PCSI Physique
Fiche Elec6 : Réponse fréquentielle de circuits linéaires. Notion de filtre
1 Fonction de transfert
1.1 Définitions Sachant que :
ue(t) =Uemcos(ωt+ϕe)est associé à l’amplitude complexeUem=Uemejϕe. us(t) =Usmcos(ωt+ϕs)est associé à l’amplitude complexeUsm=Usmejϕs.
Toutes les méthodes, tous les théorèmes des chapitres précédents peuvent être utilisés pour déterminer lafonction de transfertd’unquadripôle:
H(jω) =us(t) ue(t)=Usm
Uem
On accède :
– augain en amplitudedu quadripôle :
G(ω) =Usm
Uem
=|H(jω)|
– augain en décibelsdu quadripôle :
GdB(ω) = 20logUsm
Uem
= 20log|H(jω)|
– audéphasageintroduit par le quadripôle entre la réponse et l’excitation : ϕ(ω) =ϕs(ω)−ϕe(ω) =Arg(H(jω)) N.B. :tanϕ=Im(H(jω))Re(H(jω))
(EF)
1.2 Principaux types de filtres
Passe-bas d’ordre 1 Passe-haut d’ordre 1 Passe-bande d’ordre 2 Passe-bas d’ordre 2 H(jx) =1+jxH0 H(jx) =1+H01
jx
H(jx) =1+jQ(x−H0 1
x) H(jx) =1−xH2+j0 Qx
x=ωω
C x=ωω
C x=ωω
0 x=ωω
0
ωCest la pulsa tion de coupure ω0=ωr ω0
q1−2Q12=ωr
fsélectionnées :[0;ωC] [ωC;∞[ [ωC1;ωC2] [0;ωC]
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PCSI Physique
2 Etude de filtres
2.1 Détermination sans calcul du comportement asymptotique du filtre ou de la nature du filtre
On trace les circuits équivalents au quadripôle basses fréquences puis hautes fréquences pour évaluer us(t)en sachant que :
Aux basses fréquences (B.F.) : Aux hautes fréquences (H.F.) :
L←→fil L←→interrupteur ouvert
C←→interrupteur ouvert C←→fil
2.2 Tracé du diagramme de Bode
1. Déterminer la fonction de transfert du filtre :H(jω).
2. En déduire :
– l’expression du gain en décibelsGdB(ω) = 20log|H(jω)|; – l’expression detanϕ;
– le signe desinϕou decosϕ.
3. Etude asymptotique dans un tableau :
x≪1 x≫1 x= 1 H(jx)≃
GdB(x)≃ ϕ(x)≃
Rechercher des asymptotes affines de la formeGdB(x) =A+BlogxouGdB(ω) =A′+B′logω.
4. Recherche EVENTUELLE de points particuliers supplémentaires : – Pulsation donnant lieu à un gain maximal en amplitude :G(ωr) =Gmax. –Pulsations de coupure à−3dB:G(ωC) =G√max
2 , cadGdB(ωC) =GdBmax−3 5. Tracés :
– deGdB=f(logx)ouGdB=f(logω); – deϕ=f(logx)ouϕ=f(logω)
(F)
3 Analyse temporelle, analyse fréquentielle
Equation différentielle linéaire à coefficients constants liantus(t)etue(t)
⇄
Fonction de transfertH(jω).
On accède à laréponse indicielledu quadripôle (réponse à un échelon) en faisant tendreω→0dans la fonction de transfertH(jω).
On accède à la réponse du quadripôle en régime libre en réalisantD(jω)us(t) = 0.
Le quadripôle eststable:
– si dans sa fonction de transfert, l’ordre du numérateur est inférieur à l’ordre du dénominateur ; – si l’équation différentielle sans second membre qui le caractérise ne contient que des termes précédés
de signes identiques.
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