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illustrée par le langage C

Patrik Cégielski

egielskiu-pe.fr

Septembre 2016

Copyright

^{2016 PatrikCégielski}

UniversitéParisXII-IUTSénart-Fontainebleau

RouteforestièreHurtault

F-77300Fontainebleau

egielskiu-pe.fr

Faisonsle pointsur lesquelquesprérequisnéessaires.Noussupposons iiquevousavezeu

unpremierontatave unordinateur, plusexatementaveunmiro-ordinateur(etmêmeun

miro-ordinateurdit ompatible PC),oupluspréisémentave unsystème informatique.Nous

supposons en partiulier que vous savez utiliser l'interpréteur de ommande et un éditeur de

texte,qu'importelequel.

Préfae v

1 Lapensée algorithmique 1

1.1 Historique . . . 2

1.1.1 Lesbesoinsenaluls . . . 2

1.1.2 Présentationinformelledesalgorithmes . . . 12

1.1.3 LesalgorithmesenÉgypte. . . 12

1.1.4 Pasd'algorithmeenGrèe. . . 13

1.1.5 LesalgorithmesenChine . . . 13

1.1.6 Lebesoindestables numériques . . . 13

1.2 Bibliographie . . . 19

1.3 Exeries . . . 23

2 Introdution à la programmation 25 2.1 Notionsthéoriques . . . 26

2.1.1 Qu'est-equelaprogrammation?. . . 26

2.1.2 Façonsdeprogrammer. . . 26

2.1.3 Lesgrandesétapesdelaompilation . . . 26

2.1.4 Diversitédeslangagesdeprogrammation . . . 27

2.1.5 Diversitédesompilateurs . . . 27

2.2 UnpremierexempledeprogrammeC . . . 28

2.3 QuelquesompilateurspourPC. . . 29

2.3.1 Leompilateur GNUCsousUnix . . . 29

2.3.2 Leompilateur MinGW . . . 30

3 Calulette 33 3.1 PremiersélémentsdelangageC . . . 34

3.1.1 Formed'un programme . . . 34

3.1.2 Fihiersinlus . . . 35

3.1.3 Compilationet éditiondesliens . . . 36

3.1.4 Niveaux d'avertissementduompilateur . . . 36

3.2 LelangageCommealulettequatreopérations . . . 37

3.2.1 Casdesentiersnaturels . . . 37

3.2.2 Casdesentiersrelatifs . . . 39

3.2.3 Casdesrationnels . . . 40

3.2.4 Casdesréels . . . 40

3.3 LelangageCommepetitealulettesientique . . . 43

3.3.1 Utilisationdelabibliothèquemathématique . . . 43

3.3.2 Nouvellesopérationssurlesentiers . . . 43

3.3.3 Formatagedel'ahagedesréels . . . 44

3.3.4 Fontionsprédéniessurlesréels . . . 44

3.3.5 Partieentièrede

R

^dans

N

^{. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46}

3.4 LelangageCommealuletteaméliorée . . . 46

3.4.1 Évaluationd'uneexpressionnumérique . . . 46

3.4.2 Manipulationdetextes . . . 47

3.5 Sémantiqueréelle . . . 48

3.5.1 Casdesentiersnaturels . . . 48

3.5.2 Casdesentiersrelatifs . . . 49

3.5.3 Casdesréels . . . 49

4 Variable,aetation etleture 51 4.1 Variableetaetation . . . 52

4.1.1 Unpremierprogramme . . . 52

4.1.2 Variable . . . 52

4.1.3 Identiateur . . . 53

4.1.4 Type. . . 54

4.1.5 Délarationdesvariables . . . 56

4.1.6 Aetation . . . 56

4.1.7 Initialisationdesvariables . . . 57

4.1.8 Partieentièreetonversiondetype. . . 58

4.2 Ordresdeletureetd'ériture. . . 59

4.2.1 Unexemple . . . 59

4.2.2 Ordred'éritureformatée . . . 60

4.2.3 Ordredesaisieformatée . . . 60

4.2.4 Casdeshaînesdearatères . . . 61

4.2.5 Saisied'unaratère . . . 61

4.3 Lesonstantes . . . 62

4.3.1 Délarationdesonstantes. . . 62

4.3.2 Exemplesd'utilisation . . . 63

5 Strutures de ontrle 65 5.1 Leséquenement . . . 66

5.2 Conditions. . . 67

5.2.1 Expressionsbooléennes . . . 67

5.2.2 RelationsdéniesenlangageC . . . 68

5.3 Larépétition . . . 70

5.3.1 Bouletantquefaire . . . 70

5.3.2 Boulerépétertantque . . . 71

5.3.3 Boulepour . . . 72

5.3.4 Choixdutypedeboule . . . 73

5.4 Letestetl'alternative . . . 74

5.4.1 Letest. . . 74

5.4.2 L'alternative . . . 74

5.4.3 Rédutiondunombred'instrutionsprimitives . . . 75

5.5 Retoursurl'aetation. . . 77

6 Coneption globale d'un programme 79

6.1.1 Présentationd'unprogramme . . . 80

6.1.2 Utilisationdesommentaires . . . 81

6.1.3 Étapesdeoneptiond'unprogramme . . . 82

6.2 ThèsedeChurh-Turing . . . 84

6.2.1 Restritionauxalulssurlesentiers naturels. . . 84

6.2.2 Dénition . . . 84

6.2.3 Lesordinateursexistent-ils?. . . 85

6.2.4 Opérationsnon alulables . . . 85

6.2.5 Autresopérationsalulables:exempledugraphisme . . . 85

6.3 Exeries . . . 86

7 Programmationmodulaire 87 7.1 Unexemple . . . 88

7.2 Dénitiond'unefontion. . . 89

7.2.1 Syntaxe . . . 89

7.2.2 Exemplesdedénition . . . 91

7.2.3 Unexempled'utilisation:ladihotomie . . . 93

7.3 Modedetransmissiondesparamètres . . . 95

7.3.1 Notion . . . 95

7.3.2 Passageparvaleur . . . 95

7.3.3 Variable globale . . . 96

7.3.4 Variable loale . . . 97

7.4 Délarationdesfontions . . . 98

7.4.1 Notion . . . 98

7.4.2 SyntaxedeladélarationdefontionenC. . . 98

7.4.3 Pragmatique . . . 100

7.5 Délarationdefontionsdansdeshiersen-tête . . . 100

7.6 Lespointeurset lepassageparadresse . . . 101

7.6.1 Lespointeurset l'adressageindiret . . . 101

7.6.2 Passagedesargumentsdefontionsparadresse . . . 103

7.7 Philosophieduranementsuessif . . . 104

7.7.1 Coneptiongénérale . . . 104

7.7.2 Exemple:opérationssurlesrationnels . . . 104

7.8 Réutilisation:alul desnombresharmoniques . . . 114

.1 Bibliographie . . . 119

Index 120

La pensée algorithmique

1.1 Historique

Onpeutdistinguerquatremomentslèsdansl'histoiredelanotiond'algorithme:

leontexte,'est-à-direlesbesoinsenalulsdeplusenplusomplexes,depuislaPréhis-

toire;

laprésentationdesalgorithmes,quiavariéauoursdel'Histoire,depuislesBabyloniens

jusqu'auxprogrammesd'ordinateurs;

la dénition de e qui peut être résolu algorithmiquement au milieu des années 1930,

ristalliséeparlathèse deChurh-Turingen1936;

ladénition formelledee qu'estunalgorithme, ristalliséeparlathèsede Gurevihen

1984.

Nousallonsvoirlesdeuxpremiersaspetsdansepremierhapitre.

1.1.1 Les besoins en aluls

1.1.1.1 Lanaissane du alularithmétique

Ledénombrement.-LesentiersnaturelsontétéintroduitsdèslaPréhistoirepourompter,'est-

à-diredénombrer lesensembles[nis℄onrets(demoutonset autres).

Figure1.1Appariementsurosdeloup ([BJB-76℄, p.2)

Lapremièrefaçondedénombreronsisteàapparier,'est-à-direàmettreenbijetiondeuxen-

a trouvéen 1937, en Moravie (République Thèque),un osappartenant àun jeune loup (voir

gure1.1)quimontreunesuitedeinquanteinqinisionsdisposéesendeuxséries,pargroupes

deinq.Cetos futdéouvertdansdessédimentsdatantde30000ansenviron.

Apparitiondualularithmétique.-Lorsdelanaissanedesités,àlanduNéolithique,ledé-

nombrementprenduneimportaneonsidérable,àlafoispouromptabiliserlesréserves(ommu-

nes)etpourdéterminerlesimpts(servantàdéterminerlapartdehaundansl'eortommun).

C'estertainementàetteépoquequ'apparaissentlesquatreopérationsarithmétiques(addition,

multipliation,soustration,division)surlesentierset donlealul, pourlaréalisationdees

tâhes,maisil nenousresteauuntémoignageàetégard.

Prenons l'exemple de l'addition (des entiers naturels). À ette époque, on ne peut plus se

satisfairede dénombrerlestêtesde bétail en lesomptantune àune :l'ensemble àdénombrer

esttropimposant,d'unepart;onnepeutpasleslaisserenplaeletempsdelesompter,d'autre

part.Une nouvelleméthode astuieuseapparaît :un fontionnaireompte elles d'unpar,un

autred'unautreparet ainsidesuite;onenfaitlasommepourdéterminerlenombredetêtes

duquartier,puiseluidelaité.

Lefontionnaire,pourompterlestêtesdebétaild'unpar,seontentedemettreunaillou

dans une boîte au passagede haquebête. Laboîte est envoyée auquartier, le ontenu en est

versédansuneboîteplusgrande,quiestelleenvoyéeau÷urdelaité.Làonverseleontenu

detouteslesboîteset onomptelenombredeailloux,equiorrespondaunombrereherhé.

Cetteméthode,diteduberger,étaitenoreutiliséeàlanduXIX

e

sièle,époqueàlaquelleles

historiensdesmathématiqueslarelevèrent.L'utilisationdeetteméthodeàlanduNéolithique

futbrillamentonrméeparDeniseShmandt-Besseraten1979 1

.Laméthodedubergerest

enoreutiliséeourammentdanslaRomeAntique,d'où l'étymologiedumotalul(ailloux se

disantalulusenlatin).

Numérationunaire.- Onavuavel'osdejeune loupune façondereprésenterunnombre: une

inisionparélément.Cettereprésentation unaireest une avanéeonsidérableparrapport àla

méthode du berger. Elle permet de ne pas avoir àdéplaer une grande quantité de matière :

seulementunosaulieudetout untroupeauoud'uneboîtedeailloux.

Leprinipedugroupement.- Si lareprésentationunaireorrespondàune avanéeonsidérable

parrapport autransport d'uneboîte de ailloux,ellen'estependant pastrès lisible pourdes

nombresassezgrands.Laméthode dugroupement failitelaleture.Onneonnaîtpasl'origine

deettefaçondefairemaiselleesttrèsaniennepuisquenousavonsvulegroupementparinq

surl'osdeloup.Toute quel'onpeutdire'estque,auoursdel'Histoire,esgroupementsse

sont fait par deux, inq, dix, vingtet soixante,quelquefois ave unmélange de es diérentes

bases.

Apparitiondessystèmesdenumérationadditifs.-Lessystèmesdenumération additifspos-

sèdent des symboles distints pour haque sorte de groupe renontré durant le proessus de

dénombrementet e symbole est répétéaussisouventquenéessaire pourindiquerombienon

abesoindehaquegroupe(l'analoguedelanumérationunairemaispourlesgroupes).

1 . Denise Shmandt-Besserat([S-B-79,S-B-92℄)montre mêmeque la méthodedu berger est à l'origine de

l'ériture:audébut,detoutpetitsaillouxsontonservésdansdesboulesenterreuiteàtitredeomptabilité;

ensuitelenombredeaillouxest marquédefaçonsymboliquesurlesboules;plustard,lesaillouxeux-mêmes

n'ayantplus unegrande importane (plusexatement étant redondants), on neles plaeplusdans les boules

quisontseulementmarquéesdelasuitedesymboles;enn,lesbouleselles-mêmesnesontplusonservées,les

nombresétantreportéssur destablettesd'argile. Des ommentaires seront ajoutésensuite(b÷ufoumouton).

Lepremierexemplehistoriquequinoussoit parvenuestlesystèmedenumérationégyptien.

Intéressons-nousependantàunautresystème,dontunevarianteestenoreutiliséedenosjours:

l'aniensystèmeromain('est-à-direavantl'apparitiondesformessoustrativesIVpour4etIX

pour9,esdernièresformesn'apparaissantqu'auMoyenÂge).Ilestpossibledereprésentertout

nombreentierinférieurà5000parunesuitedesymboles(M=1000,D=500,C=100,X=10,

V=5etI=1)danslaquelleunmêmesymboleapparaîtauplusquatrefois:parexemple2976

s'éritMMDCCCCLXXVI.Bienqu'ilsoithabitueld'érirelessymbolesdansl'ordredéroissant

desvaleurs,ein'estpasnéessaire:lavaleurd'unsymbole dansunsystèmeadditifn'arienà

voiravesaposition.

Systèmedenumérationadditifetaluls.- Lessystèmesdenumérationreposantsurleprinipe

deregroupement,non seulementpermettentdedérirelesnombresdefaçononise,maisfai-

litentégalementlesaluls onernanttoutoupartiedesquatreopérationsarithmétiques.

Lessystèmesdenumérationadditifssontbien adaptésàl'additionetàlamultipliation.

Une additionse fait en deux étapes: on érit les deux nombresl'un en-dessous de l'autre,

en positionnant les symboles d'un même groupe du seond en-dessous des symboles de eux

du premier; on additionne puis on met sous forme anonique en utilisant les regroupements.

Eetuons,parexemple,lasommede2319etde821(omme dans[Wil-85℄,p.7) :

2 319 = MM CCC X V IIII

+ 821 = D CCC XX I

---

= MM D CCCCCC XXX V IIIII

= MM D DC XXX V V

= MM DD C XXXX

= MMM C XXXX (= 3 140)

Eetuer unemultipliation est lent maisle prinipen'estpasdiile puisqu'onn'a besoin

quedemémoriserlesmultiplesdeinqetdedix :

28 = XXVIII

x 12 = XII

XXVIII fois I = XX V III

XXVIII fois I = XX V III

XXVIII fois X = CC L XXX

---

= CC L XXXXXXX VV IIIIII

= CC L L XX VV VI

= CCC XXX V I (= 336)

Ces systèmesdenumérationsontmoinsbien adaptésàlasoustrationetàdivision.

Poursimplierl'opérationdedivision,parexemple,onaintroduit lesdeux opérationsauxi-

liairesdemédiation(division pardeux)etde dupliation (multipliationpardeux). Ladivision

d'eetuealorsgrâeàunalgorithmedérit engénéraldenosjoursdanslesoursd'initiationà

laprogrammation(voirexeries).

Apparitiondusystèmedenumérationdeposition.-Lessystèmesdenumérationdeposition

possèdentdessymboles,nonpluspourlesgroupes,maispourlespetitsnombres.Cessymboles

parlaposition duhiredanslahaînede aratèresdénotantlenombre.Onutiliseunhire

nouveau,lehirezéro,pourdénoterungroupevide.

Lessystèmes denumérationdepositionsontunpeubien moinsadaptés àl'addition et àla

multipliation 2

(lesutilisateursdoiventapprendrepar÷urlestablesd'additionetdemultipli-

ation). Leurpointfort est qu'ilssont,par ontre, également adaptésà lasoustration et àla

division.Ilestévidemmentinutilededérireiilaméthodeutiliséepoureetueresopérations

puisque'est lesystème quenousapprenonsàl'éoleélémentairedenosjours.

Onne onnaîtpasexatementl'histoiredusystèmedenumérationdeposition.LesBabylo-

niensutilisaientunembryondesystèmedenumérationdepositiondebasesoixante.Malheureu-

sementilsnedisposaientdusignezéroquepourune position :il n'était paspossible,aveleur

système,demettre deuxouplusieurszérosdesuite,equi rendaitlesnombresambigus.

Figure 1.2Algoristeetabaiste

Lapremièreréférenequenousonnaissonsàproposdeshiresditsarabe(maisenfaitdus

auxIndiens)estunpassagedel'évêquesyrienSeverusSebokhtde650(itédans[Smi-25℄,vol.

2 . L'algorithmedelamultipliationestonsidéréommesidiilequel'ÉoleNavalelemetenoreexpliite-

e

2,p.64):

Je ne parlerai pas de la siene des Hindous, un peuple qui n'est pas le même que

les Syriens,ni de leursdéouvertessubtiles enastronomie,déouvertesqui sontplus

ingénieuses que elles desGres et des Babyloniens, ni de leurs méthodes de alul

de grandevaleur etde leursalulsqui dépassent ladesription. Jedésire seulement

direque leursaluls sontfaitsaumoyen de neufsignes.

Onremarqueraquelezéron'estpasité.Lapremièreourreneduzéroquenousonnaissions

sansambiguïtéapparaîtsuruneinsriptiondatantde876àGwalior,surlaquelleonvoit`50'et

`270'([Dat ℄).

Lepremiersièledel'empiremusulmanest,dansunelargepart,onsaréauxtravauxsien-

tiques. Al-Mamum rée une maison de la sagesse à Bagdad, omparable à l'anien Musée

d'Alexandrie.C'estdanseontextequeMohammedibn-Musaal-Khwarizmireonnaîtlava-

leurdusystèmeindienen825et éritunpetit livreexpliquantsonutilisation[AlK-32℄.Celivre

esttraduit/adaptéenlatinauXII

e

sièle,avepourinipitLiberAlgorismidenumeroIndorum

(lelivred'al-Khowarizmisurlesnombresindiens),equionduiraàutiliserlemot`algorithme'

àproposdelanouvelleméthodepourérirelesnombresentiersetpoureetuerlesaluls.

Le premieroidental àenseignerlanouvellenumération,vers980,est Gerbertd'Aurilla

(938-1003),devenu pape en 999 sous lenom de Sylvestre II.Il est alléétudier en Espagne et

aertainementappris esystème àBarelone,alorsenontatétroitavelaivilisation arabe.

Cependantil nesemblepasomprendrel'importaneduzéro[Ger℄.

La méthode se développe surtout après la parution du livre de Fibonai intitulé Liber

abai, paru en 1202 [Fib-02℄. On remarquera que la méthode des abaques est alors tellement

prédominantesqu'elledésignel'arithmétique,d'oùletitre`Lelivredesabaques'alorsqu'iln'est

jamaisfaitréféreneàeux-idanse livre,ausensoùnousl'entendonsdenosjours.

Abaistesetalgoristes.- Ilsembleraitqu'unerivalités'ensuiveau Moyen-Âgeentrelesabaistes

(prétendant que l'utilisation d'un des premiers outils d'aide aux aluls,les abaques, est plus

rapide que la nouvelle méthode) et les algoristes. Ces derniers l'emportent à partir du XV

e

sièle.Laélèbregure1.2,tiréeduMargaritaPhilosophiadeGregorReish,paruàFreiburg

en1503,montrelaoexistenedesdeuxproédés.

1.1.1.2 Émergene dualul sur lesdéimaux

Intérêt des déimaux

Lesalulsquenousavonsvusjusqu'iineonernentquelesentiersnaturels,liésaudénom-

brement.Lanotiondemesure,enpartiulierlamesuredeslongueurs(queesoitlamesuredes

terrainsou d'unmoreaud'étoe),et l'adoptiond'uneunité demesure,onduit àdiviser ette

unitédemesurepourobtenirunemesureplusneetdonàl'utilisationdesfrationsou,leplus

souvent,auxnombresdéimaux(oul'analoguepourlabaseutilisée).

Fration,nombredéimaletnombreréel.-Les réexions sur les ensemblesde nombres à lan

duXIX

e

sièle (et l'enseignement quien suivit enFranedans lesannées 1960 souslenom de

hh

mathématiquesmodernes

ii

)onduisentàbiendistinguerl'ensembledesnombresdéimaux:

D = { n

10 ^k | n ∈ Z et k ∈ N _}

de l'ensemble

Q

^{des rationnels(ou desfrations), d'unepart, et de l'ensemble}

R

^{des nombres}

réels,d'autrepart.Certainspréfèrentparlerdenombre à virgulepouravoirunoneptindé-

Apparition desnombres sexagésimauxà Babylone

Lapremièreapparitiondesnombresnonentiersquinoussoitonservéeonernelesnombres

sexagésimaux,'est-à-direl'analoguedesnombresdéimauxaveunebasedesoixanteaulieu

denotrebaseusuellededix.

Boyer ([Boy-68℄, p. 33)nous rapportequ'une vieille tablettebabylonienne (numéro7 289

de la olletionYale) inlut le alul de la raine arrée àdeux ou trois hires sexagésimaux

après lavirgule,laréponse étantennotationmodernisée1;24;51,10oùune virguleest utilisée

pourséparerlespartiesentièreetfrationnaireetunpointvirguleommeséparateurdeshires

sexagésimales,eux-iétantexprimésenbasedix.L'additionetlamultipliationdeesnombres

sexagésimauxn'estpasplusdiilequelesopérationsanaloguessurlesnombresentiers.Remar-

quonsaupassageque,enoreen1968(etmêmedansl'éditionde1989),Boyerparledefration

sexagésimaleet nondenombresexagésimal.

Table des ordesde Ptolémée

Claude Ptolémée 3

vit à Alexandrie au II

e

sièle après Jésus-Christ, à une époque rela-

tivement alme qui favorise les voyages et les explorations. Il déide de faire la synthèse des

onnaissanes géographiques de son temps dans une ÷uvre qui va bien au-delà d'une simple

synthèse. Il dérit la terre et le monde habité dans trois ouvrages : la Syntaxe mathématique

d'abord(plus onnuesouslenom d'Almageste, letrèsgrand,queluidonnèrentlesArabes),où

lesdiversesomposantesdusystèmeterre-ielsontétudiéesparlagéométrie;l'Apotélesmatique,

ouTétrabible,ensuitequiprésenteuntableaudesinuenesastrales(ondiraitpluttlimatiques

de nosjours) sur lesdiverspays et sur leurshabitants; leGuide Géographique enn(ou, pour

faireourt,laGéographie),qui donnetouteslesdiretivesutilespourtraeruneartegénérale,

etdesartesrégionales,dumonde habité,avesesextensionsréentes.

Figure1.3Corde

La Syntaxe mathématique [Pto ℄ est une synthèse ordonnée et une mise àjour des onnais-

sanes, aquises parla géométrie et l'arithmétique, sur le système du monde et ses diérentes

omposantes. Il ommene par rappeler les hypothèses philosophiques (la terre immobile au

entre du monderéduite àunpoint, le ielommesphèreen mouvement)puis,et 'est làson

génie, il montre omment,d'une seuledonnée onernant lalatitude(longueur du jour leplus

long,hauteurduple,rapportdel'ombreaugnomon),onpeutdéduirelesautres.Ilusepoure

fairenon seulementde démonstrationsgéométriques,maisausside alulsqui luisontfailités

parlestables trigonométriquesqu'ildressedanslelivreI.

Figure 1.4Tabledesordes

Ptoléméeréedonlatrigonométrie.Laorded'unangle

α

^{dansunerlederayonR(voir}

gure1.3)est lalongueur

cord(α)

^{de laorde}orrespondantàunardeerlesous-tendupar unangleauentre

α

^.

LanotiondeordeaétéremplaéeparelledesinusauVI

e

sièleenIndeparAryabhata.

Ilest failedevoirque lerapport d'uneordeaudiamètre est égalausinus del'angle moitié:

cord(α) = 2Rsin(α/2)

^.

Ptoléméeétablitunetabledesordesdedemi-degréendemi-degré,aveuneapproximation

orrespondant àpresque six déimales exates. Ilutilise ladivision babylonienne duerle en

360

o

etaluleennumérationsexagésimale.Ilsupposequelediamètreestpartagéen120parties

égales,sibien quel'unité delongueurdeordeseralapartie (

p

),diviséeàsontourenminutes

(')etenseondes().

Ptoléméeexpliqueommentildéterminesatable :

1)Déterminationde

cord(72 ^o )

^et

cord(36 ^o )

^{.Ilommeneparonstruire}géométriquement lestésdupentagoneet dudéagoneréguliers,quisous-tendentrespetivementdesars

de72

o

etde36

o

.Ilendéduit,parutilisationitéréeduthéorèmedePythagore,lesvaleurs:

cord(72 ^o ) = 70 ^p 32 ^′ 3 ^′′ et cord(36 ^o ) = 37 ^p 4 ^′ 55 ^′′ .

dethéorèmede Ptolémée: dansunquadrilatèreinsritABCD, leproduit desdiagonales

estégalàlasommedesproduitsdestésopposés.

3) Corde de la diérene de deux angles. Ave l'énoné préédent, il montre omment,

quandononnaîtlesordesdedeuxangles

α

^et

β

^{,onpeutalulerlaordedeladiérene}

α − β

^{.Ils'agitdel'analogueduthéorèmesur}

sin(α − β)

^{.Àpartirdelaordede72}

^o

^déjà

aluléeet deellede60

o

,faileàdéterminer,onendéduitlavaleurdelaordede12

o

.

4) Corde d'un ar moitié. Ptolémée explique ensuite omment, quand on onnaît la

orded'un angle, onpeutaluler laorde del'ar moitié. Onen déduit lesvaleursdes

ordesdesangles6

o

,3

o

, 3/2

o

et3/4

o

.

5) Corde de 1

o

. Le proédé préédent ne permettant d'obtenir ni

cord(1 ^o )

^{, ni a fortiori}

cord(1/2 ^o )

^{, Ptoléméeutilise unenadrementsubtil quilui fournit lavaleurde}

cord(1 ^o )

^,

puisde

cord(1/2 ^o )

^{aveune préisionsusantepoursonprojet.}

6)Tablede demi-degréen demi-degré.Ptoléméeétablitalorssatableselonlatehnique

préédenteentenantompte ausside eque, grâeauthéorème dePtolémée, quandon

onnaîtlesordesdedeuxangles

α

^et

β

^{, onpeutalulerlaordedelasomme}

α + β

^.

Remarquonsquelesordes(oulessinus)sontdesnombresréelsetnondesnombresàvirgule.

LatableontientdondesvaleursapprohéesmaisPtoléméeneleditàauunmoment.

Nombres à virguledéimaux

Apparition.- L'utilisation des nombres à virgule déimaux (et non plus sexagésimaux) semble

datéeduhinois LiuHuiautroisième sièleaprès Jésus-Christ [Nee-59℄,àproposde l'ériture

(devaleursapprohées)derainesarrées.Lesalulssurdetelsnombresàvirgulesontdominés

en1261, puisqueYang Huimultiplie24,68 par36,56pourobtenir902,3008.L'utilisation passe

àl'Oident via lesIndiens et les Arabes.Les tables de Rhaetius(1551)ontiennent lessix

fontionstrigonométriquespourlesanglesde10 en10 :lesrésultatssontexpriméssousforme

denombresàvirguledéimauxàsepthiresaprèslavirgule.

Utilisationourantedesnombresàvirgule.-L'utilisationsystématiquedesnombresàvirguledé-

imauxpourlamesuredeslongueurs,desaires,desvolumesetautresaétédéfendueparlema-

thématiienbelgeSimonStevinen1585[Ste-34℄danssonlivreintituléDeThiende(ledixième

enamand,traduitenfrançaissouslenomLadisme).Cependantettepropositionneserapas

retenueavantlaRévolutionfrançaise.

Stevin érit 470, 51, 82 le nombre déimal 47,58. Cela lui permet également d'érire

2375 pour 0,00207.Il justie,et 'est lepremier àlefaire,les opérationssur esnombres à

virgule.

Notiondevaleurapprohée.- Stevin est également lepremier mathématiien àpréiser qu'un

nombreàvirguleest unnombreapprohépourunnombreréel :

Ilarrivequelquefoisquelequotientnepeutpasêtreexprimépardesnombresentiers,

ommedansleasde 43 divisépar32.Ilapparaîtiiquelequotientseraindéni-

menttroisaveuntiersenaddition. Dansuntelas,nouspouvonsapproherautant

quel'onveutlequotientréelqueleproblèmel'exige etomettrelereste.Ilestvraique

13 0313

1

3

^{2,ou13031 323}

1

3

^{3 soitlerésultatexat,maisdansLaDisme,nous}

proposonsden'utiliserquelesnombresentierset,deplus,nousnotonsqueenaaires

on ne prend pasen ompte la millième partie d'ungrain. Les ommissions telles que

elles-i sont faites par les prinipaux géomètres et arithmétiiens même dans les

pas maquilléleurs tables ave la plushaute préisionqu'ils pouvaient atteindre ave

lesnombresmélangésar,auvuduproposdeestables,l'approximationestplusutile

que laperfetion.

Notationatuelle.- L'idée de la notation atuelle des nombres à virguleest due à Christopher

Rudolff.Celui-ipublieen1530àAugsburgunlivreomprenantunetabled'intérêtsomposés

danslaquelleapparaissentlesvaleursde

375 × (1 + 5/100) ⁿ

^pour

n

^{variantde1à10.Lesrésultats}

sont exprimés sousforme de frations déimales,une barre vertiale`

|

^{' jouant lerle de notre}

virguledéimale.On aparexemple

413 | 4375

^pour

n

^{=2.Cette table estreproduite p. 241du}

volumeII de[Smi-25℄.

Lanotationatuelle,aveunpointdéimalpourlesanglo-saxonsetune virgulesurleonti-

nent, est due àJohn Napier, l'inventeur des logarithmes.Nous avons vu que le problèmedu

repérage sur une sphèrea onduitPtolémée àintroduire lesfontions trigonométriques.Les

tablesfurentutiliséespourlanavigationaulongours.Laformuledonnant

cos(a + b)

^faitinter-

venirdeux multipliations.Napier introduit les logarithmespour failiterlealul des tables,

enremplaçantlamultipliationparuneaddition.Ilprésenteseslogarithmes(defontionstrigo-

nométriques)dansunlivreéritenlatin,sonDesriptiode1614.Cequinousintéresseiiestque

lanotation desnombresàvirgule, ave unpointdéimal, apparaîtdans latradution anglaise

deelivreen1616.HenryBriggsutiliselavirguledéimaledanssa tablede1624.

Lesnotationsrestentdiversesdurantunsièlejusqu'àe queLéonardEulerlarendestan-

darddanssonIntrodutioinAnalysisInnitorum[Eul-48℄de1748.

1.1.1.3 Apparitiondu alul sur lesfrations

Intérêtdesfrations.-Lanotiondefrationapparaîtertainementavelesproblèmesdemesure.

Lamesuredesgrandeursn'apasependantàêtretrèspréiseenpratique,aussil'utilisationdes

nombresàvirguleest-ellesusante.Lesproblèmesdehange,liésauommereinternationalen

Europemédiévale, parontre,néessitentuneagilitédanslamanipulationdesfrations.

ConsidéronsparexempleAdamRiese[Car-65℄,quivulgariselesnombresarabesenAllemagne

àpartirde1518. Latable desmatièresd'un desesnombreuxlivresonsarésàl'enseignement

de l'arithmétique est : numération, addition, soustration, dupliation, médiation, multiplia-

tion, division,progression,règlede trois, éhangedes monnaies,prot,alul de l'argentet de

l'or, partenariat et rédution(desfrations). Un desproblèmes de hange de l'éditionde 1559

ommeneainsi:

Sept orins de Padoue en font inq à Venise, 10 à Venise en font 6 à Nuremberg,

100 àNurembergenfont73 àCologne. Combienfont1000 .de PadoueàCologne.

Cela fait312et6/7.

On voit tout l'intérêtdes frations exates pour lesproblèmes de hange. Le numérateurpeut

être n'importe quel entier, ontrairement àe qui se passait pour les Égyptiens, omme nous

allonslevoir.

ApparitiondesfrationsunitairesenÉgypte.-Nousnepossédonsauuntémoignagesurlanais-

sane des frations. Les insriptions en hiérogyphes des Égyptiens (voirsetions 1-6 et 1-8 de

[BJB-76℄)ontunenotationspéialepourlesfrationsdel'unité,'est-à-direlesfrationsaveun

numérateurégalàun:laréiproqued'unnombreentierestindiquéeenplaçantunsigned'ovale

allongéesurlenombrereprésentantetentier.En notationhiératique,l'ovaleest remplaéepar

unpoint.Detellesfrationsdel'unitésontutiliséesdanslepapyrusRhindmaislesfrationsles

plusgénéralesnesemblentpasêtreonnues.

LesfrationsenGrèe.-Sousl'inuenedesÉgyptiens,lesGresontommenéparn'utiliserles

frationsqueommesommedefrationsunitaires(voirlandelasetion3-2de[BJB-76℄). Ils

notentensuitelesfrationsdedeux façons.

Ils ériventquelquefoislesfrations ave lenumérateursuivi d'unaentetledénominateur

érit deux fois, à haque fois suivi d'un double aent. Parexemple, en se souvenant que les

hiresgressontleslettresdansl'ordrealphabétique,

2

3

^{est érit:}

β ^′ γ ^′′ γ ^′′

Ils ériventaussiledénominateursouslenumérateur,maissansutilisernotrebarrede fra-

tion:

β γ

Lesfrationsetlestauxdehange.-L'utilisationdesfrationsprendtoutesonimportaneave

les problèmes de taux de hange. Cei devient d'usage ourant après la publiation du Liber

Abai[Fib-02℄deFibonaien1202et deLaDismedeSimonStevinen1585[Ste-34℄.

1.1.1.4 Les réelsommeidéalisation des déimaux

Nousvenonsdevoirlesaluls(ouplusexatementlesquatreopérationsquesontl'addition,

lamultipliation,lasoustrationet ladivision)surtroisensemblesdenombres(entiersnaturels,

nombresdéimaux et nombresrationnels positifs). Faisons une petite digression àproposd'un

ensemble de nombres, elui des réels, pour lesquels es quatre opérations sont dénies mais à

proposduquelonneparlepasdealul.

Déouvertedesirrationnels.-Lefaitquetoutnombre,introduit defaçonnaturelle,n'estpasné-

essairementun nombrerationnel (unefration) est unedéouverte del'Éole de Pythagore

[vonF-45℄ auVI

e

sièle avant J.-C.Lethéorèmede Pythagoreonduitàonsidérer lalongueur

d'une diagonaledearré l'unité,e que nous notons

√ 2

^{, dont onmontre alorsque e ne peut}

pas être un nombre rationnel. Cette déouverte est si ontraire à la philosophie de l'Éole de

Pythagore(pourquitoutestnombre,sous-entenduentierouquotientd'entiers)qu'ilestalors

interditd'enrévélerl'existeneàl'extérieurdel'éole.Unelégendeveutqu'unertainHippasede

Métapontedivulgueladéouverteetqu'ilestengloutidanslesots(sous-entenduparvengeane

ouparsuiideauséparlesremords).

Onneonnaîtpasladémonstrationdel'ÉoledePythagoredufaitque

√ 2

^soitirrationnel.

Lapremièredémonstrationonnue,ellequiestenoredonnéedenosjours,datededeuxsièles

plustard(Aristote,Analytiques Postérieurs,[Ari℄I23).

Dénitiondesnombresréels.- Eudoxe de Cnide (408355) résout la rise des irrationnels en

donnantla dénition d'un nouvel ensemble de nombres,sous une formequi nous est inonnue

puisquetoute son÷uvre est perdue.La théorie des rapports d'Eudoxe est ependant reprise

danslelivreVdesÉléments[Eu ℄d'Eulide(vers300avantJ.-C.),selonlesdiresdeProlus

auV

e

sièleaprèsJ.-C[Pro℄.CelivredesÉlémentsestdeleturediile maisJeanDhombres

[Dho-78℄ en donne une interprétation moderne omme dénition d'un demi-orps totalement

ordonnéarhimédienmaximal.

Cette dénition sut jusqu'au moment où on se penhe sur les fondements de l'Analyse.

Charles Méray, Karl Weierstrass et Georg Cantor donnent trois onstrutions de l'en-

semble des nombresréels en 1870, qui se révèlentêtre équivalentes. David Hilbert en donne

Théorieetpratique.- La distintion entre nombres déimaux et nombres réels n'est pas laire

jusqu'en1870, outout aumoins fait-onsemblant. Onraisonnesur lesréels, onaluleaveles

déimauxenespérantqueleserreursommisespeuventêtreonsidéréesommenégligeables.

1.1.2 Présentation informelle des algorithmes

Les algorithmes apparaissent dès les premières ivilisations de l'époque historique ('est-à-

dire possédant l'ériture, rappelons-le) onnues, Mésopotamie et Égypte. La présentation des

algorithmesvarieévidemmentselonelles-i.

1.1.2.1 Les algorithmesen Mésopotamie

L'étudesystématiquedesmathématiquesmésopotamiennesdatedestravauxdeOttoNeuge-

bauer([Neu-35℄et[NG-45℄)enAllemagneetdeFrançoisThureau-DanginenFrane[Thu-38℄.

Onpeutlasserlestextesmathématiquesbabyloniensendeuxatégories:lestablesnumériques

et les tablettesde problèmes. Les premières ne sont pas diérentes des tables modernes : des

nombres disposés en olonnes, ordonnés selon des séries roissantes ou déroissantes. Les ta-

blettes deproblèmessontdes reueilsd'exeries,ommeon entrouveàlan denosmanuels

solaires.Ce sontertainementdes reueilsdidatiquesar dansbien des asils supposentdes

préisionsquel'énonénefournit paset quidevaientêtreindiquéesoralementàl'élève.

Considérons parexemplelepremier problèmeétudiéparThureau-Dangin,eluide lata-

blette13901duBritishMuseum:

Lasurfaeduarréajoutéeauté égale;45. Tuposeras1, l'unité.Tufrationneras

1 en 2. On trouve;30. Tu roiseras;30. On trouve alors;15. Tuajouteras;15 et;45.

On trouve 1. C'est le arré de 1. Tu soustrairas de 1 les;30 que tu as roisés. On

trouve;30. C'estletéduarré.

Traduitavedesnotationsalgébriquesmodernes,eladonne:

Onveutrésoudrel'équation

x ² + bx = c

^{,enprenantommeexempleb=1et =;45.}

L'unité,'est-à-direleoeient

b

^de

x

^{,estiiégaleà1.}

Ondivise

b

^{pardeux.Ontrouvedansnotreas}

^b 2 =; 30

^.

Onl'élèveauarré.Ontrouvedansnotreas

( 2 ^b ) ² =; 15

^.

Onajoute

( ^b 2 ) ²

^et

c

^{.Ontrouvedansnotreas}

( 2 ^b ) ² + c = 1

^.

Ondéterminelarainearrée.Onadansnotreas

q

( ^b 2 ) ² + c = 1

^.

Onsoustraitequ'onaélevéauarré,'est-à-dire

b

2

rappelons-le.Onobtientdansnotreas:

q

( ^b 2 ) ² + c − ^b 2 =; 30

^.

C'est letéduarrévoulu. Dansnotreas

x =; 30

^.

Exerie.-Justierl'algorithme.

1.1.3 Les algorithmes en Égypte

Lesplusanienstextesmathématiqueségyptiensonnusontiennentprinipalementdespro-

blèmesdenaturepratique,telsquedesalulsdeapaité,lenombredebriquesnéessairespour

onstruire unmur oule stokde grains néessaire pour lapréparation d'uneertainequantité

depainoudebière.

La prinipalesoure d'informationestle papyrusRhind [Cha-27℄ (nom qui luiest donnéen

Museum).Ilexistequatreautresdouments,de moindreimportane :lepapyrusde Mosou,le

papyrus Kahun, lepapyrus de Berlin et le rouleaude uir. L'intégralitéde es inqdouments

esttraduitenanglaisdans[Cla-99℄.

LesalgorithmesressemblentàeuxdelaMésopotamie.Considéronsparexempleleprobème

26dupapyrusRhind:

Unequantitéetsonquartfont15.Quelleestlaquantité?Lasolutionestlasuivante:

alulerave4;prendslequart,1;ensemble 5;alulerave5pourobtenir15,soit

3. Ona4

×

^{3. Ainsi12est lerésultat.}

Leprinipedeetteméthodeseraappeléplustardlaméthodedelafausseposition.

1.1.4 Pas d'algorithme en Grèe

LesGresfaisaientunedistintiontrèsnetteentrel'arithmétique(arithmetike',dearithmos',

nombre),quiorrespondànotrethéoriedesnombres,etlalogistique(logistike'),quidésignel'art

dualul,sionenroitLaRépublique[VII522-526℄dePlaton(429347).L'attitudedesGresà

l'égarddesartset métiersestqueeux-inesontpasdignesd'attentionetréservésauxeslaves.

Nousnepossédonsdonquepeudetémoignagessurlalogistique.Nousavonspeudehanesde

trouverdesprésentationsd'algorithmesommeenMésopotamieouenÉgypte.

Ces deuxbranhes,arithmétiqueet logistique,seronttraitées séparémentjusqu'au débutde

l'imprimerie.

1.1.5 Les algorithmes en Chine

L'ouvragemathématiquelassiquesenommeLesNeufChapitres,dontnousdisposonsd'une

éditionfrançaisedepuis2004[Chem-04℄,etdatede2000ansenviron.Ils'agitd'unelisted'algo-

rithmespourdesproblèmesdivers.Chaqueproblèmedonnelieuàplusieursexemplesnumériques

suivisd'uneproéduregénérale.

Citons parexempleleproblème(1.21) (pp.169171delatradutionfrançaise):

(1.21)

Supposons maintenant qu'on ait un hamp de 4/5 de bu de largeur, et

de 5/9debu delongueur.On demandeombien faitle hamp.

Réponse : 4/9de bu 4

.

Proédure dela multipliation des parts:

Les dénominateurs multipliés l'un par l'autre font le diviseur; les nu-

mérateursmultipliésl'unparl'autrefontledividende.Oneffetue la

division dudividendepar le diviseur.

1.1.6 Le besoin des tables numériques

1.1.6.1 Le alulomme tâhe olletive

L'établissement des tables, de plus en plus nombreuses,ne peut plus être le fait d'un seul

homme. Au XVI

e

sièle l'astronome allemand Rhetius (15141574)employe une équipe de

alulateursdurantunedizained'annéespourétablirunetabledessinusàquinzedéimalesave

unpasde10 pourlesangles, publiéebien aprèssamorten1596parsonélèveValentinOtto

dansl'OpusPalatinum deTriangulis.Maisonneonnaitriendesdétailsdelaméthodeutilisée.

1.1.6.2 Prony

Gaspard deProny(1755-1839)(voir[O'C-97℄)estlepremieràexpliquersaméthode,issue

delaletured'AdamSmith.

AdamSmith(1723-1790),danslehapitreundulivreundesaRihessedesNationsde1776

([Smi-76℄),insistesurl'intérêtdeladivisiondutravail,illustrantsonproposparlamanufature

d'épingles:

Unhommequi neserait pasfaçonné àegenred'ouvrage,dontla divisiondutravail

a fait un métier partiulier, ni aoutumé à se servir des instruments qui y sont

en usage, dont l'invention est probablement due enore à la division du travail, et

ouvrier,quelqueadroitqu'ilfût,pourraitpeut-êtreàpeinefaireuneépingledanstoute

sajournée, etertainementil n'enferaitpasune vingtaine.Maisde la manièredont

etteindustrieestmaintenantonduite,nonseulementl'ouvrageentierformeunmé-

tier partiulier, mais même etouvrage est divisé en ungrand nombre de branhes,

dontla plupartonstituentautantde métierspartiuliers.[...℄L'importanttravailde

faire une épingle est divisé en dix-huit opérations distintes ou environ, lesquelles,

dans ertaines fabriques, sont remplies par autantde mainsdiérentes. [...℄J'ai vu

une petite manufature de e genre qui n'employait que dix ouvriers. [...℄ Quand

ils se mettaient en train, ils venaient à bout de faire entre eux environ onze livres

d'épingles par jour; or, haque livre ontient au delà de quatre mille épingles de

taille moyenne. Ainsi, es dix ouvriers pouvaient faire entre eux plus de quarante-

huit milliersd'épingles dansune journée.

[...℄

Observez, dans un pays ivilisé etorissant, e qu'est lemobilier d'un simple jour-

nalier ou du dernier des man÷uvres, et vous verrez que le nombre de gens dont

l'industrieaonourupourune partquelonqueàluifourniremobilier, estau-delà

de tout alul possible. [...℄ Il est bien vrai que son mobilier paraîtra extrêmement

simple et ommun, si on le ompare ave le luxe extravagant d'un grand seigneur;

ependant, entre le mobilier d'un prine d'Europe et elui d'un paysan laborieux et

rangé,il n'yapeut-êtrepasautantde diérenequ'entrelesmeublesdeedernieret

eux de telroi d'Afrique quirègnesurdix millesauvages nus.

Prony, aprèsavoirlu Rihesses des Nations,al'idée d'appliquere prinipede ladivision

dutravailautravailmental :

Ilestaisé de onevoir omment etteméthode rendpossible etommode la dis-

tribution dutravail à autantde alulateurs qu'on veut, parmilesquels il sut d'en

avoir untrès-petitnombreexerésàla théoriedualuletàl'analyse:equ'on doit

rigoureusement exiger des autres se réduisant à érire lisiblement les hires, et à

savoir faire l'additionetla soustrationnumériques.

D'après e plan, les alulateurs des tables du adastre ont été divisés en trois

setions.

Lapremièresetionétaitomposéede inqàsixmathématiiens d'untrès-grand

mérite,parmilesquelsj'aieuleplaisirdeompternotreonfrèreleitoyenLegendre.

Ils s'oupaient de la partie analytique du travail, et en général de l'appliation de

la méthode des diérenes àla formation destables, dualul de plusieurs nombres

fondamentaux, et.

Ladeuxième setion ontenait sept ouhuit alulateurs exerés tant auxaluls

arithmétiques qu'à l'analyse; ils étaient employés à déduire des formules générales

lesnombresetlesdiérenesformantlespointsde départetd'arrivéedesintervalles,

Je ne puis trop insister sur la reonnaissane que doivent les savants de tous

les pays auxmembres de es deuxsetions;sans leur zèle soutenu et leur habileté,

tous les moyens fournis par le Gouvernement, pour failiter l'exéution de la vaste

entreprise dontils étaientlesoopérateurs, eussentétéprodiguésen pureperte.

Lerésultatdutravaildesmathématiiensdontjeviensdeparlerétaitderemplirla

premièrelignehorizontaleetladernièrelignevertiale[Cettedernièrelignevertiale,

à droite du tableau, était oupée par la diérene qui se trouvait onstante dans

l'intervalle auquel se rapportait e tableau.℄ d'un ertain nombre de tableaux qu'on

distribuait aux alulateurs de la 3

e

setion, et eux-i, au moyen des deux lignes

qui leur étaient données, remplissaient tout le surplus de l'aire de la table par de

simples additions ou soustrations; ils ont été ommunément au nombre d'environ

soixante ou quatre-vingt; les neuf dixièmes au moins d'entre eux savaient, tout au

plus, lesdeuxoulesquatrepremièresrèglesde l'arithméique;eteuxquien savaient

davantage n'ontpastoujours étélesmoinssujetsàerreur.

Le travail de haque setion se faisait double, par des formules diérentes dans

les deux premières et sans auune ommuniation pendant la durée du alul, en

sorte qu'on pouvait onsidérer l'ensemble des alulaleurs omme omposé de deux

divisions, donthauneétait séparémentoupée àfairelemême travail quel'autre.

VoilàommentDorothySteindéritlestravauxdePronydanssabiographied'AdaByron:

Le baron Gaspard de Prony était direteur de l'Éole des Ponts et Chaussées [il ne

le deviendraen fait qu'en 1798℄, lorsqu'il reçut missionen 1792 de la part du gou-

vernement français de superviser la préparation des nouvelles tables mathématiques

qu'exigeait l'adoption dusystème métrique. Rééhissant à la façon d'organiser un

travail aussi onsidérable, il tomba par hasard sur un exemplaire de Rihesse des

Nations. Ildéida immédiatement de fabriquerses logarithmes ommedesépingles.

Il monta deux ateliers qui eetuaient les mêmes aluls et se ontrleraient don

mutuellement. Au-dessus d'eux se trouvaient deuxautres setionsde travail mental.

Lapremièresetion,omposéedeinqousixmathématiiensparmilespluséminents

de Frane, était hargée de déider des meilleurs formules à employer pour aluler

pasàpaslesfontionsquidevaientgurerdanslestables.(Ilsexéutaientlatâhedes

programmeurs.)Cesformules étaientalors transmisesàladeuxièmesetion,formée

de septou huitmathématiiens ompétents qui devaient substituerdes nombres aux

symbolesdesformules,puislespasseràlatroisièmesetion(eux-ifaisaientfontion

de lavistes). Ladeuxièmesetion devait aussiassurer,auretourdesalulsnis,la

omparaison etla oordinationdesrésultats.

Latroisièmesetion omprenait soixanteàquatre-vingt personnesqui exéutaientla

plus grand partie du travail numérique,en utilisant seulement l'addition et la sous-

tration.

[Ste-85℄, pp.125-126delatradutionfrançaise

Lestables sontahevéesen1801mais ellesnesontpaspubliées avantlanduXIX

e

sièle,

artroponéreusesàimprimer.

1.1.6.3 Les erreurs dansles tablesde navigation

Lestablesdiversesdeviennentindispensables,prinipalementpourlanavigationommenous

l'avonsdéjàdit.Cependantestablesomportentdeserreurs.DionysiusLardner,professeurde

prolique. Dansunartilede1834[Lar-34℄, il inspeteuneolletionprivéede 140volumesde

tables (ertainement elle de Charles Babbage). Dans une séletion aléatoire de 40 volumes,

il trouveplusde3 000erreursspéiéesdans lesfeuilles d'errata. Ces erreurspeuventprendre

naissane lorsde n'importe laquelle des troisétapesde la préparationdes tables : lealul, la

transriptionetl'impression.

CharlesBabbage(17911871)veutéviterestroistypesd'erreurenréantunemahinequi

àlafois eetue lesaluls et imprime lestables. Ilonçoitlepremier ordinateur,entièrement

méanique,qu'il n'arrivepasà réaliserpardéiene de l'industrieméaniquede l'époque (un

exemplaireserapartiellementréaliséen1991pourlebientenairedesanaissane).

Babbageessaied'obtenirdessubsidespouronstruiresamahine.Ilenprésenteleprojetà

diversendroits,enpartiulieràTurin:

En1840,BabbageserenditàTurinpourdonnerunesériedeonférenesetpartiiper

à des disussions dont le but était d'expliquer le projet de la Mahine Analytique à

ungroupe de philosopheset d'hommesde siene italiens. Ilavaitespéré queleplus

éminent d'entre eux, le baron Plana, érirait unartile ou un rapport sur le sujet,

mais Plana se dérobaen invoquant desennuisde santé.Ildutseontenter, àlan,

du onours d'un jeune ingénieurmilitaire, le apitaine Luigi Menabrea (quidevait

devenir plustardPremierministred'Italie). [...℄Ilparut,enfrançais, danslaBibli-

othèqueUniverselledeGenève, enotobre1842.

[Ste-85℄, pp.117-118delatradutionfrançaise

Les travaux de Prony sont ités par Luigi Menabrea [Men-42℄, probablement ave l'en-

ouragementdeBabbage,ommeunpréalableàladisussiondelaMahine Analytique dee

dernier.

Lanotiondeprogramme(d'ordinateur)estdueonjointementàCharlesBabbageetàLady

AdaLovelae. Elleapparaîten notedans latradutionanglaise[Men-42℄queLady AdaLo-

velaedonnedel'artiledeMenabrea.

1.1.6.4 Les bureauxde aluls

Onadonemployédeshommesmoinsqualiésquelesmathématiienspouraideràl'établis-

sementdetables.Iln'estpasnéessairequ'ilssahentequ'estunlogarithme,parexemple.On

leurommuniqueunplandealulsàréaliser,avedesasesàremplir.Lesaniensinstituteurs,

en partiulier, onviennent bien à ette tâhe. Le rle du mathématiien onsiste à établir e

plandealul,eprogrammeouetalgorithmeommenousdirionsdenosjours.Naissentalors

lesbureauxdealulsdanslesquelsdesemployéssuiventl'algorithmepourunjeudedonnées,en

eetuantlesquatre opérationset enlesreportantsurdes feuilles surlesquelles l'emplaement

des opérationsintermédiaires est marqué. Les employésne omprennentpasnéessairementle

butdeettesuitedealuls,maiselan'apasd'importane.Lesbureauxdealulsdeviennent

desoinesourantesàlanduXIX

e

sièle etnedisparaîtrontquedanslesannées1960ave

l'utilisationourantedesordinateurs.

1.1.6.5 Caluls de résistane des matériaux

KonradZuse,né le22 juin 1910 àBerlin-Wilmersdorf, passe ses jeunes années en Prusse- Zuse

Orientale, puis en Silésie, selonles aetations de son père, fontionnaire des Postes. Dès ses

étudesseondaires,àDresde,sonpenhantpourlesdisiplinestehniques semanifeste.Lorsque

sesparentss'installentàBerlin,en 1927,Konradentreàl'Éole tehniquesupérieurede Char-

lottenburgetyobtient,en1935,undiplmed'ingénieurivil.

lentdéliatset interminables,bien queleurprinipesoitparfaitementmaîtrisé.Pouralulerla

strutured'untoit,uningénieurdoitrésoudreunsystèmed'équationslinéairesprenantenompte

unertainnombredeparamètrestels quelepoids,larésistaneet l'élastiitédesmatériauxde

onstrution.Lalimitepratiquepourunindividuestunsystèmedesixéquationsàsixinonnues.

Mêmeavel'aidedealulatries,une équiped'ingénieurspassedesmoisàrésoudrelesystème

d'équationsrelatifàungrandtoit.

Pourallégeres orvées, Zuse imaginededessiner destableaux préimprimés,déomposant Tableaux

enétapeslesproessuslesplusfréquents.Lesdonnéesvariablessontplaéesdansdesases;leur

emplaementetdesèhessymbolisentlasuitedesopérationsàeetuer.

Il vaplusloin. Pourquoi ne pasonstruire unméanisme qui exéuteraites tâhes seul et Mahine

danslebonordre?Lejeune hommedéouvrequ'ilest inutiledetransférerdesdonnéesdease

enase;onnaîtrel'adressede esdonnéessut; dûment instruit,unalulateurautomatique

saurait les y trouver, à l'instant néessaire. L'essentiel reste de déterminer un bon

hh

plan de alul

ii

.Autermedesesréexions,Zuseenarriveàonevoirunemahinethéoriquegénérale, apabled'exéutern'importequelleséquened'opérationspourvuqu'onsahel'exprimersousla

formed'unesuitenied'opérationsélémentaires.Ilaboutitàunethéorieanalogueàelled'Alan

Turingdontilignorelestravaux,aveunediéreneessentielle:iln'ajamaisprévularupture

deséquene.

Fin 1935, son diplme en pohe, Zuse prend un emploi d'analyste de ontraintes dans un Brevet

bureaud'étudesduonstruteuraéronautiqueHenshel,àBerlin.Laorvéedeséquationsàré-

soudre,denouveauprésente,leonrmedanssadéisionderéerune

hh

mahine

ii

.Àpartirde 1936, Zuse onsare sesheuresde liberté àlaréalisation deson projet, utilisant pour elaun

oindu salon deses parents,transformé enatelier. Ilomprend quela méanisationdu alul

en base dix est tropomplexe et s'oriente verslebinaire. Dans unalulateurontrléparun

programmeérit surunruban et lu parlamahine, leprogrammeest une suited'instrutions,

haunespéiéeparunoded'opération,deuxadressesd'opérandesetuneadressederésultat.

Leseul témoignagede l'époque qui nousrestede es réexionsest ledépt debrevet,datédu

11avril1936:

L'inventionsert àfaireexéuterde façonautomatique par unalulateurdesaluls

réurrents,onsistanten unassemblage d'opérations arithmétiques élémentaires.

Leprérequispourhaque typede alul estde préparer unplan de alul danslequel

les opérations sont listées séquentiellementen indiquantleur type. [...℄

L'exéutiondesopérationsnumériquesestuneativitépurementméanique.Ellepeut

êtreexéutéesurdesalulateursonformément àla méthode suivante.

On relieles organes arithmétiques auxorganes de mémoire àtraversunméanisme

de séletion de façon que toute ellule de mémoire puisse aepter un nombre. Le

but du séleteur est de relier la ellule de mémoire requise ave l'organe de alul,

parunmoyenméanique ouéletrique,de façonàutiliserlenombrestokédansune

opération oude stokerunnombre danslaellule.

[...℄

Leplan de alul estreprésenté sousune forme adéquate pour leontrle desdivers

organes, par exemple surunruban perforé. Leplan est alors lu, setion parsetion,

par la mahine etfournit les données suivantespour haque opération arithmétique

individuelle :les adresses numériques desellulesde stokageontenant lesopéran-

des;letyped'instrutionarithmétiquedebase;l'adressenumériquedelaelluledans

laquellelerésultatdoitêtrestoké.Leplan dealul initielesopérations néessaires.

Nous désirons préparer unplan pouraluler undéterminant

3 × 3

^.

∆ =

a ¹¹ a ¹² a ¹³ a ²¹ a ²² a ²³ a ³¹ a ³² a ³³

Nous avons neuf valeurs initiales. Pour éviter l'introdution de nouveaux symboles

alphabétiques auoursdualul,lesvaleurssont numérotéesséquentiellement.

∆ =

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Opération 1.)

1 × 5 = 10

^10.)

18 × 9 = 19

2.)

10 × 9 = 11

^11.)

3 × 5 = 20

3.)

2 × 6 = 12

^12.)

20 × 7 = 21

4.)

12 × 7 = 13

^13.)

11 + 13 = 21

5.)

3 × 4 = 14

^14.)

22 + 15 = 23

6.)

14 × 8 = 15

^15.)

23 − 17 = 24

7.)

1 × 6 = 16

^16.)

24 − 19 = 25

8.)

16 × 8 = 17

^17.)

25 − 21 = 26 = r´ esultat

9.)

2 × 4 = 18

Ily a26nombresapparaissant auoursdualul.Sila mémoireaassezde ellules,

il serapossiblede stokerlesnombresdanslesellulesorrespondantàleursadresses

numériques.Onpeutependants'arrangerpouravoirmoinsdeellulespuisquebeau-

oup deesnombresn'ontpasbesoin d'êtrestokés,ilsutqu'ilsrestentdansl'unité

arithmétique; d'autre part quelques ellules deviendront libres au ours du alul

puisque leur ontenu ne sera plus requis. On a intérêt à onstruire le plan de al-

ul en utilisant le moins possible de ellules mémoires. An que le plan suive un

shéma uniforme, un nombre qui reste dans l'unité arithmétique pour la prohaine

opérationserastokédanslaellulemémoire0.Leplandealulontientalorsquatre

paramètrespourhaqueopération.

Plandealul pourundéterminant

3 × 3

Opération Adresse de la ellule Types d'opération Adresse de la

No. pour l' opérande arithmétique ellule du

1 2 de base résultat

1.) 1 5 Mult. 0

2.) 0 9 10

3.) 2 6 0

4.) 0 7 11

5.) 3 4 0

6.) 0 8 12

7.) 1 6 0

8.) 0 8 13

9.) 2 4 0

10.) 0 9 14

11.) 3 5 0

12.) 0 7 15

13.) 10 11 Add. 0

14.) 0 12 0

15.) 0 13 Sous. 0

16.) 0 14 0

17.) 0 15 0 = résultat

[Zus-36℄

Ils'agitd'unprogrammelinéaire,séquenementd'instrutionsélémentaires,sanspossibilitéde

rupturedeséquene,quiaétéredéouvertparZuseindépendammentdelamahineanalytique

deCharlesBabbage.

1.2 Bibliographie

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sousla diretionduitoyen Prony, membre de l'Institutnational,etdi-

reteurdel'ÉoledesPontsetChausséesetduCadastre,ave lerapport

sur es tables et sur l'introdution qui y est jointe, fait à la lasse des

sienesphysiquesetmathématiquesdel'Institutnationalparlesitoyens

Lagrange,LaplaeetDelambre,Paris,Baudouin,1801.NumériséparGoogle.

[Cedoumentontienttroisparties:1)lanotieelle-même,datéedu1

er

germinalan

9(pp.18),2)unsupplémentsurlesorretionsàl'OpuspalatinumdeRhetius,

datédu21germinalan9(pp. 812),enfaitunrésuméde[Pro-03℄,3) unrapport

surlestables parLagrange, Laplae et Delambre,daté du11germinalan 9

(pp.1326).℄

[Pro-03℄ Gaspard-Clair-François-Marie Rihe de Prony, Élairissemens sur un point de

l'histoiredestables trigonométriques,Mémoiresde la lassedes sienes ma-

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1801,page231etdansL'espritdesjournaux,septembre1801,pp.166-167,ainsi

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1.3 Exeries

Exerie1.-(Soustration)

Lasoustrationn'estpasuneopérationtotalesurl'ensemble

N

^{desentiersnaturels.Onparle}

desoustrationomplètelorsqu'onprolongeetteopérationpar0pourunpremieropérande

pluspetit queleseondopérande.

Érire un programme qui alule la diérene omplète de l'entier naturel ontenu dans le

registre

e 1

^{parelui ontenu dansleregistre}

e 2

^{etplaelerésultat dansleregistre}

s 1

^.

Exerie2.-(Codagedes motspar des entiers naturels)

Exerie3.-(Génération desensemblesinnis)

Nousavonsditquenousavionsdelahanear,bienquel'ensembledesopérationsalulables

parunordinateursoitinni,touteopérationalulablepeutêtreengendréeàpartird'unensemble

ni par unnombreni de onstruteursd'opérations.

-1

o

)Toutensembleinniest-ilengendréàpartird'unsous-ensembleniparunnombreni

deonstruteurs?

- 2

o

) Tout ensemble dénombrable est-il engendré à partir d'un sous-ensemble ni par un

nombrenideonstruteurs?

Exerie4.-Nousavonsvuquelenombredeprogrammeset lenombrede fontionsalulables

sontinnis.

Se pourrait-ilque lenombrede programmes soit inni alors quele nombrede fontions al-

ulablessoit ni?

Exerie5.-(Division par médiationetdupliation)