D283-Les orthogones.
Problème proposé par Michel Lafond
Dans le plan, on appelle orthogone un polygone tel que :
Les sommets sont deux à deux distincts.
Tous les angles sont droits.
Les côtés ouverts sont deux à deux disjoints. [Pas de croisement]
Un orthogone est dit arithmétique si ses côtés mesurent 1, 2, 3, …, n dans cet ordre.
Q1 : Démontrer que dans un orthogone arithmétique, n est un multiple de 8.
Q2 : Démontrer que pour tout entier il existe un orthogone arithmétique à 8k sommets.
Q3 : Combien existe-t-il d’orthogones arithmétiques à 8 sommets ? 16 sommets ?
Un orthogone est dit géométrique si ses côtés sont des réels en progression géométrique avec une raison q > 1.
Q4 : Trouver un orthogone géométrique avec un nombre de côtés le plus petit possible.
Solution proposée par l'auteur:
Q1. Soit un orthogone arithmétique et supposons le côté 1 vertical.
Les côtés horizontaux et verticaux alternent, et on termine par un côté horizontal. Donc n = 2 m est pair.
Les côtés verticaux 1, 3, 5, …, 2m – 1 ont pour somme m2.
Or la distance parcourue en direction Nord est égale à la distance parcourue en direction Sud.
Donc m = 2 p est pair.
Les côtés horizontaux 2, 4, 6, …, 4p ont pour somme 2p (2p + 1)
Or la distance parcourue en direction Est est égale à la distance parcourue en direction Ouest.
Donc la distance parcourue en direction Est est égale à p (2p + 1), et cette distance est paire en tant que somme de nombres pairs. Donc p (2p + 1) est pair et par conséquent p = 2 k aussi.
Ainsi n = 2 m = 4 p = 8 k.
Q2. La figure 1 montre un orthogone arithmétique à 8 sommets.
Si , considérons le polygone dont les côtés successifs 1, 2, 3, …, 8 k sont dirigés ainsi :
Nord Sud Est Ouest
1, 3, 5, …, 2k – 1
6k + 1, 6k + 3, …, 8k – 1 2k + 1, 2k + 3, …, 6k – 1 2, 4, 6, …, 2 k
6k + 2, 6k + 4, …, 8k 2k + 2, 2k + 4, …, 6k
Ainsi, si k = 2 on a la figure 2 ci-dessous :
Nord Sud Est Ouest
1, 3
13, 15 5, 7, 9, 11 2, 4
14, 16 6, 8, 10, 12
1 2
3
4
5
6 7
8
Figure 1
Dans le cas général, on a la figure 3 ci-dessous, déformée pour plus de lisibilité.
Tous les côtés impairs sont dirigés Nord ou Sud, et tous les côtés pairs sont dirigés Est ou Ouest. Donc tous les angles sont droits.
Les sommets du polygone sont disposés sur 3 arcs de courbes [qui ne sont hélas pas des segments de droite !]
Ce sont les arcs AB, AC et BC
Figure 3
B
C 6k + 1
6k + 2 6k + 3
6k + 4 6k + 5
8 k 1
6k – 1 + 1 6k
6k – 2 + 1
6k – 3 + 1
6k – 4 + 1
2k + 1 2k + 2
2k + 3 2k + 4 2k + 5
2k 2k – 1 2k – 2 + 1 + 1 2
8 k – 1 A
Figure 2 16
Si on démontre que les arcs AB (B exclus) et AC (C exclus) sont strictement au-dessus de l’arc BC (B, C exclus) alors on aura démontré d’une part que les sommets sont tous distincts et d’autre part que les côtés ouverts sont disjoints.
Il est facile de voir que si on prend comme système de coordonnées C, Cx horizontal, Cy vertical alors : On a les coordonnées
Les sommets du polygone situés sur l’arc BC (rouge) ont pour coordonnées :
Ce sont les points
On a
On tire de (1) : [avec le signe – car ]
Donc l’arc BC a pour équation pour
Les sommets du polygone situés sur l’arc AC (vert) ont pour coordonnées :
On a
On tire de (2) : [avec le signe + car ]
Donc l’arc AC a pour équation pour
Les sommets du polygone situés sur l’arc AB (bleu) ont pour coordonnées :
On a
On tire de (3) : [avec le signe + car ]
Donc l’arc AB a pour équation pour
Montrons que sur l’intervalle
Il faut montrer que (4) équivaut à
Une élévation au carré mène à ce qui est vrai car
Enfin, montrons que sur l’intervalle
Il faut montrer que (5) équivaut à
Une élévation au carré donne après simplifications :
Une seconde élévation au carré donne quelques calculs plus loin, et après division par – 16 :
Ce qui est vrai puisque avec Le polygone de la figure 3 est bien un orthogone ce qui résout la question Q2.
Q3. Le seul orthogone à 8 sommets est celui de la figure 1.
J’ai recensé 3 orthogones à 16 sommets :
16 16
Q4.
Dans la figure 4, q est la racine carrée du nombre d’or : Verticalement, on a donc
Horizontalement, on a qui équivaut à l’équation précédente.
Il est évident qu’on n’a pas d’orthogone géométrique à 4 côtés (car la raison doit être strictement plus grande que 1)
Donc 6 est le nombre minimal de côtés pour un orthogone géométrique.
La figure 5 ci-dessus montre un orthogone géométrique à 14 côtés avec une raison solution de l’équation
Cette équation a une autre solution donnant un autre orthogone géométrique à 14 côtés.
Pour quels entiers k existe-t-il un orthogone géométrique à 2 k côtés ? 16
1 q4 q
q2 q3
q5
Figure 4
Figure 5
