I 154. Une mouche et une araignée se trouvent chacune en un point quelconque d'un plafond carré de 4 mètres de côté. La mouche reste immobile tandis que l'araignée réalise un parcours en zigzag de la manière suivante : depuis son point de départ, puis depuis chacun des nœuds du zigzag, elle parcourt exactement la moitié de la distance qui la sépare de l'un quelconque des quatre coins du plafond. L'araignée voit la mouche et est capable de programmer son parcours de manière à l'attraper, ce qui peut se faire dès que celle-ci est à moins d'un centimètre de distance. L'araignée met cinq secondes pour parcourir chaque segment de son zigzag. Combien de temps lui faut-il au maximum pour qu'elle attrape sa proie ?
Solution proposée par Michel Lafond
L’araignée pourra attraper la mouche en au plus 50 secondes.
Changeons d’échelle pour ramener le plafond au carré (ABCD) de côté 1.
En projetant le parcours de l’araignée et la position de la mouche sur [AB], on est ramené à un problème à une dimension dans lequel l’araignée ne peut viser que le point A d’abscisse 0 ou le point B d’abscisse 1 en parcourant la moitié du trajet car d’après Thalès, les projections conservent les rapports.
Soit x l’abscisse initiale de l’araignée et x’ celle de la mouche.
Partageons le segment [AB] en 1024 segments égaux notés S0, S1, S2, --- S1023. Les 1024 points de [AB] d’abscisses
1024 , 1023 1024 , 2 1024 , 1 1024
x x
x
x occupent chacun un segment, donc
l’un d’eux disons celui d’abscisse
1024 n x
occupe le même segment que le point de [AB] d’abscisse x’.
n est compris entre 0 et 1023, il s’écrit en base 2 n = (a10 a9 a8 a7 a6 a5 a4 a3 a2 a1) La suite : x0 = x ; x1 =
2 a1 x
; x2 =
4 2 2
2 1 2
1 a x a a
x
; x3 =
8 4 2 2
3 2 1 3
2 a x a a a
x
etc.
montre qu’en visant successivement le point A si ai = 0 ou le point B si ai = 1, l’araignée (en fait sa projection sur AB) arrivera en 10 étapes à l’abscisse x10 =
1024 n x
.
Maintenant, on recommence tout, mais en projetant sur [AD] divisé en 1024 segments comme [AB].
Si y est l’ordonnée initiale de l’araignée et y’ celle de la mouche, il existe un entier m tel que le point de [AD] d’ordonnée
1024 m
y occupe le même segment que le point de [AD] d’abscisse y’.
m est compris entre 0 et 1023, et il s’écrit en base 2 m = (b10 b9 b8 b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1)
En visant successivement le point A si bi = 0 ou le point D si bi = 1, l’araignée (en fait sa projection sur AD) arrivera en 10 étapes à l’abscisse y10 =
1024 m y
.
Pour finir, on ne projette plus mais on considère les positions véritables de nos deux bestioles.
Le carré (ABCD) de la figure 1 est divisé en 10242 cases, et en visant successivement le sommet du carré de coordonnées (ai , bi) pour i = 1, 2, 3 --- 10, l’araignée arrivera en 10 étapes dans la même case que la mouche.
A la dimension réelle, la case mesure 4/1024 mètres de côté, et sa diagonale mesure 0,00552…mètres, ce qui est plus petit que 1 cm. Les deux bêtes seront à moins de 1 cm de distance.
Il y a eu 10 points à viser, soit 50 secondes.
Bien sûr, l’araignée est supposée savoir décomposer un entier en base 2, mais avec ses nombreuses pattes elle doit être experte dans le maniement de la calculette.
A B
D C
Figure 1
