N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
A. C ORNET
Solution de la question 458 (voir p. 434)
Nouvelles annales de mathématiques 1resérie, tome 17 (1858), p. 463-465
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SOLUTION DE LA QUESTION 458
(voir p. 434) , PAR M. A. CORNET,
Élevé du lycée Saint-Louis (classe de M. Briot).
lim (—l- 1 h . . . • + • — ) = L.2quand ndev. infini,
\ n -H i w + 2 in
(464 )
J'effectue successivement les divisions de i par n -+- i, n 4- 2, n -h 3,..., 2/iet j'obtiens
I I I
/î-f
I
I - I
* 2
- j
I 9, //
n
i
n
i
n
, n
2
3
1
w2
w3
22
723
3'
«3
/ i2
/23
23
33 /24
723
• \ ' _ _ _ _ _ "~T"
Je dis maintenant que la somme des termes d'une co- lonne verticale quelconque des seconds nombres a pour limite une fraction dont le numérateur est l'unité et le dénominateur l'exposant de n au dénominateur commun a tous les termes de cette colonne verticale ; ainsi la somme de la [p -f-i)lèmf> colonne verticale a pour limite quand n augmente indéfiniment.
En effet, ces termes ont pour numérateurs les n pre- miers nombres entiers élevés à la puissance p', leur déno- minateur commun est np+i $ leur somme est, d'après une formule connue,
&,_,
Les quantités Sf,_1, S^_2, etc., sont les sommes des n premiers nombres élevés à la puissance p — i, p — i, etc. ; elles sont du degré p, p — i, etc., en n \ donc en divisant
( 4 6 5 )
haut et bas par ^^''+1, il vient
__ V n) n n*
Quand n tend vers Pinfini, on a
D'après cela, quand n tend vers l'infini, la somme de 1 |r.. .H ) •> qui est égale à la somme
n -h i n -f- 2 in) ^ °
de toutes les colonnes verticales, tend vers
qui est le développement de L.2. c. Q. F . D.
Note. C'est une conséquence de la question 4 5 3 ; en effet lorsque n est infini, les deux limites deviennent égales ; et alors
formule connue (le terme - a été oublié ) t et aussi
\ n I
1 1 1 1
- H h 3 H- • . . -f- T ~ = log An.
La soustraction donne
r r ï i
(pour*=
[Communiqué par M. LEBESGCE (*).]
(*) Le savant arithmologue fera paraître incessamment, par feuilles, des exercices sur la théorie des nombres, qui,"par des échelons habi- lement placés, mèneront le lecteur sans fatigue du sol au faite de l'é- difice; ouvrage utile aux élèves, indispensable aux professeurs séiieux.
Ann. de Mathématiques, t. XVH. (Décembre 1858.) 3o
