D341 – La mouche de la pyramide
Une mouche se met à voler à l’intérieur d’une pyramide de verre et de métal assimilée à un
tétraèdre régulier SABC de sommet S et de 41,90 mètres de côté.Partant d’un certain point M de la face SAB,elle réalise le parcours le plus court possible qui lui permet de se poser sur les trois autres faces et de revenir à son point de départ.Démontrer qu’avec une longueur de parcours inférieure à 53 mètres elle ne rate pas le coche...et préciser la ou les positions possibles du point M qui lui permettent de réaliser un tel parcours.
Changement d'échelle : l'arête du tétraèdre T0 mesure 1 et le parcours cherché a une longueur inférieure à 53/41,90 . Origine en S, les 3 vecteurs unitaires SA, SB, SC forment une base du repère.
La position initiale M est repérée par (x,y,0) avec x>0, y>0, x+y<1.
Étudions un parcours avec rebonds successifs sur les faces ABC,SBC, SAC.
Considérons trois autres tétraèdres réguliers :
T1 de sommets ABCS' symétrique de T0 par rapport au plan ABC, T2 de sommets BCS'A' symétrique de T1 par rapport au plan S'BC, T3 de sommets B'CS'A' symétrique de T2 par rapport au plan S'A'C.
A tout point M tel que SM = x SA +y SB on associe le point final M' tel que S'M' = x S'A' + y S'B'.
Si le segment MM' coupe les 3 plans de symétrie en des points intérieurs aux triangles ABC, BCS', CS'A, et si MM' est minimum, on devrait obtenir MM' < 53/41,90 .
SS' = 2/3(SA+SB+SC) S'(2/3, 2/3, 2/3) AA' = 2/3(AB + AC + AS') SA' = 2/3( SB + SC +SS') – SA A'(-5/9, 10/9, 10/9) BB' = 2/3(BC + BA' + BS') SB' = 2/3( SC + SA' + SS') – SB B'(2/27, 5/27, 50/27) S'A'(-11/9, 4/9, 4/9) et S'B'(-16/27, -13/27, 32/27) M(x , y , 0)
SM' = x.S'A' + y.S'B' +SS' M'(-11/9.x -16/27.y +2/3 ; 4/9.x -13/27.y +2/3 ; 4/9.x +32/27.y +2/3 ) MM'( -20/9x – 16/27.y +2/3 ; 4/9x -40/27y + 2/3 ; 4/9.x +32/27.y +2/3 )
Le carré scalaire d'un vecteur(u,v,w) s'exprime ici par u²+v²+w²+uv+vw+wu.
Pour MM'² cela donne 32/9.(x²-x) + 64/27.(y²+xy-y) + 8/3 MM'² = 16/27(2y+x-1)²+80/27(x-0,4)² +8/5
Pour x = 0,4 et y = 0,3 on a MM' minimum et égal à √(0+0+8/5) = 2√(2/5).
Le trajet minimum serait donc 41,90.(2√(2/5)) approximativement 52,99977358 < 53.
Ainsi M(0,4 , 0,3 , 0 ) , MM'(-0,4 , 0,4 , 1,2 ) , et M'(0 , 0,7 , 1,2).
Le vecteur MM' est colinéaire à (-1,1,3), les équations paramétriques de la droite MM' sont :
x=0,4-t y=0,3+t z=3t elle coupe le plan ABC (x+y+z=1) au point t = 0,1 (0,3 , 0,4 , 0,3 ). Ce point est bien intérieur au triangle ABC puisqu'il est barycentre de A(3), B(4), C(3).
De même on trouve l' équation du plans S'BC : -x + 2y + 2z = 2
La droite MM' le coupe au point t = 0,2 (0,2 , 0,5 , 0,6) qui est barycentre de S'(3), B(3),C(4) Et encore l'équation du plan S'A'C : 4x + y + 10z = 10 coupé par la droite MM' au point défini par t = 0,3 (0,1 , 0,6 , 0,9 ) qui est barycentre de S'(4) , A'(3) , C(3 )
Les 4 segments de droite qui composent le parcours de la mouche sont tous de même longueur, car les étapes correspondent aux valeurs 0 ; 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,4 du paramètre t.
La figure en page 2 montre les 3 positions possibles pour le départ du vol.
Le point initial M défini par SM = 0,4 SA + 0,3 SB est barycentre de A(4), B(3), S(3) donc sur l'axe de symétrie qui échange S et B.
Deux autres points N et P définis par AM = 0,4 AB + 0,3 AS et BM = 0,4 BS + 0,3 BA sont aussi des points de départ permettant de réaliser un tel parcours minimum.
