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Minimal CRE-PGD

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Academic year: 2021

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Texte intégral

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HAL Id: hal-01216324

https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01216324

Submitted on 16 Oct 2015

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Copyright

Minimal CRE-PGD

Pierre-Eric Allier, Ludovic Chamoin, Pierre Ladevèze

To cite this version:

Pierre-Eric Allier, Ludovic Chamoin, Pierre Ladevèze. Minimal CRE-PGD. 12eme colloque national en calcul des structures, May 2015, Giens, France. �hal-01216324�

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Marier deux outils

la réduction de modèle PGD

l’estimation d’erreur par la relation de comportement (CRE)

Idée : minimisation de l’indicateur d’erreur

− Objectif du projet

argmin

L (u, )=0

k

K✏(u)k

E

Minimal CRE - PGD

CSMA 2015 ⎯ Pierre-Éric Allier, Ludovic Chamoin, Pierre Ladevèze

. . . . . . . . . . . .

LMT Cachan — 61 avenue du Président Wilson, 94235 Cachan Cedex, France

Modèles numériques pour l’ingénierie

simuler pour concevoir et arbitrer

résolution d’EDPs avec un

grand nombre de ddls

grand nombre de paramètres

voir des non linéarités …

Approches directes impossibles du fait du temps de calcul important et de jeux de données volumineux !

− Problématique

Principe

capture des principales caractéristiques du comportement

séparation de variables : approximation de la solution dans une base réduite

non connaissance a priori de cette base réduite

Autres méthodes : POD / RB

− PGD : Réduction de modèles

EDP:

L (u(M, t)) = 0

u(M, t) '

m

X

i=1

i(M) i(t)

Nouvelle stratégie PGD

amélioration de la qualité de la solution PGD

estimateur d’erreur de réduction fiable

Futur : extension aux problèmes non-linéaires

− Conclusion

Proper Generalized Decomposition computational methods on a benchmark problem. AMSES (soumis)

Problème modèle : thermique transitoire

Minimisation de l’indicateur d’erreur

Vérification de l’équilibre : implique

que 𝜎 vérifie une séparation de variables

selon la relation entre 𝑍i et 𝜓i

Algorithme progressif

𝑢m-1, 𝜎m-1 connus, calcul du mode m (i.e. 𝜓m, 𝜆m, 𝑍m)

Algorithme point fixe

minimisation selon 𝜆m

minimisation selon 𝜓m :

multiplicateurs de Lagrange (relation entre 𝜓m et 𝑍m)

ou minimisation partielle :

calcul de 𝜓m en fixant 𝑍m

calcul de 𝑍m à partir de 𝜓m pour respecter l’équilibre

− Étude de faisabilité

(M, t) ' m X i=1 @ i(t) @t Zi(M) Z ⌦ Zi @w @x + c iw dx = 0, 8w 8i Eq u iva le n t ⇢ c @u@t @@x = (x vt)

u(0, t) = u(L, t) = u(x, 0) = 0

vt X

=

+

X

+

X

+

base réduite

+

...

Différentes stratégies PGD

[Ladevèze 99, Ammar 10, Nouy 10]

Vs une solution réduite de référence

décomposition SVD d’une solution FEM

Mesure de l’écart

− Erreur de réduction

pilotage de l’algorithme progressif par un indicateur d’erreur de réduction immédiat plus précis

Minimal CRE - PGD

... .. 0 . 10 . 20 . 30 . 40 . 10−3 . 10−2 . 10−1 . 100 . modes PGD m . e ref = ∥ urefumH 1/∥ urefH 1 ... .. 0 . 10 . 20 . 30 . 40 . 10−3 . 10−2 . 10−1 . 100 . modes PGD m . e ref = ∥ urefumH 1/∥ urefH 1 . . .. Référence . Galerkin.. . Minimal Résidu.. . MinMax.. modes PGD 𝑚

Vers un estimateur plus robuste et stable

modes PGD 𝑚

classique

update des λi (méthode LMT)

stratégies PGD avec leur indicateur d’erreur propre

− Premiers résultats

estimateurs

efficacité 0 10 20 30 40 0 0.5 1 PGD modes m Efficacité modes PGD 𝑚 0 10 20 30 40 10−3 10−2 10−1 100 PGD modes m estimatio n er reu r de réduction modes PGD 𝑚 . .

. Référence ... Galerkin ... Minimal Résidu ... MinMax ... Minimal CRE..

. .

. Référence ... Galerkin ... Minimal Résidu ... MinMax ... Minimal CRE..

12ème colloque national en calcul

Références

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