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Thierry Désoyer
To cite this version:
Thierry Désoyer. (Cours) Elasticité linéaire. Engineering school. Ecole Centrale de Pékin, 2009,
pp.86. �cel-00429788�
Centrale de Pékin. Il leur est présenté immédiatement après celui de Mécanique des Milieux
Continus, dispensé par Jean Garrigues, dont il s’inspire très largement, tant dans ses notions
– telle celle de tenseur – que dans ses méthodes – telle celle, thermodynamique, permettant
d’établir les équations constitutives de la thermo-élasticité linéaire.
Les cours de Jean Garrigues sont librement accessibles à l’adresse suivante :
http://jean.garrigues.perso.ec-marseille.fr/
Par ailleurs, Jean Garrigues est l’auteur de :
Fondements de la mécanique des milieux continus
(Editions Hermes ; ISBN : 978-2-7462-1607-5)
Élasticité linéaire
Thierry Désoyer,
thierry.desoyer@centrale-marseille.fr
4 novembre 2009
Le but de ce cours est :
– de présenter les hypothèses et la démarche méthodologique qui mènent à l’écriture des équations consti-tutives de la thermo-élasticité linéaire isotrope, c’est-à-dire un modèle de comportement thermo mé-canique particulier1des matériaux en phase solide. La démarche est essentiellement celle de la
Ther-modynamique des Milieux Continus, associée, en l’occurence, à deux hypothèses essentielles : celle, thermodynamique, de nullité de la puissance mécaniquement dissipée 2 , et celle, cinématique, des
déformations infinitésimales. On montre comment cette démarche permet d’établir rigoureusement les
équations constitutives en tant que conditions suffisantes, voire nécessaires et suffisantes, à la vérification systématique du second principe de la Thermodynamique. Les approximations usuelles de ces équations constitutives – liées à une approximation, usuelle elle aussi, sur la masse volumique – sont également présentées.
– de précisément définir l’ensemble des inconnues, des données et des équations définissant un problème
de structure thermo-élastique linéaire isotrope, ces dernières incluant les équations constitutives
précé-demment établies, dans leurs approximations usuelles. Il est toutefois à noter que le propos est restreint aux structures homogènes, c’est-à-dire constituées d’un et un seul matériau thermo-élastique linéaire isotrope.
– de précisément définir l’ensemble des inconnues, des données et des équations définissant un problème
de structure homogène, élastique linéaire isotrope, celui-ci étant simplement vu comme un cas particulier
du précédent où tous les aspects thermiques sont négligés. Les deux méthodes classiques de résolution analytique d’un tel problème sont également présentées : la méthode des déplacements (ou méthode de Navier) et la méthode des contraintes (ou méthode de Beltrami).
– de détailler deux exemples utiles d’application des méthodes de résolution analytique précédemment définies. Le premier, traité par la méthode des contraintes, est celui de la traction-compression simple d’une barre cylindrique homogène ; le second, traité par la méthode des déplacements, celui de la
tor-sion d’une barre cylindrique homogène. Il est à noter que, dans les deux cas, le domaine de validité de
la solution est précisé, d’une part, par rapport à l’hypothèse de comportement élastique, d’autre part, par rapport à l’hypothèse des déformations infinitésimales.
Les deux premiers points ci-dessus font l’objet du Chapitre 1. Le troisième point fait l’objet du Chapitre 2 ; le quatrième, celui du Chapitre 3.
Dans le Chapitre 4, quelques indications sont données sur la façon d’aborder des problèmes sortant du cadre défini aux Chapitres 1 et 2, à savoir :
– des problèmes de structures hétérogènes, élastiques linéaires isotropes,
– des problèmes de structures homogènes, élastiques linéaires anisotropes,
– des problèmes de structures homogènes, élastiques non linéaires isotropes,
– des problèmes de structures homogènes, non élastiques isotropes.
1En l’occurence, il s’agit du modèle de comportement thermo-mécanique le plus simple que l’on puisse envisager. Il fait
inter-venir le strict minimum de variables d’état pour pour un matériau en phase solide, à savoir la température aboslue et le tenseur des déformations infinitésimales ; et, moyennant certaines approximations, ses équations constitutives sont linéaires.
Chapitre 1
Équations générales de la
thermo-élasticité linéaire isotrope
1.1 Problème de structure en thermo-élasticité linéaire isotrope :
hy-pothèses et énoncé qualitatif
En Génie Mécanique ou en Génie Civil, un ingénieur spécialisé en Mécanique des solides a très souvent à résoudre des problèmes de structures. Pour ce faire, un ingénieur, en première approximation fait très souvent l’hypothèse suivante :
Hypothèse H1 : le comportement du matériau constitutif de la structure est thermo-élastique
L’hypothèse H1 d’un comportement thermo-élastique a pour conséquence que deux variables d’état doivent
être obligatoirement considérées, à savoir :
la température absolue : T > 0 (en K) un tenseur de déformations : YYY ∈¡R3× R3¢
s (adimensionnel)
(1-1) Par la suite, le tenseur de déformations considéré sera celui de Green-Lagrange, soit (voir le cours de Mécanique des milieux continus) :
Y Y Y = sym ( gradLUUU) + 1 2 ¡ gradTLUUU¢... ( gradLUUU) (1-2) où gradLdésigne le gradient lagrangien.
En première approximation, un ingénieur a donc à résoudre des problèmes de structures thermo-élastiques. Qualitativement, tous ces problèmes s’énoncent de la même façon, à savoir :
Soit une structure, c’est-à-dire un domaine matériel solide
D
occupant, à l’instant générique t, un volumeVt, limité par une surface St.
Sachant que, dans un intervalle de temps [t0,t1], cette structure est soumise à :
– des sollicitations mécaniques, c’est-à-dire :
– des forces volumiques, agissant dans Vt,
– et/ou des forces surfaciques, agissant sur Stou une partie de St,
– et/ou des déplacements, agissant sur Stou une partie de St,
– des sollicitations thermiques, c’est-à-dire :
– des sources de chaleur volumiques, agissant dans Vt,
– et/ou des températures, agissant sur Stou une partie de St, connaissant, de plus, les conditions initiales, trouver, ∀t ∈ [t0,t1] :
– les champs mécaniques dans Vt : champs de déplacements et de déformations, champ de contraintes ;
– les champs thermiques dans Vt : champ de température, champs d’entropie massique et de densité de flux de chaleur.
Un ingénieur peut également faire d’autres hypothèses qui simplifient l’énoncé de tout problème de struc-ture thermo-élastique :
– Hypothèse H2 : le matériau est thermiquement et mécaniquement isotrope.
– Hypothèse H3 : les déformations et les variations relatives de température sont « petites » ou
infinitési-males,
– Hypothèse H4 : la relation liant les contraintes aux déformations et à la température est linéaire ; la relation liant l’entropie massique aux déformations et à la température est linéaire.
L’hypothèse H2 ne dépend que du matériau constitutif de la structure. Autrement dit, elle ne dépend ni de la géométrie de la structure, ni des sollicitations mécaniques et thermiques. Elle est valable pour de nom-breux matériaux mais pas pour tous. Par exemple, le bambou est un matériau mécaniquement anisotrope. L’hypothèse H2 d’un matériau thermiquement et mécaniquement isotrope a pour conséquence que :
T et YYY sont les seules variables d’état à considérer. (1-3) Si le matériau est mécaniquement et/ou thermiquement anisotrope, il faut ajouter à T et YYY une ou plusieurs
autres variables d’état, c’est-à-dire une ou plusieurs directions d’anisotropie.
L’hypothèse H3 dépend du matériau constitutif de la structure et des sollicitations mécaniques et ther-miques. Elle est valable, par exemple, si le matériau est très rigide et bon conducteur de la chaleur et si les sollicitations sont « petites ». Elle n’est plus valable si les sollicitations sont « petites » mais le matériau peu rigide ou mauvais conducteur de la chaleur. L’hypothèse H3 se traduit par :
( gradLUUU ::: gradLUUU)1/2 ¿ 1 ; |T − T0|
T0 ¿ 1 (1-4)
où UUU (en m) est le vecteur des déplacements et T0, la température initiale. Une conséquence immédiate
de Eq. (1-4)-1 est qu’une approximation correcte du tenseur des déformations de Green-Lagrange, voir Eq. (1-2), est le tenseur des déformations infinitésimales εεε, c’est-à-dire :
YYY ≈ εεε = sym ( gradLUUU) (1-5) Dans Eq. (1-5), l’opérateur liant UUU et εεε est linéaire. Pour cette raison, le tenseur des déformations
infinité-simales εεε est parfois appelé tenseur des déformations linéarisées.
Il est généralement admis que l’hypothèse H4 est physiquement admissible quand l’hypothèse H3 est vérifiée. La traduction mathématique de cette hypothèse s’écrit simplement en introduisant le tenseur des
contraintes de Cauchy, σσσ (en N.m−2ou Pa), et l’entropie massique, s (en J.kg−1) : le tenseur des contraintes de Cauchy σσσ dépend linéairement de T et de εεε
l’entropie massique s dépend linéairement de T et de εεε (1-6) Associées à l’énoncé qualitatif du problème de structure thermo-élastique précédemment présenté, les hy-pothèses H2, H3 et H4 donnent l’énoncé qualitatif de tout problème de structure thermo-élastique linéaire
isotrope.
Un ingénieur doit encore se poser trois questions quand il a obtenu une solution au problème de structure thermo-élastique :
– Question Q1 : cette solution est-elle unique, c’est-à-dire les champs mécaniques et thermiques sont-ils uniques ?
– Question Q2 : cette solution est-elle compatible avec l’hypothèse H1, c’est-à-dire les champs thermiques et mécaniques sont-ils bien tels que, en tout point et à tout instant, le matériau constitutif de la structure reste dans son domaine de comportement thermo-élastique ?
– Question Q3 : cette solution est-elle compatible avec l’hypothèse H3, c’est-à-dire les champs thermiques et mécaniques sont-ils bien tels que les deux conditions définies dans Eq. (1-4) sont vérifiées en tout point et à tout instant ?
Ce n’est que dans le cas où il peut répondre « oui » à ces trois questions qu’un ingénieur peut affirmer que la solution qu’il a trouvée est la seule possible et est physiquement admissible. La traduction mathématique de ces trois questions est abordée dans le paragraphe 1.2.5.
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Principaux résultats du paragraphe 1.1
Dans tous les problèmes de structures thermo-élastiques linéaires isotropes, il est supposé que :
– le matériau constitutif de la structure est mécaniquement et thermiquement isotrope,
– en tout point et à tout instant, les variations relatives de température et les déformations sont infinitési-males. Une bonne approximation du tenseur des déformations de Green-Lagrange est alors le tenseurεεε
des déformations infinitésimales (ou linéarisées) :
εεε = sym ( gradLUUU)
– le tenseur des contraintes de Cauchyσσσdépend linéairement de T et deεεε ;l’entropie massique s
dépend linéairement de T et deεεε.
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1.2 Problème de structure homogène en thermo-élasticité linéaire
isotrope : énoncé mathématique
1.2.1 Configuration d’une structure et description des champs en thermo-élasticité
linéaire isotrope
L’hypothèse des déformations infinitésimales, voir Eq. (1-5), a une conséquence importante sur le mode de description des champs agissant dans une structure. Pour le comprendre, on rappelle tout d’abord que la
configuration d’une structure à l’instant générique t, notée Ωt et de volume Vt, est définie par l’ensemble des vecteurs positions, par rapport à un quelconque point O, des particules P constitutives de la structure :
Ωt= {xxxt= OPOPOPt} ⊂ R3 (1-7)
La configuration à l’instant t est appelée configuration actuelle. La configuration à l’instant initial t0, notée
Ω0, est appelée configuration initiale ou configuration de référence. Ces deux configurations sont a priori
distinctes mais concernent les mêmes particules P.
Comme il a été montré au Chapitre 1 du cours de Mécanique des Milieux Continus, le champ d’une quel-conque grandeur physique ΦΦΦ, scalaire, vectorielle ou tensorielle, agissant dans la structure peut être décrit en repérant les particules P dans l’une ou l’autre de ces configurations. Quand les particules sont repé-rées par leurs positions dans la configuration de référence, la description du champ est dite de Lagrange, ΦΦΦL(xxx0,t) ; quand les particules sont repérées par leurs positions dans la configuration actuelle, la description
du champ est dite d’Euler ΦΦΦE(xxxt,t).
Les déformations étant supposées infinitésimales, la configuration de référence et la configuration actuelle sont cependant approximativement les mêmes, si la structure ne subit aucun mouvement de solide rigide. En première approximation, ces deux configurations peuvent donc être considérées comme identiques : dans toute la suite de ce cours, la configuration d’une structure thermo-élastique linéaire isotrope sera simplement notée Ω tel que :
Une conséquence immédiate de cette approximation est qu’il n’est plus nécessaire de préciser la description retenue pour un champ : dans toute la suite de ce cours, le champ d’une quelconque grandeur physique ΦΦΦ sera simplement noté ΦΦΦ(xxx,t), sa dérivée particulaire se réduisant simplement à :
˙ Φ Φ Φ = ∂ΦΦΦ
∂t (1-9)
Cette remarque vaut également pour les opérateurs et, notamment, pour l’opérateur gradient : dans toute la suite de ce cours, Eq. (1-5) s’écrira simplement :
εεε = sym ( gradUUU) (1-10)
Il est important de répéter que les configurations de référence et actuelle ne peuvent être considérées comme identiques que si la structure ne subit aucun mouvement de solide rigide. On rappelle qu’un mouve-ment de solide rigide peut être caractérisé par un champ de déplacemouve-ment UUUr(xxx,t) tel que sym ( gradUUUr) + (1/2)( gradTLUUUr)... ( grad
LUUUr) = 0, ∀xxx et ∀t. De façon générale, le mouvement d’une structure, caractérisé par un champ de déplacement UUU(xxx,t), est ainsi la somme d’un mouvement de solide rigide, caractérisé par U
U
Ur(xxx,t), et d’un mouvement « déformant », caractérisé par un champ UUUd(xxx,t), auquel est associé un champ de déformations non nul, soit :
UUU(xxx,t) = UUUr(xxx,t) +UUUd(xxx,t) (1-11) Très souvent – mais pas toujours –, un ingénieur n’est intéressé que par le mouvement « déformant » d’une structure. En tout état de cause, il lui est toujours possible de résoudre séparément le problème du mouvement de solide rigide d’une structure et celui de son mouvement « déformant », lequel correspond à un mouvement de solide rigide nul dans un référentiel donné.
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Principaux résultats du paragraphe 1.2.1
Compte tenu de l’hypothèse des déformations infinitésimales, dans tous les problèmes de structures thermo-élastiques linéaires isotropes, il est supposé que :
– les configurations initiale (ou de référence) et actuelle de la structure sont approximativement les mêmes. À tout instant, la configuration de la structure est donc définie par
Ω = {xxx = OPOPOP} ⊂ R3
oùOest un point quelconque de l’espace euclidien etPest le point de l’espace euclidien occupé par une quelconque particule de la structure.
– les descriptions de Lagrange et d’Euler du champ d’une quelconque grandeur physiqueΦΦΦn’ont pas à être distinguées. On écrit donc simplementΦΦΦ(xxx,t), dont la dérivée particulaire estΦΦΦ = ∂Φ˙ ΦΦ/∂t. De la même façon, il n’est plus nécessaire de préciser la configuration sur laquelle un opérateur est exprimé. On peut ainsi simplement écrire :
εεε = sym ( gradUUU)
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1.2.2 Principes de conservation et second principe de la thermodynamique en
thermo-mécanique des milieux continus
Les équations et inéquations présentées dans ce paragraphe ne sont que des cas particuliers des trois prin-cipes de conservation et du second principe de la Thermodynamique dont les énoncés généraux ont été donnés dans le cours de Mécanique des Milieux Continus. Ces cas sont « particuliers » car les déforma-tions sont supposées infinitésimales. Une conséquence de cette hypothèse est que le tenseur de la partie symétrique du gradient eulérien des vitesses (noté DDD dans le cours de Mécanique des Milieux Continus) est
approximativement égal à la dérivée particulaire du tenseur des déformations infinitésimales :
D
– Principe de conservation de la masse
On note ρ(xxx,t) (en kg.m−3) le champ de masse volumique dans Ω, voir Eq. (1-8). Compte tenu que les dé-formations sont supposées infinitésimales, voir Eq. (1-10), l’expression locale du principe de conservation de la masse est donnée par l’équation suivante (GGG désigne le tenseur métrique) :
˙ρ = −ρ (˙εεε:::GGG) = −ρ Tr (˙εεε) ∀xxx ∈ Ω , ∀t ∈ [t0,t1] (1-13)
où la dérivée particulaire de ρ, ˙ρ, est définie en accord avec Eq. (1-9). Dans Eq. (1-13), le quantificateur « ∀ » indique que cette équation est à vérifier en tout point de la structure et à tout instant. Sachant que, par dé-finition du tenseur des déformations infinitésimales, εεε(xxx,t0) = 0, la solution de cette équation différentielle
est :
ρ(xxx,t) = ρ(xxx,t0) exp (−Tr (εεε(xxx,t))) (1-14)
Une condition nécessaire à la validité de l’hypothèse des déformations infinitésimales est que |Tr (εεε)| ¿ 1. En première approximation, Eq. (1-14) peut donc se récrire :
ρ(xxx,t) = ρ(xxx,t0) (1 − Tr (εεε(xxx,t))) (1-15)
L’approximation Eq. (1-15) de la solution de l’équation de conservation de la masse Eq. (1-13) est très sou-vent retenue par un ingénieur lorsqu’il résoud un problème de structure thermo-élastique linéaire isotrope. Si la structure est homogène, c’est-à-dire si la structure est constituée d’un seul matériau thermo-élastique linéaire isotrope, un ingénieur fait aussi très souvent l’hypothèse que le champ de masse volumique initiale est uniforme, soit :
ρ(xxx,t0) = ρ0 ∀xxx ∈ Ω (1-16)
– Principe de conservation de la quantité de mouvement ou principe fondamental de la dynamique On note fffmle vecteur des forces massiques (en N.kg−1) agissant localement dans la structure. Ces forces massiques sont considérées comme l’une des sollicitations mécaniques appliquées à la structure (voir pa-ragraphe 1.1), c’est-à-dire qu’elles sont une des données du problème. Ces forces massiques sont parfois appelées « forces à distance » au sens qu’elles sont dues à un corps extérieur qui n’est pas nécessairement en contact avec la structure et qu’elles agissent dans toute la structure, c’est-à-dire qu’elles définissent un champ agissant dans tout Ω : fffm(xxx,t). Pour un ingénieur, ce champ est très souvent celui de l’accélération de la pesanteur (( fffm... fffm)1/2≈ 9, 81 N.kg−1ou m.s−2à la surface de la Terre).
L’expression locale du principe de conservation de la quantité de mouvement, ou principe fondamental de la dynamique, est donnée par l’équation suivante :
div (σσσ) + ρ fffm= ρ ¨UUU ∀xxx ∈ Ω , ∀t ∈ [t0,t1] (1-17)
où ¨UUU(xxx,t) (en m.s−2) est le champ des accélérations. Le terme ρ ¨UUU correspond à ce que l’on appelle les
quantités d’accélération par unité de volume. En toute rigueur, ces quantités ne peuvent pas être négligées
avant résolution de l’équation aux dérivées partielles Eq. (1-17) (compte tenu d’un modèle de comporte-ment et de conditions intiales et aux limites données). Un ingénieur, cependant, peut n’être intéressé que par ce que l’on appelle la solution d’équilibre d’un problème de structure, c’est-à-dire par la solution associée à des quantités d’accélération nulles en tout point de la structure et à tout instant. Cette solution correspond à ce que l’on appelle un problème de statique des structures. Dans ce cas, Eq. (1-17), qui équivaut alors à l’expression locale du principe fondamental de la statique, se réduit à :
div (σσσ) + ρ fffm= 000 ∀xxx ∈ Ω , ∀t ∈ [t0,t1] (1-18)
Dans toute la suite de ce cours, seule Eq. (1-18) sera considérée, c’est-à-dire que l’on ne s’intéressera qu’à des problèmes de statique des structures. Il est à noter que le terme ρ fffm intervenant dans Eq. (1-18) est parfois remplacé par fffv, vecteur des forces volumiques (en N.m−3) agissant localement dans la structure.
– Principe de conservation de l’énergie ou premier principe de la thermodynamique
On note e(xxx,t) le champ d’énergie interne massique (en J.kg−1) agissant dans Ω. L’énergie interne est un
potentiel d’état, c’est-à-dire une fonction au moins deux fois différentiable des seules variables d’état soit,
d’après Eqs. (1-1) et (1-10) : e(T (xxx,t),εεε(xxx,t)). L’expression locale du principe de conservation de l’énergie, ou premier principe de la thermodynamique, est donnée par l’équation suivante :
ρ ˙e = σσσ::: ˙εεε − div(qqq) + r ∀xxx ∈ Ω , ∀t ∈ [t0,t1] (1-19)
où qqq est le vecteur densité de flux de chaleur (en W.m−2) et r (en W.m−3) une source de chaleur volumique, parfois appelée taux de production de chaleur à distance.
Comme les forces massiques dans Eq. (1-18), ces sources de chaleur volumique sont considérées comme l’une des sollicitations, thermiques en l’occurence, appliquées à la structure, c’est-à-dire qu’elles sont une des données du problème. Ces sources de chaleur volumiques sont dues à un corps extérieur qui n’est pas nécessairement en contact avec la structure et agissent dans toute la structure, c’est-à-dire qu’elles définissent un champ agissant dans tout Ω : r(xxx,t). Dans la plupart des problèmes de structures thermo-élastiques, ce champ est supposé nul.
Une autre écriture peut être donnée à l’expression locale du premier principe de la thermodynamique en introduisant le potentiel d’état d’énergie libre massique 1 , qui définit aussi un champ dans toute la
structure : ψ(T (xxx,t),εεε(xxx,t)). L’énergie libre massique est définie par :
ψ = e − T s (1-20)
où s est la fonction d’état 2 d’entropie massique (en J.K−1.kg−1). En dérivant l’égalité Eq. (1-20) par rapport au temps, on obtient ainsi une nouvelle expression de Eq. (1-19), soit :
div(qqq) − r + ρ T ˙s = σσσ::: ˙εεε − ρ s ˙T − ρ ˙ψ ∀xxx ∈ Ω , ∀t ∈ [t0,t1] (1-21)
Compte tenu que, par définition d’un potentiel d’état, ψ ne dépend que de T et de εεε, sa dérivée particulaire est : ˙ψ = (∂ψ/∂T ) ˙T + (∂ψ/∂εεε) ˙εεε. L’égalité Eq. (1-21) devient alors :
div(qqq) − r + ρ T ˙s = (σσσ − ρ∂ψ
∂εεε)::: ˙εεε − ρ (s + ∂ψ
∂T) ˙T ∀xxx ∈ Ω , ∀t ∈ [t0,t1] (1-22)
– Second principe de la thermodynamique
L’expression locale du second principe de la thermodynamique est donnée par l’inéquation suivante :
−1
Tqqq... grad T + div(qqq) − r + ρ T ˙s ≥ 0 ∀xxx ∈ Ω , ∀t ∈ [t0,t1] (1-23)
Dans Eq. (1-23), le terme de gauche correspond à la puissance volumique localement dissipée, sous forme de chaleur, par le matériau. Le second principe de la Thermodynamique stipule donc simplement que cette puissance volumique dissipée, ou dissipation, ne peut jamais être négative. Compte tenu de Eq. (1-22), Eq. (1-23) peut se récrire :
−1 Tqqq... grad T + (σσσ − ρ ∂ψ ∂εεε)::: ˙εεε − ρ (s + ∂ψ ∂T) ˙T ≥ 0 ∀xxx ∈ Ω , ∀t ∈ [t0,t1] (1-24) Cette inéquation, qui combine les premier et second principes de la Thermodynamique, est connue sous le nom d’inégalité de Clausius-Duhem.
Les expressions locales des trois principes de conservation et l’inégalité de Clausius-Duhem ayant été rappelées et précisées compte tenu des hypothèses H1, H2, H3 et H4 (voir paragraphe 1.1), il est maintenant intéressant de faire un bilan des champs inconnus et des équations de champs. Ainsi :
– les champs inconnus sont :
1Il s’agit ici de l’énergie libre de Helmholtz, à distinguer de l’énergie libre de Gibbs.
– les champs mécaniques ρ(xxx,t) (scalaire), UUU(xxx,t) (vectoriel), εεε(xxx,t) (tensoriel) et σσσ(xxx,t) (tensoriel),
– les champs thermiques T (xxx,t) (scalaire), s(xxx,t) (scalaire) et qqq(xxx,t) (vectoriel) soit 27 champs scalaires inconnus.
– les équations de champ sont :
– l’équation liant les champs de déformations et de déplacements, Eq. (1-10) (tensorielle)
– l’équation de conservation de la masse, Eq. (1-12) (scalaire)
– l’équation de conservation de la quantité de mouvement, Eq. (1-17) (vectorielle)
– l’équation de conservation de l’énergie, Eq. (1-21) (scalaire)
soit 14 équations scalaires (l’inégalité de Clausius-Duhem n’est pas comptabilisée car c’est une inéqua-tion).
Il manque donc 27 − 14 = 13 équations pour qu’un problème de structure thermo-mécanique linéaire iso-trope soit fermé, c’est-à-dire pour que le nombre de champs inconnus et le nombre d’équations de champs soient égaux. Ces équations portent sur la densité de flux de chaleur qqq (vectorielle), sur les contraintes de Cauchy σσσ (tensorielle) et sur l’entropie massique s (scalaire). Elles peuvent être interprétées comme des définitions de ces trois grandeurs en fonction des autres grandeurs mécaniques et/ou thermiques prises en compte dans un problème de structure thermo-élastique linéaire isotrope. Elles doivent être
thermodyna-miquement admissibles, c’est-à-dire en accord avec l’inégalité de Clausius-Duhem Eq. (1-24). En pratique,
ces équations correspondent à des conditions suffisantes, voire à des conditions nécessaires et suffisantes à la vérification systématique de l’inégalité de Clausius-Duhem, laquelle n’a donc plus à être prise en compte dans un problème de structure.
Il est important de souligner que le potentiel d’état d’énergie libre massique e(T,εεε) est aussi une inconnue du problème. À la différence des champs inconnus rappelés précédemment, il ne dépend cependant ni de la géométrie de la structure, ni des sollicitations imposées, mais seulement du matériau constitutif de la structure. Comme on le verra dans le paragraphe 1.2.3, une seule expression est possible pour ce potentiel d’état, sachant que l’on a supposé le comportement du matériau thermo-élastique linéaire isotrope. ——————————————————————————————————————————
Principaux résultats du paragraphe 1.2.2
Dans tout problème de statique de structure thermo-élastique linéaire isotrope, les équations et l’inéquation suivantes doivent être vérifiées en tout point et à tout instant :
– Principe de conservation de la masse :
˙ρ = −ρ Tr (˙εεε)
– Principe de conservation de la quantité de mouvement, dans le cas particulier où les quantités d’accélé-ration sont supposées nulles (principe fondamental de la statique) :
div (σσσ) + ρ fffm= 000
où le champ de forces massiques fffm(xxx,t)est une donnée du problème.
– Principe de conservation de l’énergie ou premier principe de la Thermodynamique :
div(qqq) − r + ρ T ˙s = (σσσ − ρ∂ψ
∂εεε)::: ˙εεε − ρ (s + ∂ψ ∂T) ˙T
où le champ de sources de chaleur volumiquesr(xxx,t)est une donnée du problème.
– Inégalité de Clausius-Duhem : −1 Tqqq... grad T + (σσσ − ρ ∂ψ ∂εεε)::: ˙εεε − ρ (s + ∂ψ ∂T) ˙T ≥ 0 ——————————————————————————————————————————
1.2.3 Comportement thermo-élastique linéaire isotrope : équations constitutives
Dans ce paragraphe, on cherche à déterminer des conditions suffisantes, voire nécessaires et suffisantes, à la vérification systématique de l’inégalité de Clausius-Duhem, c’est-à-dire, en un quelconque point d’un matériau thermo-élastique linéaire isotrope : quel que soit l’état, caractérisé par T et εεε ; quelle que soit l’évo-lution, caractérisée par ˙T et ˙εεε ; quel que soit le gradient de température grad T , soit, d’après Eq. (1-24) :
−1 Tqqq... grad T + (σσσ − ρ ∂ψ ∂εεε)::: ˙εεε − ρ (s + ∂ψ ∂T) ˙T ≥ 0 ∀ (T,εεε) , ∀ ( ˙T , ˙εεε) , ∀ grad T (1-25) sachant que le potentiel d’état d’énergie libre massique ψ et la fonction d’état d’entropie massique s, par définition, ne dépendent que des variables d’état. On formule également les deux hypothèses suivantes qui, en première approximation et pour la plupart des matériaux usuels, sont en accord avec les résultats expérimentaux :
– les contraintes ne dépendent ni de grad T , ni de ˙εεε, ni de ˙T ,
– la densité de flux de chaleur ne dépend ni de ˙εεε, ni de ˙T .
L’inégalité Eq. (1-25) devant être en particulier vérifiée quand ˙εεε = 0 et grad T = 0, soit :
−ρ (s +∂ψ
∂T) ˙T ≥ 0 ∀ (T,εεε) , ∀ ˙T (1-26) et s ne dépendant que de T et εεε, il apparaît alors qu’une première condition nécessaire et suffisante à la vérification systématique de l’inégalité de Clausius-Duhem est :
s = −∂ψ
∂T (1-27)
Compte tenu de Eq. (1-27), et sachant que l’on a supposé que ni qqq, ni σσσ ne dépendent de ˙T , Eq. (1-25) se
réduit donc à :
−1
Tqqq... grad T + (σσσ − ρ
∂ψ
∂εεε)::: ˙εεε ≥ 0 ∀ (T,εεε) , ∀ ˙εεε , ∀ grad T (1-28) Dans Eq. (1-28), la première partie du terme de gauche de l’inégalité, −(1/T )qqq... grad T , correspond à ce que l’on appelle la dissipation thermique et la seconde partie, (σσσ − ρ(∂ψ/∂εεε))::: ˙εεε, à la dissipation
intrin-sèque.
Par définition, le comportement thermo-élastique est tel que la dissipation intrinsèque est nulle, soit, sachant que l’on a supposé que σσσ ne dépend pas de grad T :
(σσσ − ρ∂ψ
∂εεε)::: ˙εεε = 0 ∀ (T,εεε) , ∀ ˙εεε (1-29) Sachant que l’on a également supposé que σσσ ne dépend pas de ˙εεε, la seule condition nécessaire et suffisante possible pour que l’égalité Eq. (1-29) soit systématiquement satisfaite est :
σσσ = ρ∂ψ
∂εεε (1-30)
que l’on peut encore écrire, compte tenu de l’approximation Eq. (1-15) :
σσσ = ρ0(1 − Tr (εεε))∂ψ∂εεε (1-31)
où ρ0est la masse volumique initiale. Compte tenu de Eq. (1-30), et sachant que l’on a supposé que qqq ne
dépend pas de ˙εεε, l’expression de la dissipation Eq. (1-28) se réduit à :
−1
Tqqq... grad T ≥ 0 ∀ (T,εεε) , ∀ grad T (1-32)
La plus simple condition suffisante à la vérification systématique de Eq. (1-32) s’écrit alors :
où k > 0 est la conductivité thermique du matériau (en W. K−1. m−1).
L’équation Eq. (1-33) est connue sous le nom de loi de Fourier. Les équations Eq. (1-27) (scalaire), Eq. (1-30) (tensorielle) et Eq. (1-33) (vectorielle) sont dites constitutives du modèle de comportement thermo-élastique linéaire isotrope. Les deux premières de ces équations font intervenir le potentiel d’état d’énergie libre mas-sique ψ, lequel reste à définir pour que les équations constitutives le soient entièrement. On démontre que, l’état d’énergie libre massique – c’est-à-dire la valeur, pour un état (T,εεε) donné, de la fonction ψ – devant être indépendant de la base dans laquelle les composantes de εεε sont exprimées, la fonction ψ est nécessai-rement une fonction mathématiquement isotrope de εεε. Autnécessai-rement dit, ψ ne dépend que de T et des trois invariants fondamentaux de εεε, soit : Tr (εεε) ; Tr ((εεε...εεε)) ; Tr ((εεε...εεε...εεε)). On rappelle également les résultats suivants (voir Annexe A pour la démonstration de ces résultats) :
∂ Tr ((ε)(ε)(ε)) ∂εεε = GGG ; ∂ Tr ((εεε...εεε)) ∂εεε = 2εεε ; ∂ Tr ((εεε...εεε...εεε)) ∂εεε = 3εεε... εεε (1-34) L’hypothèse H4 d’un comportement thermo-élastique linéaire, traduite mathématiquement par Eq. (1-6), stipule notamment que σσσ dépend linéairement de T et de εεε. À strictement parler, cette exigence de linéarité est en fait incompatible avec l’expression Eq. (1-31) du tenseur des contraintes, au sens qu’il n’existe aucun potentiel d’état d’énergie libre ψ tel que la relation entre σσσ, T et εεε obtenue à partir de Eq. (1-31) soit linéaire en εεε. Ce problème est résolu moyennant l’approximation que la masse volumique est constante. L’expression Eq. (1-30) du tenseur des contraintes devient alors :
σσσ = ρ0∂ψ
∂εεε (1-35)
Dans toute la suite de ce cours – et, plus généralement, dans tous les ouvrages traitant de thermo-élasticité linéaire –, Eq. (1-35) sera retenue comme définition du tenseur des contraintes. Il est cependant important de répéter que cette définition repose sur une approximation concernant la masse volumique. Il faut également souligner que Eq. (1-35) n’est pas complètement cohérente avec la définition du comportement thermo-élastique puisqu’elle mène à une dissipation intrinsèque non nulle (et même négative dans certains cas). Compte tenu que σσσ et −s sont les dérivées partielles de ψ (à ρ0près pour σσσ, selon Eq. (1-35)), il est alors
nécessaire que ψ soit la somme d’une fonction quadratique de T et des invariants de εεε et d’une fonction
linéaire en T et en εεε pour que σσσ et s soient linéaires en T et en εεε, c’est-à-dire (le troisième invariant fondamental de εεε, Tr ((εεε...εεε...εεε)), ne peut pas être l’un des arguments de ψ puisqu’il est cubique en εεε) :
ψ (T, Tr (εεε) , Tr ((εεε...εεε))) = − 1 2T0Cε(T − T0) 2+ 1 2ρ0λ (Tr (εεε)) 2+ 1 ρ0µ Tr ((εεε...εεε)) − 1 ρ0(3λ + 2µ) α (T − T0) Tr (εεε) + ψ0 (1-36)
où T0(respectivement ψ0) est la température initiale (respectivement l’énergie libre massique initiale) et où
Cε> 0 est la capacité calorifique, ou chaleur massique, à déformation constante (en J. kg−1. K−1) et α > 0,
le coefficient de dilatation thermique (en K−1). Quant à µ > 0 et λ > −(2/3)µ, ce sont les coefficients de
Lamé (en N.m−2ou Pa).
Compte tenu de Eq. (1-36), et en accord avec Eq. (1-27), l’entropie massique d’un matériau thermo-élastique linéaire isotrope s’écrit donc :
s = −∂ψ ∂T = Cε (T − T0) T0 + 1 ρ0(3λ + 2µ) α Tr (εεε) (1-37)
Pour établir l’expression du tenseur des contraintes de Cauchy, il est tout d’abord nécessaire de bien in-terpréter Eq. (1-35). En effet, selon Eq. (1-36), le potentiel d’état ψ ne dépend de εεε qu’à travers ses deux premiers invariants fondamentaux. Il faut donc appliquer ici la règle de dérivation des fonctions composées, ce qui donne : σ σ σ = ρ0∂ψ∂εεε = ρ0 µ ∂ψ ∂Tr (εεε) ∂Tr (εεε) ∂εεε + ∂ψ ∂Tr ((εεε...εεε)) ∂Tr ((εεε...εεε)) ∂εεε ¶ (1-38)
soit, compte tenu de Eq. (1-36) et des résultats rappelés dans Eq. (1-34) : σ
σ
σ = λ Tr (εεε) GGG + 2 µεεε − (3λ + 2µ) α (T − T0)GGG (1-39)
Les équations Eqs. (1-33), (1-37) et (1-39) sont dites constitutives du modèle de comportement thermo-élastique linéaire isotrope, c’est-à-dire qu’elles sont valables pour tous les matériaux mécaniquement et thermiquement isotropes dont le comportement, tant que les variations relatives de température et les dé-formations restent « petites », peut effectivement être considéré comme thermo-élastique linéaire. La seule différence entre tous ces matériaux provient des valeurs de ce que l’on appelle parfois les
paramètres-matériau, c’est-à-dire que ces valeurs diffèrent d’un matériau à l’autre. Ces paramètres-matériau sont ici
au nombre de cinq : la conductivité thermique k, la chaleur massique Cε, le coefficient de dilatation
ther-mique α et les deux coefficients de Lamé λ et µ.
Le premier principe de la thermodynamique, voir Eq. (1-22), peut être récrit compte tenu de la loi de Fourier, voir Eq. (1-33), et de l’expression de l’entropie massique, voir Eq. (1-37) :
−k ∆T + ρCεT T0 ˙ T − r = (σσσ − ρ∂ψ ∂εεε)::: ˙εεε − ρ ρ0(3λ + 2µ) α (T − T0) Tr (˙εεε) (1-40)
où le symbole « ∆ » désigne l’opérateur laplacien dans le cas où il concerne un champ scalaire.
L’équation Eq. (1-40) est connue sous le nom d’équation de la chaleur. En cohérence avec l’approxima-tion précédemment faite que la masse volumique est constante, cependant, et compte tenu de Eq. (1-35), Eq. (1-40) peut se récrire :
−k ∆T + ρ0Cε T
T0
˙
T − r = − (3λ + 2µ) α (T − T0) Tr (˙εεε) (1-41)
Il est important de souligner que Eq. (1-40) est l’expression particulière de l’équation de la chaleur associée aux équations constitutives du modèle de comportement thermo-élastique linéaire isotrope. Autrement dit, l’équation de la chaleur aurait une autre expression si le modèle de comportement considéré était autre que celui de thermo-élasticité linéaire isotrope.
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Principaux résultats du paragraphe 1.2.3
Compte tenu de l’approximationρ ≈ ρ0, les équations constitutives du modèle de comportement thermo-élastique linéaire isotrope, à vérifier en tout point et à tout instant, sont :
– pour la densité de flux de chaleurqqq:
qqq = − k grad T avec k > 0 (loi de Fourier)
– pour le tenseur des contraintes de Cauchyσσσ:
σσσ = λ Tr (εεε) GGG + 2 µεεε − (3λ + 2µ) α (T − T0)GGG avec µ > 0 , λ > −23µ et α > 0
– pour l’entropie massiques:
s = Cε(T − TT 0)
0 +
1
ρ0 (3λ + 2µ) α Tr (εεε) avec Cε > 0
L’équation de la chaleur associée au modèle de comportement thermo-élastique linéaire isotrope, à vérifier en tout point et à tout instant, s’écrit :
−k ∆T + ρ0CεTT 0
˙
T − r = − (3λ + 2µ) α (T − T0) Tr (˙εεε)
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1.2.4 Énoncé mathématique d’un problème de structure homogène en
thermo-élasticité linéaire isotrope
La notion d’homogénéité a déjà été évoquée pour établir la solution particulière (et uniforme), Eq. (1-16), de l’équation de conservation de la masse. Elle est relative à la structure considérée. Une structure est dite homogène si elle est constituée d’un seul matériau, c’est-à-dire si les paramètres-matériau ont la même valeur en tout point de cette structure. Dans toute la suite de ce cours, les structures seront supposées homogènes.
– Restriction du nombre de champs inconnus et du nombre d’équations de champs
Comme on l’a déjà signalé au paragraphe 1.2.2, le nombre de champs scalaires inconnus dans un problème de structure thermo-élastique linéaire isotrope est de 27. Il est égal au nombre d’équations de champs, compte tenu des équations constitutives du comportement thermo-élastique linéaire isotrope établies au paragraphe 1.2.3.
Une approximation a cependant dû être retenue au paragraphe 1.2.3, voir notamment Eq. (1-35), afin d’ob-tenir l’expression Eq. (1-39) du tenseur des contraintes de Cauchy et l’expression Eq. (1-41) de l’équa-tion de la chaleur. Cette approximal’équa-tion est que le champ de masse volumique est constant, c’est-à-dire,
∀t ∈ [t0,t1], égal au champ de masse volumique initiale. Comme on l’a souligné au paragraphe 1.2.3, cette
approximation n’est pas complètement satisfaisante d’un point de vue thermodynamique (elle mène à une dissipation intrinsèque non nulle, voire négative). Malgré cela, cette approximation est très souvent retenue par un ingénieur devant résoudre un problème de structure thermo-élastique linéaire isotrope. Si la structure est homogène, c’est-à-dire constituée d’un seul matériau thermo-élastique linéaire isotrope, un ingénieur retient même l’hypothèse Eq. (1-16) que le champ de masse volumique est uniforme, soit :
En première approximation, le champ de masse masse volumique est uniforme (spatialement) et constant (temporellement), c’est-à-dire :
L’approximation Eq. (1-42) n’est cependant cohérente avec l’équation de conservation de la masse, voir Eq. (1-13), que si l’on suppose Tr (εεε) = 0 à tout instant, ce qui est mécaniquement irréaliste. En pratique, un ingénieur considère donc que :
L’équation de conservation de la masse n’est pas à prendre en considération
dans un problème de structure thermo-élastique linéaire isotrope. (1-43) Compte tenu de Eq. (1-42) et de Eq. (1-43), le nombre de champs inconnus scalaires et celui des équations de champs scalaires se réduisent donc à 26.
L’expression Eq. (1-37) de l’entropie massique d’un matériau thermo-élastique linéaire isotrope a été uti-lisée pour établir celle de l’équation de la chaleur, voir Eq. (1-41). La connaissance du champ d’entro-pie massique est cependant de peu d’intérêt pratique pour un ingénieur, qui renonce donc très souvent à le considérer comme l’un des champs inconnus du problème de structure thermo-élastique linéaire iso-trope. En cohérence, un ingénieur ne prend donc pas en considération l’équation de champ correspondant à Eq. (1-37). Le nombre de champs inconnus scalaires et celui des équations de champs scalaires se réduisent donc très souvent, en pratique, à 25.
Il est également important de préciser que l’inégalité de Clausius-Duhem, voir Eq. (1-24), n’est pas prise en considération dans un problème de structure thermo-élastique linéaire isotrope. Elle est supposée systéma-tiquement satisfaite compte tenu des équations constitutives établies au paragraphe 1.2.3. Il faut toutefois répéter que cette hypothèse n’est pas complètement cohérente avec celle d’un champ de masse volumique constant, voir paragraphe 1.2.3.
– Conditions initiales et conditions aux limites
L’équation de la chaleur, voir Eq. (1-41), fait notamment intervenir la dérivée particulaire du champ de température, ˙T (xxx,t), ainsi que celle du champ des déformations qui est liée, d’après Eq. (1-10), à la dérivée
particulaire du champ de déplacements : ˙εεε(xxx,t) = sym ³
grad ˙UUU(xxx,t)
´
. Il convient donc notamment d’as-socier à cette équation des conditions initiales portant sur les champs de température et de déplacements. Dans la mesure où le champ de déplacements intéressant un ingénieur est celui des particules constitu-tives de la structure Ω entre l’instant initial t0et l’instant générique t, la condition initiale sur le champ de
déplacements s’énonce simplement :
U U
U(xxx,t0) = 0 ∀xxx ∈ Ω (1-44)
En ce qui concerne le champ de température, un ingénieur fait très souvent l’hypothèse qu’il est initialement uniforme (et non nul, puisque T désigne la température absolue, strictement positive par définition), soit :
T (xxx,t0) = T0> 0 ∀xxx ∈ Ω (1-45)
Compte tenu de Eq. (1-10), on déduit de Eq. (1-44) que εεε(xxx,t0) = 0. Compte tenu des équations
constitu-tives du modèle de comportement thermo-élastique linéaire isotrope, Eq. (1-33) et Eq. (1-39), on déduit de Eq. (1-45) que qqq(xxx,t0) = 0 et σσσ(xxx,t0) = 0.
L’équation de la chaleur, par l’intermédiaire de l’opérateur laplacien, fait également intervenir les dérivées spatiales secondes du champ de température. De la même façon, l’équation d’équilibre locale Eq. (1-18) combinée à la relation Eq. (1-39) liant le champ des contraintes à ceux de la température et des défor-mations, fait intervenir les dérivées spatiales premières du champ de température et, puisque εεε(xxx,t) = sym ( gradUUU(xxx,t)), les dérivées spatiales secondes du champ de déplacement. Il convient donc d’associer
à ces équations des conditions aux limites, sur toute la frontière ∂Ω de la structure.
Pour bien définir les conditions aux limites thermiques, il faut tout d’abord faire une bipartition de ∂Ω :
∂ Ω = ∂ ΩT ∪ ∂ Ωq (1-46)
et :
∂ ΩT ∩ ∂ Ωq= /0 (1-47) Dans Eqs. (1-46) et (1-47), ∂ΩT désigne la partie de la frontière ∂Ω où la température est imposée et ∂Ωq, la partie de la frontière où la densité de flux de chaleur normal à ∂Ω est imposée.
La condition Eq. (1-47) s’interprète ainsi de la façon suivante : en un quelconque point de ∂Ω, il est impos-sible d’imposer à la fois une température et un flux de chaleur normal.
Mathématiquement parlant, les deux types de conditions aux limites thermiques possibles sont :
– des conditions de type Dirichlet. Elles concernent le champ de température, soit :
T = Td sur ∂ΩT (1-48) où Tdest une donnée du problème,
– des conditions de type Neumann. Elles concernent le champ de densité de flux de chaleur, soit :
qqq...nnn = qd sur ∂Ωq (1-49) où nnn désigne la normale unitaire extérieure à ∂Ωqet où qdest une donnée du problème.
Les conditions aux limites mécaniques sont un peu plus délicates à définir. Elles portent sur le champ vectoriel des déplacements et le champ tensoriel des contraintes. Elle nécessite, en chaque point de ∂Ω, de distinguer trois directions non coplanaires. Une façon de faire est de repérer tout d’abord chaque point Q de ∂Ω par son vecteur position xxxQpar rapport à un même point quelconque, ce qui permet d’écrire :
∂Ω =©xxxQª⊂ R3 (1-50)
Tous les vecteurs positions xxxQétant ensuite exprimés dans une même base {eee
i}, on peut alors donner une représentation de ∂Ω dans cette base, soit :
∂Ω{eeei}=
n
xQi eeei o
= ∂Ωeee1× ∂Ωeee2× ∂Ωeee3 (1-51) où les ensembles ∂Ωeeei sont simplement définis par :
∂Ωeeei=
n
xQi o⊂ R (1-52)
De la même façon que pour les conditions aux limites thermiques, on peut ainsi faire une bipartition de chacun des ∂Ωeeei, soit :
∂ Ωeeei= ∂ Ωeeei
U∪ ∂ ΩeeeFi (1-53) et :
∂ Ωeeei
U ∩ ∂ ΩeeeFi= /0 (1-54) Dans Eqs. (1-53) et (1-54), ∂ Ωeeei
U désigne la partie de ∂ Ωeeei où la i-ème composante de UUU est imposée et ∂ Ωeeei
F, la partie de ∂ Ωeeei où la i-ème composante du vecteur contrainte σσσ...nnn est imposée. Il est important de souligner que la condition Eq. (1-54) n’interdit pas qu’en un point donné de ∂Ω soient imposées certaines des composantes de UUU (par exemple U1) et les autres composantes de FFF (par exemple F2et F3).
Mathématiquement parlant, les deux types de conditions aux limites mécaniques possibles sont :
– des conditions de type Dirichlet. Elles concernent le champ de déplacements (plus précisément : ses composantes dans une base donnée), soit :
Ui= Uid sur ∂ ΩeeeUi (1-55)
où Ud
i est une donnée du problème,
– des conditions de type Neumann. Elles concernent le champ de contraintes (plus précisément : ses com-posantes dans une base donnée), soit :
σi jnj= Fid sur ∂ ΩeeeFi (1-56)
où njdésigne la j-ème composante de la normale unitaire extérieure à ∂Ω et où Fid est une donnée du problème, parfois appelée densité surfacique de forces ou, plus simplement, force surfacique.
En pratique, dans la plupart des problèmes de structure qu’il a à résoudre, un ingénieur peut imposer des conditions aux limites mécaniques plus simples que celles données par Eqs. (1-55) et (1-56). Celles-ci sont basées sur la partition suivante de ∂Ω :
∂ Ω = ∂ ΩU ∪ ∂ ΩF avec ∂ ΩU ∩ ∂ ΩF= /0 (1-57) Mathématiquement parlant, les deux types de conditions aux limites mécaniques possibles sont alors :
– des conditions de type Dirichlet. Elles concernent le champ de déplacements, soit :
U U
U = UUUd sur ∂ ΩU (1-58) où UUUdest une donnée du problème,
– des conditions de type Neumann. Elles concernent le champ de contraintes, soit : σ
σσ...nnn = FFFd sur ∂ ΩF (1-59)
où nnn désigne la normale unitaire extérieure à ∂Ω et où FFFdest une donnée du problème, parfois appelée densité surfacique de forces ou, plus simplement, force surfacique.
Il est finalement important de souligner que la vérification des quatre conditions Eqs. (1-46), (1-47) et (1-57) est une condition nécessaire au fait que le problème de structure thermo-élastique linéaire isotrope soit « bien posé ». Si l’une et/ou l’autre de ces conditions n’est pas vérifiée, il est par exemple possible que la solution du problème ne soit pas unique.
– Énoncé du problème
Compte tenu des diverses équations établies précédemment, il est maintenant possible de donner l’énoncé complet d’un problème de structure thermo-élastique linéaire isotrope :
– les inconnues :
Comme on l’a signalé précédemment (voir, notamment, Eqs. (1-42)), les champs de masse volumique et d’entropie massique ne sont généralement pas pris en compte dans un problème de structure thermo-élastique linéaire isotrope. Les champs inconnus se réduisent donc à :
T (xxx,t) , qqq(xxx,t) , UUU(xxx,t) , εεε(xxx,t) , σσσ(xxx,t) (1-60)
– les données :
Les données sont de quatre types. Il faut tout d’abord préciser la géométrie de la structure (données géo-métriques), laquelle est entièrement définie par sa configuration Ω, c’est-à-dire un sous-ensemble de R3, de frontière ∂Ω (voir Eq. (1-8)). Il faut ensuite fixer les valeurs des paramètres-matériau (données ma-térielles), qui sont au nombre de 5 pour un matériau thermo-élastique linéaire isotrope (voir paragraphe 1.2.3), auxquels il est généralement ajouté la masse volumique, voir Eq. (1-42). Il faut également préciser les sollicitations thermiques et mécaniques imposées à la structure (données mécaniques et thermiques), c’est-à-dire des champs agissant dans toute la structure, voir paragraphe 1.2.2, et des conditions aux li-mites, voir Eqs. (1-48), (1-49), (1-58) et (1-59). Il faut enfin fixer les conditions initiales, voir Eq. (1-44) et, par exemple, Eq. (1-45) (données initiales).
En résumé, les données d’un problème de structure thermo-élastique linéaire isotrope sont : Ω = {xxx = OP} ⊂ R3, de frontière ∂Ω ; t0(instant initial) et t1(instant final)
k > 0 ; Cε> 0 ; α > 0 ; µ > 0 et λ > −2
3µ ; ρ0> 0 (1-61)
r(xxx,t) dans tout Ω ; fffm(xxx,t) dans tout Ω
T (t) = Td(t) sur ∂ΩT ; qqq(t)...nnn = qd(t) sur ∂Ωq avec ∂ΩT∪ ∂Ωq= ∂Ω et ∂ΩT∩ ∂Ωq= /0
U
UU(t) = UUUd(t) sur ∂ΩU ; σσσ(t)...nnn = FFFd(t) sur ∂ΩF avec ∂ΩU∪ ∂ΩF= ∂Ω et ∂ΩU∩ ∂ΩF= /0
U
UU(xxx,t0) = 0 et, par exemple, T (xxx,t0) = T0 dans tout Ω
Dans Eq. (1-61), les paramètres-matériau et la masse volumique ont été considérés comme indépendant de xxx, c’est-à-dire qu’on a supposé que le champ associé à chacune de ces grandeurs était uniforme. Comme on l’a déjà signalé au début de ce paragraphe, ceci n’est possible que si la structure est homogène.
– les équations :
Comme on l’a signalé précédemment, voir notamment (1-43), l’équation de conservation de la masse et l’équation constitutive définissant l’entropie massique ne sont généralement pas considérées dans un problème de structure thermo-élastique linéaire isotrope, pas plus que l’inégalité de Clausius-Duhem. Les seules équations de champs à résoudre sont donc :
– l’équation liant les champs de déformations infinitésimales et de déplacements, voir Eq. (1-10), la-quelle est en fait une définition du tenseur des déformations infinitésimales,
– les équations constitutives Eqs. (1-33) et (1-39), lesquelles peuvent également être vues comme des définitions, en thermo-élasticité linéaire isotrope, du vecteur densité de flux de chaleur et du tenseur des contraintes,
– dans le cas où seule une solution d’équilibre est recherchée au problème, l’équation d’équilibre local Eq. (1-18),
– l’équation de la chaleur Eq. (1-41).
En résumé, ces équations – qui sont toutes à vérifier en tout point de la structure et à tout instant, c’est-à-dire ∀xxx ∈ Ω et ∀t ∈ [t0,t1] – sont : εεε = sym ( gradUUU) qqq = − k grad T σ σσ = λ Tr (εεε) GGG + 2 µεεε − (3λ + 2µ) α (T − T0)GGG div (σσσ) + ρ fffm= 0 −k ∆T + ρ0CεTT0T − r = − (3λ + 2µ) α (T − T˙ 0) Tr (˙εεε) (1-62)
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Principaux résultats du paragraphe 1.2.4
De façon très générale, un problème de structure homogène en thermo-élasticité linéaire isotrope s’énonce de la façon suivante :
– Étant donnés :
Ω = {xxx = OP} ⊂ R3, de frontière ∂Ω ; t
0(instant initial) et t1(instant final)
k > 0 ; Cε> 0 ; α > 0 ; µ > 0 et λ > −23µ ; ρ0> 0
r(xxx,t) dans tout Ω ; fffm(xxx,t) dans tout Ω
T (t) = Td(t) sur ∂Ω T ; qqq(t)...nnn = qd(t) sur ∂Ωq avec ∂ΩT∪ ∂Ωq= ∂Ω et ∂ΩT∩ ∂Ωq= /0 U UU(t) = UUUd(t) sur ∂Ω U; σσσ(t)...nnn = FFFd(t) sur ∂ΩF avec ∂ΩU∪ ∂ΩF= ∂Ω et ∂ΩU∩ ∂ΩF= /0 U
UU(xxx,t = t0) = 0 et T (xxx,t = t0) = T0 dans tout Ω
– trouver les champs :
T (xxx,t) , qqq(xxx,t) , UUU(xxx,t) , εεε(xxx,t) , σσσ(xxx,t)
– tels que,∀xxx ∈ Ωet∀t ∈ [t0,t1]:
εεε = sym ( gradUUU) ; qqq = − k grad T ; div (σσσ) + ρ fffm= 0 σσσ = λ Tr (εεε) GGG + 2 µεεε − (3λ + 2µ) α (T − T0)GGG
−k ∆T + ρ0CεTT0T − r = − (3λ + 2µ) α (T − T˙ 0) Tr (˙εεε)
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1.2.5 Questions Q1, Q2 et Q3 : traduction mathématique
Le problème défini par Eqs. (1-60), (1-61) et (1-62) n’a de solution exacte (analytique) que dans quelques rares cas (voir le Chapitre 2 de ce cours pour des exemples isothermes, c’est-à-dire en négligeant les aspects thermiques). Le plus souvent, on cherche donc à lui trouver des solutions approchées, lesquelles sont obtenues par des méthodes numériques, telle que la méthode des éléments finis.
Une fois qu’il a obtenu une solution exacte ou approchée au problème de structure thermo-élastique linéaire isotrope qui l’intéresse, un ingénieur doit encore répondre aux trois question posées dans le paragraphe 1.1 avant de pouvoir se prononcer sur la pertinence physique de cette solution. On se propose, dans ce paragraphe, de donner une traduction mathématique à ces trois questions.
– Question Q1
La question Q1 est celle de l’unicité de la solution du problème de structure thermo-élastique linéaire isotrope. Cette question est en fait très complexe qui, entre autres, relève de l’analyse fonctionnelle, au sens mathématique de cette expression. Dans le Chapitre 2, on montrera que la solution du problème de structure élastique linéaire isotrope est unique. Dans le cas plus général d’une structure thermo-élastique linéaire isotrope, on se contentera d’admettre le résultat suivant :
– si la frontière ∂Ω de la structure est suffisamment régulière pour que la normale extérieure soit définie de façon unique « presque partout » (cette expression étant à comprendre au sens de la théorie des distributions),
– si les paramètres-matériau vérifient les conditions rappelées dans Eq. (1-61), c’est-à-dire :
k > 0 ; Cε> 0 ; α > 0 ; µ > 0 et λ > −2
– et si les partitions ∂ΩT∪ ∂Ωqet ∂ΩU∪ ∂ΩF de ∂Ω vérifient les conditions rappelées dans Eq. (1-61), c’est-à-dire :
∂ΩT∪ ∂Ωq= ∂Ω ; ∂ΩT∩ ∂Ωq= /0 ; ∂ΩU∪ ∂ΩF= ∂Ω ; ∂ΩU∩ ∂ΩF= /0
– alors la solution du problème de structure thermo-élastique linéaire isotrope est unique.
Il faut toutefois signaler que, dans certains cas, l’unicité n’est en fait assurée qu’à un mouvement de solide rigide près et/ou à un champ de température uniforme près. En pratique, ces cas doivent être exclus par un ingénieur (le premier parce qu’il ne l’intéresse généralement pas, voir Eq. (1-11), le second parce qu’il n’a pas de sens physique). Ceci est toujours possible moyennant, en particulier, un choix judicieux des conditions aux limites.
Il faut enfin souligner que le résultat mathématique rappelé ci-dessus est suffisamment général pour qu’un ingénieur n’ait plus à se poser la question de l’unicité dès qu’il a trouvé une solution au problème qui l’intéresse. Autrement dit : si, pour un problème de structure thermo-élastique linéaire isotrope donné, les conditions rappelées ci-dessus sont toutes vérifiées, un ingénieur peut affirmer avant de résoudre ce problème que la solution est unique.
– Question Q2
La question Q2 est celle de la compatibilité de la solution d’un problème donné avec l’hypothèse de com-portement thermo-élastique linéaire isotrope du matériau constitutif de la structure. Les expériences de laboratoire montrent en effet que cette hypothèse n’est valable que dans une certaine gamme de tempéra-ture et de déformations. Une façon très générale de traduire ce constat expérimental repose sur la notion d’énergie de déformations massique, χ(εεε), laquelle, en thermo-élasticité linéaire isotrope, est définie par :
χ(εεε) = ψ(T,εεε) − ψ0+ 2T1
0Cε(T − T0)
2+ 1
ρ0 (3 λ + 2 µ) α (T − T0) Tr (εεε) (1-63)
À cette énergie de déformations massique est ensuite associée une borne supérieure, souvent appelée limite de thermo-élasticité, pouvant dépendre de la température, χl(T ) > 0 et telle que, connaissant la solution d’un problème donné (c’est-à-dire, en particulier, connaissant les champs T (xxx,t) et εεε(xxx,t)) :
χ(εεε(xxx,t)) − χl(T (xxx,t)) < 0 ∀xxx ∈ Ω et ∀t ∈ [t0,t1] ⇔
l’hypothèse de comportement thermo-élastique est physiquement admissible
Autrement dit, la solution du problème de structure thermo-élastique linéaire isotrope considéré est physi-quement admissible si et seulement si elle vérifie, en tout point et à tout instant, l’inégalité ci-dessus. La fonction g(T,εεε) = χ(εεε) − χl(T ) est parfois appelée fonction limite, tandis que l’équation g(T,εεε) = 0 est souvent appelée surface limite de thermo-élasticité : dans l’espace des variables d’état (T,εεε), en effet, cette équation est celle d’une (hyper-)surface.
Les expériences de laboratoire montrent cependant également que, pour la plupart des matériaux, la li-mite χl(T ) n’est jamais atteinte si le tenseur des déformations infinitésimales est purement sphérique. En termes de fonction limite, ce constat expérimental se traduit simplement de la façon suivante : ∀εεε = (1/3)Tr (εεε)GGG , g(T,εεε) < 0 ⇔ ∀εεε = (1/3)Tr (εεε)GGG , χ(εεε) < χl(T ). En pratique, cependant, on va très sou-vent au-delà de cette restriction en postulant que la fonction limite (et donc la surface limite) ne dépend pas de la partie sphérique du tenseur des déformations infinitésimales. Ce postulat peut être interprété d’un point de vue énergétique, moyennant une autre écriture de l’énergie de déformations massique, voir Eq. (1-63). Pour obtenir cette nouvelle expression, il faut partir de la partition, unique, du tenseur de défor-mations en parties sphérique et déviatoire :
εεε =1
3Tr (εεε) GGG + dev (εεε) (1-64)
De Eq. (1-64), sachant que, par définition d’un déviateur, dev (εεε) :::GGG = 0, et sachant également que GGG:::GGG =
3, on déduit immédiatement que :
Tr ((εεε...εεε)) = εεε:::εεε =1
3 (Tr (εεε))
Compte tenu de Eq. (1-65) et de l’expression Eq. (1-36) du potentiel d’état d’énergie libre massique, Eq. (1-63) peut ainsi se récrire :
χ (Tr (εεε) , Tr ((dev (εεε) ... dev (εεε)))) = 1 ρ0µ Tr ((dev (εεε) ... dev (εεε))) + 1 ρ0 3λ + 2µ 6 (Tr (εεε)) 2 (1-66)
Les contributions des parties sphérique et déviatoire de εεε à l’expression de ψ étant ainsi clairement séparées, soit, pour la partie déviatoire :
χd(Tr ((dev (εεε) ... dev (εεε)))) = 1
ρ0µ Tr ((dev (εεε) ... dev (εεε))) (1-67)
le postulat que la fonction limite ne dépend pas de la partie sphérique du tenseur des déformations se traduit simplement par :
g(T,εεε) = χd(Tr ((dev (εεε) ... dev (εεε)))) − χl(T ) = 1
ρ0µ Tr ((dev (εεε) ... dev (εεε))) − χl(T ) (1-68)
Selon Eq. (1-68), la surface limite s’écrit donc : g(T,εεε) = (1/ρ0)µTr ((dev (εεε) ... dev (εεε))) − χl(T ) = 0. Or, selon Eq. (1-39), on a :
dev (εεε) = 1
2 µdev (σσσ) (1-69)
D’après Eq. (1-69), il est donc possible de donner une autre expression à la surface limite, soit :
Tr ((dev (σσσ) ... dev (σσσ))) = 4 µ ρ0χl(T ) (1-70) ce que l’on peut encore écrire, en introduisant, alternativement à g(T,εεε), la fonction limite f telle que
f (T,σσσ) = σeq− (6µρ0χl(T ))1/2: f (T,σσσ) = σeq− (6µρ0χl(T )) 1 2 = 0 avec σeq= µ 3 2dev (σσσ) ::: dev (σσσ) ¶1 2 (1-71) La surface limite définie par Eq. (1-71) est connue sous le nom de surface limite de Von Mises ou en-core de critère de limite de thermo-élasticité de Von Mises. Elle fait intervenir la grandeur σeq qu’on appelle contrainte de Von Mises ou, plus fréquemment, contrainte équivalente. Dans Eq. (1-71), le terme (6µρ0χl(T ))1/2> 0, souvent noté σ0(T ), est appelé contrainte limite à la température T . C’est un
paramètre-matériau, c’est-à-dire une autre donnée du problème défini par Eqs. (1-60), (1-61) et (1-62), laquelle diffère d’un matériau à un autre.
Le critère de Von Mises est très souvent utilisé par un ingénieur pour répondre à la question Q2 :
f (T (xxx,t),σσσ(xxx,t)) < 0 ∀xxx ∈ Ω et ∀t ∈ [t0,t1] ⇔
l’hypothèse de comportement thermo-élastique est physiquement admissible
(1-72) Par contraposition de l’équivalence Eq. (1-72), on constate qu’il suffit qu’il existe un point de Ω et un instant dans l’intervalle de temps où l’évolution de la structure est étudiée pour que l’hypothèse de comportement thermo-élastique (linéaire isotrope) cesse d’être valable. Il faut alors envisager des modèles de comporte-ment plus sophistiqués, tels les modèles de thermo-élasto-plasticité. Ceux-ci sont rapidecomporte-ment évoqués dans le Chapitre 4.
Il faut également souligner qu’il existe d’autres critères (ou surfaces limite) que celui de Von Mises. On peut par exemple citer le critère de Tresca, qui s’écrit :
f (T,σσσ) = max i, j=1,2ou3 ¯ ¯σi− σj ¯ ¯ − σ0(T ) = 0 (1-73)
où σi est la i-ème contrainte principale, c’est-à-dire la i-ème valeur propre du tenseur des contraintes de Cauchy.
