2) Calcul des écoulements 3) Calcul des surfaces libres

Calcul EF fluides et surfaces libres

Thierry Coupez

Plan

1) Exemples simulations 3D dans le domaine des matériaux

2) Calcul des écoulements 3) Calcul des surfaces libres

4) Calcul de la température et couplage thermique

5) Exemples et compléments

Exemples de simulations

• Virtuel :

– modèles géométriques

– Visualisation, images, animation

• Simulation

– Mécanique – Physique

– Résolution d ’équations --> visualisation des

résultats

Rem3D

Rem3D

Fluide incompressible Grandes surfaces libres contact matière moule matière matière

rhéologie thermo-dépendante auto-échauffement

Les calculs 3D : + description des écoulements

dans l’épaisseur

La simulation numérique

• Equations générales de la mécanique

• Des modèles physiques:

– comportement rhéologique :

• pseudoplasticité

• viscoélasticité

– comportement thermique

• thermodépendance de la viscosité

• conduction thermique

• compressibilité

• Des méthodes numériques générales

 













+

−∇

=

∇

∂ +

∂

=

∇ +

=

∇

−

) ( : .

) . (

0 .

.

Y T

Y W 7

F 7 GW Y G

J

ε σ

ρ ρ ρ

ρ σ

γ ρ

Equations générales de la mécanique :

Equilibre Conservation de la masse

Conservation de l’énergie

 



=

= ) , (

0 )

, (

7 S IRQFWLRQ

Y pTXDWLRQ

ρ

σ

Modèles physiques :

(constantes matériaux)

P1+/P1 (MINI- élément)

solveur itératif (résidu

conjugué

précondionné)

Stokes

Surface libre domaine fluide

thermique

Galerkin discontinu espace temps

V et P 5HPSOLVVDJH '

5HP'

Equation de transport : Galerkin discontinue espace temps -

adaptation de maillage

Calcul des écoulements

VROYHXU YLWHVVHSUHVVLRQ

Rhéologie des polymères

• Fluides visqueux

– Loi de Carreau – Loi Puissance – Loi de Cross

• Dépendance des paramètres avec la température :

loi d ’Arrhenius

 



 





=

=

∇ +

=

∇ + +

∇

−

) , ) ( (

0 .

) )

( 2

.(

7 Y

GW Y G

J S

Y ε

η η

ρ ρ

ρ τ

ηε γ

ρ

Modèle de base pour les écoulements de fluides fortement visqueux : Problème de Stokes

inertie

gravité viscoélasticité

compressibilité _• )OXLGHVYLVTXHX[

– /RLGH&DUUHDX – /RL3XLVVDQFH – /RLGH&URVV

• 'pSHQGDQFHDYHFODWHPSpUDWXUH$UUKHQLXV

Modèle de base des écoulements de polymère fondu : le problème Stokes généralisé :

( )

 

 Ω

=

∇

=

∇

−

∇ GDQV

Y

S Y

Y

0 .

0 )

( ) ( 2

. &

&

&

ε η

 



Ω

∂

=

Ω

∂

=

F I

VXU Y

Y

VXU )

Q

0

. & &

&

&

+ Conditions limites :

σ

Surface libre, interface moule (métal) polymère, seuil d ’injection...

Utilité des mailleurs automatiques

Méthodes éléments finis en mécanique des fluides

• Maillages à base de tétraèdres

• Eléments finis

• Incompressibilité , éléments finis mixtes

• Fluides très visqueux : résolution implicite

• Convection et convection diffusion :

méthodes de Galerkin discontinu

15

0pWKRGHVGHVpOpPHQWVILQLV

équations fortes

équations faibles - formulation variationnelle

( )



 Ω

=

∇

=

∇

−

∇ GDQV

Y

S Y

Y

0 .

0 )

( ) ( 2 . &

&

&

ε η



 



∈

∀

=

∇

∈

∀

=

∇

−

∫

∫

∫

Ω

Ω

4 T

Y T

9 Z

Z ) Z

S Z

Y

0 .

. .

)) (

: ) ( (

2

&

&

&

&

&

&

&

ε ε

η

Espaces fonctionnelles :

( )

{ }







=

∈

=

Ω

=

Ω

=

Γ 0 ,

) (

) (

0 2

1 3

Z 9 Z 9

/ 4

+ 9







∈

∀

=

∇

∈

∀

=

∇

−

∫

∫

∫

Ω

Ω ^Γ

K K

K K

K K K

K K

K K

4 T

Y T

9 Z

Z ) Z

S Z

Y ₎

0 .

. .

)) (

: ) ( (

2 ₀

&

&

&

&

&

&

&

ε ε

η 4 4

9 9

K K

K K

0 0

→

→

→

→

Approcher les espaces fonctionnelles par des espaces de dimensions finis.

Méthodes des éléments finis

Résoudre le problème approché

Méthodes des éléments finis

•Construction de fonction polynomiales par morceaux en utilisant une décomposition du domaine en éléments géométriques simples donnée par le maillage.

•Exemple : décomposition en simplexes (segments, triangles,

tétraèdres) => représentation naturelle d ’une base polynomiale exacte en assurant la continuité..

.^∈

κ .

=

Ω

{ ^{X &}

^{( ), X 3 ( . )} }

6

= ∈ Ω

∈

triangulation

Fonctions continues, polynôme de degré n sur chaque élément

{ ^{X &}

^{( ), X 3 ( . )} }

6

= ∈ Ω

∈

{ ^{E &}

^{( ), E +}

^{( . )} }

%

=

∈ Ω

∈

P

K G K G

G KQ K

6 4

% 6

9

=

+ +

= ( ) ( ) ( E

)

{ }

F face la partageant éléments

) (

, )) (

( ),

(

0

=

∈ Ω

∈

=

) .

) . +

E

&

E

K

E

Fonctions continues de degré n sur chaque élément :

Fonctions bulles s’annulant sur le bord de chaque élément :

Fonctions bulles par face définie à partir des faces des éléments :

Construction d ’espaces d ’approximation compatibles :

Eléments finis mixtes pour triangles et tétraèdres

à pression continue à pression discontinue

P1+/P1 ordre 1

P2/P1 ordre 2

P1++/P0 ordre 1

P2++/P0 ordre 2

Les méthodes d ’approximation et l’algèbre linéaire

Méthodes d ’approximation : méthodes spectrales

Résolution de grands système linéaires : Ax= b

Volumes Finis, éléments finis différences finis conduisent à des matrices dites creuses







∈

∀

=

∇

∈

∀

=

∇

−

∫

∫

∫

Ω

Ω ^Γ

4 T Y

T

9 Z Z ) Z S Z Y

Y

0 .

. .

)) ( : ) ( )(

) ( (

2 ₀

&

&

&

&

&

&

&

&

ε ε ε η









=

=

∇

=

=

∇

−

∫ ∑

∫

∫ ∑ ∑

Ω Ω

=

= Γ

=

0 O

9

1 L

) 3

9

KM 1

M M KO

KL KL

0 N

KN KN KL

KM 1

M M

,.., 1 0

.

,.., 1 .

. ))

( : ) ( 2

1

1 1

ψ ϕ

ψ ψ

ϕ ψ

ε ψ

ε η

*

& *

*

*

*

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

⇒

=

0 N

KN KN K

KM 1

M K M

KM 1

M K M

3 S

9 Y

9 Y

1

1 1

) ( )

( ϕ

ψ ε ε

ψ^{* & *}

&

⇔

 

 

 =

 

 

 



0 0 )

( )

3 9

%

% 9

$

Eléments finis => un nombre fini de fonctions de base

Expression de la forme variationnelle à l ’aide des fonctions de base

Système algébrique

Cas non linéaire : méthode de Newton

E [

[ +

[ [ [ \

\ $ [

$

\ [

+

E [

[

$

N

N

=

∂ + ∂

=

=

+1

) (

) ) ( (

) (

) (

)

(

Hessien

Résolution itérative : une suite de systèmes linéaires

Forme algébrique symétrique indéfinie :

 

 

 =

 

 

 



0 0 )

( I

S Y

%

% Y

$

K 7 K

K

Forme mixte stable ou stabilisation : Cas de l’ajout d ’une bulle

K K

K

X E

Y = +

















 =































0 0

0

0

J I ES

X +

+

+ +

+ +

K K K

ES YS

7 ES EE

YS7 YY

 

 

 =

 

 

 



− K

I S

Y

&

+

+ +

YS

YS7 YY

Bulle :

+ Condensation de la bulle

Méthodes de résolution des systèmes linéaires:

• directe : Cholesky (Crout)

•Itérative :

- Bi gradient conjugué (BCG) - GMRES

- Résidu minimal : PCR, MINRES pour le problème de Stokes stabilisé (W&S,94)

Complexités asymptotiques des méthodes directe et itérative avec préconditionnement diagonal bloc diagonal (BDS):

' '

'LUHFW 4 N² 32 N^2.33

3&5%'6 144 N × O(N^0,75)

= O(N^1,75)

768 N × O(N^0.5)

= O(N^1.5)

/H'WUqVIDYRUDEOHDX[PpWKRGHVLWpUDWLYHV /H'SOXVGLIILFLOH

Amélioration du préconditionnement : factorisation incomplète incomplet (ILU)

nombre d’itérations théorique en 2D = 1 en 2D mais, 0.625 mesuré.

Comparaison des préconditionnements en 2D :

'RI 1] ,/8 %'6

48450 384 (3s) 1235 ( 6s)

186 714 834 (39 s) 3248 (76 s) 324 969 1258 (143 s) 4917 (239 s) 642 327 1913 (511 s) 7951 (958 s)

Résolution de système linéaire dans les cas instationnaires

0 20 40 60 80 100 120

1 2 3

7HPSVV

3UpFRQGLWLRQQHXUV

Préconditionneur Cholesky Incomplet

Préconditionneur bloc diagonal Préconditionneur diagonal

vitesse et pression

Comparaison de « toutes » les méthodes itératives (PETSc)

7HPSVV

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

cr^✻

cr^✻ cgs gs cg res n^✻

Parallélisation

Codes de calcul implicite en mise en forme :

80% du temps de calcul dans la résolution des systèmes linéaire Résolution des système linéaire :

- méthodes itératives - partition

Parallélisation complète d’un code de calcul : - un paradigme : SPMD

- partitionnement de maillage

L L

=1Ω

= Ω

∑

∑

= Ω

=

⇔

=

L 13

L

$

[

E

E

$[

1 1

Efficacité parallèle :

volume de calcul >> volume de communication

=> volume des sous domaines >> frontière des sous domaines

) (

) (

1 , 1

1

1 1

∑

∑

∑

∑

∑

=

Ω

∩ Ω

=

Ω

∩ Ω

=

Ω

= Ω

= Ω Ω Ω

+

−

=

=

−

=

−

=

13 M L 13

M 13

L R

13 L 13

L

M L M

L L

L L

L L

U U

U

U [

$ E

$[

E

U

Préconditionnement parallèle:

∑

−

−

=

L 7 L L

L

3 5

5 3

1

1 1

'LDJRQDO:

séquentiel = parallèle

OHQRPEUHG ¶LWpUDWLRQVQHGpSHQGSDVGXQRPEUHGHVRXVGRPDLQHV

,/8:

parallèle séquentiel ≠

QRPEUHG ¶LWpUDWLRQVGpSHQGGXQRPEUHGHVRXVGRPDLQHV !

PpWKRGHGHGpFRPSRVLWLRQGHGRPDLQH

3URFHVVHXUV WHPSV DFFpOpUDWLRQ (IILFDFLWp% 1169 15 94

987 18 90

859 21 87,5

748 24 80

679 26 76

Cas réel à 50 000 nœuds 250 000 éléments en 3D , préconditionnement bloc diagonal, machine IBM SP2 (publié en 1997)

3URFHVVHXUV WHPSV DFFpOpUDWLRQ ^1E

LWpUDWLRQV PR\HQ

GLUHFW 9h28’ - 1

8h01’ 1 81

5h24’ 1,48 99

2h31’ 3,18 105

1h22’

Cas 2D complet :

parallèle + ILU PCR + Non

Calculs de surfaces libres

• Avancée du front de matière

• Surface libre en mouvement

• interaction : contact polymère moule, polymère polymère

• effet fontaine

• etc...

YLGH IOXLGH

f =1

_f =0

) ( W

IOXLGH IOXLGH

= Ω

Ω

Prolongement :

La cavité = le domaine fluide + le domaine vide

Ω

Domaine déformable dépendant du temps

) ( )

( W

W

YLGH

− Ω

Ω

= Ω

Domaine fixe :

IOXLGH

Ω Ω

Ω

Surface libre

) 0 (

.

)) ( 2

.( GDQV W

Y

I S

Y Ω

 



=

∇

=

∇

−

∇ ηε



 



∀

=

∇

∀

=

∇

−

∫

∫

Ω Ω

T Y

T

Z Z

S Z

Y

W W

IOXLG IOXLG

0 .

0 .

)) (

: ) ( ( 2

) (

)

(

η ε ε

Problème de Stokes dans le domaine fluide Forme forte

Forme faible



 



Ω

∈

∀

Ω ∇ =

Ω

∈

∀

Ω − ∇ =

∫

∫

Ω Ω

) ( 0

) . (

1

) ( 0

) . ))

( : ) ( ( 2 ( 1

2 )

(

3 1

) (

/ T

Y T

+ Z

Z S

Z Y

W W

IOXLG

IOXLG

η ε ε

Formulation faible pondérée :

) ( ,

1 )

( 1

W [

W [

[

IOXLG W

Ω

∉

=

Ω

∈

Ω

=

La fonction caractéristique du domaine fluide:

=

37

Représentation du domaine fluide

• Approche Lagrangienne

– Maillage du domaine fluide :

– la surface du maillage est la frontière du domaine fluide

• Approche Eulérienne :

– La surface libre traverse les éléments – Représentation du domaine fluide

• Une fonction de presence

• Méthode VOF

• Méthode LevelSet ^IOXLGH₁ ^YLGH

f =

_f =0

1 0 ≤ ≤

) ( 1 1

) ( 1

) (

[

[

. I .

K

∑

Ω

∈

Ω

=

τ

Interpolation discontinue P0 :

.

.

.

Ω

=

1

$SSUR[LPDWLRQpOpPHQWV ILQLVG¶XQH IRQFWLRQ FDUDFWpULVWLTXH

Approximation de bas degré (P0) ~ V.O.F

Approximation de haut degré (>= P1) ~ la fonction distance : levelset

Fraction volumique

Conservation de la masse

GWG

+ Ω

Ω + ∇ = ∀ ∈ Ω ∀ ∈

∂

∂ Y [ W ,5

W 1 ^IOXLGH 1 ^IOXLGH . 0 ,

Résolution:

Schéma numérique pour la convection en éléments finis :

•interpolation continue :

•stabilisation : SUPG, least square, Caractéristiques...

•Interpolation discontinue :

•Galerkin discontinu (Lesaint Raviart), explicite implicit

•*DOHUNLQ GLVFRQWLQX HVSDFHWHPSV'

0RXYHPHQW GHODVXUIDFHOLEUH

∑∫ ∫

∫

^{∇ +}

⁼

⇒

=

∇

− K

. . K K

K

K

Y Y Q I

I Y

β β

α β

α α

. ]

[ .

.

Méthode de Galerkin discontinu :

•Approximation discontinue d ’un élément à l’autre

•Prise en compte du « saut » des variables dans les formulations variationnelles:

Saut = différence à l ’interface

















∂

∂

∇

=

 ∇

 

= 

W Y HW

Y ~

1

~

~ 0

~ .

=

∇ α Y

Le problème instationaire 3D est identique au problème stationnaire en 4D

Dans un espace 4D :

W Y

G GW α α _{+ ∇} α .

∂

= ∂

Problème instationnaire de convection pure

∑ ∫ _ ^{  ∇ −} ∑ ∫ ^⋅ _ ^{ }

>=

∇

<

∂

∈

−

. .

.

) )

.) ).

Y Q Y

Y

~

~ ~

~

~

~

~

( ~ ~ ) ]

~ [

~ .

~ ,

~ α . φ α φ α φ

0pWKRGH GH*DOHUNLQ GLVFRQWLQX HQ'

Saut amont

∑

− ∀ = × = ×

=

S S Q Q Q

, Q S . .

K

[ W

W W . ~ . , . ] W , W

[

) (

) ,

( α

α

Maillage structuré en temps non structuré en espace

(hyperprisme)

Capture d’interfaces par adaptation de maillage

) .( −

∇

∂ +

= ∂ Y

W

G GW α α α

v vitesse du fluide 8 vitesse du maillage dérivée matérielle :

Déplacement des nœuds du maillage : (r-adaptation)

Réduire la diffusion à l’interface fluide vide

8

Schéma d ’adaptation

Soit

On souhaite obtenir par déformations locales un maillage de

un maillage de

Schéma d ’adaptation

Maillage visé

On souhaite réduire le volume des éléments traversés par la frontière

Maillage initial

Schéma d ’adaptation

Fonction caractéristique de

Projection de sur

Erreur d’interpolation :

Schéma d ’adaptation

Méthode de barycentrage pondéré :

Équivaut à résoudre le problème d’optimisation :

Avec : Résolution itérative type

Gauss-Seidel.

Schéma d ’adaptation

Pour chaque nœud, on cherche la position optimale YLD une homothétie centrée par rapport aux barycentres des éléments auxquels il est

connecté :

Avec : l’ensemble des éléments connectés au nœud.

Le problème d’optimisation peut donc se réécrire :

Il convient de déterminer le vecteur :

Les calculs 3D : + description des écoulements dans l’épaisseur

adaptation de maillage

Effet fontaine et front de matière - fluide visqueux incompressible - contact collant

Effets d ’inertie et surfaces libres



 



=

∇

=

∇ +

∇

− 0 .

)) (

2 .(

Y

J S

Y ρ

ηε γ

ρ

Termes deviennent importants

1) Polymères fondus : η/ρ ~ 10

2) Élastomère, résine thermodurcissable : η/ρ ~ 10^-2

5HP'&)'

Rem3D _ Navier Stokes

Écroulement d ’une colonne de liquide

Adaptation de maillage

'GDPEUHDNLQJLQDUHFWDQJXODUER[

Instabilités de surface libre :

inertie+gravite contre viscosité

– lentille ophthalmologique (ESSILOR) – Défaut de bulle : la rhéologie

Front de matière +

Champ de pression

,QMHFWLRQFODVVLTXHUHPSOLVVDJHG¶XQHOHQWLOOH(66,/25

Formation d’une bulle en fin de remplissage.

Expérience

&DUWHU36$