetopérateur
est fourni par(1)
avecDans le cas de
l’exemple (5)
del’opérateur
p2 =-h=3,
cettecorrespondance
donne612
dont le
spectre
ne contient pas de valeursnégatives
et
qui multiplié
par-2-
peut
êtreinterprété
comme2m
l’approximation
non relativiste del’énergie cinétique
du
système
departicules.
La
correspondance (27)
relie,
selon(23),
à un.opérateur
hermitien M = M de R unopérateur
Mde la théorie du
positron indépendant
dusigne
de lacharge,
à unopérateur
hermitien M = -M
unopérateur
Mchangeant
designe
avec celle-ci.Dans le cas d’une seule
particule
ce n’est que lapartie paire
d’unopérateur
qui
peut
avoir uneinterprétation physique proprement
dite,
parce quel’interprétation
de lapartie impaire
desopérateurs
est liée à la théorie du
positron
avec un nombreindéterminé de
particules.
A unopérateur pair,
ouà la
partie paire
d’unopérateur,
onpeut
fairecorres-pondre
par(3)
ou(27)
deuxopérateurs
M de lathéorie du
positron,
l’unindépendant
dusigne
de lacharge,
l’autrechangeant
designe
avec elle. Par leurpartie impaire
lesopérateurs
de Rcorres-pondent
selon le sensphysique
de lacorrespondance
formelle
(3)
à unedépendance
decharge
définiedes
opérateurs
de li
(R+ +
R-*).
Selon Belinfante
[9]
certainesexpressions
de laMécanique
ondulatoire n’ontplus
de sensphysique
après
la secondequantification,
dans la théorie dupositron.
Selon les relations établies onpeut
donnerune
interprétation physique
à toutopérateur
Mde
l’espace li (.R+
+.R*),
bien que lesopérateurs
Mphysiquement
importants
ne soient pastoujours
liés aux
opérateurs correspondants
M de R par larelation Mur _
(r
M
I s).
Charge
totale et nombre departicules.
Densité de
charge
et densité deprobabilité.
-IJtudions
encore surquelques exemples
lescorres-pondances
(3)
et(27). L’opérateur
unité 7 de Rest
égal
à son transformé decharge. (3)
lui faitcorrespondre l’opérateur
de lacharge
totale dusystème
opérateur
qui
commute avec toutopérateur
Mde
(1).
Selon(27) correspond cependant
àl’opé-rateur I de R
l’opérateur
qui représente
le nombre departicules
dusystème.
Q
change
designe
avec lacharge
desparticules,
N est
indépendant
de celle-ci.A la
charge
totaleQ
correspond
unopérateur
dedensité de
charge,
lié par(3)
àl’opérateur a (x
-xl)
de
R,
qui
découlepour 1
= o del’opérateur
de lareprésentation
d’interaction[1]
]
A
l’opérateur
N du nombre departicules appartient
également
uneexpression
de densitéqui représente
la densité de
probabilité
pourqu’on
trouve uneparticule
aupoint
x. Cetopérateur
de densité estindépendant
dusigne
de lacharge
desparticules
ets’obtient à
partir
de à(x
-xi)
par la correspon-dance(27). L’opérateur correspondant
de larepré-sentation
d’interaction,
qui
caractérise la variationtemporelle
de la mêmequantité
pour unsystème
de
particules
libres,
estDensité de courant
électrique
et densité de courant deprobabilité.
- Lesopérateurs
oc,, a(2, CX3 deR,
qui
sontégaux
à leurs transformés decharge, représentent
la vitesse dans la théorie d’une seuleparticule.
Selon(3)
leurcorrespondent
dans/B
(R,
+R*)
lescomposantes
del’opérateur
C’est un
opérateur changeant
designe
avec lacharge,
et il
représente
le courantélectrique
résultant dusystème.
L’opérateur
de la somme des vitesses desparticules
s’obtient par(27)
et s’écrit avec la baseemployée
pour(4 a), (5 a)
avec
. ~
Ce n’est que la
partie paire
de ocqui
intervient dansl’expression représentant
une vitesse dans la théoriedu
positron,
et le tremblement deSchrôdinger
dela théorie d’un seul électron ne
correspond plus
dans la théorie du
positron
à une oscillation de lavitesse des
particules,
mais à une oscillation ducou-rant
électrique
due à la création et l’annihilationpropres ,
±
c del’opérateur
coci avec les valeurspossibles
de la vitesse d’un électron.~
A
l’opérateur (32),
et àl’opérateur
ao(x
-Xl)
deR,
correspond
dans lareprésentation
d’interactionl’opérateur
de la densité de courantélectrique
Tandis que
l’opérateur (33)
de la somme des vitesses desparticules
neparaît
pas avoir d’intérêtphysique,
l’expression
de densitécorrespondante, qui
s’obtient~
de ocô
(x
-xi)
par(27)
etqui
s’écrit dans la repré-sentation d’interactionreprésente
la densité de courant deprobabilité
desparticules.
Les
opérateurs
de densité decharge
et de courantélectrique (30)
et(34)
de lareprésentation
d’inter-action se transforment par une transformation de Lorentz comme lescomposantes
d’unquadrivecteur.
Lesquatre
termes de(30)
et de(34)
se transformentséparément,
et lesopérateurs (31)
et(35)
de la densité deprobabilité
et du courant deprobabilité
sont ainsi
également
lescomposantes
d’unquadri-vecteur. Les
opérateurs (31),
(35)
de lareprésenta-tion d’interaction satisfont aussi
l’équation
de continuité.Cependant,
tandis que pour la densitéde
charge
et de courantélectrique l’équation
decontinuité reste
également
valable dans larepré-sentation de
Heisenberg,
en tenantcompte
de lavariation
temporelle
due aux interactions entre lesparticules
ou à unchamp
extérieur,
à cause de lacréation et de l’annihilation de
paires
lesopéra-teurs de densité de
probabilité
de lareprésentation
deHeisenberg
ne satisfontplus l’équation
de conti-nuité.Opérateurs
du momentélectrique
et de lasomme des coordonnées. -
L’opérateur
x de Rest
égal
à son transformé decharge
etl’opérateur
de A
(R,
+.R*) correspondant
à x selon(3)
est ainsi un
opérateur changeant
designe
avec lacharge.
Il nereprésente
donc pas la somme de coordonnées desparticules,
mais unecomposante
de la somme des moments
électriques. L’opérateur
’ densitaire
correspondant,
est
l’opérateur,
dans lareprésentation
deSchrô-dinger,
du moment de la densité decharge
parrapport
àl’origine.
La somme des coordonnées des
particules
carac-térisant leur distance moyenne à
l’origine
s’obtient par sommation del’opérateur
densitaireC’est un
opérateur
indépendant
de lacharge
etlié à x par la
correspondance (27).
A une fonction
réelle p (x)
de xreprésentant
pourun seul électron
l’énergie potentielle
dans unchamp
scalaire extérieur
correspond
également,
selon(3),
un
opérateur changeant
designe
avec lacharge.
~ ~
C’est le cas aussi pour
l’énergie
d’interaction oc . A(x)
~
dans un
champ
A(x)
extérieur.L’opérateur
défini par le moment de la densitéd’énergie
pour caractériser le centre de masse dansun
système
de référence donné[10]
est un
opérateur
nedépendant
pas dusigne
de lacharge
etreprésentant
ainsi une coordonnée d’unpoint.
Dansl’interprétation
dupoint correspondant
comme le centre de masse d’un
système
d’électronsde Dirac on rencontre
cependant
la difficulté quel’expression
de la densitéd’énergie
d’unpaquet
d’onde de l’électron de Diracpeut
prendre
des valeursnégatives.
Les différentes
expressions
de densité del’électron de Dirac. - Selon
(12 a)
lesopérateurs
hermitiens(1,
a1, CX2’(a3),
(i«2
a3 a4,ia3
ai OC4,i«1
«2 «4,i«1
«4,iOC2
a4’i«3 «4)
sontégaux
à leurs transformés decharge,
lesopérateurs
hermitiens(i«?
«3,i«3
CXI’i«1
0(3,i«1
OC2«3),
«4, ai as OC3 OC4 sontopposés
aux leurs.614
des
quantités indépendantes
dusigne
de lacharge.
Lesopérateurs
densitairescorrespondant
aux dixopérateurs dépendant
dusigne
de lacharge
sont les densités decharge
et de courantélectrique
et les densités de momentmagnétique
etélectrique.
Lesopérateurs intégrés
surl’espace représentent
lacharge
et le courantélectrique
total dusystème,
et les moment
magnétique
etélectrique
résultants. Lesopérateurs
densitairescorrespondant
aux sixopérateurs indépendants
dusigne
de lacharge
sontle
quadri-vecteur
de densité despin
et les deuxinvariants de la théorie de l’électron de Dirac. Les
opérateurs
densitaires de lareprésentation
d’interactiongardent
leurpropriété
concernant lesigne
de lacharge
parrapport
à une transformationde Lorentz. En ce
qui
concernecependant
lesopérateurs intégrés,
lesopérateurs
aicorrespondant
aux troiscomposantes
du courantélectrique
totalet aux trois
composantes
duspin
résultant setrans-forment ensemble comme les
composantes
d’untenseur
antisymétrique
du seconddegré,
et cettetransformation ne conserve ni la
propriété
decharge
ni l’hermiticité desopérateurs.
Ceci montreégalement
lefait,
souligné
souvent par Louis deBroglie,
que ce sont lesexpressions
densitaires de la théorie de l’électron deDirac,
qui
ont unesigni-fication
physique
plus
fondamentale. Pour obtenir lescomposantes
duspin
résultant dans un autresystème
deréférence,
on doit tranformer lesexpres-sions densitaires et faire
l’intégration
dans leplan
de simultanéité du nouveausystème
de référence.~ ~ B
d d
A l’aide des
opérations
i - - 2013 )
dxi dxi / ’(i =1,
? 2, ?3,
?/)4),
on
peut
former àpartir
des 16expressions
de densité de lareprésentation
d’interaction d’autresexpres-sions de densité dont
quelques
unes, comme la densitéde courant de Gordon ou le tenseur
inertique,
ontune
interprétation
physique
simple.
Onpeut
voirsimplement
queles 4
x 16opérateurs
de densité ainsi obtenus ont unedépendance
parrapport
ausigne
de lacharge
contraire à celle desopérateurs
àpartir
desquels
ils étaient formés.4
X I oopé-rateurs sont
indépendants
dusigne
de lacharge,
4
X 6changent
designe
avec celle-ci. Les relationsdifférentielles de Franz-Kofink
[11],
qu’on
obtient pour l’électron libre parl’équation
de Dirac etqui
relient les 16 et4
X 16expressions
densitaires,
restent
également
valables dans la théorie d’unsystème
departicules
pour lesopérateurs
densi-taires de la
représentation
d’interaction.Ces relations
peuvent
êtregroupées
en deuxsous-systèmes,
l’un contenant lesopérateurs
densitaireschangeant
designe
avec lacharge,
l’autre lesopé-rateurs
indépendants
de celle-ci. Celajustifie
laclassification de Costa de
Beauregard
[11] qui
enpartant
de ces relations relatives àun
seul électrona considéré les deux
systèmes
d’expressions
densi-taires et de relations comme
électrodynamiques
etdynamiques, puisque
ceuxparmi
cesexpressions
densitaires
qui
ont uneinterprétation physique
simple
connue ont unesignification électrodynamique
oudynamique.
Un théorème de
symétrie.
- Laclassifica-tion
(25 a)
desopérateurs
de la théorie dupositron
permet
de formuler un théorèmesimple
desymétrie.
En écrivant les termes d’unopérateur
Z deA
(R+ + R*-)
defaçon
que lesopérateurs
de création soient danschaque
terme à lagauche
desopéra-teurs
d’annihilation,
nous pouvons classer cestermes selon le nombre des facteurs
opérateurs
de création et d’annihilation. Lepremier
termepeut
être une constante
indépendante
de ces facteurs.Cette constante additive donne la valeur moyenne
d’un
opérateur
dans un état où iln’y
a aucunélec-tron ou
positron
présent.
Pour unopérateur
Zj
de
(25 a)
cette constante doitégalement changer
designe
par la transformation(24)
et elle est parconséquent
nulle. Unepuissance
impaire
deZ,,
ou le
produit
d’un nombreimpair d’opérateurs
Z,,
et d’un nombre
quelconque
d’opérateurs
Zn
estégalement
unopérateur changeant
designe
avec(24);
d’où le théorème de
symétrie
suivant :La constante additive d’une
puissance impaire
d’unopérateur changeant
designe
avec lacharge électrique,
ou du
produit
d’un nombreimpair d’opérateurs
changeant
designe
avec lacharge
et d’un nombrequelconque
d’opérateurs indépendants
de cesigne,
est
égale
à zéro.Ce théorème est très
élémentaire,
mais ilpermet
des conclusions
physiques
intéressantes. Lethéo-rème de
symétrie
deFurry [12]
en résulte comme casspécial.
La solution formelle de
l’équation
d’ondede la
représentation
d’interaction,
est déterminée par l’état t¡)p
(o)
àl’instant to
et parl’opérateur
unitaireLes différents termes de
Ut
dans ledéveloppe-ment
(42) correspondent
aux différentesapproxi-mations du calcul de
perturbation.
Enrangeant
lesfacteurs de
façon
que lesopérateurs
de création soientpartout
à lagauche
desopérateurs
d’annihi-lation et en classant les termes des différentes
contri-buer au terme constant de
Ut
qui représente
l’ampli-tude de transition d’un état àl’instant to
ou iln’y
a aucun électron ou
positron présent
au même état à l’instant t. Si l’on suppose que Utdépend
égale-ment desopérateurs
de création et d’annihilation desphotons,
ce terme endépend
aussi etreprésente
les
amplitudes
de transition entre différents états duchamp
sans création réelle depaires.
Si V est un
opérateur changeant
designe
avecla
charge,
comme c’est le cas parexemple
pourl’énergie
d’interactiondes électrons avec le
champ électromagnétique,
lesproduits
d’un nombreimpair
de facteursV (if),
V
(t’)
V(t ")
V(r),
..., ,changent également
designe
avec lacharge
et cettepropriété
subsisteaprès
l’intégration
selon lesparamètres
detemps
t’. Les termes deUt
correspondant
auxapproximations
d’ordre
impair
ne contribuent donc pas au termeconstant de
Ut
et auxamplitudes
de transitioncorrespondantes,
cequi
est le théorème desymétrie
deFurry.
On
peut
faire aussi la remarque suivante.L’opé-rateur de
l’énergie
d’interaction des électrons et duchamp électromagnétique
etl’opérateur
du courantélectrique
changent
designe
avec lacharge.
Le commutateur du second terme de(42)
et du courantélectrique
est parconséquent
dans le cas de cetteinteraction
indépendant
dusigne
de lacharge
etcontient la constante infinie de la
polarisation
du vide.L’énergie
d’interaction coulombienne despar-ticules,
ou d’autresopérateurs d’énergie
d’inter-action directe[13] qui
contiennent le facteur e2, sontindépendants
dusigne
de lacharge.
Lecommu-tateur
correspondant
du courantélectrique,
repré-sentant le
changement
du courant dans lapremière
approximation,
est donc unopérateur changeant
de
signe
avec lacharge
et il ne contient pas deconstante additive. Ce fait ne résoud pas les
difli-cultés liées à la
polarisation
duvide,
maispeut
contribuer à la
compréhension
de ceproblème.
C’est pour moi
une
joie particulière
depouvoir
exprimer
ici tous mes remerciements à M. Louis deBroglie qui
a suivi mon travail avec un intérêtstimulant et m’a assuré
auprès
de lui à l’Institut Henri Poincaré despossibilités
de travail aussi favorables. Je tienségalement
à remercier M. JohnA. Wheeler pour de
précieuses
discussions sur lathéorie du
positron.
Manuscrit, reçu le 22 novembre 1950.
BIBLIOGRAPHIE
[1] VALATIN J. G. 2014 J. Phys. Rad., I95I, 12, I3I, 542. Pour
des Notes préliminaires concernant le présent travail voir, C. R. Acad. Sc., I950, 230, 822, 925.
[2] PAULI W. 2014 Ann. Inst. H. Poincaré, I936, 6, I37. [3] BROGLIE L. DE. 2014 Une nouvelle
conception de la
lumière, I934, Paris.
[4] MAJORANA E. 2014 Nuov.
Cim., I937, 14, I7I.
[5] BELINFANTE F. J. 2014
Physica, I939, 6, 849. [6] FURRY W. H. 2014 Phys. Rev., I938, 54, 56.
[7] SOMMERFELD A.2014 Atombau und Spektrallinien, II. Bd.
3, Aufl., Braunschweig, I944, p. 3I2.
[8] KRAMERS H. A. 2014 Proc. Ak.
Wetensch., Amsterdam, I937, 40, 8I4.
[9] BELINFANTE F. J. 2014
Physica, I939, 6, 870.
[10] MØLLER C. 2014 Comm. Dublin Inst., A, n° 5, I949.
[11] BEAUREGARD 0. Costa de. 2014 J.
Math., I943, 22, I54. [12] FURRY W. H. -
Phys. Rev., I937, 51, I25.
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