Triangles 3D sur une cyclide de Dupin cubique

Triangles 3D sur une cyclide de Dupin cubique

L. GARNIER¹, L. DRUOTON², D. MICHELUCCI¹, J. M. CANE¹

1LE2i, UMR CNRS 6306, Université de Bourgogne, B.P. 47870 , 21 078 Dijon Cedex, France

2IMB, UMR CNRS 5584, Université de Bourgogne, B.P. 47870 , 21 078 Dijon Cedex, France Courriel :<lionel.garnier, lucie.druoton, dominique.michelucci, jean-marc.cane>@u-bourgogne.fr

Résumé

Sur un tore à collier ou une cyclide de Dupin quartique en anneau, il existe deux types de cercles : les méridiens et les parallèles d’une part qui sont des lignes de courbure et les cercles d’Yvon-Villarceau d’autre part. En utilisant des arcs d’un méridien, d’un parallèle et d’un cercle d’Yvon-Villarceau, il est possible de construire des triangles rectangles 3D sur les deux surfaces précitées. Dans cet article, nous décrivons d’abord comment n’obtenir que des triangles homotopes à un point, nous consacrons une sous-section aux triangles sur un tore topologique. Ensuite, nous allons, sur une cyclide de Dupin cubique en anneau, obtenir les équations des cercles d’Yvon-Villarceau puis donner un algorithme permettant de construire des triangles isocèles ayant pour côtés deux arcs de cercles d’Yvon-Villarceau et un cercle de courbure. De plus, par inversion, ce nouveau type de triangle 3D peut être construit sur un tore à collier ou une cyclide de Dupin quartique en anneau (ce que nous ne savions pas faire jusqu’à maintenant pour les cyclides de Dupin quartiques).

On a ring torus or a ring quartic Dupin cyclide, one can find two kinds of circles : the meridians and the parallels which are curvature lines and Yvon-Villarceau circles. Using a meridian arc, a parallel arc and an Yvon-Villarceau circle arc, one can generate 3D triangles on the aforementioned surfaces. In order to obtain triangles homotopic to a point, we devote a subsection to the triangles on a topological torus. In this article, we compute the equations of a Yvon-Villarceau circle on a ring cubic Dupin cyclide and then, we propose an algorithm to compute a 3D triangle where two edges are Yvon-Villarceau circle arcs. Moreover, using an inversion, we can build this kind of 3D triangles on a ring torus or a ring quartic Dupin cyclide.

Mots clé : cercles d’Yvon-Villarceau, cyclides de Dupin, triangle 3D, inversion.

1 Introduction

En informatique graphique, les maillages 3D sont le plus souvent des triangulations et chaque triangle du maillage est contenu dans un plan. Ces triangles plans possèdent à la fois une équation paramétrique et une équation implicite (de de- gré 1). Cependant, pour réaliser une surface complexe, nous ne pouvons avoir que des raccords G⁰le long des segments de jointure entre deux triangles et des informations topolo- giques comme lesG-cartes sont à ajouter afin d’avoir une robustesse topologique de l’objet 3D modélisé. Notre ob- jectif à long terme est de remplacer ces maillages par des maillages constitués de triangles gauches ayant aussi une équation paramétrique et une équation implicite de degré peu

élevé afin de bénéficier des deux avantages suivants : pouvoir réaliser des jointures G¹entre ces triangles ou un triangle et un carreau ; diminuer le nombre de triangles gauches (un tri- angle gauche remplace plusieurs triangles plans) par rapport au nombre de triangles plans et donc le nombre d’informa- tions topologiques. Cette idée n’est pas nouvelle et nous pré- sentons maintenant les travaux antérieurs les plus significa- tifs. S. Hahmann et G.-P. Bonneau réalisent des jointures G¹ à partir d’un nuage de points 3D après une triangulation ini- tiale : chaque triangle est remplacé par quatre triangles qui sont modélisés par des triangles de Bézier dont l’équation paramétrique est de degré 5 [HB03]. C. Bajaj utilise des in- terpolations de Hermite pour obtenir une équation implicite d’une surfaceC¹et non plane par morceaux [Baj96]. Plu- sieurs travaux concernent la transformation de maillages tri- angulaires en maillages quadrangulaires [LDB04, BSP^∗10].

A partir d’un maillage, B. Guo et al. utilisent desα-shapes pour reconstruire des surfaces avec ou sans bords [GMW97].

Dans le domaine de l’architecture, P. Bo et al. réalisent des

c

REFIG 2015, Revue Électronique Francophone d’Informatique Graphique.

constructions dont les bords sont des lignes de courbure circulaires [BPK^∗11] en utilisant entre autres des cyclides de Dupin. Des travaux avaient déjà réalisés par divers au- teurs [Mar82, SKD96, McL85] concernant les carreaux de cyclides de Dupin. L’utilisation de ces surfaces est très in- téressante puisque cela permet de construire des carreaux possédant à la fois une équation paramétrique et une équa- tion implicite, qui plus est de degré inférieur à 4. Cependant, lorsque nous voulons construire des carreaux contigus, au bout de quatre ou cinq itérations, le contrôle de la forme est impossible [McL85] : l’utilisation de triangles 3D à bords circulaires, sur des cyclides de Dupin permet d’avoir plus de degrés de liberté. Des algorithmes concernant ces triangles ont déjà été proposés [GBFP14, GBF09] dans le cas où les bords sont composés de deux cercles de courbure sur des cyclides de Dupin quartiques : les triangles sont rectangles.

Dans cet article, nous allons enrichir le nombre de triangles 3D possibles en utilisant des cyclides cubiques dans un pre- mier temps et, dans un second temps, nous construirons des triangles isocèles sur des cyclides de Dupin cubiques ou quartiques.

Les cyclides de Dupin ont été inventées en 1822 par P.

C. Dupin [Dup22] et introduites en C.A.O./C.F.A.O. par R. Martin [Mar82]. Ces surfaces sont à lignes de cour- bure circulaires (les méridiens et les parallèles) et sur cer- taines d’entre elles, deux autres familles de cercles existent : les deux familles de cercles d’Yvon-Villarceau. Des algo- rithmes permettant la construction de triangles rectangles 3D sur des tores à collier et sur des cyclides de Dupin ont été développés [GBF09, Pue10, PG10, BGF11]. Les bords sont constitués de deux cercles caractéristiques (un cercle méridien et un cercle parallèle, c’est pour cela que les tri- angles sont rectangles) et d’un troisième cercle particulier : un cercle d’Yvon-Villarceau [Gar08, Gar07]. Le fait que ces triangles 3D aient une équation paramétrique et une équa- tion implicite de degré au plus 4 est un avantage non négli- geable pour leur utilisation en C.A.O. et C.F.A.O. (calculs d’intersection, lancer de rayons...). Dans cet article, nous complétons le travail précédent [GBF09, GBFP14, Pue10]

en construisant des triangles rectangles 3D sur des cyclides de Dupin cubiques. Afin d’avoir plus de liberté dans l’uti- lisation de triangles non-plans, nous construisons des tri- angles isocèles 3D sur une cyclide de Dupin cubique en utili- sant deux arcs de cercles^†d’Yvon-Villarceau. Par inversion, nous obtenons une famille à un paramètre de triangles iso- cèles 3D sur des cyclides de Dupin quartiques en anneau.

Par ailleurs, Langevin et al. ont résolu, en travaillant dans l’espace des sphères [DGLS11], le problème suivant : com- bien de cyclides de Dupin sont tangentes à trois plans don- nés en trois points donnés. Le résultat^‡ est assez surpre-

†. En fait, ce sont deux segments de droites.

‡. L’utilisation des sphères orientées est fondamentale : en par- tant d’une situation géométrique conduisant à une solution, en chan- geant l’orientation d’un seul des plans, il n’y a plus de solution.

nant : dans le cas où l’ensemble des solutions n’est pas vide, une famille à un paramètre de cyclides de Dupin est solu- tion [LSD^∗14] et toutes ces cyclides de Dupin sont tangentes le long d’une courbe gauche de degré 4. Lorsque les trois conditions de contacts sont sur un cercle d’Yvon-Villarceau, un méridien ou un parallèle, il y a au moins une famille à un paramètre de cyclides de Dupin tangentes le long du cercle considéré ce qui permet des recollements G¹entre tri- angles 3D. Comme il est aussi possible de construire des carreaux de cyclides de Dupin quartiques dans l’espace des sphères [GD13a, GD13b], il est possible de réaliser des join- tures G¹entre des triangles 3D et des carreaux 3D le long d’arcs de cercles [GD13a].

L’avantage de notre méthode est de pouvoir raccorder des triangles 3D le long d’arcs de cercles, de façon G¹. De plus, l’utilisation de triangles 3D permet de faire l’économie d’un certain nombre de valeurs dans le calcul et le stockage in- formatique des maillages 3D [GBF09]. Notons que lorsque nous modélisons un maillage en utilisant des triangles 3D, l’affichage se fait toujours par des triangles plans.

Les triangles 3D permettent aussi de représenter plus fi- dèlement une surface. Sur chaque triangle, nous avons une continuité des normales sur toute la surface ce qui est pra- tique pour calculer les plans tangents.

Figure 1: Modélisation d’un triangle rectangle 3D empri- sonné par trois plans [PG10].

Des calculs sont également économisés au niveau des in- tersections avec la surface modélisée. La figure 1 montre un triangle 3D sur un tore, restreint par trois plans définis par les bords du triangle. En effet, un plan d’équation :

F(x, y, z) =a x+b y+c z+d=0

définit deux régions de l’espace d’inéquations respectives F(x, y, z)≤0 etF(x, y, z)≥0. Ainsi, un triangle 3D est dans l’intersection de trois demi-espaces de ce type. Avec la technique du lancer de rayons, il suffira de vérifier trois

inégalités (équations des trois demi-espaces) et de résoudre le cas échéant une équation algébrique de degré 4. Avecn triangles plans, dans le pire des cas, il faut vérifier 3ninéga- lités et résoudrenéquations de degré 1.

L’article est composé comme suit : après un rappel sur l’inversion, les tores et les cyclides de Dupin quartiques, nous présentons les cyclides de Dupin cubiques. Dans la troi- sième section, nous déterminons les équations des cercles d’Yvon-Villarceau sur une cyclide de Dupin cubique en an- neau. Avant de conclure et de donner quelques perspectives, nous montrons comment construire des triangles rectangles 3D sur une cyclide de Dupin parabolique puis des triangles isocèles 3D sur une cyclide de Dupin parabolique (et donc sur les cyclides de Dupin quartiques). L’annexe A (resp. B) propose un rappel concernant la construction d’un triangle rectangle sur un tore à collier (resp. cyclide de Dupin en an- neau).

Dans cet article,

O3,−→ı ,−→ ,−→k

désigne le repère ortho- normé direct de l’espace affine euclidien usuel à trois dimen- sionsE3. Un pointMde coordonnées(x;y;z)sera noté :

M(x;y;z)ouM



 x y z





2 Rappels

2.1 Inversion euclidienne Définition 1 : inversion

Soitkun réel non nul etΩun point d’un espace affine eu- clidienE. Une inversion de pôleΩet de rapportk est la transformation deE − {Ω}dans lui-même définie par :

i_Ω,k(M) =M^′|−−−→

ΩM^′= k ΩM²

−−→ΩM (1) En d’autres termes,M^′est l’unique point de la droite(ΩM) vérifiant :

−−→ΩM•−−−→

ΩM^′=k (2)

Il est immédiat qu’une inversion est involutive c’est-à- dire qu’elle est sa propre bijection inverse. Une inversion est une transformation non linéaire, qui ne conserve ni les distances, ni l’alignement. Une inversion, en n’utilisant que les coordonnées cartésiennes, ne peut pas s’écrire sous forme matricielle. Sikest positif, l’ensemble des points invariants est le cercle, appelé cercle d’inversion, ou la sphère, appelée sphère d’inversion, de centreΩet de rayon√

k.

L’image d’une sphère (resp. d’un cercle) ou d’un plan (resp. d’une droite) est une sphère (resp. un cercle) ou un plan (resp. une droite) et nous pouvons énoncer :

Théorème 1 : Image d’une sphère ou d’un hyperplan^§par une inversion

SoitEun espace affine euclidien.

Soiti_Ω,kune inversion deE − {Ω}dansEde pôleΩet de rapportk. Alors :

1. Image d’un hyperplanPdeE.

⋆ SiΩ∈Palorsi_Ω,k(P)estP− {Ω}.

⋆ SiΩ∈/Palorsi_Ω,k(P)est la sphèreS^′, privée deΩ, de diamètre

ΩM1^′

oùM₁^′ =i_Ω,k(M1)etM1est le projeté orthogonal deΩsurP.

2. Image d’une sphèreSdeE, de centreΩ0et de rayonR.

⋆ SiΩ∈Salorsi_Ω,k(S)est un hyperplan deE, de vec- teur normal −−→Ω0Ω, passant par M₁^′ =i_Ω,k(M1), où M1 est le second point d’intersection entre S et la droite(Ω0Ω).

⋆ SiΩ∈/Salorsi_Ω,k(S)est une sphère, deE, homo- thétique àSpar l’homothétie de centreΩet de rapport

k Ω0Ω²−R².

Démonstration : Voir [Gar07].

Notons qu’une inversioni_Ω,kconserve les angles non orientés entre droites incidentes en un point et en parti- culier le contact : siγ0etγ1sont deux courbes de classeC¹ qui se coupent enM =γ0(t0) =γ1(u1), alors l’angle des tangentes àγ0etγ1enMest égal à l’angle des tangentes à i_Ω,k(γ₀)eti_Ω,k(γ₁)eni_Ω,k(M).

2.2 Sphères orientées

Dans toute la suite de ce document, l’espace−→

E3est muni du produit scalaire euclidien usuel et C(O1, ρ1) (resp.

S(O2, ρ2)) désigne le cercle (resp. sphère) de centreO1 et de rayonρ₁.

A partir d’une sphèreSde centreΩet de rayonr, nous pouvons définir deux sphères orientéesS⁺etS⁻de la façon suivante : en tout pointMdeS, la sphère orientéeS⁺(resp.

S⁻), de rayonρ=r(resp.ρ=−r) est définie par le fait que le vecteur normal unitaire−→N à la sphèreSenMest sortant (resp. rentrant). Ainsi, nous avons :

−−→ΩM=ρ−→N . (3) De façon analogue, nous considérons les plans orientés en tenant compte des vecteurs normaux.

§. DansE³, un hyperplan est un plan ; dans le planP, un hyper- plan est une droite.

2.3 Généralités sur les cyclides de Dupin dégénérées ou non

Plusieurs définitions équivalentes peuvent être données, nous en utiliserons deux. Une cyclide de Dupin est l’image d’un tore, d’un cône de révolution ou d’un cylindre de ré- volution par une inversion : il existe donc deux familles de cercles de courbure sur une cyclide de Dupin : les méri- diens et les parallèles. La seconde définition que nous uti- liserons permet de considérer une cyclide de Dupin comme une double surface canal : chacune des deux familles pré- cédentes de cercles est engendrée par une famille à un pa- ramètre de sphères orientées (le rayon peut être négatif) et le long de chaque cercle, il existe une sphère de la famille telle que la cyclide de Dupin et la sphère précédente sont tangentes le long du cercle, appelé alors cercle caractéris- tique [DFGL14,Dru13]. Remarquons qu’il est alors possible de distinguer deux types de cyclides de Dupin : les cyclides de Dupin sont dites dégénérées (resp. non dégénérées) si le lieu des centres des sphères est une conique dégénérée (resp.

propre) [DMP93]. Ainsi, le cône de révolution, le cylindre de révolution et les trois types de tores (tore à collier, à col- lier nul ou croisé) sont des cyclides de Dupin dégénérées.

Le degré des équations implicites des cyclides de Dupin non dégénérées est 3 ou 4 [CDH88, SD95].

Contrairement aux autres cyclides de Dupin dégéné- rées, sur un tore à collier, il existe deux autres familles de cercles : les cercles d’Yvon-Villarceau [Ber10, Ber78].

Comme dans cet article nous utilisons des arcs de cercles d’Yvon-Villarceau pour construire des triangles 3D, la seule cyclide de Dupin dégénérée que nous utiliserons est le tore à collier. Par inversion de ce dernier, nous obtenons une cy- clide de Dupin quartique (resp. cubique) si le pôle d’inver- sion n’est pas sur le tore (resp. appartient au tore). Notons que si le pôle de l’inversion est sur le tore à collier, les deux cercles caractéristiques ainsi que les deux cercles d’Yvon- Villarceau passant par ce point ont pour image des droites : sur la cyclide de Dupin cubique image, nous obtenons quatre droites, deux de courbure et deux d’Yvon-Villarceau.

2.4 Tore

2.4.1 Définition en tant qu’enveloppe Définition 2 : Tore d’axe(Oz)

Un tore de rayon majeurR, de rayon mineurret d’axe(Oz), ayantPz:z=0 comme plan de symétrie, est :

• l’enveloppe d’une famille à un paramètre θ ∈[0; 2π], de sphères de centres Ωθ(Rcos(θ);Rsin(θ); 0)et de rayonr;

• l’enveloppe d’une famille à un paramètreψ, appartenant à

i

−^π₂;³₂^π h

−_π

2 , :

⋆ de sphères de centreΩψ(0; 0;−Rtan(ψ))et de rayon algébriquer−_cos(ψ)^R

⋆ de deux plans d’équationz=retz=−r.

Notons que ces deux plans sont des sphères centrées à l’infini obtenues pour les valeurs−^π2 et^π₂ deψ. La figure 2 montre un tore obtenu comme enveloppe de sphères.

(a) (b)

Figure 2: Un tore, enveloppe d’une famille à un paramètre de sphères. (a) : les centres des sphères de rayonrsont si- tués sur le cercle de centreO₃et de rayonRdansPz. (b) : les sphères sont centrées sur l’axe des cotes et deux plans appartiennent à cette famille.

2.4.2 Définition en tant que surface de révolution La méridienne, figure 3, engendrant un tore, figure 2, est l’union de deux cerclesC₁ etC₂, dans le plan d’équation x=0, de rayonret de centres respectifsO1 etO2 situés sur l’axe des ordonnées. L’axe∆de la rotation est l’axe des cotes : il est contenu dans le plan engendré par la méridienne, et est la médiatrice du segment[O1O2]. Dans ce plan,O3est l’intersection de∆avec le segment[O1O2]. SoitR=O3O1.

Figure 3: Une méridienneC₁∪C₂d’un tore à collier.

Ainsi, pour le cercleC2, nous avons : y(θ) = (R+r cosθ)

z(θ) = rsinθ et l’équation paramétrique du tore est :

ΓT(θ, ψ) =





(R+rcosθ)cosψ (R+rcosθ)sinψ

rsinθ



 (4) oùθ∈[0; 2π], ψ∈[0; 2π].

Lorsque nous avonsR > r, le tore est dit à collier, lorsque nous avonsR=r, le tore est dit à collier nul, sinon le tore

est dit croisé. A partir de la formule (4), l’équation implicite algébrique d’un tore [LFA91] est :

x²+y²+z²+R²−r²2

−4R² x²+y²

=0

2.4.3 Cercles d’Yvon-Villarceau sur un tore à collier Hormis les cercles obtenus avec l’un des paramètres constants dans la formule (4) (méridiens pourψ constant, parallèles pour θ constant), il existe un et un seul autre type de cercles sur un tore à collier : les cercles^¶ d’Yvon- Villarceau^k (1813-1889). Un cercle d’Yvon-Villarceau est la section du tore par un plan tangent au tore en exacte- ment deux points^∗∗ et le milieu de ces deux points est le centre du tore. Ces cercles sont des loxodromies du tore. Une loxodromie d’une surface de révolution est une courbe qui coupe toutes les méridiennes suivant un angle géométrique constant [BGL01, LFA91].

Dans un premier temps, nous considérons le plan P d’équation :

rx+p

R²−r² z=0

et la section du tore par P est l’union de deux cercles d’Yvon-Villarceau [LFA91, BGL01], figure 4.

La figure 5 montre l’un des cercles (en vert) des points où le tore à collier admet un plan « bi-tangent », l’autre courbe est l’image de la précédente par la réflexions_P⊥

∆ oùP^⊥_∆ est le plan de symétrie du tore orthogonal à l’axe de ce dernier.

Dans notre cas,P^⊥_∆ =Pz:z=0.

Posons :

r1(t) =r+Rcos(t) d’une part et :

R1=−p R²−r² d’autre part. Par rotation autour de l’axe

Ω,−→ k

et d’angleθ0fixé, l’équation paramétrique d’un cercle d’Yvon- Villarceau est :

γ_θ0,ε(t) =





R1sin(t)cos(θ0)−εr1(t)sin(θ0) R1sin(t)sin(θ0) +εr1(t)cos(θ0)

rsin(t)



 (5) oùε∈ {−1; 1}ettdécrit[0; 2π], figure 6 [Gar08].

Il est possible aussi de déterminer ces deux cercles en recourant à des sphères, figure 7(b). L’un (resp. l’autre) de ces deux cercles est l’intersection du tore avec la sphère de rayonRet de centreΩ1(−rsin(θ₀);rcos(θ₀); 0)(resp.

Ω2(rsin(θ0);−rcos(θ0); 0)).

¶. Il en existe en fait deux familles.

k. Yvon n’est pas le prénom, il fait partie du nom.

∗∗. L’orientation du plan n’est pas la même en l’un ou l’autre des deux points, figure 4.

(a)

(b)

Figure 4: Plan « bi-tangent » au tore à collier. (a) : un cercle de chaque famille d’Yvon-Villarceau et deux plans orientés tangents chacun à une sphère centrée sur le cercle de rayon Ret de centreO₃. (b) : le tore à collier est ajouté aux élé- ments de (a).

2.5 Cyclides de Dupin quartiques non dégénérées 2.5.1 Définition en utilisant la notion d’enveloppe Définition 3 : Cyclide de Dupin quartique non dégénérée Une cyclide de Dupin quartique non dégénérée, notée CD4, est l’enveloppe, de deux façons équivalentes, d’une famille à un paramètre de sphères orientées, figure 8.

Les centres des sphères de l’une des deux familles,S₁, sont sur l’ellipseE, figure 8(a), d’équation :

E=Γθ:





 x² a²+y²

b² = 1

z = 0

(6) tandis que les centres des sphères de l’autre famille,S₂, sont sur l’hyperbole H, figure 8(b), d’équation :

Figure 5: Lieu des points où les plans peuvent être « bi- tangents » sur un tore à collier.

Figure 6: Quatre paires de cercles d’Yvon-Villarceau sur un tore à collier.

H=Γψ:





 x² c² −z²

b² = 1

y = 0

(7)

Notons que ces deux coniques sont deux anti-coniques : elles sont situées dans deux plans perpendiculaires, les som- mets de l’une sont les foyers de l’autre. Cette propriété conduit à la relation :

b²=a²−c² (8) Ainsi, nous avons deux manières, distinctes mais équiva- lentes, de définir une cyclide de Dupin.

(a)

(b)

Figure 7: Cercles d’Yvon-Villarceau sur un tore à collier.

(a) : deux cercles obtenus avec le plan. (b) : les deux cercles obtenus avec deux sphères.

(a) (b)

Figure 8: Une cyclide de Dupin est définie, de deux manières équivalentes, par une famille, à un paramètre, de sphères centrées sur une conique. (a) : sur une ellipse. (b) : sur une hyperbole et deux plans appartiennent à cette famille.

Le centre de la cyclide de Dupin est le pointO₃qui est aussi le milieu des foyers de l’une de ces coniques. Une cy- clide de Dupin est caractérisée par un troisième paramètre indépendantµqui dépend des rayons des sphères.

Pour θ appartenant à [0; 2π], la sphère S1(θ) a pour centre :

Ωθ(acos(θ);bsin(θ); 0) (9) et pour rayon (algébrique) :

r1(θ) =µ−ccos(θ) (10) La contribution d’une sphère à la cyclide de Dupin est un cercle appelé cercle caractéristique et le long de ce cercle, la cyclide de Dupin et la sphère précitée sont tan- gentes [DGLS11, DFGL14, Dru13].

Pourψappartenant à[0; 2π]\ π

2,3π 2

, la sphèreS₂(ψ) a pour centre :

Ωψ

c

cos(ψ); 0;−btan(ψ)

(11) et pour rayon (algébrique) :

r2(ψ) =µ− a

cos(ψ) (12)

et les deux plans de la famille, figure 8(b), ont pour équation : c x−µa=εbz (13) oùε∈ {−1; 1}.

Sicest nul, nous avonsb=aet nous obtenons un tore qui est une cyclide de Dupin dégénérée [DMP93] puisque l’hyperbole devient une droite double : cette dernière est une conique dégénérée ou une conique non propre.

2.5.2 Définition en utilisant une inversion

Il existe cinq types de CD4s : en anneau (notée CD4A), à croissant externe, à croissant interne, à croissant externe nul, à croissant interne nul [AD96, She97, Gar07]. Ces types sont directement liés au mode de génération des cyclides de Dupin.

Définition 4 : Cyclide de Dupin quartique non dégénérée Une cyclide de Dupin est l’image d’un tore de révolution, d’un cône de révolution ou d’un cylindre de révolution par une inversion, le pôle de l’inversion n’étant pas sur la surface originelle.

En considérant ce mode de génération, nous pouvons ré- duire le nombre de types de cyclides de Dupin à 3 selon le nombre de point(s) singulier(s)^†† : pas de point singulier

††. En ce point, le vecteur gradient est nul ou tous les vecteurs tangents sont colinéaires.

pour une CD4A ; un seul point singulier pour une cyclide de Dupin à croissant nul ; deux points singuliers pour les autres.

La détermination des paramètresa,cetµs’effectue en utilisant deux cercles principaux coplanaires situés dans l’un des deux plans de symétrie de la cyclide de Dupin [Gar07, Dru13, Pra90].

Notons qu’une cyclide de Dupin admet l’équation para- métrique suivante :

Γd(θ, ψ) =



















µ(c−acosθcosψ) +b²cosθ a−ccosθcosψ bsinθ×(a−µcosψ)

a−ccosθcosψ bsinψ×(ccosθ−µ)

a−ccosθcosψ

















 (14)

oùθ∈[0; 2π], ψ∈[0; 2π]et la formule (8) conduit à deux équations implicites équivalentes :

x²+y²+z²−µ²+b²2

=4(ax−cµ)²+4b²y² (15) et :

x²+y²+z²−µ²−b²2

=4(cx−aµ)²−4b²z² (16) Si le pôle de l’inversion est sur le tore initial, la surface obtenue est une cyclide de Dupin cubique et l’image d’un cercle passant par le pôle de l’inversion est une droite. Ainsi, si nous prenons le pôle de l’inversion sur le tore, quatre cercles (un parallèle, un méridien, deux cercles d’Yvon- Villarceau) passant par ce point auront comme image une droite (privée du pôle).

2.6 Définitions des cyclides de Dupin cubiques Comme pour les cyclides de Dupin quartiques, nous pou- vons définir une cyclide de Dupin cubique de deux ma- nières : soit comme enveloppe à un paramètre d’une famille de sphères orientées, soit comme surface image d’un tore, d’un cylindre de révolution ou d’un cône de révolution par une inversion idoine.

Dans toutes les parties traitant des cyclides de Dupin cu- biques,petqsont deux réels distincts. Dans le cas contraire, nous obtenons la sphère de centre de coordonnées ^p₂; 0; 0 et de rayon ^p₂), cf. formules (21) et (22).

2.6.1 Définition en utilisant la notion d’enveloppe et premières propriétés

2.6.1.1 Définition

Définition 5 : Cyclide de Dupin cubique (CD3)

Une cyclide de Dupin cubique ou parabolique est l’enve- loppe, de deux façons équivalentes, d’une famille à un pa- ramètre de sphères orientées [Ued99], figure 9.

Les centres des sphères de l’une des deux familles sont sur la paraboleP₁, figure 9, d’équation :

P₁:

( y²−(p−q)(2x−q) = 0

z = 0

(17) tandis que les centres des sphères de l’autre famille sont sur la paraboleP2, figure 9, d’équation :

P₂:

( z²−(q−p)(2x−p) = 0

y = 0

(18)

(a)

(b)

Figure 9: Cas d’une cyclide de Dupin parabolique sans point singulier, notée CD3A. (a) : les deux paraboles. (b) : des sphères centrées sur l’une des deux paraboles.

Le sommet de P₁ (resp. P₂) est S₁ ^q₂; 0; 0 (resp.

S2 p 2; 0; 0

). Le foyer deP1(resp.P2) estF1 p 2; 0; 0

(resp.

F₂ ^q₂; 0; 0

) c’est-à-dire que ces deux coniques sont aussi deux anti-coniques. Les équations paramétriques des para-

boles sont :

P₁:u7→









 q 2+p−q

2 u² (p−q)u 0

, u∈^R (19)

et :

P₂:v7→









 p 2+q−p

2 v² 0

(q−p)v

, v∈^R (20)

Ainsi, nous avons deux manières, distinctes mais équiva- lentes, pour définir une cyclide de Dupin cubique.

Première définition : Pour uappartenant à ^R, la sphère S₃(u)a pour centre :

Ωu

q 2+p−q

2 u²;(p−q)u; 0

(21) et pour rayon algébrique :

Ru(u) =q−(p−q)u²

2 (22)

Le cercle caractéristique, pour une valeurufixée, est obtenu comme intersection entre la sphère d’équation :

x−q

2−p−q 2 u²2

+ (y−(p−q)u)² +z²− q−(p−q)u²

2

!2

=0 (23)

et, après simplification, le plan d’équation :

u(x−p) +y=0 (24) d’où :

u=− y

x−p et u²= y²

(x−p)² (25) car nous avonsx6=p. En injectant ce résultat dans la formule (23), après quelques calculs, nous obtenons :

(x−q)y²+ (x−p)z²+x(x−p)(x−q) =0 (26) Seconde définition : Quant à la seconde famille de sphères, pourvappartenant à^R, la sphèreS4(v)a pour centre :

Ωv

p 2+q−p

2 v²; 0 ;(q−p)v

(27) et pour rayon algébrique :

Rv(v) =p−(q−p)v²

2 (28)

De la même manière, un cercle caractéristique de la se- conde famille est obtenu comme intersection entre la

sphère d’équation :

x−p 2−q−p

2 v²2

+y²+ (z−(q−p)v)²

− p−(q−p)v² 2

!2

=0

(29) et, après quelques calculs, le plan d’équation :

v(x−q) +z=0 (30) et après quelques calculs, nous retrouvons l’équation implicite donnée par la formule (26).

De plus, en calculant : Ru(u) R_u(u)−R_v(v)

−−−→O₃Ωu+ Rv(v) R_u(u)−R_v(v)

−−−→O₃Ωv

une cyclide de Dupin cubique admet l’équation paramé- trique suivante [Pra95, Ued99] :

Γ3: ^R×^R −→ E3

(u;v) 7−→





















p u²+q v² 1+u²+v² p−(q−p)v²

1+u²+v² u q−(p−q)u²

1+u²+v² v



















 (31)

où les lignes de courbure sont obtenues soit avecuconstant, soit avecvconstant, figure 10.

Figure 10: Cercles caractéristiques d’une CD3, sans point singulier, avecp=−120 etq=52.

Notons, que pourεappartenant à{−1; 1}, nous avons :

u→ε×+∞lim Γ3(u;v0) =







 p 0 (q−p)v₀









et :

v→ε×+∞lim Γ3(u0;v) =







 q (p−q)u0

0









et deux droites appartiennent à la cyclide de Dupin parabo- lique : chacune des droites est la contribution de l’un des plans de la famille correspondant à une sphère centrée à l’in- fini. Comme dans le cas des cyclides de Dupin de degré 4, nous pouvons avoir zéro, un ou deux points singulier(s). La figure 9(a) montre les deux paraboles dans le cas où la cy- clide n’admet pas de point singulier tandis que la figure 9(b) permet de visualiser dix sphères de l’une des deux familles.

2.6.1.2 Détermination des paramètres d’une CD3 Don- nons la définition des pendants des cercles principaux d’une cyclide de Dupin quartique.

Définition 6 : Courbe principale

Une courbe principale est un cercle ou une droite caractéris- tique contenu(e) dans l’un des deux plans de symétries de la cyclide de Dupin.

A partir de l’équation de la formule (26), dans le planPz: z=0, nous avons :

(x−q)

x−p 2

2

+y²−p 2

2

=0

et nous obtenons la droite d’équationx=qet le cercle de centreO_p ^p₂; 0; 0

et de rayon ^p₂

. Dans le planPy:y=0, nous avons :

(x−p)

x−q 2

2

+z²−q 2

2

=0

et nous obtenons la droite d’équationx=pet le cercle de centreOq q

2; 0; 0

et de rayon ^q₂

. Notons que ces deux cercles passent par le centreO₃de la cyclide de Dupin cu- bique.

La figure 11 montre les quatre courbes principales d’une CD3A :

• dansPy:y=0,

le cercleC_q de centreOq et de rayon ^|q|₂ ainsi que la droite∆zd’équation(p; 0;t),t∈^R;

• dansPz:z=0,

le cercleC_pde centreOp et de rayon ^|p|₂ ainsi que la droite∆yd’équation(q;t; 0),t∈^R.

2.6.2 Définition en utilisant une inversion

Nous avons vu qu’il existe trois types de CD3s : en anneau (sans point singulier) ; à croissant nul (avec un unique point singulier) ; à croissant non nul (avec deux points singuliers).

Ces types sont directement liés au mode de génération des cyclides de Dupin.

Figure 11: Vue 3D des quatre courbes principales d’une cyclide de Dupin cubique. Notons que le centre (iciO3) de la cyclide de Dupin est le point d’intersection entre les deux cercles principauxCpetCq(non coplanaires).

Définition 7 : Cyclide de Dupin parabolique ou cyclide de Dupin cubique

Une cyclide de Dupin parabolique est l’image d’un tore de révolution, d’un cône de révolution ou d’un cylindre de révo- lution par une inversion dont le pôle est sur la surface d’ori- gine.

Le tableau^‡‡montre les liens entre le type de la CD3 et la surface de révolution initiale.

La figure 12 schématise l’obtention d’une CD3 en anneau à partir d’un tore à collier de rayon majeurR=5 et de rayon mineurr=2. La méridienne de ce dernier estC1∪C2dans

‡‡. Nous supposonsp >0 dans le tableau, le casp≤0 est laissé au lecteur ; il suffit de faire un changement de repère.

Types Paramètres Surface(s) initiale(s) CD3 en anneau q <0< p Tore à collier

CD3 avec un q=0< p Tore à collier nul ou point singulier q <0=p cylindre de révolution CD3 avec deux 0< q < p Tore croisé ou points singuliers 0< p < q cône de révolution Table 1: Les trois types de cyclides de Dupin quartiques ob- tenues comme images de surface(s) de révolution par une inversion.

le plan d’équationy=0. Nous considérons l’inversion de pôleΩ(−3; 0; 0)et de rapport 25 et le cercle d’inversion est nomméC_i. Comme le pôle appartient àC₁, l’image de ce dernier par cette inversion est la droite∆ytandis que l’image

b b bb bb

b br b

C_i C^′ A^′

C₆

B^′ I₂

I₁ A

C₃

O₃

C4

Ω

∆z

C₅

B C

∆y

C₂ C1

x z

Figure 12: Schéma d’une CD3 en anneau obtenue par inversion d’un tore à collier. Les courbes en petits pointillés sont dans le plan d’équationz=0 orthogonal au plan d’équationy=0 contenant les courbes en trait continu. Le plan d’équationz=0 est

« rabattu » sur le plan de la figure, d’équationy=0, par rotation autour de l’axe des abscisses. La figure 13 est une illustration 3D.

du cercleC₂ par cette inversion est le cercleC₅, de rayon

^p₂

. Pour déterminerpetq, la donnée de ces deux courbes principales ne suffit pas : nous avons besoin du centre de la CD3 qui peut être déterminé en prenant les images, par cette inversion, de deux cercles principauxC3etC4du tore dans le plan d’équationz=0 (tous les objets dans ce plan sont tracés en utilisant des pointillés). Le petit cercle C4

passe par le pôle de l’inversion : son image par cette der- nière est la droite∆zdansPz. L’image du grand cercleC₃ ne passe pas par le pôle de l’inversion : son image est le cercleC₆. Les deux cerclesC₅etC₆ sont sécants enC^′ ce qui prouve que le centre de la CD3 estC^′. Ensuite, dans le repère

C^′;−→ı;−→;−→k

, la droite∆ya pour équation : y = 0

x = p tandis que la droite∆za pour équation :

z = 0 x = q

et nous obtenonsp=−8,75 etq=⁵₆. La figure 13 est une illustration 3D de la figure 12.

La figure 14(a) montre le tore à collier initial tandis que la figure 14(b) permet de visualiser la CD3 obtenue par inver- sion de ce tore.

Dans le cadre de la géométrie conforme, nous avons plu- sieurs types de cyclides de Dupin (dans chaque catégorie, nous passons d’une cyclide de Dupin à une autre par une inversion) :

• les tores à collier et les cyclides de Dupin en anneau ;

• les tores à collier nul, les cylindres de révolution et les cyclides de Dupin ayant un point singulier ;

• les tores croisés, les cônes de révolution et les cyclides de Dupin ayant deux points singuliers.

Dans la suite de cet article, pour construire des tri- angles 3D, nous allons considérer au moins un arc de cercle d’Yvon-Villarceau : comme sur un cône de révolution ou sur un cylindre de révolution, il n’existe pas d’autres cercles que les cercles caractéristiques, nous n’utilisons que des tores à collier et des cyclides de Dupin en anneau.

Nous allons construire deux types de triangles 3D : les tri- angles rectangles et les triangles isocèles. Dans tous les cas, nous utilisons un arc de cercle de courbure et un arc de cercle d’Yvon-Villarceau. Le tableau 2 synthétise les types des tri- angles 3D obtenus par les différents algorithmes ainsi que

Figure 13: Vue 3D d’une CD3 en anneau obtenue par inversion d’un tore à collier et le pôleΩest sur ce tore. Le pointΩ(en noir), est l’intersection entre les cerclesC₁etC₄notés C_1 et C_4 dans l’image POV-ray.

Triangle Rectangle Isocèle

# Cercle de courbure 2 1

# Cercle d’Yvon-Villarceau 1 2

Algorithme initial 4 2

Surface initiale Tore CD3A

Autres algorithmes 5 et 1 3

Table 2: Les deux types de triangles 3D sur une cyclide de Dupin (dégénérée ou non) : rectangle ou isocèle. Les algo- rithmes 1, 2 et 3 sont nouveaux. Le symbole # désigne le nombre d’éléments.

la surface initialement construite par l’algorithme 4 situé en annexe A et l’algorithme 2 présenté dans le paragraphe 5.2.

3 Cercles d’Yvon-Villarceau et CD3A

Dans ce paragraphe, nous reprenons la démarche de [Gar08]^§§, et nous trouvons l’inversion qui transforme la méridienne (un cercle et une droite coplanaires) d’une CD3A en deux cercles coplanaires et de même rayon ce qui permet de déterminer une inversion transformant une CD4A en tore à collier. Grâce aux équations des cercles d’Yvon- Villarceau sur le tore à collier et en exploitant qu’un in- version est involutive, nous déterminons les équations des cercles d’Yvon-Villarceau sur la CD3A donnée.

§§. Le travail consistait à déterminer une inversion transformant deux cercles donnés, de rayons différents, en deux cercles de même rayon.

(a)

(b)

Figure 14: Vue 3D d’une CD3 en anneau obtenue par inver- sion d’un tore à collier.

Dans la suite de cette partie, sans perte de généralité, nous supposons :

p <0< q

dans le cas contraire, il suffit de permuter les rôles depetq en utilisant le planPzà la place du planPy.

3.1 Un résultat formel

Dans le planPy:y=0, les courbes principales de la CD3 de paramètrespetqsont la droite∆y:x=pet le cercleC1

de centreOq q 2; 0; 0

et de rayon^|q|₂ , figure 15.

L’intersection de l’axe des abscisses avec les courbes prin- cipales donne le pointC(p; 0; 0) et les deux pointsO et A(q; 0; 0). SoitΩ(ω; 0; 0) le pôle de l’inversion i_Ω,k, de rapport k tel que les cercles i_Ω,k(∆y) et i_Ω,k(C1) aient même rayon. Nous posonsC1=i_Ω,k(C), A1=i_Ω,k(A) etO₁=i_Ω,k(O)d’abscisses respectivesx_C1,x_A1etx_O1.

Après quelques calculs, nous obtenons deux solutions pour l’abscisse du pôle de l’inversion :

ω+=q+p

q²−p q et ω−=q−p q²−p q La figure 15 montre l’obtention d’une méridienne d’un tore à collier à partir de deux courbes principales coplanaires d’une CD3 en anneau, de paramètresp=−5 etq=4. L’affixe du pôle (resp. rapport) de l’inversion estω=ω−=−2 (resp.

k=7,29).

Comme nous nous servons du fait qu’une inversion est involutive, la valeur dekn’a pas d’importance : dans la suite de ce paragraphe, afin de simplifier les calculs, nous prenons k=p²−p qet nous obtenons :



















x_A1 = q²−(p+q)p q²−p q) q

x_O1 = 2q²−p q−pp q²−p q q

x_C1 = p−2p q²−p q

Les abscisses des centres des cercles du tore définissant une méridienne sont :











x_I1 = p+q−3p q²−p q 2

x_I2 = 3q²−p q−(2p+q)p q²−p q 2q

ce qui implique que l’abscisse du centre du tore est : x_OT =2q²−(p+2q)p

q²−p q 2q

Le rayon mineur du tore est : r=1

2|x_C1−ω|= q−p+p q²−p q 2 tandis que le rayon majeur du tore est :

R=|x_OT−x_I1|=

(q−p) q+p

q²−p q 2q

Il reste à obtenir l’équation des cercles d’Yvon-Villarceau dans l’espaceE3. Pour ce faire, introduisons les trois fonc- tions numériques suivantesden31,den32, etden33dont les expressions sont :

den31(t) = (εsin(θ0)r1(t)−cos(θ0)sin(t)R1−x_OT+ω)² den3₂(t) = (−εcos(θ₀)r₁(t)−sin(t)sin(θ₀)R₁)²

1 2

-1

-2

1 2 3 4

-1 -2

-3 -4

-5

b

b b b bb

r

b bb

C O3 A

Ω

Oq

C2

C₁ 2 C3

A1

∆y

1,215 1,215

C1 I1 I2

√k≃2,7

O1

C_i

Figure 15: Inversion i_Ω,k permettant de transformer deux courbes principales coplanaires∆y etC₁ d’une CD3A en une méridienneC₂∪C₃d’un tore à collier. Nous avonsC₃=i_Ω,k(C₁)etC₂=i_Ω,k(∆y). De plus, le pôleΩappartient au cercle C₂, image de∆ypar l’inversion. Le cercle d’inversion estC_i.

et :

den33(t) =r²sin²(t)

et un cercle d’Yvon-Villarceau sur une CD3A est défini par le cheminγ_θ^CD3

0,ε dont une expressionγ^CD3_θ

0,ε (t)est :





















ω+kx_OT−ε r1(t)εsin(θ0)−ω+R1cos(θ0)sin(t) den3₁(t) +den3₂(t) +den3₃(t) kR εcos(t)cos(θ₀) +r εcos(θ₀) +R₁sin(t)sin(θ₀)

den31(t) +den32(t) +den33(t) k r²sin²(t)

den31(t) +den32(t) +den33(t)





















où(θ0;ε)∈[0; 2π]× {−1; 1}et la variabletdécrit[0; 2π].

Naturellement, la valeur deεpermet d’obtenir un cercle de l’une ou de l’autre famille des cercles d’Yvon-Villarceau.

3.2 Un résultat numérique

La figure 16 montre la cyclide de Dupin cubique en an- neau initiale de paramètresp=−120 etq=12.

La figure 17 montre le pôle : Ω





12+12√ 11 0 0



≃



 51,799

0 0



 (32)

Figure 16: Deux vues de la CD3 initiale.

les points : A



 12

0 0



 O



 0 0 0



 C





−120 0 0





et leurs images respectives : A1





12+108√ 11 0 0



≃





370,195 0 0





O1





144+120√ 11 0 0



≃





541,995 0 0





C₁





−120−24√ 11 0 0



≃





−199,600 0 0





par cette inversion ainsi que la sphère d’inversion de centre Ωet de rayon√

k=√

15840≃125,857.

Figure 17: Inversion permettant de transformer deux courbes principales coplanaires d’une CD3A en une méri- dienne d’un tore à collier.

La figure 18 montre le tore à collier obtenu comme image de la CD3A de la figure 16, par l’inversion de pôleΩ, for- mule (32) de rapport k=15840. Le rayon majeur (resp.

mineur) du tore à collier estR=66+66√

11≃284,897 (resp.r=66+6√

11≃85,900) tandis que son centre est O_T

12+48√ 11; 0; 0

≃(171,198; 0; 0).

Figure 18: Tore à collier, image d’une CD3A par une inver- sion idoine.

La figure 19 montre quatre cercles d’Yvon-Villarceau sur le tore à collier de la figure 18.

La figure 20 montre quatre cercles d’Yvon-Villarceau sur la CD3A de la figure 16.

Figure 19: Quatre cercles d’Yvon-Villarceau sur un tore à collier, image d’une CD3A par une inversion idoine.

Figure 20: Quatre cercles d’Yvon-Villarceau sur une CD3A avecθ0=0 et avecθ0=π.

4 Construction de triangles rectangles 3D à bords circulaires

La théorie du genre, utilisée déjà à l’époque d’Aristote dans les classifications d’une surface [Pop12], consiste à dé- terminer le nombre de courbes fermées, simples, que l’on peut tracer sans déconnecter la surface et ce nombre est lié à la caractéristique d’Euler-Poincaré pour les surfaces fer- mées [LS82]. Rappelons que le genre d’une sphère, d’un cône ou d’un cylindre de révolution est 0 tandis que celui

d’un tore est 1. Pour plus de détails, le lecteur peut se repor- ter à [Pop12, BGL01, GC51].

4.1 Triangles rectangles et théorie du genre

En prenant trois arcs de cercles de chaque type (un Yvon- Villarceau, un méridien et un parallèle), nous obtenons un triangle 3D sur une cyclide de Dupin en anneau (y compris un tore à collier) mais deux cas sont à distinguer : soit le tri- angle est homotope à un point, figure 21(a) ; soit le triangle ne sépare pas la surface en deux composantes connexes et illustre le fait qu’une cyclide de Dupin en anneau est de genre 1, figure 21(b).

Pour déterminer les « bons » triangles (i.e. ceux qui sont homotopes à un point) des « mauvais » triangles (i.e. ceux qui sont toute la cyclide de Dupin), nous allons nous ra- mener au tore topologique^R/_2πZ×^R/_2πZoù les horizon- tales (resp. verticales) représentent des parallèles (resp. mé- ridiens). Dans ce modèle, un cercle d’Yvon-Villarceau est parallèle à l’une des diagonales. Sans perte de généralité, un cercle d’Yvon-Villarceau sur un triangle 3D sera représenté par une diagonale, figure 22.

SiA appartient à[0; 2π[² (partie située dans le carré à bords continus noirs), sa classe d’équivalence est notéeA^• et nous avons un pavage de^R2en considérant le « déplie- ment » des classes d’équivalence. Dans ce carré, pour al- ler deEenF, sans traverser la frontière du triangleABC, nous utilisons le représentant idoine deFpuis nous construi- sons le pointIcomme intersection de[EF]avec la frontière de[0; 2π[², fermeture topologique de[0; 2π[², ensuite nous prenons le second représentant de I dans [EF]∩[0; 2π[² puis nous traçons le segment[IF]. La ligne brisée passant parA,BetCcoupe le pavé[0; 2π[²en deux composantes connexes, mais, dans le tore topologique ^R/_2πR×^R/_2πR, nous pouvons passer outre cette ligne brisée et nous illus- trons le fait que le tore est de genre 1.

La figure 23 montre deux triangles homotopes à un point sur un tore topologique. Dans la figure 23(a), le triangle ABC est clairement borné et aucun bord du triangle ne coupe la frontière de[0; 2π[². Dans la figure 23(b), le triangle ABCest non borné mais chaque bord du triangle coupe la frontière de[0; 2π[² une et une seule fois : ce triangle est illustré par la partie de couleur cyan.

La figure 24 montre quatre triangles non homotopes à un point. Quels que soient les deux pointsEetF, il est pos- sible de trouver un chemin les reliant et qui ne coupe pas la frontière du triangleABC.

Dans la figure 24(a), les arcs de cercles d’Yvon-Villarceau et du parallèle coupent une et une seule fois la frontière de [0; 2π[²tandis que l’arc du méridien n’intersecte pas la fron- tière de[0; 2π[². Dans la figure 24(b), les arcs de cercles ca- ractéristiques coupent une et une seule fois la frontière de

[0; 2π[² tandis que l’arc de cercle d’Yvon-Villarceau n’in- tersecte pas la frontière de[0; 2π[². Dans la figure 24(c), les arcs de cercles d’Yvon-Villarceau et du méridien ne coupent pas la frontière de[0; 2π[²tandis que l’arc du parallèle in- tersecte la frontière de[0; 2π[²une et une seule fois. Dans la figure 24(d), les arcs de cercles caractéristiques ne coupent pas la frontière de[0; 2π[²tandis que l’arc de cercle d’Yvon- Villarceau intersecte la frontière de[0; 2π[²une et une seule fois. Notons que deux cas sont à ajouter puisque dans les fi- gures 24(a) et 24(c), il est possible d’échanger les rôles du méridien et du parallèle. Nous avons trois cercles et deux ré- sultats possibles (l’arc de cercle considéré coupe ou ne coupe pas la frontière de[0; 2π[²) : nous avons donc 2³=8 cas possibles, et deux cas sont favorables, les six autres sont dé- favorables). Nous pouvons énoncer la proposition suivante : Proposition 1 : « bon » ou « mauvais » triangle ?

Soit[AB]un arc de parallèle sur le tore topologique.

Soit[BC]un arc de méridien sur le tore topologique.

Soit[AC]un arc de cercle d’Yvon-Villarceau sur le tore to- pologique. SoitC la frontière de[0; 2π[².

Alors, le triangle de sommetsA,BetCest un « bon » tri- angle si et seulement si :

#([AB]∩C) =#([AC]∩C) =#([BC]∩C)∈ {0; 1} où #Edésigne le nombre d’éléments de l’ensembleE.

Démonstration : Nous considérons les huit cas possibles.

Dans chaque cas, il suffit de considérer un exemple. Nous nous contentons d’une preuve visuelle.

Maintenant, nous pouvons présenter trois algorithmes de construction de « bons » triangles 3D sur des tores à collier puis sur des cyclides de Dupin (cubiques ou quartiques) en anneau. Dans tous les cas, le triangle aura comme bords deux lignes de courbure (un cercle méridien et un cercle parallèle sauf pour la CD3A^¶¶).

4.2 Triangles 3D sur un tore.

L’algorithme 4, mis en annexe, permet de construire un triangle 3D sur un tore à collier en utilisant un méridien, un parallèle et un cercle d’Yvon-Villarceau [PG10, Pue10, GBF09]. Afin de conserver invariants les sommets P002, P₀₂₀etP₂₀₀du triangle précédent, nous ne considérons que

¶¶. Une CD3A est une cyclide de Dupin qui sépare deux types de cyclides de Dupin quartiques : celles dont les ellipses des centres des sphères de l’enveloppe sont dans le même plan et celles dont les hyperboles des centres des sphères de l’enveloppe sont dans ce même plan. Ceci se comprend très bien en considérant les deux anti- coniques : nous passons d’un couple ellipse-hyperbole à un couple parabole-parabole puis à un couple hyperbole-ellipse.

(a) (b)

Figure 21: Triangle 3D à bords circulaires sur une cyclide de Dupin en anneau. (a) : le triangle est homotope à un point. (b) : Le triangle est toute la cyclide de Dupin, il n’est pas homotope à un point.

des inversions positives, c’est-à-dire telles queksoit positif.

Le centre de la sphère d’inversionS_iest le pôleΩ, le rayon deS_iest√

ket ne dépend que du pôleΩcar nous avons :

√k=ΩP002 (33)

Nous présentons les résultats pour les sommets P₀₀₂(4; 0; 0),P₀₂₀(2; 0; 2)etP₂₀₀(1;−4; 0). La figure 25(a) (resp. 25(b)) montre le cas où le pôle d’inversion est hors (resp. dans) du tore à collier.

L’algorithme 5, mis en annexe, permet de construire un triangle 3D sur une cyclide de Dupin en anneau par inversion d’un triangle 3D construit sur un tore à collier en utilisant l’algorithme 4.

Sur la figure 26(a), le rayon majeur (resp. mineur) du tore à collier estR≃2,62 (resp.r≃1,61), le centre de l’inver- sionΩest à l’extérieur du tore, le planP, défini par l’axe du tore etΩ, est le plan de symétrie d’équationy=0 dans le repère de la cyclide. Ici, le méridien reste un méridien et le parallèle reste un parallèle car l’image de la famille géné- ratrice intérieure du tore est la famille génératrice intérieure de la cyclide de Dupin.

La figure 26(b) illustre une cyclide obtenue à partir de ce tore avec un pôle d’inversionΩà l’extérieur du tore. Si le pôle de l’inversion est dans le tore, les méridiens du tore deviennent des parallèles sur la cyclide de Dupin et vice-

versa [Pue10, PG10, GBFP14]. Figure 25: Position du pôle de l’inversion. (a) : hors du tore à collier. (b) : dans le tore à collier.

b r

b

+

b b

b

+

r b b

bb

b b

b r

b b

•

A B^•

•

C

B

C

A A^• B^•

•

C I

F

•

E

I

•

F E

Figure 22: Triangles rectangles 3D à bords circulaires et tore topologique.

4.3 Triangle 3D sur une cyclide de Dupin cubique.

Comme une cyclide de Dupin cubique en anneau est l’image d’un tore à collier par une inversion, l’objectif de ce nouvel algorithme, algorithme 1, est de construire un tri- angle 3D sur cette cyclide de Dupin en prenant la suite de l’algorithme 4 de la section 4.2. Pour obtenir une cyclide de Dupin cubique, nous prenons le pôle d’inversion sur le tore à collier issu de l’algorithme 4. Une fois le pôle de l’inversion choisi, le travail consiste en la détermination des paramètres petqde la CD3 ainsi que la base « canonique » de la CD3A.

La figure 27 montre les deux pôles possibles permettant d’obtenir un triangle 3D sur une CD3A. Les pôles idoines sont sur la droite des centres des sphères passant par les som- mets du triangle et leur nombre est compris entre 2 et 4.

Ainsi, le premier travail consiste à choisir le pôleΩ de l’inversion appartenant au tore à collier et à la droite des centres possibles de la sphère d’inversion passant par les trois pointsP200,P020etP002, étape 1. puis à se ramener à un problème plan : pour ce faire, nous utilisons le plan affine défini par le pôleΩde l’inversion et l’axe∆du tore, étape 2.

La section du tore à collier par ce plan est une méridienne de ce tore i.e. deux cerclesC_ΩetC₁de rayonr, étape 3., figure 28. Le cercleC_Ωcontient le pointΩ. Lors de l’étape 4., nous calculons le rapportkde l’inversion.

Les étapes 5. et 6. consistent à déterminer les images de la méridienne du tore par l’inversioni_Ω,k, de pôleΩet de rap- portk. Comme le pôleΩappartient au cercleC_Ω(en rouge dans la figure 29), l’image de ce dernier est la droite∆y. Comme le cercleC1(en vert) ne contient pas le pôleΩ, son

b bb

b

b bb

b b

b b

A

C B

(a)

b

b

b bb

b

b bbb b

b

A

C B

(b) Figure 23: « Bons » triangles rectangles 3D à bords circulaires et tore topologique.

b

b

b bb

b

b bb b

b b

A

C B

(a)

b

b

b bb

b

b bb b

b b

A

C B

(b)

b

b

b bb

b

b bb b

b b

A

C B

(c)

b

b

b bb

b

b bb b

b b

A

C B

(d)

Figure 24: « Mauvais » triangles rectangles 3D à bords circulaires et tore topologique.