Théorème de P ALEY -W IENER

Théorème de P ^ALEY -W ^IENER

P

L

On noteϕˆ:ξ 7→R

e^−iξtϕ(t)dtla transmormé de FOURRIERdeϕ.

Théorème 1. Pourr >0etf holomormphe, notons :

(1) ∀N ∈N,∃C_N >0,∀z ∈C,|f(x)| ≤C_N(1 +|z|)^−Ne^r|=(z)|

— Soitϕ ∈ C^∞tel quesupp(ϕ) ⊆ [−r, r], alors il existef holomorphe vériviant (1) et telle queϕˆ=f|R.

— Réciproquement, pourf holomorphe, si il exister > 0tel quef vérifie (1), alors il existe ϕ∈ C^∞tel quesupp(ϕ)⊆[−r, r]etϕˆ=f_|R.

Démonstration. — Montrons d’abord le sens direct : Soit f : z 7→ R

e^−iztϕ(t)dt. Cette intégrale est bien défini car ϕ est a support compact.

Notons g : (z, t) 7→ e^−iztϕ(t) et appliquons le théorème d’holomorphie sous le signe somme :

La fonctionz 7→g(z, t)est holomorphe.

La fonctiont7→ _∂z^∂(g)(z, t)est intégrable.

Pourt ∈Ctel que|t| ≤Ron a|_∂z^∂(g)(z, t)| ≤ |re^rRϕ(t)|car supp(ϕ)⊆[−r, r].

Par holomorphie sous sous le signe somme :f est holomorphe.

Par définition def, on aϕˆ=f|R

Montrons quef vérifie (1) :

SoitN ∈N. CommeϕestC^∞à support compact, on peut calculerR

e^−iztϕ⁽ⁿ⁾(t)dt: Z

e^−iztϕ⁽ⁿ⁾(t)dt= (−1)ⁿ Z

(−iz)ⁿe^−iztϕ(t)dt= (iz)ⁿf(z)

Par intégration par parties.

|zⁿf(z)|=| Z

e^−iztϕ⁽ⁿ⁾(t)dt|

|zⁿf(z)| ≤ Z

|e^−iztϕ⁽ⁿ⁾(t)|dt

|zⁿf(z)| ≤e^r=(z) Z

|ϕ⁽ⁿ⁾(t)|dt Ce qui montre bien quef vérifie (1).

1

— Montrons la réciproque : Soit ϕ : t 7→ 2πR

Re^ixtf(x)dx. Cette intégrale est bien défini car d’après (1), f est L¹. Notonsg : (x, t)7→e^ixtf(x)et appliquons le théorème de dérivation sous le signe somme : La fonctiont7→g(x, t)estC^∞.

Pourn ∈N, la fonctiont 7→ _∂t^∂n(g)(x, t)est intégrable.

|∂

∂t

n

(g)(x, t)|=|(ix)ⁿe^ixtf(x)| ≤ C_n+2 (1 +|x|)² En appliquant (1) enn+ 2.

Par le théorème de dérivation sous le signe somme,ϕestC^∞.

D’après le théorème de la transformation de FOURIERinverse, on aϕˆ=f|R. Montrons que supp(ϕ)⊆[−r, r], pour cela calculonsR

Re^i(x+iy0)tf(x)dx, avecy₀ ∈R. SoitR₁, R₂ >0et considérons le contour suivant :

R×₁

−R×₂

iy₀×

γ1

γ₂ γ₃

γ4

Commeg_t:z 7→e^iztf(z)est holomorphe surC, on aR

γg_t(z)dz = 0. On a donc : Z

γ1

g_t(z)dz+ Z

γ2

g_t(z)dz+ Z

γ3

g_t(z)dz+ Z

γ4

g_t(z)dz = 0

Z R

−R

g_t(x)dx+ Z y0

0

g_t(R+iy)dy+ Z −R

R

g_t(x+iy₀)dx+ Z 0

y0

g_t(−R+iy)dy= 0 CalculonsR

γ2g_t(z)dz(resp.R

γ4g_t(z)dz) quandR₁ →+∞(resp.R₂ →+∞). SoitR >0:

| Z y0

0

g_t(±R+iy)dy|=| Z y0

0

e^i(±R+iy)tf(±R+iy)dy| ≤ Z y0

0

e^−yt|f(±R+iy)|dy

En appliquant (1) avecN = 1, on a :

| Z y0

0

g_t(±R+iy)dy| ≤ Z y0

0

e^−yt C₁

1 +|(±R+iy)|e^r|y|dy≤ C R AvecCun constante. DoncR

γ2g_t(z)dz −→

R1→∞0etR

γ4g_t(z)dz −→

R2→∞0. Ainsi, on a : Z

R

e^i(x+iy0)tf(x)dx= Z

R

e^ixtf(x)dx 2

Et en particulier,R

Re^i(x+iy0)tf(x)dxconverge.

Soitt ∈Rtel que|t|> r, calculonsϕ(t):

Soitydu même signe quet. D’après (1), on a pourx∈R:

|e^it(x+iy)f(x+iy)| ≤ C₂

(1 +x)²e^r|y|e^−ty Donc :

|ϕ(t)| ≤ C₂

(1 +x)²e^(r−|t|)|y|

Donc en faisant tendre|y| →+∞, on aϕ(t) = 0.

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