D 341. La mouche de la pyramide.
Une mouche se met à voler à l’intérieur d’une pyramide de verre et de métal assimilée à un tétraèdre régulier SABC de sommet S et de 41,90 mètres de côté. Partant d’un certain point M de la face SAB, elle réalise le parcours le plus court possible qui lui permet de se poser sur les trois autres faces et de revenir à son point de départ. Démontrer qu’avec une longueur de parcours inférieure à 53 mètres elle ne rate pas le coche...et préciser la ou les positions possibles du point M qui lui permettent de réaliser un tel parcours.
Source : d’après un problème des olympiades de mathématiques à Moscou.
Solution proposée par Michel Lafond
Considérons le tétraèdre régulier (SABC) ci-dessus, de côté 1.
Soit le repère orthonormé (BC, By, Bz) dans lequel les coordonnées des sommets sont : B (0, 0, 0) C (1, 0, 0) A ( , , 0) S ( , , )
Définissons les points M (0.45, , 0) N (0.35, , ) P (0.65, , ) Q (0.55, , ) M (BAC) d’ailleurs,
N (SBA) car
P (SAC) car Q (SBC) car On a MN2 = NP2 = PQ2 = QM2 = donc MN + NP + PQ + QM =
En ramenant le côté du tétraèdre à 41,9 m cela donne pour la mouche le trajet (MNPQM) de longueur
Ce trajet est celui d’un rayon lumineux se réfléchissant sur les 4 faces internes du tétraèdre.
Dans le plan (ABC), M peut occuper par symétrie deux autres positions, et peut-être d’autres…
M S
B C
A N
P
Q
1
