A20157. Comptez les avions
Du temps de la guerre froide le KGB d´epˆeche un espion aux Etats- Unis pour connaˆıtre la flotte exacte du tout nouvel avion de combat des Am´ericains. Les jours et les semaines passent et le KGB n’a toujours rien re¸cu de son agent. Il s’impatiente et de guerre lasse rapatrie l’agent pour le cuisiner s´erieusement. L’agent avoue son impuissance `a approcher la base a´erienne `a moins d’un kilom`etre pour esp´erer compter tous les avions au sol, mais pr´ecise : “Un jour d’exercice, l’int´egralit´e de la flotte a d´ecoll´e en formation de canard : un avion en tˆete du triangle suivi de deux, eux- mˆemes suivis de 3, puis 4, 5, etc. En fin d’exercice, tous les avions s’´etaient dispos´es en deux formations de canard absolument identiques, et `a vue de nez, il devait y en avoir entre 1000 et 10000.”
On demande le nombre d’avions constituant la flotte.
Solution
Les avions sont en nombre 1+2+· · ·+mau d´epart, deux fois 1+2+· · ·+n au retour, soitN =m(m+ 1)/2 =n(n+ 1).
Cela s’´ecrit aussi 2(2n+ 1)2 – (2m+ 1)2 = 1.
Si (X, Y) est une solution de 2X2 – Y2= 1,
X0 = (3X – 2Y), Y0 = (3Y – 4X) est aussi une solution.
Je classe les solutions selon la valeur deQ=X√
2 +Y. On voit que Q0=X0√
2 +Y0= (X√
2 +Y)(3 – 2√ 2).
En r´ep´etant cette op´eration, on obtient, `a partir de la solution (X, Y), une solution (U, V) telle que
(*)√
2 – 1< U√
2 +V ≤√
2 + 1, car (√
2 – 1)/(√
2 + 1) = 3 – 2√
2, et alors U√
2 +V = (X√
2 +Y)(3 – 2√
2)k pour un certain entier k.
Or avec l’in´egalit´e (*) l’´equation 2U2 – V2 = 1 a pour seule solution (U, V) = (1,1).
(On le prouve en montrant que la double in´egalit´e stricte
√2 – 1< U√
2 +V <√
2 + 1 conduit `a une contradiction).
On a doncX√
2 +Y = (√
2 + 1)2k+1.
Ici, avec un nombre d’avions compris entre 1000 et 10000, on a
√8002 +√
8001≤(2n+ 1)√
2 + (2m+ 1)≤√
80002 +√ 80001 178,90<≤(2n+ 1)√
2 + (2m+ 1)<565,74 et comme (√
2 + 1)5 = 82,0122, (√
2 + 1)7 = 478,0021, (√
2 + 1)9 = 2786,0036
il faut 2k+ 1 = 7, k = 3, (√
2 + 1)7 = 169√
2 + 239, n = 84, m = 119, N = 7140 avions.
7140 = 1 + 2 +. . .+ 119 = 2(1 + 2 +. . .+ 84).
Remarque. SiN satisfaitN =m(m+ 1)/2 =n(n+ 1), il s’obtient comme produitupup+1 de deux termes cons´ecutifs de la suite 0, 1, 6, 35, 204, 1189, . . .qui v´erifieup+1= 6up –up-1.
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