Pr R. BCHITOU Chimiométrie

(1)

Pr BCHITOU

Chimiométrie

UNIVERSITE MOHAMMED V-AGDAL Cours de Master Chimie FACULTE DES SCIENCES

DEPARTEMENT DE CHIMIE RABAT

Pr R. BCHITOU

(2)

Pr BCHITOU

A- Plans d’expériences I- Rappels statistiques

II - Plans de pesées : matrices d’Hadamard

III - Modélisation des essais : Régression multiple IV - Matrice d’Hadamard

Le criblage des facteurs expérimentaux, : classement hiérarchisé des facteurs V - Plans factoriels complets FFD

VI - Surface de réponse Plans composites CCD

B- Analyse de données

- Analyse en Composantes Principales

- Analyse Factorielle des Correspondances

(3)

Pr BCHITOU

Définition de la Chimiométrie

La Chimiométrie est un outil utilisé afin d’extraire de l’information pertinente et utile à partir des données physicochimiques mesurées ou connues brutes. Aussi, on l’appelle souvent en chimie « Analyse multivariable ».

Le terme chimiométrie vient de l’anglais

«chemometrics », jeune discipline associant

initialement l'analyse des données et la chimie

analytique.

(4)

Pr BCHITOU

 Elle peut traiter des systèmes complexes généralement multivariables.

 Elle recouvre l’ensemble des applications de la chimie, de la physique, des sciences de la vie …

 Elle est basée sur des règles mathématiques strictes et des démarches rigoureuses de la part de l'expérimentateur.

 La méthodologie repose sur la modélisation et l'optimisation:

•l’exploitation d’un modèle de comportement à l’aide des outils statistiques.

•la construction.

(5)

Pr BCHITOU

But de la méthodologie

 Organiser mathématiquement les conditions expérimentales pour choisir les plus informatives permettant de minimiser le nombre d'expériences tout en maximisant l'information obtenue

L'applications de la Chimiométrie dans le domaine de la chimie analytique consiste à :

 ^modéliser les variations d’un certain nombre de variables Y, que nous appellerons réponses (l'analyse chimique par exemple) en fonction d’autres variables X appelées variables mesurables (mesure de paramètres physico-chimiques par exemple);

 optimisation des procédés chimiques.

On distingue 2 opérations :

- L'étalonnage en laboratoire où toutes les mesures de variables doivent être réalisées et où le modèle est calculé.

- La prédiction : utilisation courante où seules les variables X sont

mesurées, les autres Y, étant calculées à l’aide du modèle.

(6)

Pr BCHITOU

 Définir la région du domaine expérimental où la réponse satisfait une contrainte.

 Optimiser l’organisation des essais en déterminant les facteurs influents à partir d’un modèle.

 Obtenir la meilleure précision possible sur la modélisation des résultats.

partie du bagage scientifique de tout expérimentateur

Intérêt de la méthodologie

(7)

Pr BCHITOU

Les plans d’expériences permettent une diminution considérable du nombre d'essais et une interprétation rapide et sans équivoque. Ils fournissent des résultats faciles à présenter.

-possibilité d'étudier un très grand nombre de facteurs

-détection des interactions éventuelles -modélisation aisée des résultats

-détermination des résultats avec une bonne précision.

Avantages des plans d’expériences

(8)

Pr BCHITOU

Introduction

à la pratique des

Plans d’expériences

(9)

Pr BCHITOU

(10)

Pr BCHITOU

(11)

Pr BCHITOU

(12)

Pr BCHITOU

(13)

Pr BCHITOU

intervient

(14)

Pr BCHITOU

MATRICES D’EXPERIENCES et METHODOLOGIE

Les objectifs :

 Le criblage des facteurs : classement hiérarchisé des facteurs;

 Les études quantitatives des facteurs : quantification des influences principales et des synergies éventuelles;

 Les études quantitatives des réponses : modélisation prévisionnelle du phénomène étudié;

 L'optimisation : déterminer un ou plusieurs points de

fonctionnement optimaux .

(15)

Pr BCHITOU

Les Modèles : polynômes

Soit X un facteur quantitatif. Il peut être représenté par

un polynôme dans les modèles :

(16)

Pr BCHITOU

(17)

Pr BCHITOU

(18)

Pr BCHITOU

Réponse ^: Le résultat mesuré d'une étude ^.

A chaque point du domaine d'étude correspond une réponse.

L'ensemble des réponses forme la surface de réponse ^.

Variables explicatives et notion d'interaction ^: Les variables explicatives d'une étude sont les paramètres susceptibles de modifier les réponses de cette étude .

Si l'effet d'une variable explicative dépend du niveau d'une autre

variable explicative, on dit qu'il y a interaction entre ces deux variables explicatives .

Rappel de quelques définitions

concernant le plan d'expériences

(19)

Pr BCHITOU

 Niveaux d'une variable explicative ^:

Les niveaux d'une variable explicative sont les différents états que peut prendre cette variable explicative

 Notion d'effet significatif :

L'effet d'une variable explicative sur la réponse y s'obtient en comparant les deux résultats de mesure y ₁ et y ₂ de réponse, mesurée lorsque la variable explicative passe d'un niveau (0) à un niveau (+). Si l'écart entre y ₁ et y ₂ est important on dit que le facteur est influent ou significatif.

 Variables codées et variables naturelles :

Les variables naturelles xi sont les valeurs qui correspondent à chaque niveau d'une variable explicative.

Pour comparer les effets des variables naturelles sur la

réponse, il est nécessaire de les remplacer par les

variables codées Xi qui sont sans unité.

(20)

Pr BCHITOU

Matrice d'expérience :

Matrice d'expérience est un tableau de n lignes et k colonnes, regroupant les conditions expérimentales d'un plan d'expériences. n et k correspondent respectivement au nombre d'expériences et au nombre des variables codées.

Courbes d'isoréponses :

Après la détermination du modèle et la vérification de sa validité, les courbes d'isoréponses peuvent être tracé à

l'intérieur du domaine expérimental. Ces courbes

représentent des plans pour surfaces de réponse c'est à dire la représentation graphique des résultats (modèle estimé) pour pouvoir en tirer des optimums.



La représentation dans 3 ³ de ce plan est donnée dans la

figure suivante :

(21)

Pr BCHITOU

Représentation d'un plan composite centré en 3 dimensions

(22)

Pr BCHITOU

CHAPITRE I

Rappels statistiques

(23)

Pr BCHITOU

I/ Régression

(24)

Pr BCHITOU

I-1/ Définition de la régression

La régression est une méthode très utilisée en estimation.

A partir d’un ensemble de valeurs

expérimentales représentées par des

points sur un graphique , on cherche à

calculer la courbe qui reproduit le mieux

les variations de la grandeur à étudier,

c'est-à-dire celle qui passe par tous les

points ou le plus proche possible.

(25)

Pr BCHITOU

I-2/ Régression linéaire

Si

(26)

Pr BCHITOU

(27)

Pr BCHITOU

(28)

Pr BCHITOU

(29)

Pr BCHITOU

(30)

Pr BCHITOU

(31)

Pr BCHITOU

(32)

Pr BCHITOU

(33)

Pr BCHITOU

Analyse de la régression linéaire

Les variations observées pour Y sont- elle dues globalement aux variations de X ?

Quelle confiance peut en avoir ^:

D ^’ une part globalement pour la régression ^:

• Analyse de variance/ coefficients

• Examen des résidus

• Manque d ^’ ajustement (Lack of fit )

D ^’ autre part individuellement pour les estimateurs ^:

• Simplification du modèle

• Pertinence quadratique global

(34)

Pr BCHITOU

Propriétés de la loi normale

(35)

Pr BCHITOU

(36)

Pr BCHITOU

(37)

Pr BCHITOU

(38)

Pr BCHITOU

(39)

Pr BCHITOU

Ceci va être vérifie par la Loi de student (Voir Tableau)

(40)

Pr BCHITOU

(41)

Pr BCHITOU

(42)

Pr BCHITOU

(43)

Pr BCHITOU

II/ Régression multiple

(44)

Pr BCHITOU

(45)

Pr BCHITOU

(46)

Pr BCHITOU

(47)

Pr BCHITOU

(48)

Pr BCHITOU

(49)

Pr BCHITOU

(50)

Pr BCHITOU

(51)

Pr BCHITOU

(52)

Pr BCHITOU

Chapitre II

Plans de pesée

(53)

Pr BCHITOU

(54)

Pr BCHITOU

(55)

Pr BCHITOU

(56)

Pr BCHITOU

(57)

Pr BCHITOU

(58)

Pr BCHITOU

(59)

Pr BCHITOU

Pesée de plusieurs objets

•Si nous avons trois objets, comment les peser ?

•Quel est le prix minimum de l ’e xp é rimentation?

(60)

Pr BCHITOU

(61)

Pr BCHITOU

(62)

Pr BCHITOU

(63)

Pr BCHITOU

(64)

Pr BCHITOU

(65)

Pr BCHITOU

(66)

Pr BCHITOU

(67)

Pr BCHITOU

(68)

Pr BCHITOU

(69)

Pr BCHITOU

(70)

Pr BCHITOU

(71)

Pr BCHITOU

(72)

Pr BCHITOU

(73)

Pr BCHITOU

(74)

Pr BCHITOU

(75)

Pr BCHITOU

(76)

Pr BCHITOU

(77)

Pr BCHITOU

(78)

Pr BCHITOU

(79)

Pr BCHITOU

(80)

Pr BCHITOU

(81)

Pr BCHITOU

(82)

Pr BCHITOU

(83)

Pr BCHITOU

(84)

Pr BCHITOU

(85)

Pr BCHITOU

(86)

Pr BCHITOU

(87)

Pr BCHITOU

(88)

Pr BCHITOU

(89)

Pr BCHITOU

(90)

Pr BCHITOU

Chapitre III

Matrice d’Hadamard

Le criblage des facteurs : classement hiérarchisé des

facteurs

(91)

Pr BCHITOU

(92)

Pr BCHITOU

(93)

Pr BCHITOU

(94)

Pr BCHITOU

(95)

Pr BCHITOU

(96)

Pr BCHITOU

(97)

Pr BCHITOU

(98)

Pr BCHITOU

k : Nombre de Facteurs

N : Nombre de pesées

(99)

Pr BCHITOU

(100)

Pr BCHITOU

(101)

Pr BCHITOU

(102)

Pr BCHITOU

(103)

Pr BCHITOU

(104)

Pr BCHITOU

(105)

Pr BCHITOU

(106)

Pr BCHITOU

(107)

Pr BCHITOU

(108)

Pr BCHITOU

(109)

Pr BCHITOU

(110)

Pr BCHITOU

Chapitre IV

Plans factoriels complets

FFD

(111)

Pr BCHITOU

Matrices :pour le cas de deux facteurs

Effet d’interaction

(112)

Pr BCHITOU

(113)

Pr BCHITOU

(114)

Pr BCHITOU

(115)

Pr BCHITOU

(116)

Pr BCHITOU

(117)

Pr BCHITOU

(118)

Pr BCHITOU

(119)

Pr BCHITOU

(120)

Pr BCHITOU

(121)

Pr BCHITOU

(122)

Pr BCHITOU

(123)

Pr BCHITOU

Exemple d'utilisation dune matrice factorielle complète : étude quantitative des facteurs

La réaction enzymatique est réalisée par la culture de la souche microbienne sélectionnée, dans un milieu nutritif contenant le substrat à déshydrogéner :

c'est le développement de la souche qui libère le système

enzymatique dans le milieu nutritif et qui "métabolise" le

substrat.

(124)

Pr BCHITOU

(125)

Pr BCHITOU

(126)

Pr BCHITOU

Exploitation des résultats :

 Calcul des coefficients

 Analyse Statistique des résultats

 Significativité des coefficients

(127)

Pr BCHITOU

(128)

Pr BCHITOU

a/ Calcul de coefficients

(129)

Pr BCHITOU

b/ Analyse statistique des résultats

(130)

Pr BCHITOU

c/ Significativité des coefficients

(131)

Pr BCHITOU

(132)

Pr BCHITOU

(133)

Pr BCHITOU

Surface de réponse Plans composites

PCCD

Chapitre V

(134)

Pr BCHITOU

MATRICES D'EXPERIENCES et METHODOLOGIE

Objectifs :

 Études quantitatives des réponses : modélisation

prévisionnelle du phénomène étudié,

 Optimisation ^: SURFACES de REPONSES Le modèle quadratique par rapport aux

variables explicatives xi; établi à l’aide d’un PCC :Y = b ₀ + ∑b _i X _i + ∑ b _ij X _i X _j + ∑ b _ii X _i ²

i i,j i

On aura à estimer des termes appartenant à 4 familles :

• b ₀ : terme constant

• b _{i :} terme de premier degré

• b _ii : terme carré (du deuxième degré)

• bij : terme rectangle (entre X _i et X _j )

(135)

Pr BCHITOU

Dans la méthodologie des surfaces de réponses; les plans composites permettent d’obtenir la meilleure précision possible sur la modélisation des résultats.

I/ Construction des plans composites centrés

I-1/ Démarche séquentielle

Les plans PCC permettent une modélisation du second degré.

La démarche séquentielle est constituée de trois parties : plan factoriel; plan en étoile; points (plan) au centre.

A/ Plan factoriel

Le plan factoriel combine des facteurs à 2 niveaux notés +1 et -1.Il permet :

*l ^’ analyse des interactions;

*de déterminer le modèle

Le nombre d’essais du plan factoriel : (k : facteurs, 2: niveaux (-1 et +1))

N _F = 2 ^k

(136)

Pr BCHITOU

B/ Plan en étoile

le plan en étoile représente deux essais par facteur. Chaque facteur prend au total 5 niveaux différents dans le plan.

Le nombre d’essais du plan en étoile : N _a = 2.k

C/ Points au centre

Ces points peuvent être la solution courante que l’on cherche à améliorer Ils ont plusieurs rôles :

•Tester la validité du modèle du premier degré;

•S’assurer qu’il n’y a pas de glissement entre deux séries d’essais stabilité;

•Obtenir une estimation de l’erreur expérimentale;

•Diminuer l’erreur de prédiction près du point central.

(137)

Pr BCHITOU

Le nombre d’essais des points au centre :

Les points au centre du domaine expérimental (N ₀ ) sont répétés plusieurs fois (?) (Voir ultérieurement).

Le nombre d’essais au centre : N ₀

Le nombre total d’essais à réaliser dans le PCC :

N = N _F + N _a +N ₀

(138)

Pr BCHITOU

La matrice du plan d’expériences pour k = 2 :

5 niveaux : -a, -1, 0, +1, +a (a à déterminer).

3 niveaux : -1, 0, +1 si a = 1

Le nombre total d’essais à réaliser pour le PCC : N = 2 ^k + 2.k + N ₀

K = 2 ; N = 2 ^. ² + 2.2 + N ₀ = 8 + N ₀

Si N ₀ = 1; le modèle quadratique au degré 2 aura

(k+1)( k+2) /2 variables explicatives (facteurs).

Matrice du plan d’expériences s’écrit :

I-2/ Exemple de plan PCC avec deux facteurs :

(139)

Pr BCHITOU

Matrice d’expériences

Plan factoriel (N _F = 2 ² =4)

 Plan en étoile (axial) (Na = 2.2 = 4)

Points au centre (N ₀ )

Essais x ₁ x ₂

1 2 3 4

-1 +1 -1 +1

-1 -1 +1 +1 5

6 7 8

-a +a 0 0

0 0 -a +a 9

. N

0 . 0

0 .

0

(140)

Pr BCHITOU

 Pour K variables N _F = 2 ^K : termes linéaires en X _i et aux interactions X _i X _j .

 Les coordonnées des points ont toutes la valeur 1 en valeur absolue. Et chaque point représente un essai à exécuter .

 Les points représentatifs sont situés aux sommets

d’un cube centré sur l’origine (0, 0, …,0) et dont les faces sont parallèles aux plans de coordonnées à la distance + 1 (points en rouge)

 Na = 2.K les points expérimentaux sont sur les

axes situés à la même distance du centre du domaine

(points axiaux en vert).

(141)

Pr BCHITOU

Les points axiaux sont situés à la même distance + a ( a calculé à partir du critère de l’orthogonalité).

Précision uniforme

Les points au centre (N ₀ ) :

Isovariance par rotation

(142)

Pr BCHITOU

a

P.C.C. à 3 variables

(143)

Pr BCHITOU

Critères d’optimalité :

Dans le cas où tous les points axiaux sont situés à la même distance du centre du domaine d’étude, la valeur de a ne sera pas la même

(suivant les critères d’optimalité).

a/ Isovariance par rotation

La valeur de a est choisie pour que la variance de la réponse prévue

par le modèle ne dépend que de la distance du centre du domaine oú

tous les points situés sur un même cercle ont même variance .

(144)

Pr BCHITOU

Dans ce cas, les éléments de la matrice (X’X) doivent satisfaire la relation : a = (N _F ) ^1/4

Donc il faut placer les points en étoiles à une distance : a = (N _F ) ^1/4

Exemple : Pour le cas d’un PCC à 2 facteurs : a= 1,414 du centre.

La valeur de a est donc fonction du nombre de points au

centre N ₀

(145)

Pr BCHITOU

b/ Précision uniforme

La valeur de a est choisie pour que la variance de la réponse prévue par le modèle ne dépend que de la distance du centre du domaine oú tous les points situés sur un même cercle et ă l’intérieur ont même

variance.

(146)

Pr BCHITOU

Tableau : Valeur de a en fonction du nombre de points centraux

Nb k de facteurs 2 3 4 5 5 6 6

Matrice factorielle

2 ² 2 ³ 2 ⁴ 2 ⁵¹ 2 ⁵ 2 ^{6 1} 2 ⁶

Isovariance par rotation

a = (N _F ) ^1/4

1,414 1,682 2 2 2,378 2,378 2,826

Points factoriels N _F

4 8 16 16 32 32 64

Points axiaux N _a 4 6 8 10 10 12 12

Points au centre N _o pour :

Orthogonalité

Précision uniforme

8 5 9

6

12

7

10

6

17

10 15 9

24

15 N total

d´expériences

16 13 23 20 36 31 36 32 59 52 59 53 100 91

(147)

Pr BCHITOU

I-3/ Détermination des paramètres du plan

 Le modèle quadratique par rapport aux variables

explicatives x _i ; établi à l’aide d’un PCC comportant (k+1)(k+2) / ² coefficients :

 cste linéaire interaction quadratique

 Y = b ₀ + b ₁ x ₁ + b ₂ x ₂ + b ₁₂ x ₁ x ₂ + b ₁₁ x ₁ ² + b ₂₂ x ₂ ²



Plus généralement :

Y = b ₀ + ∑b _i X _i + ∑ b _ij X _i X _j + ∑ b _ii X _i ²

i i,j i

P.1 ^er degré P. 2 ^ème degré

(148)

Pr BCHITOU

(149)

Pr BCHITOU

(150)

Pr BCHITOU

(151)

Pr BCHITOU

(152)

Pr BCHITOU

(153)

Pr BCHITOU

(154)

Pr BCHITOU

(155)

Pr BCHITOU

(156)

Pr BCHITOU

(157)

Pr BCHITOU

(158)

Pr BCHITOU

(159)

Pr BCHITOU

(160)

Pr BCHITOU

(161)

Pr BCHITOU

Chapitre VI Analyse en composante

principale ACP

(162)

Pr BCHITOU

(163)

Pr BCHITOU

(164)

Pr BCHITOU

(165)

Pr BCHITOU

(166)

Pr BCHITOU

(167)

Pr BCHITOU

(168)

Pr BCHITOU

(169)

Pr BCHITOU

(170)

Pr BCHITOU

(171)

Pr BCHITOU

(172)

Pr BCHITOU

(173)

Pr BCHITOU

(174)

Pr BCHITOU

(175)

Pr BCHITOU

(176)

Pr BCHITOU

(177)

Pr BCHITOU

(178)

Pr BCHITOU

(179)

Pr BCHITOU

(180)

Pr BCHITOU

(181)

Pr BCHITOU

(182)

Pr BCHITOU

(183)

Pr BCHITOU

(184)

Pr BCHITOU

(185)

Pr BCHITOU

(186)

Pr BCHITOU

(187)

Pr BCHITOU

(188)

Pr BCHITOU

(189)

Pr BCHITOU

Le levain remplace la levure boulangère utilisée dans les pains industriels et traditionnels. Les levures et les

bactéries lactiques du levain font monter la pâte et donnent du goût au pain.

il s'agit d'un mélange de farine , d'eau et de sel qu’on laisse pétrir pendant une vingtaine de minutes dans un pétrin mécanique pour obtenir une pâte élastique qui sera abandonnée une quinzaine de minutes dans le pétrin.

Puis on a mesuré l’acidité , la viscosité, la durée et la température .

Application

(190)

Pr BCHITOU

(191)

Pr BCHITOU

(192)

Pr BCHITOU

(193)

Pr BCHITOU

(194)

Pr BCHITOU

(195)

Pr BCHITOU

Pr R. BCHITOU Chimiométrie

Chimiométrie

UNIVERSITE MOHAMMED V-AGDAL Cours de Master Chimie FACULTE DES SCIENCES

DEPARTEMENT DE CHIMIE RABAT

Pr R. BCHITOU

A- Plans d’expériences I- Rappels statistiques

II - Plans de pesées : matrices d’Hadamard

III - Modélisation des essais : Régression multiple IV - Matrice d’Hadamard

Le criblage des facteurs expérimentaux, : classement hiérarchisé des facteurs V - Plans factoriels complets FFD

VI - Surface de réponse Plans composites CCD

B- Analyse de données

- Analyse en Composantes Principales

- Analyse Factorielle des Correspondances

Définition de la Chimiométrie

La Chimiométrie est un outil utilisé afin d’extraire de l’information pertinente et utile à partir des données physicochimiques mesurées ou connues brutes. Aussi, on l’appelle souvent en chimie « Analyse multivariable ».

Le terme chimiométrie vient de l’anglais

«chemometrics », jeune discipline associant

initialement l'analyse des données et la chimie

analytique.

 Elle peut traiter des systèmes complexes généralement multivariables.

 Elle recouvre l’ensemble des applications de la chimie, de la physique, des sciences de la vie …

 Elle est basée sur des règles mathématiques strictes et des démarches rigoureuses de la part de l'expérimentateur.

 La méthodologie repose sur la modélisation et l'optimisation:

•l’exploitation d’un modèle de comportement à l’aide des outils statistiques.

•la construction.

But de la méthodologie

 Organiser mathématiquement les conditions expérimentales pour choisir les plus informatives permettant de minimiser le nombre d'expériences tout en maximisant l'information obtenue

L'applications de la Chimiométrie dans le domaine de la chimie analytique consiste à :

 modéliser les variations d’un certain nombre de variables Y, que nous appellerons réponses (l'analyse chimique par exemple) en fonction d’autres variables X appelées variables mesurables (mesure de paramètres physico-chimiques par exemple);

 optimisation des procédés chimiques.

On distingue 2 opérations :

- L'étalonnage en laboratoire où toutes les mesures de variables doivent être réalisées et où le modèle est calculé.

- La prédiction : utilisation courante où seules les variables X sont

mesurées, les autres Y, étant calculées à l’aide du modèle.

 Définir la région du domaine expérimental où la réponse satisfait une contrainte.

 Optimiser l’organisation des essais en déterminant les facteurs influents à partir d’un modèle.

 Obtenir la meilleure précision possible sur la modélisation des résultats.

partie du bagage scientifique de tout expérimentateur

Intérêt de la méthodologie

Les plans d’expériences permettent une diminution considérable du nombre d'essais et une interprétation rapide et sans équivoque. Ils fournissent des résultats faciles à présenter.

-possibilité d'étudier un très grand nombre de facteurs

-détection des interactions éventuelles -modélisation aisée des résultats

-détermination des résultats avec une bonne précision.

Avantages des plans d’expériences

Introduction

à la pratique des

Plans d’expériences

intervient

MATRICES D’EXPERIENCES et METHODOLOGIE

Les objectifs :

 Le criblage des facteurs : classement hiérarchisé des facteurs;

 Les études quantitatives des facteurs : quantification des influences principales et des synergies éventuelles;

 Les études quantitatives des réponses : modélisation prévisionnelle du phénomène étudié;

 L'optimisation : déterminer un ou plusieurs points de

fonctionnement optimaux .

Les Modèles : polynômes

Soit X un facteur quantitatif. Il peut être représenté par

un polynôme dans les modèles :

Réponse : Le résultat mesuré d'une étude .

A chaque point du domaine d'étude correspond une réponse.

L'ensemble des réponses forme la surface de réponse .

Variables explicatives et notion d'interaction : Les variables explicatives d'une étude sont les paramètres susceptibles de modifier les réponses de cette étude .

Si l'effet d'une variable explicative dépend du niveau d'une autre

variable explicative, on dit qu'il y a interaction entre ces deux variables explicatives .

Rappel de quelques définitions

concernant le plan d'expériences

 Niveaux d'une variable explicative :

Les niveaux d'une variable explicative sont les différents états que peut prendre cette variable explicative

 Notion d'effet significatif :

 Variables codées et variables naturelles :

Les variables naturelles xi sont les valeurs qui correspondent à chaque niveau d'une variable explicative.

Pour comparer les effets des variables naturelles sur la

réponse, il est nécessaire de les remplacer par les

variables codées Xi qui sont sans unité.

Matrice d'expérience :

Matrice d'expérience est un tableau de n lignes et k colonnes, regroupant les conditions expérimentales d'un plan d'expériences. n et k correspondent respectivement au nombre d'expériences et au nombre des variables codées.

Courbes d'isoréponses :

Après la détermination du modèle et la vérification de sa validité, les courbes d'isoréponses peuvent être tracé à

l'intérieur du domaine expérimental. Ces courbes

représentent des plans pour surfaces de réponse c'est à dire la représentation graphique des résultats (modèle estimé) pour pouvoir en tirer des optimums.

 ^modéliser les variations d’un certain nombre de variables Y, que nous appellerons réponses (l'analyse chimique par exemple) en fonction d’autres variables X appelées variables mesurables (mesure de paramètres physico-chimiques par exemple);

Réponse ^: Le résultat mesuré d'une étude ^.

L'ensemble des réponses forme la surface de réponse ^.

Variables explicatives et notion d'interaction ^: Les variables explicatives d'une étude sont les paramètres susceptibles de modifier les réponses de cette étude .

 Niveaux d'une variable explicative ^:

La représentation dans 3 ³ de ce plan est donnée dans la

Quelle confiance peut en avoir ^:

D ^’ une part globalement pour la régression ^:

• Manque d ^’ ajustement (Lack of fit )

D ^’ autre part individuellement pour les estimateurs ^:

 Optimisation ^: SURFACES de REPONSES Le modèle quadratique par rapport aux

variables explicatives xi; établi à l’aide d’un PCC :Y = b ₀ + ∑b _i X _i + ∑ b _ij X _i X _j + ∑ b _ii X _i ²