Ramifications minimales

J

OURNAL DE

T

HÉORIE DES

N

OMBRES DE

B

ORDEAUX

G

EORGES

G

RAS

Ramifications minimales

Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux, tome

12, n

o

_{2 (2000),}

p. 423-435

<http://www.numdam.org/item?id=JTNB_2000__12_2_423_0>

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Ramifications

minimales

par GEORGES GRAS

RÉSUMÉ. Nous

_appliquons

à la notion d’extension

_(cyclique

de

degré

p)

à ramification

_minimale,

les

_techniques

de "réflexion"

qui permettent une caractérisation très

simple

de ces extensions

à l’aide d’un _{corps gouvernant.}

ABSTRACT. We

_apply,

for the notion of extension

_(cyclic

of

_degree

p)

with minimal

_{ramification,}

the technics of "reflection" which allow a _very

_simple

characterization of these extensions

_by

mean

of a _governing field.

Ce _{texte propose} une

_approche

nouvelle de l’étude de la ramification

dans la

_{p-sous-extension}

maximale

_d’exposant

_p de la clôture abélienne

eb

du _corps de nombre

_K,

_{notamment par} l’étude des

possi-bilités de ramification des extensions

_cycliques

de

_degré

p de K en vue

de la caractérisation des

_"plus

_petits

discriminants"

_(ce

_problème

_général

concerne surtout les extensions non

galoisiennes

et repose sur des méthodes

géométriques,

mais dans le cas abélien la théorie du _corps de classes reste

prépondérante ;

pour le cas

général

se

_reporter

à

[Ml]

et à la

bibliographie

qu’il

contient) .

Le

_principe

consiste à construire une extension de Kummer de la forme

Q 1

=

~

(le

corps

gouvernant),

où

I~1

=

K (pp)

et où Y est _un invariant

_numérique

ne

dépendant

_que de

I~,

et de montrer que l’on a la

propriété

suivante : _pour un ensemble T fini de

places

finies de

_K,

l’existence

d’une extension

_cyclique

de

_degré

_p de

_K,

totalement ramifiée en T et

non ramifiée en dehors de

_T,

dépend simplement

de la

décomposition

des

éléments de T dans

De

_façon

_précise,

une telle extension existe si et seulement s’il existe des éléments du _groupe de

_{décomposition}

_81,v

de v dans avec

UJ,V 7É

1 si

_81,v

~

Uv / Up

(où

_Uv

_désigne

le _groupe des unités du

_complété

de K en

v),

tels

_{que fl}

_ol,v = 1. vET

Cette formulation

_qui

_"échange"

ramification et

_{décomposition}

est

l’origine

des "théorèmes de réflexion" _que nous avons détaillé dans

[G2].

Elle

_permet

alors de résoudre tout

_problème

de ramification

_(comme

ce-lui des extensions à ramifications

_minimales)

d’une

_façon

très naturelle

_qui

élimine

_{complètement}

le caractère très

_technique

de tout

_problème

lié à la

ramification,

même abélienne .

Cette étude

_emprunte

au

chapitre

V de

[Gl]

_qui

_repose sur les résultats

de la théorie du _corps de classes

_qui

_{y sont}

_{développés ;}

_signalons

l’existence d’un travail de

_Jacques

Martinet

_[M2]

_qui

étudie les extensions

_quadratiques

relatives à ramification minimale en vue d’obtenir des

_petits

discriminants.

Je remercie

_Jacques

Martinet de m’avoir

_communiqué

ses textes non

publiés

ainsi que Henri Cohen pour l’invitation à ce

Colloque

qui

a influencé une

_partie

de ce travail.

1. Introduction

Désignons

par

Pfo

l’ensemble des

places

finies du corps de nombres K et par

R’ 00

celui des

_places

à l’infini

_{réelles ;}

si v E

_Ho,

on

_désigne

_par

pv l’idéal

premier qui

lui

_correspond.

Nous fixons un nombre

_premier

_{p et}

distinguons,

dans le sous-ensemble formé des

_places

_"sauvages"

(i.e.

divisant

_p)

et

_celui,

formé des

_places

"modérées" .

Soit S =

So

U _C

P~o

_{U un} ensemble fini de

places

_non

complexes

de K. Si l’on se donne un ensemble fini T =

Tp U Tmod

(Tp

=

Tmod

= T v

_Tp),

_disjoint

de

_So,

formé de

_places

finies de

_K,

on

_peut

se demander

s’il existe une extension

cyclique

L,

de

degré

_p de

K,

S-décomposée

et telle que

(en

termes d’indices de ramification dans

L~K) :

ev =

p pour tout v E

_T,

ev = 1 pour

tout v e

T,

une telle extension étant dite T-totalement

ramifiée,

8-décomposée 1.

Pratiquement

la

_réponse

est contenue

_(via

la théorie du _corps de

_classes)

dans l’étude

_numérique

des groupes de S-classes

généralisées

(quotient

du _groupe des idéaux fractionnaires

_étrangers

à T _par le _sous-groupe

en-gendré

par

So

et par les idéaux

principaux

de la forme

(x)

pour = 1 mod

m et

_positif

sur

_{P.~~ v}

800),

_puisque

_pour m

FI

P:v

assez _gros, le _p-corps

C&#x3E;O

vET v

de _rayon

_{S-décomposé}

_K(m)s(p)

contient toutes les "solutions" relatives à T et

_{S ;}

ceci est

_possible

en utilisant PARI et les

techniques

effectives de

[CDO], [Col]

et

_[Co2].

Mais dans ce

_point

de vue

_"groupes

de classes

généralisées" ,

les calculs

sont à

_reprendre

dès que l’on modifie T et l’on ne voit _{pas comment}

ca-ractériser les

_parties

T

_pouvant

convenir _pour le

_problème

_posé.

1 Comme dans _[J], la ramification ne concerne que les places finies, le comportement des _places

Nous allons construire un _corps

_{gouvernant permettant}

de caractériser

les solutions T au _moyen de conditions

_{arithmétiques}

_simples,

en _y

ad-joignant

la

_{S-décomposition qui,}

comme

d’habitude,

modifie très _peu les

raisonnements.

La notion de _corps

_gouvernant

a été introduite _par

_Stevenhagen

dans

[St]

où l’on trouve une étude de ce

_type

de

problème

basée sur la notion

d’extension de groupe, et

qui

est donc de nature

cohomologique ;

de

même ,

dans

_[N],

Neukirch traite de

_{façon approfondie}

le

_"problème

du

_plongement"

dont les obstructions mettent en

_jeu

de tels _corps

_gouvernants.

La méthode _que nous _{proposons est par contre} d’une extrême

simplicité ;

cependant,

si elle donne une bonne

_description

de ces extensions

(parti-culièrement

_adaptée

à l’utilisation du théorème de

_Cebotarev),

elle ne les

construit pas et pour cela on devra utiliser

[Col], [Fi]

entre autres. 2. Construction d’un corps

gouvernant

On fixe un ensemble fini S =

50U8oo

_C de

places

_non

complexes

de

_K,

l’idée étant _que l’on fera varier T =

Tp

_U

Tmod

comme ensemble

_fini,

disjoint

de

_So,

tel que la condition

(trivialement nécessaire)

Npv *

1 mod p pour tout v E

_Tmod,

soit satisfaite.

2.1 Notations.

_(i)

On

_désigne

_par

_HT

l’extension abélienne T-ramifiée

S-décomposée

maximale de

_{K ;}

_par

_exemple

Hs

est le _corps de classes de Hilbert

_{S-décomposé}

_qui

donne le _corps de classes de Hilbert au sens

restreint H =

@ pour s

= ~,

et le corps de classes de Hilbert au sens

ordinaire

H I:f’

=

H°rd,

pour S

=

Si v est une

place finie,

on

désigne

_par la filtration habituelle

du _groupe des unités

_Uv

du

_complété

_Kv

de K en cette

place

et par

iv

le

plongement

de K dans

Kv .

On fixe m

= fi pmv

assez _gros de telle _{sorte que} l’on ait C

_U

vET

pour tout v E T

_(on

vérifie

_qu’alors

_K(m)s(p)

contient la sous-extension maximale

_d’exposant

_p de on _{pose :}

(ii)

On

_désigne

_par

_Em

le _groupe des S-unités _congrues à 1 modulo m

(on

notera _{que pour}

_{500 =}

_0,

on obtient le _groupe des

_So-unités

totalement

_positives

_congrues à 1 modulo m, le cas ordinaire s’obtenant avec

800

=

I:fr "0 ).

que l’on écrit sous la forme :

et dans

_laquelle

_p est

_{l’application}

de

_{réciprocité globale,}

on déduit la suite

exacte :

où

_iT,i

est

_{l’application composée :}

On a

_iT,i

= _{en un sens} évident.

(iii)

Si G est un _groupe abélien

fini,

on

_désigne

_par G* le _groupe dual

Hom(G, (C" ),

et pour tout

homomorphisme

de groupes h : G -

G’,

on

désigne

par :

l’application

duale définie _{par :}

pour

tout x’

E

G’*

et tout E G.

2.2

_R,appels.

_{(dualité kummérienne).}

Soit

_{Kl -}

et soit

_QI

=

Ki(§Él),

où X est un _sous-groupe de

Ki

contenant

_{Kl p}

et tel _que

W = soit fini

(par

la suite X sera de la forme où Y est

un _sous-groupe de K X contenant

_{KXP ;}

on sait _{que pour} un

_exposant

pre-mier on a W £i

Y/Y

Y/KXP).

On _pose

_G1=

_Gal(Q,/Kl).

Alors

_{l’application :}

qui

E

CI

associe _x E W* défini _par

_{x -}

°

_{pour tout à} E

_W,

va=

est un

_isomorphisme

_{canonique ;}

_{l’app_lication}

inverse est ainsi définie : si x E

_{W *,}

il

_{existe /3}

E W tel _que W = _et

l’image de X

_est

l’unique

générateur

a x de

2.3

_Approche

par la théorie du corps de classes. Les

hypothèses

et notations sont celles de

_{(2.1, i).}

Soit la sous-extension

_{(p-élémentaire)}

de

_HSIHS

fixe _par C = B n

_{AP ;}

on a le schéma suivant :

dans

_lequel

est le _sous-corps de

_HT

fixe _par

_AP,

= est fixe _par

_{B AP ;}

ainsi M est le

_composé

_direct,

sur

HS[p],

de

Hs

et

HT [p],

et

comme

Gal(HTS[plIK)

est un

_Fp-espace

vectoriel,

il existe L C tel _que

soit le

_composé

direct de L et donc tel _{que M} soit le

_composé

direct,

sur

K,

de L et

Hs

_(on

notera que

Hf[P]/K

(resp.

HS[p]/K)

est bien la sous-extension maximale

_{p-élémentaire}

de

_{HT /K}

_(resp.

On a

_supposé

_{implicitement}

distinct de sinon le

problème

est trivialement

_impossible

_(on

verra en

(2.3.5)

ce _que ce cas

signifie).

2.3.1 Lemme. Une condition nécessaire et

_suffisance

_pour

_qu’il

existe une

extension

_{LI, cyclique}

de

_degré

_p, T -totalement

_ramifiée,

_{S-décomposée,}

est

_qu’il

existe un

hyperplan

N de

B/C

tel _{que :}

B/C

= N ₊

IvC/C,

pour tout v E

_T,

où

_Iv

C B est le _groupe d’inertie de v dans

_HTSIK

_(noter

_{que la}

somme est directe _pour les

_{places modérées,}

mais non nécessairement _pour les

places

sauvages car leur _groupe d’inertie

_peut

ne _pas être

cyclique).

Démonstration. Si

_{Li existe,}

il est clair _que N =

Gal(M/Mi),

où

_{Mi =}

est un

_hyperplan

de

B/C

_{puisque LI}

est linéairement

_disjointe

de pour

T ~

0,

et donc

Hs~ -

p ;

ensuite,

pour

chaque v

E

_T,

IvC/C

est le groupe d’inertie de v dans

M/Hs

et ce _groupe n’est _pas

contenu dans N

_puisque

_L1/K,

donc

_Ml/Hs,

est totalement ramifiée en v.

Donc N -f-

_IvC/C

=

B/C.

Réciproquement,

s’il existe un

hyperplan

N de

B/C

tel _que

B/C

= pour tout v E

T,

alors nécessairement la sous-extension

_{Ml /Hs}

fixe par N est T-totalement ramifiée

_puisque

_IvC/C

est le _groupe d’inertie de v dans

_MIHS

et n’est pas contenu dans N.

Comme M est le

_{composé direct,}

sur

K,

de

Hs

et

L, Mi

se redescend en

une extension

LI

_g L de

K,

_cyclique

de

_degré

_{p et} T-totalement ramifiée

(S-décomposée

par

construction).

Il

Nous allons traduire

_(2.3.1)

en termes d’invariants

_numériques

du corps

déjà

dans

_[S]

relativement à l’étude de la

_p-extension

T-ramifiée maximale de K

_(cf.

_[Gl,

ch.

_I,

_§

_4.5,

_{iii]) :}

2.3.2 Lemme. On a la suite exacte :

où

_PI

est le

_composé

_{(surjectif) :}

où où est l’ensemble des x E KX

_étrangers

à T

et

_positifs

sur et où

_iT,1

est

définie

en

(2. 1,

ii).

Démonstration. En

_effet,

sous la condition

(2.1, i),

on a

l’isomorphisme

de

la théorie du _corps de classes :

où est l’ensemble des idéaux

_principaux

_(x)

pour x E

KT &#x3E; m°° _

(a

E

KX ,

cx _ 1 mod _m., a

positif

sur dans

lequel l’image

de B est

donnée _par celle de ce

_qui

donne :

On a ensuite la suite exacte :

où :

et dans

_laquelle

on

remplace

(en

utilisant le théorème

d’approximation)

2.3.3

_Remarques.

Il est très

_important

_pour la suite de _{remarquer que}

ne

dépend

_pas de T car on a :

On observera

_également

_que

Ys

contient le _groupe

Es

des S-unités et que l’on a la suite exacte :

où

_{ces [p]}

est le _sous-groupe des S-classes annulées _{par p et} où P est le groupe des idéaux

principaux

au sens ordinaire. Elle montre _{que :}

si et seulement si

seulement si si et seulement si :

où _sgnà. est la

_signature

_pour le

_support

une condition suffisant

(valable

pour tout

p)

étant que

(CeSo,rd)p = 1.

On va utiliser la suite exacte duale de

_{(2.3.2) :}

En

_remarquant

_{que, par} la caractérisation des _groupes

_d’inertie,

on a les

équivalences suivantes, toujours

sous

l’hypothèse

1 :

(i)

Il existe un

hyperplan

N de

B/C

tel _{que :}

donc tel _{que :}

(ii)

il existe

_1/11

E

_(BIC)*

tel _{que :}

donc tel _{que, par} dualité :

pour tout

On considère maintenant le _{corps :}

Son radical est donc

_YSIKXP.

La théorie de Kummer _{montre que}

_Q1(s)/Kl

est U

_{(So)-ramifiée}

et

Doo-décomposée.

Donnons-nous maintenant T =

Tp

U

_Tmod,

non

_vide,

disjointe

de

So,

vérifiant -1 mod _p pour tout v E

Tmod

D’après

(2.3.3),

on a aussi :

Pour

_chaque

_{place v e T,}

on considère :

(en

notant _que l’on a

~~1

= _E =

1}) !

il _est clair _que est le groupe de

décomposition,

dans d’une

place

arbitraire

de

Ki

au-dessus de v

_(ce

_groupe ne

dépend

_que de

v).

Montrons alors _que la condition

_(v)

est

_équivalente

à :

(v’)

il existe des éléments E d’ordre p si tels que

Il

O"l,v =1.

~

vET

-

(v)

~

(v’) :

A

_chaque

on associe sa restriction à

_qui

est

un caractère xl,v e défini par :

Par la dualité

_{kummérienne,}

_{à xl,v}

_correspond

E

8tv

_puisque

contient

On a

_alors,

_par

hypothèse

sur _{pi :}

montre que =

auquel

_cas

0’l,v = 1 voudrait dire xl,v =

1,

d’où ’Pl,v

= 1,

ce

_qui

est absurde.

-

(v’)

~

_{(v) :}

A

_chaque

e

c5tv

_correspond

_xi,v E

(Y#/K/§b")*

et la relation

FI

= 1 conduit

à FI

= 1. Comme

xlw est trivial sur il définit un caractère de ₉

Uv /US

qui

est donc

_prolongeable

en un caractère e que l’on

peut

prendre

non trivial dès _que est contenu strictement dans

_{Uv /U£ ,}

et on aura la relation :

pour tout y E

_Y’¡.

Enfin si = c’est

que et donc que =

qui

est non trivial _par

_hypothèse.

’

On a donc obtenu le résultat suivant :

2.3.4 Théorème. Soit K un _corps de

nombres,

soit 8 =

So

u

500

_C

P~o

U

P.~~

un ensemble

fini

de

places

non

complexes

de

K,

et soit

On _pose

_{Ql (s)}

=

Ki

(eYs

où

Ki

=

K(pp),

et _{pour toute}

_place

_finie

v

de K on

désigne

_par le _groupe de

décomposition

de v dans

Q1(S)/Kl.

Soit T un ensemble

fini

non vide de

places finies

de

_K,

tel _que T fl

So

= ~

et

_Npv

a 1 mod _{p pour tout} v E

_Tmod

·

Alors il existe une extension

_cyclique

de

_degré

_p de

K,

T -totalement

ramifiée

et

_{S-décomposée,}

si et seulement si il existe des E v E

_T,

avec d’ordre _{p si}

Uv/Ur;,

tels _{que :}

On retiendra _que la méthode utilisée

_permet

facilement de dénombrer l’ensemble des solutions relatives à T donné.

Si v E

_Tmod?

8r v

est un _groupe

cyclique

(d’ordre

1 ou

p)

_engendré

_par

le

_Frobenius,

et comme est

_cyclique

d’ordre _p, la condition d’ordre _p si

_Uv/Up"

s’écrit :

où vl est une

place

arbitraire de

Kl

au-dessus de v.

Si

_Tp

=

0,

la condition nécessaire et suffisante du théorème s’écrit :

En fait les conditions

_{précédentes}

et le

_produit

ne

_portent

_que sur les v E T dont le Frobenius est non trivial.

2.3.5

_Remarque.

Pour

_{T ~}

_0,

le cas =

(i.e.

B/C

=

1)

_qui

rend le

_problème

trivialement

_impossible,

est ici

_équivalent

à

Éb uv/ue (cf. (2.3.2)),

donc finalement à : vET

où

_désigne

la sous-extension

_{T-décomposée}

maximale de

_{QI (8) ;}

dans

ce _cas, l’existence des

_{O"I,v =1}

1 est trivialement

_impossible.

2.3.6 Corollaire

_(cas

d’une seule

_place).

Si T =

{~}~

où v est _une

place

modérée

_(cf.

_[Cor]),

le

_problème

a une solution si et seulement si

i .. -, , 1

(i.e.

la

_place

v est totalement

_décomposée

dans

_Q1(s)/K,

ou encore fl

K v )

_{VI)

C

UC).

Si v est une

_place

_sauvage, le

_problème

a une solution si et seulement si

is

n’est pas

isomorphe

à

(ou

encore si

l’application

canonique iv : Ys

fl

_{Kflj -}

_Uv/Uv

n’est _pas

_surjective).

2.3.7 Corollaire. S’oit t un ensemble

_fini

non vide de

places

de K

vérifiant

Npv

-1

_(p)

_{pour tout v} E

_tmod,

et

_disjoint

de

_So.

Alors il existe une

infinité

de

_places

modérées v’ _pour

_lesquelles

il existe une extension

_cyclique

de

degré

p de

K,

t ou t U

_{tv’}-totalement}

_{ramifiée, 8-décomposée.}

Démonstration. Dans _pour un choix arbitraire de E

_bi,vl

v

_{E t,}

d’ordre _p si

Uv/UC,

_posons

Il ul v

=

T ; si

-r

1,

par

, ,

vEt 1

le théorème de

Cebotarev

on

_peut

trouver v’ telle _que

VI

= T, et

i

T = t U

_{f vl}

_répond

au critère du théorème

(2.4.2).

D

Ce résultat est intéressant en

pratique uniquement

s’il

n’y

a _pas de

so-lution avec t.

Plus

_{généralement,}

on voit que dès _que T contient des

places

(modérées)

dont les Frobenius

_engendrent

il existe une extension

cy-clique

de

_degré

_p, T-ramifiée

_(non

nécessairement

_totalement),

S-décom-posée.

Pour d’autres corollaires se

_reporter

à

[Gl]

qui

traite

également

du cas

des extensions

_cycliques

de

_degré

_pe.

3. Ramifications minimales

Ainsi _que le

_suggèrent

un certain nombre de travaux de Martinet

(comme

3.1 Définition. Soit K un _corps de

nombres,

soit S un ensemble fini fixé

de

_places

non

complexes

de K et soit _p

_premier.

On dit que T C

_Ho

_{(T ~ 0,}

_Ton80

_{= ~,}

_{Npv *}

1

_(p)

_{pour tout v} E

_Tmod)

est un ensemble de ramification minimal de K

(relativement

à S et

p)

s’il existe au moins une extension

_cyclique

de

_degré

_p de

_K,

T-totalement

ramifiée,

8-décomposé,

telle que pour tout t C

_{T, t # T, t #}

0,

ceci n’ait pas lieu pour t.

Il est clair _que si T

_(minimal)

contient des

_places

_sauvages, les extensions T-totalement ramifiées solutions

_peuvent

avoir des conducteurs

_(donc

des discriminants

_relatifs)

distincts au niveau du facteur _sauvage; la notion

d’extension

_(cyclique

de

_degré

_p)

à discriminant relatif minimal

_(en

un sens

qu’il

conviendrait de

_préciser)

est

_plus

fine mais

_peut

se

_gérer

à

_partir

de

la

_{précédente, plus intrinsèque.}

On observe _{que si}

_{ITI =}

_1,

la condition de minimalité renvoie au corollaire

( 2. 3 . ô ) ;

dès _que

_2,

si T contient une

place v

_pour

laquelle

n’est _pas

isomorphe

à T n’est _pas minimal

_(en

_effet,

il existe une extension

(v)-totalement

ramifiée

_{8-décomposé,}

_puisque

l’on

_peut

_prendre

_0l,v = 1

d’après

( 2 . 3 . 6 ) ) .

On _suppose donc

_{implicitement}

_que les T considérés ont au moins 2

éléments et sont tels _{que pour tout v}

_{E T ;}

si v E

_Tmod

ceci

signifie

que le Frobenius de v dans est d’ordre p et si v e

_Tp

la

condition, plus contraignante,

On obtient alors sans

_{peine :}

’

3.2 Théorème. Soit T C ensemble

_fini

de

_places

_finies

de K &#x3E;

2, T f1,S’o

=

0,

Npv m

1

(p)

pour tout v E

_Tmod

tel _que

Uv/uC

pour tout v E T . On suppose

’

Alors T est un ensemble de

ramification

minimal si et seulement si le

IFp-espace

des

_familles

_(al,v)VET’

_0’1,v E

8tv,

telles

que Il ol,v

=

1,

est de

’

vET

dimension 1 et est

_engendré

_par une

famille

(Tl,v)VET’

_Tl,v E

8tv,

telle _que 1 _{pour tout v} e T .

Une condition nécessaire est donc _que l’on ait :

ce

qui majore

~T~

très

_{canoniquement ;}

si

_Tp

=

0,

_on obtient

simplement :

Toujours

lorsque

Tp = 0,

la condition de minimalité est

_équivalente

au

"unique"

relation de la forme :

av E pour tout v E T

_2).

Par des considérations

_d’algèbre

linéaire

_{élémentaire,}

l’utilisation du théorème de

Cebotarev

_permet

de classer les

_parties

T minimales.

3.3

_Exemple.

Soit K =

Q(V5), 8

= _p = 2. Le _corps

_gouvernant

est donc :

C’est une extension

biquadratique

de K totalement ramifiée en 2.

Considérons alors :

où :

on obtient facilement

(en

termes de

_symboles

de restes

_quadratiques

dans les _corps

_{résiduels) :}

Ceci _{montre que :}

d’où l’on déduit _que T est un ensemble minimal.

Mais on

_peut

vérifier _que T

= {[5,

_tu,

₁₁₉

= (1 +

2B/5)}

n’en est

_plus

un

(en

effet, t

=

Illi,

(19}

est minimal car

_8r19

=

On voit sur ce dernier

exemple

à 2 éléments _que le choix des

conjugués

des

_places

est essentiel.

3.4

_Remarque.

On

_peut

vérifier _par la théorie de Kummer l’existence d’une extension

_quadratique

_[11,

_{[19}-totalement}

ramifiée tota-lement réelle "minimale" :

Posons a =

_{v/5- (4}

+

B/5)(2B/5 - 1)

= 35 +

6V5 ;

il est clair

que l’on a a » 0 _{et que} L

_{= K( va) est 115,}

_111,

_{ti9}-totalement}

ramifiée si elle est

Il reste à vérifier la non existence d’extensions

quadratiques

f[5},

115,

115, [191, 1[li, [19}- totalement

ramifiées totalement

_réelles;

ceci se fait à

partir

du radical :

Il faut alors vérifier que les 6 extensions

quadratiques

correspondantes

sont ramifiées en 2 en utilisant les _congruences de

Kummer ;

c’est assez fastidieux

numériquement

(nombres

non _congrus à un carré modulo

4)

mais sans

difficultés.

En conclusion on

_peut

dire _que le

principe

de réflexion

(même

_{pour p} =

2)

est

_{particulièrement profond}

et utile dans la mesure où il

_"échange"

rami-fication et

_{décomposition,}

rendant ainsi

_{plus simple}

le

_problème

de

_{départ ;}

en outre la forme même du critère obtenu

_permet

_{d’envisager}

des calculs de densités dans

_l’esprit

des résultats de Cohen

_(dans

ce même

numéro)

puisque

les

_techniques

_analytiques

sont tout

_{particulièrement}

_adaptées

aux

calculs de densités de Frobenius.

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Georges GRAS

Laboratoire de Mathématiques UMR 6623

Faculté des Sciences de _Besançon 25030 Besançon cedex

France