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On note ˆa = 2π k l’angle au centre du polygone : OO

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Academic year: 2022

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(1)

On note ˆa= 2π

k l’angle au centre du polygone : OO1 = 2.cos ˆa et OO2 = 2.cos 2ˆa.

On applique la propriété de Pythagore généralisée au triangle OO1O2 : O1O22 =OO21+OO22−2.OO1.OO2.cos 4ˆa= 3.

Or cos 2ˆa= 2.cos2 ˆa−1et cos 4ˆa= 8.cos4 ˆa−8.cos2 ˆa+ 1.

On obtient alors une équation de degré 7en X = cos ˆa: 128.X7−192.X5−16.X4+ 80.X3+ 12.X2 −8.X −1 = 0.

L’équation a une racine rationnelle X =−0,5 qu’il faut refuser : (2.X + 1).(64.X6−32.X5−80.X4+ 32.X3+ 24.X2−6.X −1) = 0.

On reconnaît alors le polynôme minimal de cos π

13 dont les racines sont : cos π

13,cos 3π

13,cos 5π

13,cos 7π

13,cos 9π

13 et cos 11π 13 .

Seule la première proposition fournit une valeur entière pour k , le polygone est alors un icosikaihexagone ( k= 26 ).

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