I154. La mouche et l'araignée
Une mouche et une araignée se trouvent chacune en un point quelconque d'un plafond carré de 4 mètres de côté. La mouche reste immobile tandis que l'araignée réalise un parcours en zigzag de la manière suivante : depuis son point de départ, puis depuis chacun des nœuds du zigzag, elle parcourt exactement la moitié de la distance qui la sépare de l'un quelconque des quatre coins du plafond. L'araignée voit la mouche et est capable de programmer son parcours de manière à l'attraper, ce qui peut se faire dès que celle-ci est à moins d'un centimètre de distance. L'araignée met cinq secondes pour parcourir chaque segment de son zigzag. Combien de temps lui faut-il au maximum pour qu'elle attrape sa proie ?
Soit le carré dont les sommets sont A(2,2), B(-2,2), C(-2,-2) et D(2,-2).
D'une manière plus générale, les coordonnées du sommet S sont (2ε', 2ε'') avec ε' et ε'' = ±1.
Le trajet de l'araignée, partant du point de coordonnées (a, b), pour rejoindre la mouche, tout près du point de coordonnées (p, q), en passant par les points , , … , est le suivant :
= + 2
2 = 2 + = + 2
2 = 2 +
=
2 + + 2
2 =
4 +
2 + =
2 + + 2
2 =
4 +
2 +
… = 2+
2+
2+ ⋯ +
2 + =
2+
2+
2+ ⋯ +
2 +
Avec en plus, la longueur < 10
= +
2 +
4 + ⋯ +
2+
2+
2= + 2 On fait abstraction du dernier terme
2 et on regarde comment évolue quand on rajoute le terme suivant
2 +
2
4 +
2 +
4 3
8 +
2 +
4 +3
8 …
1
-1/2 1/2
-1/4 1/4
-1/8 1/8 … 1
2
+1/8 3/8 … 3
2
+1/4 3/4 -1/8 5/8
+1/8 7/8
+1/2 3/2
-1/4 5/4 -1/8 9/8
+1/8 11/8
+1/4 7/4
-1/8 13/8 … 26 − 3
2
+1/8 15/8 … 26 − 1
2
-1
-1/2 -3/2
-1/4 -7/4
-1/8 -15/8 … −26 − 1
2
+1/8 -13/8 … −26 − 3
2
+1/4 -5/4 -1/8 -11/8
+1/8 -9/8
+1/2 -1/2
-1/4 -3/4 -1/8 -7/8
+1/8 -5/8
+1/4 -1/4
-1/8 -3/8 … − 3
2
+1/8 -1/8 … − 1
2 Et ce tableau vaut bien une démonstration par récurrence.
La différence de deux u: consécutifs est 2; + 1
2 −2; − 1 2 = 2
2= 1 2 On peut donc trouver un ensemble de = , pour lequel |u:− p| ≤ 1
2 Dautre part, on a − 2 ≤ ≤ 2 qui donne − 2
2≤ 2≤ 2
2, donc − 1 2≤
2≤ 1 2 Donc |− A| ≤ 1
2+ 1 2= 3
2 BC, 3
2≤ 10 ⇒ 6 = 10
On a donc approché à 10 près l'abscisse A de la mouche avec une séquence (non précisée) de =. On recommence de la même façon pour son ordonnée E, avec une autre séquence de =.
10 déplacements sont donc suffisants à l'araignée pour attraper la mouche.
Ils sont aussi nécessaires quand mouche et araignée sont dans des coins opposés.
Dans ce cas, la ligne droite s'impose à l' araignée, qui à chaque déplacement parcourt la moitié de la distance qui la sépare de la mouche. La distance restant après n déplacement est 4√2/2 et pour que cette valeur soit inférieure à 10, on doit avoir 6 ≥ 10.
L'araignée attrapera donc la mouche en 50 secondes (ou moins)
