2 - Séries numériques - Intégrales généralisées - Sujet 1

(1)

St. Joseph/ICAM Toulouse CB2 - 2017-2018 - Correction

CB n

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2 - Séries numériques - Intégrales généralisées - Sujet 1

EXERCICE 1

Convergence et calcul des intégrales suivantes :

1.

Z +∞

0

dx x²+ 3x+ 2

f :x7→ 1

x²+ 3x+ 2 est continue sur [0,+∞[donc localement intégrable.

f(x) ∼

+∞

1

x², donc par comparaison à une intégrale de Riemann positive convergente, f est intégrable sur [1,+∞[. Par suite,f est intégrable sur[0,+∞[.

Z +∞

0

dx

x²+ 3x+ 2 = Z +∞

0

1

x+ 1− 1

x+ 2dx=

ln

x+ 1 x+ 2

+∞

0

=ln(2).

2.

Z +∞

0

dx 2e^x+ 3

f :x7→ 1

2e^x+ 3 est continue sur[0,+∞[donc localement intégrable.

f(x) ∼

+∞

e^−x

2 , donc par comparaison à une intégrale de référence positive convergente, f est intégrable sur [0,+∞[.

Z +∞

0

dx 2e^x+ 3 =

Z +∞

0

e^−x

2 + 3e^−xdx=

−1

3ln(2 + 3e^−x) +∞

0

= 1 3ln

5 2

. Remarque :

On peut également calculer cette intégrale en effectuant le changement de variablet=e^x : Z +∞

0

dx 2e^x+ 3 =

Z +∞

1

dt

t(2t+ 3) = 1 3

Z +∞

1

1 t − 2

2t+ 3

dt= 1 3

ln

t 2t+ 3

+∞

1

= 1 3ln

5 2

.

EXERCICE 2

Convergence et somme des séries suivantes :

1. X

n≥2

ln

1− 1 n²

Pour tout p∈N, p≥2, on a, par télescopage :

p

X

n=2

ln

1− 1 n²

=

p

X

n=2

((ln(n+ 1)−ln(n))−((ln(n)−ln(n−1))) =ln(p+ 1)−ln(p)−ln(2).

p→+∞lim (ln(p+ 1)−ln(p)) = lim

p→+∞ln

p+ 1 p

= 0, donc par passage à la limite, on obtient la convergence de la série, et

+∞

X

n=2

ln

1− 1 n²

=−ln(2).

Spé PT B Page 1 sur 4

(2)

2. X

n≥0

−n+ 2

n! , sachant que

+∞

X

n=0

1 n! =e.

Pour tout p∈N, on a :

p

X

n=0

−n+ 2 n! =

p

X

n=0

−n n! +

p

X

n=0

2 n! =

p

X

n=1

−1 (n−1)!+

p

X

n=0

2 n! =

p−1

X

k=0

−1 k! +

p

X

n=0

2 n!. Par passage à la limite, on obtient la convergence de la série et

+∞

X

n=0

−n+ 2

n! =−e+ 2e=e.

EXERCICE 3

On considère la fonction

f :t7→ lnt (1 +t)² 1. Justifier quef est intégrable sur[1,+∞[.

f est continue sur [1,+∞[, donc localement intégrable.

Par croissances comparées, lim

t→+∞t³²f(t) = 0 donc f(t) = o+∞

1 t³²

. Par comparaison à une intégrale de Riemann convergente,f est intégrable sur[1,+∞[.

2. Calculer

Z +∞

1

f(t)dt On poseu(t) =ln(t)etv(t) = −1

1 +t;u etvsont de classeC¹ sur[1,+∞[et lim

t→+∞u(t)v(t) = 0 (par croissances comparées).

Sachant que Z +∞

1

f(t)dtconverge, le théorème d’intégration par parties donne : Z +∞

1

f(t)dt =

−ln(t) 1 +t

+∞

1

+ Z +∞

1

dt t(1 +t) =

Z +∞

1

1 t − 1

1 +t

dt =

ln t

1 +t +∞

1

= ln(2).

(3)

CB n

^◦

2 - Séries numériques - Intégrales généralisées - Sujet 2

EXERCICE 1

Convergence et calcul des intégrales suivantes :

1.

Z +∞

0

dx x²+ 2x+ 10

f :x7→ 1

x²+ 2x+ 10 est continue sur [0,+∞[donc localement intégrable.

f(x) ∼

+∞

1

x², donc par comparaison à une intégrale de Riemann positive convergente, f est intégrable sur [1,+∞[. Par suite,f est intégrable sur[0,+∞[.

Z +∞

0

dx

x²+ 2x+ 10 = Z +∞

0

dx

(x+ 1)²+ 9 = 1

3Arctan

x+ 1 3

+∞

0

= π 6 −1

3Arctan 1

3

.

2.

Z +∞

0

dx 3e^x+ 2

f :x7→ 1

3e^x+ 2 est continue sur[0,+∞[donc localement intégrable.

f(x) ∼

+∞

e^−x

3 , donc par comparaison à une intégrale de référence positive convergente, f est intégrable sur [0,+∞[.

Z +∞

0

dx 3e^x+ 2 =

Z +∞

0

e^−x 3 + 2e^−x =

−1

2ln(3 + 2e^−x) +∞

0

= 1 2ln

5 3

. Remarque :

On peut également calculer cette intégrale en effectuant le changement de variablet=e^x : Z +∞

0

dx 3e^x+ 2 =

Z +∞

1

dt

t(3t+ 2) = 1 2

Z +∞

1

1 t − 3

3t+ 2

dt= 1 2

ln

t 3t+ 2

+∞

1

= 1 2ln

5 3

.

EXERCICE 2

Convergence et somme des séries suivantes :

1. X

n≥2

ln

1 + 1 n²−1

Pour tout p∈N, p≥2, on a, par télescopage :

p

X

n=2

ln

1 + 1 n²−1

=

p

X

n=2

((ln(n)−ln(n+ 1))−((ln(n−1)−ln(n))) =ln(p)−ln(p+1)+ln(2).

p→+∞lim (ln(p)−ln(p+ 1)) = lim

p→+∞ln p

p+ 1

= 0, donc par passage à la limite, on obtient la convergence de la série, et

+∞

X

n=2

ln

1 + 1 n²−1

=ln(2).

(4)

2. X

n≥0

2n−1

n! , sachant que

+∞

X

n=0

1 n! =e.

Pour tout p∈N, on a :

p

X

n=0

2n−1 n! =

p

X

n=0

2n n! −

p

X

n=0

1 n! =

p

X

n=1

2 (n−1)! −

p

X

n=0

1 n! =

p−1

X

k=0

2 k!−

p

X

n=0

1 n!. Par passage à la limite, on obtient la convergence de la série et

+∞

X

n=0

2n−1

n! = 2e−e=e.

EXERCICE 3

On considère la fonction

f :t7→ lnt (1 +t)² 1. Justifier quef est intégrable sur]0,1].

f est continue sur ]0,1], donc localement intégrable.f est de plus de signe constant sur ]0,1].

f(t) ∼

0 ln(t); par comparaison à une intégrale de référence convergente, f est intégrable sur ]0,1].

2. Calculer

Z 1 0

f(t)dt Soitε∈]0,1[.

On poseu(t) =ln(t)etv(t) = −1

1 +t;uetvsont de classeC¹sur[ε,1]. Le théorème d’intégration par parties donne :

Z 1 ε

f(t)dt=

−ln(t) 1 +t

1 ε

+ Z 1

ε

dt

t(1 +t) = ln(ε) 1 +ε+

Z 1 ε

1 t − 1

1 +t

dt= ln(ε) 1 +ε+

ln

t 1 +t

1 ε

=

−εln(ε)

1 +ε +ln(1 +ε)−ln(2).

Par passage à la limite (ε→0), on obtient : Z 1

0

f(t)dt=−ln(2).

Remarque : lim

0 uv = +∞; on ne pouvait donc pas appliquer le théorème d’intégration par parties pour les intégrales généralisées.