TP I21, Avril 2003
codes correcteurs
DEA MDFI, Mars 2003.
aucun document autoris´e, dur´ee : 3 heures.
Il est demand´e de traiter trois des quatre exercices. Vous avez le choix entre les exercices II et III mais les exercices I et IV sont obligatoires.
I.DEFINITIONS ET NOTATIONS´
Soit nun entier non nul. Tous les codes consid´er´es sont binaires et lin´eaires. Les notations sont usuelles : F2d´esigne le corps `a deux ´el´ements,dHla m´etrique de l’espace de Ham- mingFn2,Vn(r)le cardinal d’une boule rayonr, etBn(x, r) la boule de centrexet rayonr:
Bn(x, r) ={y∈C|dH(x, y)≤r}.
SoitCun code de longueurn. On d´efinit la distance d’un motx∈Fn2 au codeCpar
d(x, C) = min
c∈CdH(x, c)
Lerayon de recouvrementdeCest ´egal au plus petit entier rtel que l’union des boules de rayonrcentr´ees sur des mots deCrecouvreFn2. Autrement dit, le rayon de recouvrement deCest ´egal `a
x∈Fmaxn2d(x, C).
On rappelle que, sinest impair, on sait construire un code cycliquet-correcteur de longueurnpour tout entiertv´erifiant 2t+ 1≤n, c’est un codeBCH(t, n). Une fois fix´e un ´el´ement d’ordrendans une certaine extensionLdeF2, on peut prendre l’id´eal des polynˆomeP(X)∈F2[X]/(Xn−1)tels que
∀i, 1≤i≤2t⇔ P(βi) = 0.
Dans la suite, les entiersρ(t, n)etδ(t, n)d´esigneront re- spectivement le rayon de recouvrement et la distance minimale du codeBCH(t, n). Quandnest de la forme2f −1, le code BCH est ditprimitif.
On supposenimpair.
[ 1 ] Combien y-a-il de codesBCH(1, n)?
[ 2 ] Montrer que la distance minimale d’un code BCH prim- itif1-correcteur est exactement ´egale `a3.
[ 3 ] Comparer au sens de l’inclusion les codesBCH(t, n)et
BCH(t−1, n). L’inclusion n’est pas toujours stricte. Donner un exemple d’´egalit´e.
[ 4 ] Donner une condition n´ecessaire et suffisante pour que l’inclusion soit stricte dans le cas particuliert= 2.
II. RAYON DES CODESBCH
On suppose toujours quen est impair. On consid`ere un [n, k]-codeCde capacit´e de correctioneet de rayon de recou- vrementρ.
[ 5 ] Comparer les ensemblesFn2, S
c∈C
B(c, ρ)et S
c∈C
B(c, e) pour obtenire≤ ρ. Traduire cette relation dans le cadre des codes BCH.
[ 6 ] Montrer que siCest strictement inclus dans un codeC0 de distance minimaledalorsd≤ρ.
[ 7 ] Montrer que si les codesBCH(t, n)et BCH(t−1, n) sont distincts alorsδ(t−1, n)≤ρ(t, n).
Les BCH sont primitifs.
[ 8 ] Soit R ∈ F2[X]/(Xn − 1). Soit (u, v) ∈ L2 le
“syndrˆome” de R par rapport au code BCH 2-correcteur.
Par d´efinition, u = R(β) et v = R(β3). Montrer que d(R,BCH(2, n)) ≤ 3implique l’existence de trois ´el´ements x,y,zdansLtels que
(x+y+z=α
x3+y3+z3=β (1)
[ 9 ] Quelque soitw∈L, ’´equationXY(X+Y) =wadmet au moins une solution dansL2. Prouver cette affirmation.
Indication: d´enombrer les polynˆomes irr´eductibles de degr´e2.
[10 ] Montrer que le syst`eme (??) admet toujours des solu- tions.
Indication:X=x+u,Y =y+uetZ=z+u.
[11 ] Montrer que le rayon de recouvrement du code BCH primitif 2-correcteur est inf´erieur ou ´egal `a3. Est-il ´egal `a2?
III. ISOMETRIE´
On noteµle caract`ere additif non trivial du corpsF2. SoitC un code de longueurn. Une application deCdansCqui con- serve les distances est uneisom´etriedeC. Les isom´etries de Cforment un groupe et nous noteronsaut(C)le sous groupe des isom´etrieslin´eaires.
[12 ] Soit πune permutation de {1,2, . . . ,}. V´erifier que l’applicationπ˜:x7→ xπ = (xπ(1), xπ(2), . . . , xπ(n))est une isom´etrie lin´eaire deFn2.
[13 ] Soitf une isom´etrie deFn2. Montrer que sif(0) = 0 alorsf est une permutation lin´eaire du type ci-dessus. Car- act´eriser toutes les isom´eries deFn2.
[14 ] Pour i ∈ {1,2, . . . , n}, on noteπi la i-e forme co- ordinn´ee i.e. la forme qui envoiexsurxi. Exprimer le poids dexen fonction des caract`eresµ◦πi.
[15 ] Soit f ∈ aut(C) une isom´etrie lin´eaire du codeC.
Utiliser la relation obtenue dans la question pr´ec´edente et le lemme de Dedekind (ind´ependance des caract`eres) pour montrer que : quelque soit i ∈ {1,2, . . . , n}, il existej ∈ {1,2, . . . , n}tel queµ◦πi◦f =µ◦πj.
[16 ] D´eduire de ce qui pr´ec`ede rel`evement deaut(C)dans aut(Fn2), c’est-`a-dire un morphisme surjectif
aut(Fn2)−→aut(C)−→1 IV. MOMENT DES POIDS
L’espace des applications deFn2 dans le corps des nombres r´eels est muni du produit usuel des fonctions et du produit de convolution not´e∗.
f∗g(v) = X
x+y=v
f(x)g(y)
Pour un entierket une fonctionf, on notef[k]lak-e puis- sance convolutionnelle def :
f[k]=f∗f∗. . . f
| {z } ktermes
On identifieFn2avec son dual, de sorte que le coefficient de Fourier def envsoit :
fˆ(v) = X
x∈Fn2
f(x)µ(vx).
On noteσla fonction indicatrice de la sph`ere unit´e : σ(x) =
(1, siwt(x) = 1;
0, sinon.
o`uwt(x)d´esigne le poids de Hamming dex.
[17 ] Calculerσ[2](0),σ[4](0).
[18 ] Quelle est la signification combinatoire deσ[k](y)? [19 ] Calculer le coefficient de Fourier def∗gen fonction de ceux defetg. Inversement, exprimer le coefficient de Fourier def g`a partir d’un produit de convolution.
[20 ] Calculer la transform´ee de Fourier de la fonction c(x) := 2wt(x)−nen fonction deσ.
[21 ] Soitk un entier. Utiliser la formule de Poisson pour calculer:
1
|C|
X
x∈z+C
c(x)k
