La mouche de la pyramide
Problème D341 de Diophante
Une mouche se met à voler à l’intérieur d’une pyramide de verre et de métal assimilée à un tétraèdre régulier SABC de sommet S et de 41,90 mètres de côté.
Partant d’un certain point M de la face SAB, elle réalise le parcours le plus court possible qui lui permet de se poser sur les trois autres faces et de revenir à son point de départ. Démontrer qu’avec une longueur de parcours inférieure à 53 mètres elle ne rate pas le coche … et préciser la ou les positions possibles du point M qui lui
permettent de réaliser un tel parcours.
Source: d'après un problème des olympiades de mathématiques à Moscou
Solution
Afin de faire jouer le même rôle aux quatre sommets de SABC, plaçons nous dans R4 et choisissons pour chaque point les coordonnées suivantes :
S A B C s a b c
10 4 3 3
10 4 3 3
10 3 3 4
10 3 3 4
en laissant vides les cases qui contiennent 0.
Les points s, a, b, c sont dans les faces opposées aux sommets de même nom et on a : sb = sc = ab = ac = 2*rac(5) alors que le côté du tétraèdre mesure 10*rac(2).
Ainsi le parcours sbacs mesure 8*rac(5).
Le rapport de ces deux valeurs vaut 2*rac(10)/5 = 1,264911 … alors que le rapport 53 / 41,9 vaut 1,264916 …
Autrement dit, avec le tétraèdre décrit dans l'énoncé, le parcours précisé ci- dessus mesure 52,99977 … mètres.
La question se pose :
Comment en sommes nous arrivés là ?
Au départ j'avais pris les barycentres des faces mais c'était manifestement améliorable. D'où l'idée de choisir sur les médianes SJ et CI les points a et b les plus proches, qui correspondent à la plus courte distance entre deux droites.
De même, on choisit s et c de telle sorte que chacun des segments sb, ba, ac, cs soit perpendiculaire aux médianes auxquelles il aboutit.
Pour situer le point s, projetons tous les points orthogonalement sur JA, que nous graduons de 0 à 15.
B et C se projettent en 0 ; S en 5 ; I en 10 ; b et c en s. Pour satisfaire l'égalité sJ / sA = bI / bC , nous avons x / (x-15) = (x-10) / x soit x = 6.
Ainsi s est le barycentre des points A et J affectés des coefficients 2 et 3 ou mieux des points A, B et C affectés des coefficients 4, 3 et 3.
Cette solution est optimale, en ce sens que le parcours sbacs est celui d'un rayon lumineux (plus court chemin). En effet, le plan SAJ est un plan de symétrie de l'ensemble et s est le milieu du segment cb' où b' est le symétrique orthogonal de b par rapport au plan ABC. Autrement dit, les points c, s, b' étant alignés le point s est bien le point d'impact d'un rayon lumineux issu de c se réfléchissant sur ABC pour atteindre b.
Pour répondre à la dernière question posée, précisons qu'il y a trois solutions selon le choix de la médiane sur laquelle c est choisi, dans la face SAB.
