La mouche et l'araignée

La mouche et l'araignée

Problème I154 de Diophante

Une mouche et une araignée se trouvent chacune en un point quelconque d'un plafond carré de 4 mètres de côté. La mouche reste immobile tandis que l'araignée réalise un parcours en zigzag de la manière suivante : depuis son point de départ, puis depuis chacun des nœuds du zigzag, elle parcourt exactement la moitié de la distance qui la sépare de l'un quelconque des quatre coins du plafond. L'araignée voit la

mouche et est capable de programmer son parcours de manière à l'attraper, ce qui peut se faire dès que celle-ci est à moins d'un centimètre de distance. L'araignée met cinq secondes pour parcourir chaque segment de son zigzag. Combien de temps lui faut-il au maximum pour qu'elle attrape sa proie ?

Solution

Prenons le côté du carré pour unité et repérons la mouche M et l’araignée A par leurs coordonnées (Mx,My) et (Ax,Ay).

Appelons zone de capture et notons Z⁰ le disque de centre M, de rayon 0,0025 , noté r. Ainsi si A est dans Z⁰, l’araignée attrape immédiatement la mouche.

Notons Z¹ la zone dans laquelle doit se trouver A pour arriver du premier coup en Z⁰. Il s’avère que Z¹ = h (Z⁰), où h est l’homothétie de centre O, de rapport 2, (modulo 1), comme le montre la figure ci-dessous.

0

h(Z) Z 1 1

h(Z)

C’est un miracle du plan quadrillé : toutes les images d’un point du plan par les homothéties, de rapport 2, centrées en l’un quelconque des nœuds du quadrillage sont congrues entre elles, modulo 1. Ci-dessus, nous avons représenté les images de Z dans les homothéties, de rapport 2, centrées en (0,0) et en (1,1) : ces images sont translatées l’une de l’autre d’un vecteur de composantes entières.

Soit Z2 = h (Z1) et plus généralement Zk = h (Zk-1) qui est la zone dans laquelle l’araignée doit se trouver pour atteindre la mouche en k coups. C’est un disque de centre h^k (M) et de rayon 2^k r. Ainsi Z⁸ a pour rayon 0,64 ; mais il ne recouvre pas tout le plafond, bien que sa surface soit supérieure à 1 ; de même, Z9 qui a pour rayon 1,28 (inférieur, à la diagonale du carré unité). Par contre Z10 recouvre largement tout le plafond, modulo 1 et englobe nécessairement un représentant de A.

La réponse précise à la question posée est 50 secondes

Dans beaucoup de cas 9 étapes suffiront et parfois moins. Illustrons le cas particulier : Mx = 0,0303 ;My = 0,0166 ; Ax = 0,9 ; Ay =0,6

M6

M7

M8

M9

Dans le plan quadrillé, on calcule les images h^k (M) pour k croissant à partir de 1 et on regarde si le cercle Zk contient un représentant de A. On trouve ainsi le point M9 d’abscisse 14,848 et d’ordonnée 8,192, centre de la zone Z9, qui contient un (au moins) représentant de A, d’abscisse 14,9 et d’ordonnée 8,6. Puis on divise par deux ces coordonnées, neuf fois pour obtenir les positions successives que l’araignée.doit occuper pour arriver à capturer la mouche.

Dans ce cas particulier, l’araignée ira aux points (0,45 ; 0,3) ; (0,725 ; 0,15) ; (0,8625 ; 0,075) ; (0,9313 ; 0,5375) puis de manière rectiligne vers M, en direction de l’origine, pour arriver au point 0,0291 … ; 0,0167 … où il peut capturer la mouche.

Autre approche

Découpons le plafond P en quatre carrés puis chaque carré en quatre carrés, etc. A chaque étape, pour un carré désigné par K, notons K0, K1, K2, K3 les sous- carrés immédiats de ce carré, comme ci-dessous.

P0

P2 P3

P12

P11 P13

P100 P101 P102 P103

S0 S1

S2 S3

Comme précédemment, notons h la transformation qui associe à un point u de Pi son transformé dans l’homothétie de centre Si de rapport 2. Ce point h(u) est un point de P. Pour un carré K = Pc¹c²c³ … cⁿ du découpage son image est obtenue en supprimant le premier chiffre à gauche : h(Pc¹c²c³ … c^{n) =} Pc²c³ … cⁿ

Par exemple les images successives de P02312 sont P2312 ; P312 ; P12 ; P2 ; P.

Vu de cette manière, la mouche étant en Pm1m2m3m4m5m6m7m8m9m10 (carré dont la diagonale mesure moins d’un centimètre), il suffit à l’araignée, initialement en P d’aller en Pm10 ; Pm9m10 ; Pm8m9m10 ; Pm7m8m9m10 ; Pm6m7m8m9m10 ; Pm⁵m⁶m⁷m⁸m⁹m¹⁰ ; Pm⁴m⁵m⁶m⁷m⁸m⁹m¹⁰ ; Pm³m⁴m⁵m⁶m⁷m⁸m⁹m¹⁰ ;

Pm²m³m⁴m⁵m⁶m⁷m⁸m⁹m¹⁰ et enfin en Pm¹m²m³m⁴m⁵m⁶m⁷m⁸m⁹m¹⁰ pour se trouver à moins d’un centimètre de la mouche et l’attraper.

Dans certains cas, l’araignée peut attraper la mouche en moins de dix coups.

En effet, tout point U du plafond peut être considéré comme à l’intersection des carrés du découpage, qui le contiennent. A ce titre, on peut lui associer une écriture illimitée (ou 2 ou 4) Pu1u2u3u4u5 … .

Soit Pm1m2m3m4m5 … et Pa1a2a3a4a5 … les écritures associées à la mouche et à l’araignée respectivement, il s’agit d’insérer le minimum de chiffres k1 … kp à gauche de a1a2a3 … pour que k1k2 … kpa1a2a3 … a10-k soit

m¹m²m³m⁴m⁵m⁶m⁷m⁸m⁹m¹⁰

Par exemple : si la mouche est en P02311203103 … et l’araignée en P203100 ... alors il suffit d’ajouter 02311 pour obtenir P02311203100 afin que les dix premiers chiffres des positions respectives de la mouche et de l’araignée soient les mêmes.

Pour atteindre la mouche l’araignée se dirigera successivement vers S¹, encore S¹, puis S3, puis S2 et enfin S0.

M A

Remarque - Les écritures introduites semblent n’être que de simples codes mais ces codes cachent chacun deux nombres, qui sont les coordonnées des points repérés, écrites en binaire.

Par exemple, P02311203103 engendre l’écriture 0010110101100011010011, où l’on sépare les chiffres de rangs pairs 0010110101100011010011 (en rouge) pour l’abscisse 0,00111001101 (0,22460 en décimal) des chiffres de rangs impairs (en vert) pour l’ordonnée 0,01100101001 (0,39453 en décimal).

D’où une autre méthode pour prédire le parcours de l’araignée.