HAL Id: hal-01216324
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Submitted on 16 Oct 2015
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Minimal CRE-PGD
Pierre-Eric Allier, Ludovic Chamoin, Pierre Ladevèze
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Pierre-Eric Allier, Ludovic Chamoin, Pierre Ladevèze. Minimal CRE-PGD. 12eme colloque national en calcul des structures, May 2015, Giens, France. �hal-01216324�
▪
Marier deux outils○
la réduction de modèle PGD○
l’estimation d’erreur par la relation de comportement (CRE)▪
Idée : minimisation de l’indicateur d’erreur❹
− Objectif du projet
argmin
L (u, )=0
k
K✏(u)k
EMinimal CRE - PGD
CSMA 2015 ⎯ Pierre-Éric Allier, Ludovic Chamoin, Pierre Ladevèze
. . . . . . . . . . . .
LMT Cachan — 61 avenue du Président Wilson, 94235 Cachan Cedex, France
▪
Modèles numériques pour l’ingénierie○
simuler pour concevoir et arbitrer○
résolution d’EDPs avec un•
grand nombre de ddls•
grand nombre de paramètres•
voir des non linéarités …○
Approches directes impossibles du fait du temps de calcul important et de jeux de données volumineux !❶
− Problématique
▪
Principe○
capture des principales caractéristiques du comportement○
séparation de variables : approximation de la solution dans une base réduite○
non connaissance a priori de cette base réduite○
Autres méthodes : POD / RB❷
− PGD : Réduction de modèles
EDP:
L (u(M, t)) = 0
u(M, t) 'm
X
i=1
i(M) i(t)
▪
Nouvelle stratégie PGD○
amélioration de la qualité de la solution PGD○
estimateur d’erreur de réduction fiable▪
Futur : extension aux problèmes non-linéaires❼
− Conclusion
Proper Generalized Decomposition computational methods on a benchmark problem. AMSES (soumis)
▪
Problème modèle : thermique transitoire▪
Minimisation de l’indicateur d’erreur○
Vérification de l’équilibre : implique•
que 𝜎 vérifie une séparation de variables•
selon la relation entre 𝑍i et 𝜓i▪
Algorithme progressif○
𝑢m-1, 𝜎m-1 connus, calcul du mode m (i.e. 𝜓m, 𝜆m, 𝑍m)▪
Algorithme point fixe○
minimisation selon 𝜆m○
minimisation selon 𝜓m :•
multiplicateurs de Lagrange (relation entre 𝜓m et 𝑍m)•
ou minimisation partielle :□
calcul de 𝜓m en fixant 𝑍m□
calcul de 𝑍m à partir de 𝜓m pour respecter l’équilibre❺
− Étude de faisabilité
(M, t) ' m X i=1 @ i(t) @t Zi(M) Z ⌦ Zi @w @x + c iw dx = 0, 8w 8i Eq u iva le n t ⇢ c @u@t @@x = (x vt)u(0, t) = u(L, t) = u(x, 0) = 0
vt X
=
+
X+
X+
base réduite+
...
▪
Différentes stratégies PGD○
[Ladevèze 99, Ammar 10, Nouy 10]▪
Vs une solution réduite de référence○
décomposition SVD d’une solution FEM▪
Mesure de l’écart❸
− Erreur de réduction
pilotage de l’algorithme progressif par un indicateur d’erreur de réduction immédiat plus précis
Minimal CRE - PGD
... .. 0 . 10 . 20 . 30 . 40 . 10−3 . 10−2 . 10−1 . 100 . modes PGD m . e ref = ∥ uref − um ∥ H 1/∥ uref ∥ H 1 ... .. 0 . 10 . 20 . 30 . 40 . 10−3 . 10−2 . 10−1 . 100 . modes PGD m . e ref = ∥ uref − um ∥ H 1/∥ uref ∥ H 1 . . .. Référence . Galerkin.. . Minimal Résidu.. . MinMax.. modes PGD 𝑚Vers un estimateur plus robuste et stable
modes PGD 𝑚
○
classique○
update des λi (méthode LMT)▪
stratégies PGD avec leur indicateur d’erreur propre❻
− Premiers résultats
○
estimateurs○
efficacité 0 10 20 30 40 0 0.5 1 PGD modes m Efficacité modes PGD 𝑚 0 10 20 30 40 10−3 10−2 10−1 100 PGD modes m estimatio n er reu r de réduction modes PGD 𝑚 . .. Référence ... Galerkin ... Minimal Résidu ... MinMax ... Minimal CRE..
. .
. Référence ... Galerkin ... Minimal Résidu ... MinMax ... Minimal CRE..
12ème colloque national en calcul