Entrée : Trois points P020(0; 0; 0), P200(0;y200;z200) et P002(0;−y200;z200).
Précalcul : Appel de l’algorithme 2 surP002,P020etP200. Algorithme :
1. Détermination d’un pointΩsur la droite d’intersection des trois plans médiateurs du triangleP002P020P200. Le pointΩne doit pas se trouver sur la CD3A. Le rapport de l’inversion est donné par la formule (33).
2. Calcul deβv= k
ΩvΩ2−R2v(v). SiβvRv(v)n’est pas borné, permutation des deux familles de sphères.
3. Recherche de vm (resp. vM) tel que Rv(vm) (resp.
Rv(vM)) soit un minimum (resp. maximum) deRv. 4. Construction de la petite sphère principale de la CD4A
de centreA2, image deOvm par l’homothétie de centre Ωet de rapportβvm = k
ΩvmΩ−R2v(vm) et de rayon ρ2=|Rv(vm)βvm|.
5. Construction de la grosse sphère principale de la CD4A de centreA1, image deOvM par l’homothétie de centre
8. Construction du pointA3, image d’un pointOv, distinct deOvm et deOvM par l’homothétie de centre Ωet de rapportβv= k
ΩvΩ2−R2v(v). 9. Détermination des vecteurs :
−
• Les pointsA1etA2, centres des cercles principaux ;
• La courbe de Bézier rationnelle quadratiqueCC011(resp.
CC101,CC110) modélisant l’arc de cercle d’extrémités P002etP020(resp.P002etP200,P020etP200).
(a)
(b)
Figure 39: Triangle 3D sur une CD3A ayant comme support deux droites d’Yvon-Villarceau et un cercle caractéristique, nous avonsp=−23.
au plan contenant les centres des sphères dont la cyclide de Dupin est l’enveloppe.
La figure 42 permet de voir deux exemples obtenus en utilisant l’algorithme 3, les deux cercles d’Yvon-Villarceau (en magenta). Le troisième cercle est un méridien.
Les figures 43 et 44, modélisant une voûte, permettent de voir deux triangles (les triangles opposés par le sommet sont les mêmes) obtenus en utilisant l’algorithme 3, les quatre courbes d’Yvon-Villarceau sont les segments en bleu.
Les paramètres des triangles en bois clair sont y200= z200 =−4, p=−5,2 et l’intervalle de visualisation est h
−p zy2200200; 0 i
ce qui donne deux points P00 etP20 dans le plan d’équationx=0. Les sommets (sphères au-dessus des piliers)Q00etQ20(resp.Q02etQ22) sont les images deP00
(a)
(b)
Figure 40: Triangle 3D sur une CD3A ayant comme support deux droites d’Yvon-Villarceau et un cercle caractéristique.
(a) :p=−102. (b) :p=−3.
etP20par la rotation d’axe(O;−→)et d’angle−π4 (resp.π4).
Pour placer l’un des deux triangles, nous utilisons un retour-nement d’axe
O;−→k
.
Dans le plan de départ, seuls les paramètres y200 et z200 sont changés dans les deux autres triangles, ils dé-pendent évidemment des sommets du parallélogramme Q00Q20Q22Q02c’est-à-dire de l’angle :
ψ=arctan y200r
z200r
où :
Q20(x200r;y200r;z200r)
Figure 41: Triangle 3D sur une CD3A ayant comme support deux droites d’Yvon-Villarceau et un cercle caractéristique, nous avonsp=−0,3.
Ainsi,y200est remplacé parY0=x200rtandis quez200est remplacé par :
Z0=y200rsin(ψ) +z200rcos(ψ)
et les deux triangles sont placés dans la scène en utilisant la rotation d’axe(O;−→ı)et d’angleψet un quart de tour d’axe
O;−→ k
.
6 Conclusion et perspectives
Dans cet article, après avoir déterminé les équations des cercles d’Yvon-Villarceau sur une cyclide de Dupin cu-bique en anneau, nous donnons un algorithme permettant de construire un triangle 3D sur une cyclide de Dupin cubique en anneau : si le triangle est rectangle, un côté est un arc de cercle d’Yvon-Villarceau, un autre est défini par un arc de méridien et le dernier par un arc de parallèle ; si le triangle est isocèle, deux côtés sont deux segments de même lon-gueur situés chacun sur un « cercle » d’Yvon-Villarceau. A partir de ce dernier cas, nous pouvons ensuite, par inversion, obtenir des triangles isocèles 3D sur un tore à collier ou une cyclide de Dupin quartique composés d’un arc de méridien ou de parallèle et de deux arcs de cercles d’Yvon-Villarceau.
Ce nouveau travail vient enrichir le précédent qui permettait de construire des triangles 3D sur un tore à collier, puis sur une cyclide de Dupin quartique en anneau.
En utilisant la représentation des cyclides de Dupin dans l’espace des sphères, il est possible de construire une famille à un paramètre de cyclides de Dupin tangentes le long d’une
(a)
(b)
Figure 42: Triangle 3D sur une CD4A ayant comme support deux cercles d’Yvon-Villarceau et un cercle caractéristique.
(a) :Ω(15,916; 0;−2.533). (b) :Ω(23,875; 0;−2,533).
courbe de degré au plus 4. Dans un futur proche, nous comp-tons représenter, dans l’espace des sphères, les triangles 3D contenant au moins un arc de cercle d’Yvon-Villarceau afin de pouvoir réaliser des patchworks de triangles 3D. Il est en-visageable de réaliser des maillages en utilisant des triangles 3D et des carreaux de cyclides de Dupin quartiques à bords circulaires.
Remerciements
Les auteurs remercient les relecteurs de R.E.F.I.G. pour leurs remarques ayant permis d’améliorer la lisibilité de cet article.
Références
[AD96] ALBRECHTG., DEGENW. : Construction of Bé-zier rectangles and triangles on the symmetric Dupin horn cyclide by means of inversion. Computer Aided Geome-tric Design. Vol. 14, Num. 4 (1996), 349–375.
Figure 43: Triangles isocèles 3D sur des CD3As modélisant une voûte.
Figure 44: Triangles isocèles 3D sur des CD3As modélisant une voûte, vue de dessous.
[Baj96] BAJAJC. L. : Free-form modeling with implicit surface patches, 1996.
[Ber78] BERGER M. : Géométrie 2, 2ème ed., vol. 5.
Cedic-Nathan, 1978.
[Ber10] BERGER M. : Les cercles de Villarceau sur le tore, Mars 2010. https ://www.bibnum.education.fr/ma- thematiques/geometrie/les-cercles-de-villarceau-sur-le-tore.
[BGF11] BELBIS B., GARNIER L., FOUFOU S. : Construction of 3D triangles on Dupin cyclides. Interna-tional Journal of Computer Vision and Image Processing (IJCVIP). Vol. 1, Num. 2 (2011), 42–57.
[BGL01] BOUVIERA., GEORGEM., LIONNAISF. L. : Dictionnaire des Mathématiques, 1ère ed. Quadrige, PUF, 2001.
[BPK∗11] BO P., POTTMANN H., KILIAN M., WANG
W., WALLNERJ. : Circular arc structures. ACM Trans.
Graphics. Vol. 30 (2011), #101,1–11. Proc. SIGGRAPH.
[BSP∗10] BÉNIÈRER., SUBSOL G., PUECHW., GES
-QUIÈRE G., BRETONF. L. : Decomposition of a 3d triangular mesh into quadrangulated patches. In GRAPP (2010), Richard P., Braz J., Hilton A., (Eds.), INSTICC Press, pp. 96–103.
[CDH88] CHANDRUV., DUTTAD., HOFFMANNC. M. : On the geometry of Dupin Cyclides. Tech. Rep. CSD-TR-818, Purdue University, November 1988.
[DFGL14] DRUOTONL., FUCHSL., GARNIERL., LAN
-GEVINR. : The Non-Degenerate Dupin Cyclides in the Space of Spheres Using Geometric Algebra. Advances in Applied Clifford Algebras. Vol. 24, Num. 2 (June 2014), 515–532.
[DGLS11] DRUOTONL., GARNIERL., LANGEVINR., SULPICE F. : Les cyclides de Dupin et l’espace des sphères. REFIG. Vol. 5, Num. 1 (2011), 41–59.
[DMP93] DUTTA D., MARTIN R. R., PRATT M. J. : Cyclides in surface and solid modeling. IEEE Compu-ter Graphics and Applications. Vol. 13, Num. 1 (janvier 1993), 53–59.
[Dru13] DRUOTONL. : Recollements de morceaux de cy-clides de Dupin pour la modélisation et la reconstruction 3D : étude dans l’espace des sphères. PhD thesis, Univer-sité de Bourgogne, Dijon, France, Avril 2013.
[Dup22] DUPINC. P. : Application de Géométrie et de Méchanique à la Marine, aux Ponts et Chaussées, etc. Ba-chelier, Paris, 1822.
[Gar07] GARNIERL. : Mathématiques pour la modéli-sation géométrique, la représentation 3D et la synthèse d’images. Ellipses, 2007. ISBN : 978-2-7298-3412-8.
[Gar08] GARNIERL. : Représentation analytique des pen-dants des cercles de Villarceau sur une cyclide de Dupin en anneau. REFIG. Vol. 2, Num. 1 (2008), 47–59.
[GBF09] GARNIER L., BELBIS B., FOUFOU S. : Construction de triangles rectangles 3D à bords circu-laires passant par trois points donnés. REFIG. Vol. 3, Num. 3 (2009), 23–36.
[GBFP14] GARNIERL., BARKIH., FOUFOUS., PUECH
L. : Computation of Yvon-Villarceau circles on Dupin cyclides and construction of circular edge right triangles on tori and Dupin cyclides. Computers & Mathematics with Applications. Vol. 68, Num. 12, Part A (2014), 1689 – 1709.
[GC51] GAGNACG., COMMISSAIREH. : Cours de mathématiques spéciales Tome 5. Géométrie descriptive -Fascicule 2. Surfaces de révolution, quadriques. Masson et Cie, 1951.
[GD13a] GARNIER L., DRUOTONL. : Constructions, dans l’espace des sphères, de carreaux de cyclides de Du-pin à bords circulaires. Revue Electronique Francophone d’Informatique Graphique. Vol. 7, Num. 1 (2013), 17–40.
[GD13b] GARNIER L., DRUOTON L. : Construc-tions of principal patches of Dupin cyclides defined by constraints : four vertices on a given circle and two per-pendicular tangents at a vertex. In XIV Mathematics of Surfaces (Birmingham, Royaume-Uni, 11-13 september 2013), pp. 237–276.
[GMW97] GUOB., MENONJ., WILLETTEB. : Surface reconstruction using alpha shapes. Comput. Graph. Fo-rum. Vol. 16, Num. 4 (1997), 177–190.
[HB03] HAHMANNS., BONNEAU G.-P. : Polynomial surfaces interpolating arbitrary triangulations. IEEE Tran-sactions on Visualization and Computer Graphics. Vol. 9, Num. 1 (janvier 2003), 99–109.
[LDB04] LAVOUÉG., DUPONTF., BASKURTA. : Cur-vature tensor Based Triangle Mesh Segmentation with Boudary Rectification. In IEEE Computer Graphics In-ternational (2004), pp. 10–18.
[LFA91] LELONG-FERRAND J., ARNAUDIES J. M. : Cours de Mathématiques : variétés, courbes et surfaces, 2ème ed. Dunod, Octobre 1991.
[LS82] LEHMANND., SACRÉC. : Géométrie et topolo-gie des surfaces. No. vol. 2 dans Mathématiques (PUF).
Presses Universitaires de France, 1982.
[LSD∗14] LANGEVIN R., SIFRE J. C., DRUOTON L., GARNIERL., M.PALUZSNY: Finding a cyclide given three contact conditions. Computational and Applied Ma-thematics. Vol. 33 (Mars 2014), 1–18. ISSN : 0101-8205.
[Mar82] MARTIN R. R. : Principal patches for compu-tational geometry. PhD thesis, Engineering Department, Cambridge University, 1982.
[McL85] MCLEAND. : A method of Generating Surfaces as a Composite of Cyclide Patches. The computer jounal.
Vol. 28, Num. 4 (1985), 433–438.
[PG10] PUECH L., GARNIER L. : Construction de tri-angles recttri-angles 3d sur des tores à collier et des cyclides de Dupin en anneau. In Actes of the 23emes journées AFIG (Dijon, France, Novembre 2010), pp. 173–182.
[Pop12] POPESCU-PAMPUP. : Qu’est-ce que le genre ? In Histoires de mathématiques. Journées Mathématiques X-UPS 2011. Palaiseau : Les Editions de l’Ecole Poly-technique, 2012, pp. 55–196.
[Pra90] PRATTM. J. : Cyclides in computer aided geo-metric design. Computer Aided Geogeo-metric Design. Vol. 7, Num. 1-4 (1990), 221–242.
[Pra95] PRATTM. J. : Cyclides in computer aided geo-metric design II. Computer Aided Geogeo-metric Design. Vol.
12, Num. 2 (1995), 131–152.
[Pue10] PUECHL. : Construction de triangles 3D pour la modélisation géométrique. Master de Mathématiques pour l’Informatique Graphique et les Statistiques. Mas-ter’s thesis, Université de Bourgogne, Dijon, France, Sep-tembre 2010.
[SD95] SRINIVAS Y. L., DUTTAD. : Rational parame-tric representation of parabolic cyclide : Formulation and applications. Computer Aided Geometric Design. Vol. 12, Num. 6 (1995), 551–566. ISSN 0167-8396.
[She97] SHENEC. K. : Blending with affine and projec-tive Dupin cyclides. Computer Aided Geometric Design.
Vol. 5, Num. 1–2 (1997), 121–152.
[SKD96] SRINIVASY. L., KUMARK. P. V., DUTTAD. : Surface design using cyclide patches. Computer-aided Design. Vol. 28, Num. 4 (1996), 263–276.
[Ued99] UEDA K. : Central conics on parabolic Dupin cyclides. In Laurent, P., Sablonnière, P., Schumaker, L.L.
(Eds.) (1999), Curve and Surface Design, Saint-Malo 99.
Vanderbilt University Press, Nashville, TN, pp. 399–406.
A Annexe A : Triangle rectangle 3D sur un tore à collier
Les entrées de l’algorithme sont trois points de l’espace : P002,P020etP200. Nous construisons un triangle rectangle, c’est-à-dire que les bords sont constitués d’un cercle méri-dien, d’un cercle parallèle et d’un cercle d’Yvon-Villarceau.
Sans perdre de généralité, nous pouvons considérer que le pointP002est sur l’axe(O,−→ı), son abscisse sera notéex002 et ses deux autres coordonnées sont nulles. Le point P020
se trouve dans le plan d’équation y=0, ses coordonnées sont(x020,0, z020). L’arc d’extrémitésP002etP020sera le méridien. Le pointP200est dans le plan d’équationz=0, ses coordonnées sont(x200, y200,0). L’arc d’extrémitésP002
etP200sera le cercle parallèle et celui d’extrémitésP020et P200sera le cercle d’Yvon-Villarceau.
A partir de ces trois points, nous devons construire plu-sieurs objets. Le centre du tore, ses rayons (majeur et mi-neur) ainsi que son équation implicite doivent être détermi-nés afin de pouvoir attribuer des propriétés topologiques au triangle. Comme l’arc de cercle parallèle (extrémitésP002
etP200) est dans le plan d’équationz=0, l’axe du tore est connu. L’arc méridien (extrémitésP002etP020) est quant à lui dans le plan d’équationy=0, ce qui signifie que le centre du tore s’y trouve aussi. Les trois cercles, quant à eux, seront des courbes de Bézier rationnelles quadratiques sous forme quasi standard. Les triplets de points pondérés définissant ces courbes seront de la forme :{(P0,1),(P1, ω),(P2,1)}, oùP0etP2 appartiennent à l’ensemble{P002, P020, P200} etP1etωseront à déterminer pour chaque cercle.
Nous avons donc à déterminer :
• OT(xT,0, zT), le centre du tore ;
• Ov(xv, yv, zT), le centre du cercle d’Yvon-Villarceau ;
• Om(xm,0, zT), le centre du méridien ;
• Op(xp,0,0), le centre du parallèle ;
• r, le rayon mineur du tore et le rayon du méridien ;
• R, le rayon majeur du tore et le rayon du cercle d’Yvon-Villarceau.
Nous pouvons remarquer quexp=xT puisque l’axe de ré-volution du tore est engendré par−→
k. Les centres des cercles parallèles (dont le centre du tore lui-même) ne diffèrent donc qu’au niveau de la cote.
Algorithme 4 Construction d’un triangle rectangle 3D sur