D1907 : Rencontre germano-britannique
Un point P du cercle circonscrit à un triangle ABC se projette respectivement sur les droites BC et AC en deux points I et J. La droite IJ coupe la droite AB en un point K. Ha et Hb sont les orthocentres des triangles AJK et BIK tandis que L et M sont les milieux des segments AI et BJ. Démontrer que la droite LM passe par le milieu de CK et qu’elle est perpendiculaire aux deux droites IJ et HaHb .
Nota : les trois droites IJ, HaHb et LM portent des noms qui justifient le titre du problème.
Soit H l’orthocentre du triangle ABC, (Ca) et (Cb) les cercles symétriques du cercle
circonscrit par rapport à BC et CA respectivement, et Pa et Pb les transformés respectifs de P dans ces symétries. Outre C, (Ca) et (Cb) se recoupent en H, et la composée de deux symétries étant une rotation de centre C, la droite PaPb passe par H. Par le même raisonnement, en introduisant Pc symétrique de P par rapport à AB, on montre que PbPc passe par H, donc que Pa, Pb, Pc sont alignés (droite de Steiner); il en est de même des milieux I, J, K de PPa, PPb, PPc (droite de Simson, parallèle à la droite de Steiner, contenant le milieu de HP).
Ha est l’intersection des perpendiculaire en J à AK (AB) et en K à AJ (AC), donc JHa et KHa sont respectivement parallèles à PK et PJ : PJHaK est un parallélogramme, et le milieu de PHa appartient à la droite de Simson JK, donc Ha appartient à la droite de Steiner ; il en est de même de Hb et Hc (si Hc est l’orthocentre de CIJ).
PJHaK et PIHbK étant des parallélogrammes, il en est de même de IJHaHb : comme HaHb est la projection de AB sur la droite de Steiner, le produit scalaire AB.IJ vaut -IJ2, donc AB+IJ est perpendiculaire à IJ, ou encore LM est perpendiculaire à IJ: les milieux L, M, N de AI, BJ, CK sont sur une perpendiculaire aux droites de Simson et Steiner.
