Seconde solution de la question 369 (voir p. 192)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

L ^OUIS C ^REMONA

Seconde solution de la question 369 (voir p. 192)

Nouvelles annales de mathématiques 1

série, tome 16 (1857), p. 251-252

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SECONDE SOLUTION DE LA QUESTION 369

(voir p. 192) ;

PAR M. LOUIS CREMONA, Professeur au lycée de Crémone.

Soient

p = o , qz=zo, r — o

les équations des côtés BC, CA, AB d'un triangle ABC}

g — r=o, r — p = O, p — q = o

sont donc les équations de trois droites passant respecti- vement par les sommets A , B, C et se rencontrant au même point D 5 soient a , (3 , y, les points où AD, BD, CD rencontrent BC, CA, AB. Soient

lp -f- mq •+- nr rzz o, /, p -h 772, q -+ n{ r= o

les équations de deux droites R , RÎ qui rencontrent res- pectivement BC, CA, AB aux points a , aY\ t , bx -, c, c, $ par conséquent, les équations des droites D a , Dâ^, sont

n (r — p) — m(p — 7) = 0 ,

*i{r — p) — /». (/? — 7) = o .

Le rapport anharmonique des quatre droites DB , DC, D « , D r t ,

r — p = o, /? — 7 = o , r— P —(P — Ç) =

m

j —P — - 7) =^0

esl - (Salmoii . Conic sections, p. 53) et Ir rapport an-

( 2D2 )

harmonique des droites conjuguées DC, DB, Da, Da,

— pz=o,

est — \ donc les points B , C , <x , a, a

seront en involu- tion si l'on a

mm^{

= nn

Ainsi les conditions nécessaires et suffisantes pour que les trois systèmes de cinq points

B, C, a, «, a

C, A, p, b, b

A, B, 7, c, c

( a , |3

y points doubles) soient en involution, seront

//, = mnti = nnx.

Il s'ensuit qu'en prenant arbitrairement la droite R,

lp -f- mq -h nr z=r Oy

la droite Rj sera

/> rv /•

7-f-- + - = O.