Devoir commun de mathématiques 2016-2017 pour les secondes générales et technologiques.
La calculatrice graphique est autorisée et aucun autre document. Toutes les réponses seront justifiées et rédigées.
Le sujet comporte 4 pages recto-verso (2 feuilles) et à rendre avec votre copie.
Nom et Prénom :
Classe : Seconde ……….
Note :
/20
Exercice 1 (6 points)
Dans le plan muni d’un repère orthonormal
O ;;i j , on considère les points :A
4;1 ,B
2;5 etC
2;7
. 1°) Placer les points A, B et C sur la figure ci-dessous, puis la compléter au fur et à mesure de l’exercice.2°) Calculer les longueurs AB et BC.
3°) Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier votre réponse.
4°) Déterminer par le calcul les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallélogramme. Quelle est la nature précise du quadrilatère ABCD ?
5°) Soit le pointE
6;3
. Démontrer que le point A est le milieu du segment [BE]. 6°) Montrer que les droites (OE) et (BC) sont parallèles.Exercice 2 (4 points)
On considère la droite D d’équationy2x4. 1°) Tracer la droite D dans le repère ci-dessous.
2°) On considère le pointA(107;218). Ce point A appartient-il à la droite D ? Justifier votre réponse. 3°) On considère les points E(1 ; 1) et F(3 ; 0). Déterminer, par le calcul, une équation de la droite (EF). 4°) Déterminer par le calcul, les coordonnées des points d’intersection de la droite D avec les axes.
Exercice 3 (3 points)
On a relevé la masse en grammes de 16 poires à la récolte. Les résultats sont consignés dans le tableau ci-dessous.
101 92 96 118
113 100 110 117
102 91 107 107
92 98 93 102
1°) Calculer la masse médiane, ainsi que les quartiles de cette série, en expliquant votre démarche (le détail des calculs figurera sur votre copie).
2°) Tracer le diagramme à moustaches de cette série. 3°) Compléter les phrases suivantes :
Exercice 4 (7 points)
Les parties A, B, C et D sont indépendantes, elles peuvent donc être traitées séparément
Une entreprise produit et vends des téléviseurs à écran géant. Elle peut en produire jusqu’à 20 par semaine.
Le coût de production hebdomadaire en euros pour x téléviseurs est donné par la fonction C définie sur
0;20
parC(x)100x2400x13300.Chaque téléviseur est vendu 3 000 euros.
Partie A (1 point)
La dernière semaine d’octobre, l’entreprise a produit 9 téléviseurs. 1°) Quel est le coût de cette production ?
2°) Quelle est le montant de la recette de la vente de ces 9 télévisions ?
3°) Quel bénéfice réalise l’entreprise lors de la vente de ces 9 télévisions ?
Dans la suite de l’exercice, on note f(x) le montant en euros du « bénéfice » réalisé en une semaine pour une quantité de x téléviseurs produits et vendus, ce « bénéfice » pouvant être négatif si le montant de la recette est inférieur au coût de production.
Partie B (2,5 points) On admet que f(x)100x22600x13300,x
0;20
.1°) Démontrer que pour toutx
0;20
: f(x)100(x13)²36002°) Etudier les variations de f sur [0 ; 13] et sur [13 ; 20] (une démonstration est attendue). 3°) Dresser le tableau de variations de f sur
0;20
.4°) En déduire le bénéfice maximal que peut réaliser l’entreprise.
Partie C (2 points)
1°) Vérifier que la forme factorisée de f est f(x)(19x)(100x700).
2°) Résoudre, à l’aide d’un tableau de signes, l’inéquation produit(19x)(100x700)0. 3°) En déduire dans quelle intervalle doit se situer le nombre de téléviseurs à produire pour que
Partie D (1,5 points)
On a représenté ci-dessous la fonction f sur l’intervalle [0 ; 20].
1°) Retrouver graphiquement la réponse à la question C 3°), en rédigeant soigneusement votre réponse.
Correction du devoir commun secondes générales.
Exercice 1 : (6 points : vecteurs, milieux et distances)
1°) (/0,5)2°) (/1)AB
24
2 51
2
2 2 4 2 416 20 2 5
22
2 75
2
4 2 2 2 164 20 2 5
BC
3°) (/0,5) ABC est un triangle isocèle en B.
4°) (/1,5)ABCD est un parallélogramme ssi ABDC. Deux vecteurs égaux ont les mêmes coordonnées :
Comme 1 5 4 2 AB 4 2 AB et D D y x DC 7 2 alors 4 7 2 2 D D y x 7 4 2 2 D D y x 3 0 D D y x Donc D (0 ; 3).
5°) (/1) Le milieu de [BE] a pour coordonnées :
2 ) 3 ( 5 ; 2 6 2 2 2 ; 2 8
4;1 . Donc A (4 ;1) est bien le milieu du segment [BE].6°) /(1,5) 0 3 0 6 OE 3 6 OE et 5 7 2 2 BC 2 4 BC
Exercice 2 : (4 points : Droites du plan)
1°) (/1)2°) (/1) 210742144218. Comme les coordonnées de A vérifient l’équation de la droite D
alors le point A est sur la droite D.
3°) (/1) Le coefficient directeur de la droite (EF) est donné par
2 1 1 3 1 0
donc (EF) a une équation de la
formey xb 2
1 .
Comme E(1 ; 1) est sur la droite (EF) alors ses coordonnées vérifient l’équation de la droite : b 1 2 1 1 b 2 1 1 b 2 1 1 b 2 1 2 2 b 2 3 Donc (EF) : 2 3 2 1 x y
4°) (/1) Avec l’axe des abscisses : y02x40 2 2 4 x Donc(2;0)
Avec l’axe des ordonnées : x0y204y 4 Donc(0;4)
Exercice 3 : (3 points : statistiques)
1°) (/1,5) Il y a 16 valeurs (effectif pair) donc la masse médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, la 8ème valeur est 101 et la 9ème valeur est 102 donc la médiane est 101,5
2 102 101 .
Le troisième quartile est la 12ème valeur : 107. 2°) (/1)
3°) (/0,5) 75% des poires récoltées pèsent plus de 93 grammes.
Exercice 4 : (7 points : fonctions)
Partie A (1 point : interprétation)
1°) (/0,25) Le coût de cette production est C(9)1009240091330025000euros. 2°) (/0,25) Le montant de la recette de la vente de ces 9 télévisions est 9300027000euros 3°) (/0,5) Le bénéfice réalisé par l’entreprise lors de la vente de ces 9 télévisions est
2000 25000
27000 euros.
Partie B (2,5 points : fonctions du second degré)
1°) (/0,5) Pour toutx
0;20
: ) ( 13300 2600 ² 100 3600 16900 2600 ² 100 3600 ²) 13 26 ² ( 100 3600 )² 13 ( 100 x f x x x x x x x 2°) (/1,25) Soient a,b[0;13]tels queab :
b a a13b13
2
2 13 13 ba car on applique la fonction carré à deux nombres négatifs
2
213 100 13
100
a b car on a multiplié par un nombre négatif 100
a13
2 3600100
b13
2 3600f conserve l’ordre sur [0;13]donc f est strictement croissante sur cet intervalle. Soient [13;20]tels queab :
b a a13b13
2
2 13 13 ba car on applique la fonction carré à deux nombres positifs
2
213 100 13
100
a b car on a multiplié par un nombre négatif 100
a13
2 3600100
b13
2 3600 f(a) f(b)
f renverse l’ordre sur [13;20]donc f est strictement décroissante sur cet intervalle.
3°) (/0,5) x 0 13 20 Variations de f -13300 3600 -1300
4°) (/0.25) L’entreprise peut réaliser un bénéfice maximal de 3600 euros pour 13 téléviseurs produits.
Partie C (2 points : calcul littéral et inéquations) 1°) (/0,5) Pour toutx
0;20
: ) ( 13300 2600 ² 100 700 ² 100 13300 1900 ) 700 100 )( 19 ( x x x x x x x f x . 2°) (/1) Tableau de signes : x 0 7 19 20 19 - x + + - Signe de a = -1 19x0x19 100 x - 700 - + Signe de a = 100 + Signe de a = 100 100x7000 100 7 700 x f(x) - + -0 ) 700 100 )( 19 ( x x a pour solutions]7 ; 19 [.
3°) (/0,5) Le nombre de téléviseurs à produire pour que l’entreprise réalise un bénéfice est de 8 à 18 (on acceptera aussi 7 à 19) téléviseurs.
Partie D (1,5 points : lectures graphiques)
1°) (/1) Le nombre de téléviseurs à produire pour que l’entreprise réalise un bénéfice est de 8 à 18 (on acceptera aussi 7 à 19) téléviseurs : On lit les abscisses de points de la courbe dont l’ordonnée est strictement positive, le nombre de téléviseurs produits étant entier.
2°) (/0,5) On lit les coordonnées du point le plus haut de la courbe : L’entreprise peut réaliser un bénéfice maximal de 3600 euros pour 13 téléviseurs produits.
