Proprietà metamatematiche di alcune classi di algebre

R ^ENDICONTI

del

S ^EMINARIO M ^ATEMATICO

della

U NIVERSITÀ DI P ^ADOVA

S AURO T ULIPANI

Proprietà metamatematiche di alcune classi di algebre

Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova, tome 47 (1972), p. 177-186

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PROPRIETÀ METAMATEMATICHE DI ALCUNE CLASSI DI ALGEBRE

SAURO TULIPANI

*)

Premessa.

In una

precedente

^nota ho dimostrato che se W è

un’algebra

^fun-

zionalmente

completa 1)

^{allora dove E è la} classe delle

algebre semplici appartenenti

alla varietà generata ^{da W}

(confronta [8]).

Nella

prima parte

^di

questo

^{lavoro cerco di vedere se vale lo stesso} risultato o

qualcosa

^di

analogo quando

^{W è}

un’algebra

semifiltrale

(con-

dizione

alquanto

^meno

restrittiva);

^{anzi in un}

primo

^{momento faccio}

solo

l’ipotesi più generale

^{che W sia}

un’algebra

^semideale.

Nella seconda parte ^{dò una} condizione necessaria sufficiente

perchè

E, ^{classe delle}

algebre semplici

^{di una}

^varietà,

^sia

assiomatica;

di

qui

derivano corollari _per varietà generate ^{da classi filtrali}

(filtrabili).

^Anzi

viene un risultato

più

^{forte e cioè: se V è una varietà} filtrabile allora

con o enunciato

positivo

^e universale e

J

^insieme delle

leggi

^{di V.}

I concetti di

algebra filtrale,

^classe

filtrale, semifiltrale, ideale,

semideale sono stati introdotti e

sviluppati

^{da R.}

Magari

ⁱⁿ alcuni lavori

(vedi [6]

^{e sua}

bibliografia)

di cui in

parte

^conservo le notazioni.

*) Indirizzo dell’A.: Istituto Matematico « U. Dini » - Viale Morgagni, ^{67-A -}

50134 Firenze.

Lavoro eseguito nell’ambito del Comitato dei gruppi ^{di ricerca matematica} del C.N.R.

1) Nel senso di R. MAGARI vedi [5].

1. Lemmi ausiliari.

LEMMA 1. Sia

t1 un’algebra,

^{I un insieme e F un}

f iltro

^su

I,

^con

I non vuoto e F non

degenere,

allora esiste un

mor f ismo

^{d’ordine h tra}

il reticolo delle congruenze

C(a)

^{e tale}

che,

^se

h(p)

è estensione di _p

(considerata

^come congruenza di se d è l’immer-

d

sione canonica

t1

^~ cioè in altri termini si ha il

seguente

^dia-

gramma comn1utativo:

DIM. Sia

p*

^{la relazione su cos definita:}

p* è

^una congruenza ^e la

corrispondenza

^{p H}

p*

^{è il} monomorfismo d’or- dine richiesto.

LEMMA 2.

Sia a un’algebra, ^6lw

^{un limite ridotto}

(cioè

^{un limite}

diretto di una catena numerabile di potenze ridotte ^di

6l)

^{allora esiste}

un

monomorf ismo

^{d’ordine tra}

C(a)

^e

DIM. Sia ^...

(con

Fi ^{filtro su}

li)

^inoltre

hnp= hp_1 o hp_2 0 ... fl hn , dnP=dp-l o dp-2 o ... o dn,

n &#x3E; p. ^{Sia e} si ponga ⁱⁿ virtù del lemma

precedente

^{si ha il} seguente ^dia- gramma commutativo:

(notare

^che

Se

áÏ3w ==

^lim per motivi

categoriali

^{esiste uno e un solo}

ep -

-

179

morfismo p

^{da lim}

^{t1k su Bw}

che rende commutativi il

diagramma

-

precedente;

^sia

p* = Ker q,

^{allora la}

corrispondenza r

^{tra e}

t

definita da _p H

p*

^{è un} monomorfismo

d’ordine;

^se infatti esistono

’:1&#x3E;1 P2

x,

yEA

^{tali che e allora se}

^{Aw --} S3wl, S3w2,

con

Bw1= lim Ak/p1k, Bw2= lim Ak/p2k

^e

[ x ] , [ y ]

^{sono le}

immagini

^di

- -

x, y in

aw

^{si ha e} inoltre

sempre per motivi

categoriali;

^{infatti si ha il} seguente

diagramma

commutativo:

OSSERVAZIONE 1. I lemmi 1 e 2 si possono dimostrare per altra via in modo meno diretto. Si

pensi A

^{come una struttura} relazionale

R~, ~~~ )

ⁱⁿ

cui él sia

^la medesima struttura

algebrica

^e

sia la

famiglia

^delle relazioni di congruenza ^su

d.

Sia 2 ^il

linguaggio adeguato

per tale struttura; se F è un filtro su I si

R~), R~ ). Siccome,

per

ogni R~ ,

^si

può

^{scrivere nel}

linguaggio 9

che essa è una congruenza

dia,

^con formule di Hom universali

(le quali

si conservano per potenze ^{ridotte e} per limiti

ridotti),

^allora

anche RE

è una congruenza; inoltre la

corrispondenza RE

^H

RE

^{è biunivoca e con-}

serva l’ordine

perchè

^si

può esprimere

^{che e con}

gli

enunciati:

Tali enunciati sono tra

quelli

^{che si} conservano sia per

potenze

^ridotte

(perchè

^di

^Hom)

^sia per limiti diretti

(vedi

caratterizzazione di

Keysler

in

[ 12 ] );

^{allora la}

corrispondenza R~

^H

R~

^{è un} monomorfismo d’ordine tra il reticolo

6(d)

^{e e}

rispettivamente.

2.

Algebre

semiideali: un risultato su

MdTh(W)

^{con W} semiideale.

LEMMA 3. Se W è

un’algebra

semiideale allora esiste una inie- zione da in

J(LI/F),

^dove

WI/F

^{è una}

potenza

ridotta di

W, L = ~(W )

^e

I(L’IF)

è il reticolo

degli

ideali del reticolo

LI/F.

DIM.

(per

^{un noto} risultato di

algebra universale).

Sia VEQ

allora

quindi

esiste almeno un ideale cui essa è associata e sia

J~

^{uno di}

questi

^e

[ltl l’immagine

omomorfa di

ID

^sotto l’omomorfismo naturale di L’ su

LI /F;

^si ponga la

seguente applicazione

da Q in

J(LI/F):

Se

[/9j==[/9j

^{vediamo che}

Di = D2 ;

^sia segue

ossia esiste con

[ c~ ] _ [ 0(x, y) ]

^{e cioè}

sia allora yi cos definito:

da cui _segue

A(x,

^cioè

á(x,

^e

poichè

^segue

.å(x,

^cioè

x --- yi(~~),

^ma

y’s --- y(PF)

^{da cui}

yl --- y(~~)

^e

x --- y(~~),

^cioè

~1 _ ~,~

^e per simmetria 1 da cui

TEOREMA 1. Sia W

un’algebra

semiideale tale che

C(W) = L

^sia

finito,

allora esiste un

isomor f ismo

^{tra il reticolo}

C(W)

^{e con}

F

ultrafiltro

^{su I.}

Il lemma 1 assicura che esiste un monomorfismo d’ordine ^h tra

e siccome _per il lemma 3

181

tale monomorfismo deve essere

suriettivo,

^{ma un} monomorfismo d’or- dine suriettivo è un isomorfismo reticolare.

TEOREMA 2. Se W è

un’algebra semiideale,

Ww ^{un suo} limite ri-

dotto,

^{allora se è}

finito

segue

Basta verificare che

l’applicazione t

definita nel lemma 2 tra

C(W)

e è

suriettiva;

^{sia allora e sia}

~’i

^la congruenza di Wi definita da: _{se xi ,}

y; e W;

hi : &#x3E;-~ è un isomorfismo _per le

ipotesi

^{del teorema e se}

ed è estensione di

di pi (immagine

^{di pi su}

dÌ( W~));

^sia pi tale che e siccome

t

^{ne segue}

e cioè inoltre _per induzione:

per i=0

^è

banale e

Vediamo allora che infatti

OSSERVAZIONE 2. Nei teoremi 1 e 2 è necessario _supporre

L=@(W)

^{finito. Basta infatti trovare un}

controesempio

^{di 1.}

Sia W

l’algebra

di Boole dei sottoinsiemi di un insieme infinito

(quindi @(W)

^è

infinito),

^W è ideale

(vedi

risultati di

[11]),

^ma

WW/F

con F ultrafiltro uniforme su W ha cardinalità

maggiore

^{di W e}

quindi

non

può

^essere

C(W)=C(Ww/F).

h

Sia e ~

~( W),

^con h monomorfismo

d’ordine }.

TEOREMA 3. Se W è semiideale e

~(W)

^è

finito

^allora:

Infatti se segue ^e

quindi

^esistono

(per

^{un noto}

teorema

sugli ultralimiti)

W, ^e ultralimiti isomorfi. Per il teorema 2

e per il lemma 2 esiste un monomorfismo d’ordine ~z :

e(61)

^{~ Siccome}

poi @(Ww)

⁼

0(&#x26;)

^{esiste in} definitiva un mo-

nomorfismo d’ordine tra e

8(W)

^{e inoltre} 61 Evar

(W).

COROLLARIO 1. Se W è

un’algebra semifiltrale

^allora

MdTh(W ) c E

dove £ è la classe delle

algebre semplici

^{di var}

^(W).

OSSERVAZIONE 3. Potrebbe _sorgere il dubbio che nel ^teorema 3 in

generale

dovesse valere

lVl dT h(W ) = r,

^ma

questo

^{non succede come}

mostra il seguente

controesempio,

^{cioè non vale} sempre

dove

~(~~Í,) = ~( W ) }.

Sia infatti

~~J = ~ W, ~ , n , ’ i r) un’algebra

^{di Boole con}

più

di due elementi e r

un’operazione

^definita

da:

61V è

filtrale, quindi

semifiltrale e

semiideale,

^inoltre Fi 1 sopra definito coincide con ~; ^ma

( { o, 1 },

u ,

n , ’ r ) eri perchè appartiene

^{a var}

^(W)

ed è

semplice,

^{ma non} è modello di

Th(W).

OSSERVAZIONE 4. Il risultato del teorema 3 non vale se si

toglie

la condizione che W sia semiideale. Esistono infatti

gruppi semplici

^ele-

mentarmente

equivalenti

^a

gruppi

^non

semplici:

^{sia allora}

^{W- G,}

^con

W

semplice

^{e G no, ne} segue

G E MdTh(W ),

^{ma Tale}

esempio

mostra anche come non sempre

valga perchè

^altrimenti

con lo stesso

ragionamento

^{del teorema 3 si avrebbe}

S(G) » @(W)

^e

cioè G sarebbe

semplice.

OSSERVAZIONE 5. La dimostrazione del teorema 2.2

può

^essere

semplificata

^usando

l’ipotesi

^del

continuo ’)

^e cioè sfruttando il teorema di Keisler il

quale

^{afferma che}

^W=a

^{se e solo se con}

I e

J opportuni

^{insiemi e F e G} ultrafiltri: allora per il ^{teorema 2 e} il lemma 2 avremo il seguente

diagramma

^che porta al risultato:

1) ^La dimostrazione può ^{essere davvero} semplificata perchè ultimamente S.

SHELAH ha dimostrato che il teorema di KEISLER si può dimostrare anche senza

ipotesi del continuo.

183

3. Assiomatizzabilità della

semplicità

^{in varietà} generate ^da

algebre semif iltrali,

semiideali.

Il risultato del corollario 1 si otterrebbe facilmente se la

semplicità

fosse

esprimibile

^nel

linguaggio adeguato,

^{come nel caso delle}

W-algebre

ad

esempio.

Ciò induce a pensare

che,

^{nel caso che W sia} semifiltrale o, con

ipotesi più forte, filtrale,

^{sia vero che E sia una} classe assiomatica.

Cercheremo di stabilire alcuni

risultati,

^{a tal}

proposito, supponendo più

ⁱⁿ

generale

^{che E sia la} classe delle

algebre semplici

^{di una varietà}

generata ^{da una} classe semiideale per passare ^a risultati

più

^{forti nel}

caso che la varietà in

questione

^sia generata ^da

un’algebra ^ideale,

^semi-

filtrale o filtrale.

TEOREMA 4. Sia V una varietà di

tipo -~

^{e L} la classe delle

alge-

bre

semplici

^di

V;

allora condizione necessaria e

sufficiente perchè 2:

sia assomatica è che in un

prodotto

^{diretto di elementi un}

filtro

massimale sull’insieme

degli

^{indici dia}

luogo

^{ad una} congruenza ^mas- simale.

Sfruttiamo la caratterizzazione

algebrica

delle classi assiomatiche e

cioè il seguente: ^{se E è una} sottoclasse della classe di modelli di

tipo

^r,

è assiomatica se e solo se è chiusa sotto ultralimiti ^e

ultraprodotti

^{e M,-,1 è chiusa sotto} ultralimiti. La condizione del teo-

rema 2 è allora manifestamente

necessaria;

infatti sia 1

allora se 1 è assiomatica II è

semplice,

dovendo appartenere ^a ~,

!e7

quindi

^{F individua una} congruenza massimale su

IIAi.

iel 1

Viceversa;

^{sia e}

supponiamo

per assurdo che

aw

^{sia un}

h

ultralimite di 61 ^e siccome con h monomorfismo allora

e

siccome AEMt-E

segue

a

non è

semplice;

^{ma siccome}

» per- il lemma 2,

seguirebbe

^{che non è}

semplice,

^che

è assurdo. Se

(con

^F ultrafiltro su

I)

^è

semplice

per

l’ipo-

tesi del ^teorema e allora

anche dw

lo

è,

infatti ciò si dimostra con la

stessa tecnica del teorema 2; cioè anche E è chiusa sotto

gli

ultralimiti.

Infine è verificata anche la terza

condizione;

^{sia e F}

è un ultrafiltro su I allora II e inoltre _per

l’ipotesi

^{del teorema}

iEl

è

semplice, quindi

iel

COROLLARIO 2. La classe delle

algebre semplici

^{di una varietà} ge- nerata da una classe K

filtrale

^e

quella

^delle

algebre semplici

^{di una}

varietà ideale sono assiomatiche.

Si vede facilmente

che,

^{in tutti i casi} menzionati nel

corollario, E

è

semif iltrale ~)

^e allora dal teorema 4 discende la verità dell’enunciato.

Si osserva che da

qui

discende il fatto noto: se V è la varietà

degli

anelli commutativi con

unità,

siccome V è

semiideale, L ç V

è assioma-

tica,

infatti 1: è la classe di tutti i

campi.

TEOREMA 5. Sia M’t la classe delle

algebre

^di

tipo

^{1: e sia V}

çM’t ,

EcV con:

1) V,

¹

assiomatiche, V = Md(f).

2)

^{V - 1: chiusa sotto}

gli ultraprodotti.

allora si

ha 1: = Md(f u (cr}),

^{con a enunciato}

positivo

^e

universale,

op- pure a enunciato

positivo,

oppure ^a enunciato della

forma

^{.. Vxn}

r s

3y1

^{.. A}

^V (aij

^-

[31;)]

^con ai; ,

atomiche,

^{a seconda che}

valga

im im

rispettivamente

^la

3)-a),

^la

3)-b)

^{o la}

3)-c).

DIM. Siccome E è assiomatica per noti teoremi sulla ^conserva- zione delle formule che sfruttano le

ipotesi 3 )

^{si ha:}

dove fl è:

ai)

^l’insieme

degli

^enunciati

equivalenti

^{a enunciati}

positivi

^e

universali;

bi)

l’insieme

degli

^enunciati

equivalenti

^{a enunciati}

positivi;

2) Discende dai risultati di G. M. BERGMAN in [2].

3) H(X) è la classe delle immagini omomorfe di elementi di X, S(X) la classe delle sottoalgebre di elementi di X,

Lim (X) ^la classe dei limiti diretti di elementi di X.

185

ci)

^l’insieme

degli

^enunciati

equivalenti

^a

quelli

^del

tipo

^{V .. 3: ..}

[ v

A ^-

03B2ij)]

^{con fl.,ij,}

aij ^atomiche;

i i

e f2 è tale a seconda che siamo

nell’ipotesi a),

^nella

b)

^o

nell’ipotesi c).

Sia allora

I=Th(1)

^{n SZ.}

Si ha:

per

ogni

^iEI

da cui per

ogni

^{iEI. Se cui fosse un i tale che}

il teorema sarebbe

già

dimostrato.

Supponia-

mo

dunque

^per assurdo che _per

ogni i

^{allora esiste al-}

meno un

~i

^con cioè

diEV-I:

^e

Sia e cioè ha

la

proprietà

dell’interazione

finita, quindi

^{esiste un} ultrafiltro che con-

tiene la

famiglia

^{e sia F. Si consideri}

se j E I

per

ogni j E I

^{cioè e}

cioè non sarebbe chiusa sotto

gli ultraprodotti

^contro

l’ipotesi.

OSSERVAZIONE 6. Le

ipotesi

2,

3-b), 3-c)

^{del teorema}

precedente, quando

^{M, sia} la classe di

algebre

^di

tipo ~;

^{e V sia una varietà conte-}

nuta in Mq e E la sottoclasse delle

algebre semplici

^{di V, sono} sempre

verificate; quindi

^{o E non} è assiomatica

(come

^{è il caso ad}

esempio quando 2

è la classe dei

gruppi semplici)

^{con «}

della forma

bi)

^o

ci),

^{cioè di}

quegli

^{enunciati che si} conservano per

immagini

^omomorfe

(positivi)

^o

quelli

^{che si} conservano per limiti di- retti

rispettivamente.

COROLLARIO 3. Sia V una varietà con E

semifiltrale e

^{tale che}

ogni algebra ^{c~ E L}

^{abbia tutte le sue}

sottoalgebre semplici,

^allora

con c enunciato

positivo

^e

universale, J leggi

^{di V.}

COROLLARIO 4. Sia V una varietà con E

semifiltrale 4),

^allora

con a enunciato

positivo, J leggi

^{di V.}

COROLLARIO 5. Se K è una classe

filtrale

^V=var

(K),

^allora

E=Md(J u (~}),

^{con a enunciato}

positivo

^e universale

(vedi

^risultati di

[2]).

4) ^I risultati dei corollari 3 ^e 4 si ricavano anche dai risultati di G. M. BERG-

MAN in [2], ^dove l’autore dà ^una caratterizzazione delle classi filtrali e semi- filtrali.

COROLARIO 6. Sia K una classe ideale e

superprincipale

^allora

con a enunciato

positivo

^e universale.

In tali

ipotesi infatti,

per dei risultati ottenuti da R.

Magari

^{in un}

lavoro di

prossima pubblicazione sugli

« Annali dell’Università di Fer-

rara »,

gentilmente

comunicatimi da lui

medesimo,

^si ha che E è ^una classe filtrale.

COROLLARIO 7. Sia V una varietà con E

semi f iltrale

^{allora 1=}

con a enunciato della

~xl

^...

Vxn

^...

r s

L V (mii

^{--i con} rLij,

Øij

^atomiche.

i=l j=l

COROLLARIO 8. La classe dei

campi (algebre semplici

^{della va-}

rietà

degli

anelli commutativi con

unità)

^{si trova nelle} condizioni dei corollari 4 e 7.

BIBLIOGRAFIA

(limitata ^ai lavori direttamente citati) [1] BELL-SLOMSON: Models and Ultraproducts, Amsterdam, ^1969.

[2] BERGMAN, ^G. M.: Sulle classi filtrali ^di algebre, ^{in corso di} pubblicazione ^su- gli ^{Annali Un. Ferrara.}

[3] GRÄTZER, ^G.: Universals Algebra, ^New York, ^1969.

[4] MAGARI, ^{R.: Su una classe} equazionale ^di algebre, ^{Ann. Mat.} pura ^e appl.,

Serie IV, ^Tomo LXV, pp. 277-311 (1967).

[5] MAGARI, ^R.: Sulla varietà generata da una algebra funzionalmente completa

di cardinalità infinita, Ann. Mat. _pura e appl., ^Serie IV, ^Tomo LXXVI, pp.

305-324 (1967).

[6] MAGARI, ^{R.: Classi} metaideali di algebre ^simili (congruenze ^ideali III), ^Ann.

Un. Ferrara (nuova serie), ^Sez. VII, ^Vol. XV, ^n. 8, pp. 131-143 (1970).

[7] KEISLER, ^{H. S.:} Theory of models with generalized ^atomic formulas, J. Sym- bolic Logic, ²⁵ (1960), pp. 1-26.

[8] TULIPANI, ^S.: Sulla completezza ^{e sulla} categoricità della teoria delle W-alge- bre semplici, ^{in corso di} pubblicazione sugli ^{Annali Un. Ferrara.}

Per una bibliografia più ampia ^e completa ^{si veda} quella ^di [6].

Manoscritto pervenuto ⁱⁿ redazione l’ll dicembre 1971.