Solutions p6riodiques d'un syst~me diff6rentiel non lin6aire du second ordre avec ehangement de signe (*).

Annali di Matematica pura ed applicata (IV), Vol. CLVI (1990), pp. 73-111

Solutions p6riodiques d'un syst~me diff6rentiel n o n lin6aire du second ordre avec e h a n g e m e n t de signe (*).

LE~LA LASSOUED

R ~ s u m 6 - On s'intdresse & la recherche de solutions T p~riodiques d ' u n syst~me ~ -4- a(t)%V (x) =

-= ](t), o~ a: R ---> R et ]: R --~ R ~ sont T pdriodiques. Le potentiet ~Y est supposd convexe sous quadratique et on utilise la ]o~'mulation variationuelte duale du probl~me. On ddmontre diN~rents rdsultats d'existenee d'au moins une solution au probl~me, non triviale dans le eas o~ la ]onetion ] e s t nulle.

I . - I n t r o d u c t i o n .

D u n s ce t r a v a i l on s'int6resse 5 la recherche de solutions T-p6riodiques d ' u n sysSbme diff6rentiel du second ordre n o n lin6aire:

+ a(t)co"(z) =/(~)

off ~: R - + R et /: R - - > R n sont des donn6es suppos6es T-p6riodiques, lu f o n c t i o n a ( . ) chunge~nt de signe, et off cU: R -> R n e s t u n p o t e n t i e l de clusse C 2 s t r i c t e m e n t c o n v c x e sous-quadrar

I~es hypothSses pr6cises sont donn6es uu p u r a g r u p h e I I . 1 ; on n o t e r a duns r o u t e lu suite (1) le p r o b l ~ m e

(1)

+ a(t)~u'(x) = / ( t ) x(O) = x(y)

~(o) = ~ ( T )

p.p sur [0, T]

e t (1') le p r o b l b m e n o n fore6:

(1')

§ a(t)~'(x) = 0

x(0) = x(iV)

~(0) = ~(T).

p.p. sur [0, T ] .

(*) Entrata in Redazione il 5 maggio 1988.

Indirizzo dell'A. : Ceremade et Facult6 des Sciences de Tunis, D@artement de Mathg- matiques, Campus Universitaire 1060, Tunis, Tunisie

7~

L. LASSOUED:

Solutions p6riodiques d'un syst~me di]]drentiel, sty.

Avec l~hypoth~se de convexit6 de q J, le probl~me (1) est 6quivulent g, u n probl~me de points critiques pour une fonctionnelle r dire d'gction dua.le, dont l'id6e eat due g~ (~LA~X:E et ~EKELAND ([9], [10]). Duns le cas off la fonction a(. ) garde u n signe con- stant, cette fonctionncllc eat minor6e ou mujor6e selon qne a(. ) e s t positive ou n6- gutive, et il eat alis6 d'en d6duire l'existence d ' u n e solution uu probl~me (1). l~en- voyons ~ 1'article de C~ANKv. et EX~LASD [11] O/t eat trait6 le ayst~me plus g6n6ral

+ ~ ( t , x) =/(t)

(avee ~U(t, x)~>0), et 6galement ~ t~abinowitz [17] pour u n r6sultut duns u n cadre

n o n c o n Y e x e .

Duns le pr6scnt travail, on 6tudie le GaS Off lU fonction a(. ) change de signe.

I1 n'existuit pus jusqu'ici de r6sultut g6n6ral duns ce cas, except6 u n t r a v a i l de D. 0. CLANK [8] qui truite le cua off le potentiel est pair. Le probl~me u p o u r t a n t son importance en physique, il intervient n o t u m m e n t en m6cgniqne quuntique, duns l'6tude d u confinement de particules quantiques duns u n chump 61ectrique de radio fr6qucnce [12].

Q u a n d la fonction a ( . ) change de signe, lu fonctionnclle q5 n'est ni minor6e, ni mujor6e, muis l'espace /~ sur lequel elle est d6finie se d6compose en somme directe de trois sous-espuees, u n espace E+ sur lequel elle est strictement convexe, u n eapace E - sur lequel elle est atrictement concave, et u n espace E ~ de dimension finie. On utihse alors une m6thode due '~ A ~ A s ~ [1] (voir 6gulement A ~ A ~ et Z n s D ~ n [2]) qui tr~nsforme, par u n th6or~me de point selle, le probl~me en u n probl~me de re- cherche de points critiques d ' u n e fonctionnelle r6dnite ~ sur l'espuce E ~ Ceci est d6taill6 duns le parugrsphe I I I . 1 et on obtient par, solon les cas, minimiaation ou maximisgtion de ~o des th6or5mes d'existence d ' u u moins une solution au probl~me (1).

Duns le GaS Off lg fonction ] eat nulle, le probl~me (1') u une solution constance dire solution trivi~le, et on donne des conditions asaurant lu non-trivialit6 de lu solu- tion obtenue par ls m6thode pr6e6dente. On obtient 6galement d'uutres r6sultats 4'existence d ' u n e solution non triviale en appliquunt g ~ l e th6or~me d'Ambrosetti- Rabinowitz ([3]) ; on suppose pour celu le potentiel ql u s y m p t o t i q u e m e n t quudratique et non r6sonnant s l'infini, conditions qui semblent 6tre assez nuturelles du point de r u e physique ([12]).

Tous lea r6sultuts de non triviulit6 obtenus ici ne s'uppliquent que lorsque lu fonction a(.) est de valeur m o y e n n e strictement n6gutive. L ' 6 t u d e du cars off la vuleur m o y e n n c de a(.) est positive ou nu]le n6cessite une r6duction de la fonction- nelle autre qne celle d6velopp6e ici, on en rendrg compte duns u n second article (voir [153).

D ' a u t r e part, on t r o u v e r a d6taill6 dana [15] l'interpr6tation des diff6rents r6sultuta 6tublis ici duns l e c u s d ' u n e fonction a(" ) constunte par morceuux.

Signalons 6gulement que S. ~ A ~ L O V ~ I [16] u entrepris uric exploitation num6- rique de ce t r a v a i l et que los premiers r6sultuts sont tr~s sutisfaisants.

L. LASSOVV, D: Solutions p~riodiques d'un syst~me di]ldrentiel, etc. 75 N o t o n s entin que l'6tu4e d u probl~me (1), ou m~me [1'), ~vee a n p o t e n t i e l sur- q u u 4 r a t i q u e (voir p a r exemplo [~], [16]) reste u n probl~me ouver~.

II. - P o s i t i o n d u p r o b l ~ m e e t f o r m u l a t i o n v a r i a t i o n n e l l e . 1. _Proposition dn probl~me.

On s'int6resse ~ 1~ recherche 4e solations 4u probl~me

~(~) + a(t)r = ](t) p.p sur [0, T]

(1) x(O) = x(T)

~(o) = ~(T)

off x: [0, T] -+ R ~ ~ p p ~ r t i e n t ~ l'esp~ce C',+([0, T], R ~) 4cs fonctions 4e classe C 1 sur [0, T], 4e d6riv6e a b s o l u m e n t continue.

On fair les h y p o t h e s e s suivantes:

(r I r R ~ - > R est s t r i c t e m e n t convexe, de classc C 2, e t v6rifie:

/

Vx e R~ ~U(x)/> ~ ( 0 ) = o .

I1 e x i s t e des r6cls s t r i c t c m c n t positifs e e t A tels que ( ~ ) (2) Vx ~ R ~ ~ " ( x ) < A . 1

(3) Y x e R ~

r

I1 existe des r6els s t r i c t e m e n t 9ositifs k, K , C1 ct C2 tels que

(4) Vx e R~ %~(x) < ~ [xl ~ +

~

( % )

(5) V x E R - %~(x)> K [x[~--r

On n o t e %0 = r 1~ conjugu6e de F e n c h e l de ~U ([4]) qui est 46finie p a r : Vy e R ~ %0(y) = sup [x.y -- ~U(x)].

~ R n

Avec les h y p o t h e s e s faites sur cU, %0 est u n e fonction c o n v e x e de classe C ~, qui v.6rifie:

(6)

(7) (S)

Vy e R ~ ~l)(y) ~> %0(0) = 0 x = %0'(y) ~ z y ---- 'U'(x) vv e R~ %0"(y) = ~"(%0'(v)) -1

76 ~. LASSOUED: Solutions pdriodiques d'un syst~me di]]~rentiel, etc.

(9) 1

Vy e R ~ ~ " ( y ) >~ ~ I

(lO)

V y e R n q ~ . ( y ) < l x

(11) Vy e R * 1

(12)

V y e R ~ ¹

On s u p p o s e 4 ' a u t r e par~ que la fonc t i o n a a p p a r t i e n t ~ LI([0, Y], R) et que

o/1

[0, T] = I + U I - ( 3 k r

x+ = {t e [o, z ] : a(t) > o}

z - = (t z [o, r ] : a(t) < o}

et off N est u n ndgligeable de [0, T].

On p o s e

o~+ = f a(t) at

1+

0:- = - f a(t) at

I -

T

- - ~+ +

~-=fla(t)lat

0

et on s u p p o s e ici que ~+ et ~- sont s t r i c t e m e n t positifs, e'est-~-dire que la f o n c t i o n a c h a n g e e f f e e t i v e m e n t de signe, le cas off elle g a r d e u n signe c o n s t a n t 6 t a u t resolu.

On utilisera la f o n c t i o n m : [0, T] -~ R definie p r e s q u e p u r t o u t p a r

re(t) =

a(t) I+

- - ~ - S'lX r

a(t)

sur I - .

On s u p p o s e enfin que ]: [0, T] -+ R ~ est m e s u r a b l e et v6rifie

T

f

^{lit ~}

0

L. ~A.SSOUED: Solutions pdriodiques d'un sys~me di]]drentiel, etc. 77 REM~RqUE 1.1.

1) La condition (~Us) concerne le comportement de cO ~ rinfini. Comme qJ v6rifie 4'autre part (cU~) on peut supposer

t<K<<.k<A .

2) L'hypoth~se (3) d~ns (~U~) peut ~tre remplac6e par (3'):

I1 existe des r6els strictement positifs 7 et U3 tels que

(3') v x ~ R - I ~ ' ( x ) l > r l x l - v8

(voir l& remarque 3.13 de [15]).

2. Formulation variationnelle.

On note E l'espaeo des u: [0, T] -+ R . measurables tels que

T

0

muni du pro4uit sealaire

2"

<u, v>~ = f_~u" v dr.

0

E est un espaee de Hflbert qui s'injeete eontinfunent clans Z~([0, T], R"):

l i m b , < IIali~,llull~ 9

(13)

On pose:

T

0

L'espaee E se d6compose en somme direete orthogonale E = E + Q E - @ S o, off:

E + = { ~ e E : u = o sur I - }

~ - = { u z ~:: u = o sur I - }

78 L. LASS0UED:

Solutions pdriodiques d'un systOme di//drentiel, etc.

S i p + ,

p_. Po,

46signent les opSrateurs do p r o j e c t i o n sur

E+, E-, EO

respec$ivemen%

0D. r

I+

I+

I+

On no~er~ E ~ E +, E~-~ E~ los espaces obtenus lorsque n : 1 e t p+, - P l , Pl les opera- o tours do p r o j e c t i o n d~ns co cas.

On r~ppelle que

IIu

d~sig"ae la p r i m i t i v e de m o y e n n e nulle do u:

t T

f(f )

Hu(~) = (8) . ~ u(s) ds

0 0 0

d~

On d~finit sur E la fonc~ionnelle

~ V e O

T

1 f ]iZu[~dt

~ ( u ) =

- ~

T

j \ a ]

0

dt.

P~0P0SITI02r 2.1. - L~ fonctionnelle q}~ s%crit

~ 1 ( ~ ) = - 89 ~>~

off L e s t u n o p ~ r ~ e u r c o m p a c t a u t o a d j o i n t d6fini positif. On n o t e 21 lu plus g r a n d e vuleur p r o p r e de L.

On ~:

D~ns le cas ol/1~ f o n c t i o n a est clans L ~176 on a:

5 2

:L. L.tSSOtr~D:

Solutions pdriodiques d'un syst~me dif/drentiel, ete.

79 D]~ONSTRATION. -- On v o i t que

T

~(u) = 89

0 9~VeC

= - 89 u}~

T

0

I1 est clair que L e s t c o m p a c t , a u t o a d j o i n t et d~fini positif. D ' a u t r e p a r t p o u r u a p p a r t e n a n t ~ LI([0, T], R ) , on a

vt e [0, r ] ]//u(t)[< ]tui]~,.

E n effet,

IIu

~ t a n t de m o y e n n e nulle sur [0,

T],

il existe u n p o i n t to de [0i T] off

IIu off IIu

s'annule. On a done

d'ofi

t

lIu(t) -~ f u(s) as

to

]//u(t) [ < llu ]1~,.

On a done

T

((~3)) f lzIul ~ at< ~ l l u l l ~ < rlt~ll~,l[ullg

0

d'ofl

D a n s le cas off la f o n e t i o n a est clans

L ~,

on a

et E s ' i n j e c t e done e o n t i n f u n e n t 4ans Z 2. _T

. ' a ~ t r o par~ on ~ait qne pour u a p p a r t o u a ~ ~ ~X = {u ~ ~ : f u = o} on

0

T On en d~dnit

T 2

80 L. LASSOUED:

Solutions p&iodiques d'un syst~me di]l&entie 4 etv.

done

~ 2

D a n s ta suite on n o t e r ~ 2 + la plus g r a n d e v a l e u r L+ = p+oL]~+, qui v6rifie done

k~+<kl.

D'autre part, pour u + apparten~nt g E +, on a

• I ( U +) = - - {<L-t-U-F, U-F>~+

d o n e :

( 1 @ Vu + e 2; + ~ l ( u +) > -

k1+

]tu+ jj~

p r o p r e de l ' o p 6 r a t e u r

}~ El~IAl~ QLVE S 2 . 2 .

1) #1 = 1/kl est la plus p e t i t e v M e u r strietemen% p o s i t i v e p o u r laquelle l ' 6 q u a - t i o n ~ ~-

#la(t)lx

= 0 a d m e t u n e solution T p6riodique n o n nulle.

2) D e m 6 m e , #1--+- 1/k + est is plus p e t i t e v a l e u r s t r i e t e m e n t p o s i t i v e p o u r laquelle le p r o b l ~ m e

~,

§ #la(t)jx

= 0 p . p . s u r I +

= 0 p.p. sur I -

T T

=h=0

0 0

a d m e t u n e solution n o n nulle.

3) D~ns le cas off lu f o n c t i o n a a p p u r t i e n t g L q, 1 < q < ~- 0% on p e u t p r o u v e r , en utilis~nt le l e m m e de e o n v e x i t 6 de W. Riesz [13], s s u i v a n t e :

~2--11q

~1 < - - ~ ,~'2~'~-~--- ~ [Ja liL,, 9

PROPOSITION 2.3. -- L a fonctionne]]e s est c o n t i n f i m e n t diff6rentiable sur 2;~

d e u x lois G g t e a u x diff@entiable et on a (15)

(16)

T

0 T

0

L. LASS0UED:

Solutions pgriodiques d!un syst~me di]f~rentiel~ ete.

81 DI~I~IOI~STRATI01~. -- L~iu6galit6 (12) m o n t r e que ~ est bien d6finie sur E.

Soit g: [0, T] x R " - - > R ~ donn6e p a r

g(t, x) =

a'~(. [a[89 ]) si t ~ I + U I-

0 si t e n

et soit T la fonctionnelle d6finie sur Z~([0, T]~ R ") p a r

T

w(v) = f g(t, v) dr.

0

On a

q~(u) = ~

D~autre p a r t p o u r t o u t t ~ [0, T] l'application

x-+g(t, x)

est de classe C ~ sur R "

et v6rifie

IlgWu(t, x)II < 1.

On p e u t alors appliquer le r4sultat de [4] (page 2~): on o b t i e n t que ~ est de classe C1~

d e u x fois G ~ t e a u x diff6ren$iable sur Z2([0,

T], R ~) et

Vh ~ L ~

T

~'(u) h =fg'(t; ~) h dt

0

T

~p"(u) hh -~fg~"(t, v) hh dt.

0

E n r e v e n ~ n t ~ ~ on o b t i e u t

V h ~ E

T

0

hdt

T

o 0

dr.

d~ofi le r~sultat.

82 L. LASSOUED: Sohttions p~riodiques d'~n syst~me di//drentiel, ete.

De ees d e u x propositions on d6duit:

PtCOPOSITION 2.4. - 9 de elasso C ~ d e u x fois G ~ t e a u x diff6rentiable avec:

(17)

(~s)

0 T

0

De plus (10) m o n t r e que

1

L a proposition suivante, qui est une v a r i a n t e d ' u n principe de dualit6 g6n6ral dfi a CL~K~, et EKELA~D ([9], [10]), men%re c o m m e n t la r6solution du problbme (1) se f a m i n e s la r e c h e r c h e d ' u n p o i n t critique de q~.

PI%OPOSITIOI~ 2.5.

a) Supposons que x soit u n e solution du probl~me (1). Alors u =- -- ~ est u n p o i n t critique de qi.

b) I n v e r s e m e n t si ~ est u u p o i n t critique de qs, il existe u n u n i q u e ~ e R ~ tel que x = - II2u + ~ soit solution de (1).

D ] ~ I K O N S T I ~ A T I O N .

a) Soit x une solution due probl~me (1) et s o i t ~ : -- ~ ---= a c U ' ( x ) - / . L'in6- galit6 ]~U'(x)l<Afx ] d6duite do (2) d o n n e

T

et @ ~ p p a r t i e n t donc ~ E .

D ' a u t r e p a r t , ~ + aqJ'(x) = f d o n n e

~ ' ( x ) =

a

Donc, d ~ p r ~ s (7)

X ~ q l ) t

L. LAgSOUED: Solutions p~riodiques d'un syst~me dil]drentiel, etc. 83 Or, c o m m e x ( O ) = x(T), on a

et

On o b t i e n t done

c ' e s t - ~ - d i r e

~ = - H u

x = - l I ~ u § ~ R " .

+ (U)

~'(u) = 0 .

b) Soit u u n p o i n t critique de 4 : on a done

II~u

ce qui s'6erit en u t i l i s a n t ~ n o u v e a u (7)

u + t ^_ cU,(_H2 u + ~)

a

e t on v o l t que x : - ll~u q - ~ est solution du p r o b t 6 m e (1).

I I I . - R 6 d u e t i o n h l a d i m e n s i o n f i n i e par r a i n - m a x .

1. La rdduetion ~ la dimension ]inie.

On cherehe done ~ p r o u v e r l ' e x i s t e n c e d ' u n p o i n t critique p o u r 4 . On p e u t uti- liser p o u r ccla u n e r6duction ~ la dimension finie p a r r a i n - m a x s u i v a n t l ' a p p r o c h e i n t r o d u i t e p a r H . A ~ A ~ [1] (volt 6galement [2]).

Tm~ORk~E 1.1. - On s u p p o s e

(19) ~ <

~-~-

1

I1 existe alors u n e u n i q u e a p p l i c a t i o n

E ~ E+ ^x E -

~o _~ (~+(~0), u - ( u ~

84: L. LASSOUED: Solutions p~riodiques d ' u n syst~mo di//drentiel, etc.

telle q u e p o u r t o u t u ~ e E ~ ~t + e E+, u - e ]~-:

(2o) r

u+(uo) +

u - ) < r u+(uo) § u-(~o))<r u + + u-(uo)).

D e plus e n p o s a n t q~(u ~ = q S ( u ~ 2 4 7 u+(u ~ § u-(u~ o n a :

{

~ ( u ~ = m ~ x r a i n ~b(u ~ + u+ § u - )

u - e E - u + e E +

~ ( u ~ = m i n m a x qb(u~ § u + § u - ) .

u + e E + u - e E -

D ' a u t r e p a r t ~ est u n e a p p l i c a t i o n de classe C ~ s u r E ~ d o n t lu d6riv6e e s t d o n - n 6 o p a r

(22)

r = r + u+(uo) + u-(uo)).

D~ONSTRATION. -- O n a d a p t e cello d u th6or&me 2.3 d e [ l ] . D6finissons F : E+ x E - • E ~ --~ R p a r

~(u+, u-, uo) = r + u- + uo)

F est de clusse C ~, d e u x lois diff6rentiable et on a :

V'h+ e E + ~'~+~+~ , u - , u ~ h + h+ = ~1,(u + + u - + u ~ h + h+

d o n c

T

~+~§ ~ u-, u~ + = IIh+12dt + qlY I h+h+

Ct

0 2 -

D e m ~ m e Vh- e E - :

T

0 I -

P o s o n s # = l / A - - ~+.

P n r h y p o t h ~ s e # est s t r i c t e m e n t p o s i t i f et ce qui pr6c~de m o n t r e q u e p o u r t o u t uOe E ~ ] ' a p p l i c a t i o n

F~. : E+ x E - --~ E+ • E -

! + l

(u+, u-) -~ (F~+(u , u-, u ~ ~L_(~+, u-, u~

est V m o n o t o n e , c~est-~-dire v6rifie, Vx e E + • Vy e E + • E -

< F ~ o ( x ) - - l ' ~ o ( y ) , x y } z + • _ 2

L. LASSOUED:

Solutions pdriodiques d'un syst~me di]]dren$iel, ere.

85 D'apr~s u n r4sultat classique, ([14], proposition II.3.3), F . a d m e t alors u n u n i q u e z~ro,

(u+(u~

u-(u~ F ~tant convexe en u +, concave en u-,

(u+(u~ u-(u~

est 1'unique p o i n t s o l e de F(-~ .~ u~ 4'off les relations (20) et (21).

lV[ontrons que 1'application

O: u ~ (u+(u~ u-(u~

est lipschitzienne. P o u r t o u t Uoe E ~ et tou~ v~176 on a:

<r~o(O(uo)), o(uo)_ O(vo))

= <roo(O(uo)) - ro.(o(vo)), o ( u o ) -

o(vo))>#lIO(uo)-

o(vo)ll , et done

O r

(18)

d'ofl

[Io(uo) - O(vO)tl < ~ I1F~o(O(uO))

1

iIr~o(O(uO)) It = ]lr~o(0(uo)) - r.~

< ir176 u-(uo)+ ~ o ) - r u-(uo)+ uo)lI < (~ + 411 lluo-voll

/

0 est 4one lipshitzienne.

D ~ m o n t r o n s alors que ~o est de classe C1: t e n a n t e o m p t e 4e

r'.§ ~ (u+(uo), u-(uo), uo) = o

_{( , - )}

on ~:

~(vo)_ ~(uo) = F(o(~o), vo) - F(o(uo), uo) =

r 0

= < F A 0 ( u ), uo), ~ o - uo> + o(ll0(uo)

O(vo)il +

1]~ o - ~ojl) et e o m m e 0 est lipsehitzienne:

~(v o) _ ~(uO) = <F'o(0(uo), uo), r e _ uo) + o(lluo_ veil ) ce qui p r o u v e que ~o est de clusse C ~ er que:

l 0

~,(uo) = r~o(o(u ), uo) = po~,(u+(uo) + u-(uo) + uo) = ~,(~+(~o) + ~-(~o) + ~o)

ear

q~'(u+(u~ + u-(u ~ + u ~

a p p a r t i e n t ~ E ~ Le th6or~me est ainsi d6montr6.

86 L. LASSO~JI~D: Solutions pdriodiques d ' u n syst~me dij]~rentiel, etc.

On s u p p o s e duns r o u t e la suite

A < 2-~"

L a r e l a t i o n (22) m o n t r e q u ' ~ t o u t p o i n t critique u o de ~o est associ@ 18 p o i n t critique u --= u+(u ~ @ u - ( u ~ d- u ~ de q). I n v e r s e m e n t si u ---- q~+ d- u - @ ~o est u n p o i n t cri- t i q u e de r il est clair que u + = u+(u~ u - = u-(u~ et que u o est un p o i n t cri- t i q u e de ~o.

On s ' e s t done r a m e n 4 ~ la r e c h e r c h e d ' u n p o i n t critique p o u r ~v sur E% espace de d i m e n s i o n finie n.

D u n s ce qui suit on d 6 m o n t r e d ' a b o r d que ~oest de classe C 2. Puis on cherche des e s t i m a t i o n s de ~ h. l'infini p o u r , selon le cas, m i n i m i s e r ou m a x i m i s e r ~s s u r / i J ~ On ~tudi% duns 18 cas j ~ o, la n o n trivialit4 du p o i n t critique o b t e n u . Enfin, duns 18 cas off ~U est a s y m p t o t i q u c m e n t q u a d r a t i q u e ~ l'ifini et J -~ o, on a p p l i q u e le t h d o r g m e 4 ' A m b r o s e t t i - R a b i n o w i t z .

2. Regularitd 0 2 de 9~.

PIC0POSITION 2.1. - L ' a p p l i e a t i o n u ~ -+ (uO d - u+(u ~ d- u - ( u ~ @ / ) I n envoie conr n f f m e n t E ~ darts L~([O, T], R~).

Ds -- N o t o n s 0 l ' a p p l i e a t i o n de E o duns E + @ E - donn@e p a r

6(uo)=u+(uo)+u-(uo).

O(u ~ est 1'unique 41dment de E + @ E - t e l que ~ ' ( u o d - O ( u o ) ) e E ~ On a done r + O(u~ = .~(t).q(,~o)

a v e c

(23) n(uo) = f ~ , ( u o + 0(uo)) at e R~.

/ +

e e c i ~ q u i v a u t /~:

off (24)

+ + o + ! ) _ -

2 T

0

sur I + sur I -

dr.

L. LASSOUED:

Solutions p&iodiques d'un syst~me dif/&entiel, etc.

87 O n u done

~, (u~ 0(u~ + / )

~ ' ( u~ 0(u~ + ~ )

H~176 + 0(u~ V(u~

= -- + - ~ - + ~(uO)

= -//~((uO + 6(u~ -- - - V(u ~ § ~(uO)

s u r I + s u r I - . D ou, en u t i l i s ~ n t (7)

uO § O(uO) § /

t~

V(u~ ~(uo))

~ ' (--/~(u~ + 0(u~ + - ~ - +

s u r I +

s u r I - .

L ' u p p l i c u t i o n u O - . 0 ( u ~ est c o n t i n u e de E ~ duns

E+@E -,

d o n e

uO-*II~(uO+

0(uO)) e s t c o n t i n u e de E ~ d u n s L~([0~ T], R ' ) . Les f o r m u l e s (23) et (24) m o n t r e n t q u e u ~ - * ~(u ~ et u ~ -> ~(u ~ s o n t c o n t i n u e s de Eo duns R -. O n en d 6 d u i t q u e

uo + O(u o) § f

U o - - ~

@

e n v o i e E ~ d u n s L~ T], R ~) de fu~on c o n t i n u e . D e c e t t e p r o p o s i t i o n on d 6 d u i t :

COROLL2rlI~E 2.2. -- L ' u p p l i c u t i o n

u0 -+ ~,,(uo+ 6(uo))

E ~ -+ ~(E) est c o n t i n u e .

D ~ 0 ~ S m ~ A T I O ~ . - I1 SUmt de dire que

uo-+ ql)"((uo-] -

0(u o) +

])la)

est con- t i n u e de E ~ d u n s Z~~ T], R~).

t)RoPosI~IO~ 2.3. - L ' u p p l i c u t i o n 0 est de clusse C 1.

D~MONSTlCATION. ^{- -} :Posons

X ~ - E+•

F: X • 1 7 6 R

((u+, u-), u,) -+ r + u - + u~

88 L. LASSOUED: Solutio~s p~riodiques d'un syst~me di]]drentiel, ete.

et

! 0 m ~

r ( x , ~o) = (F +(~, u ), ~'_(x, ~o)) On ~ v u uu cours de lu d e m o n s t r a t i o n du theor~me 1.1 que:

( 1 )

Vy e x (r'(x, uo)y, y)~>~llvtl~ ~ = X - ~+ > o

L ' o p e r ~ e u r / ' ~ ( x , Uo) es* donc u n isomorphisme de X ([6]).

P o u r u ~ ~ ~ h ~ E ~ o~ pose

V(h) = O(u~ h ) - - O(u ~

~(h) = O(uo+ h)-- O(uo).

O n peut 6crire (25)

~ v e e

! o

llF(0(uO + ~), ~ o + h) -- F(0(uo), ~o) _ ~(0(~o), ~o)W(h ) _ F~o(0(~ ), ~o)).hi[ <

< c(h)(ll~(h)ll ~ + II~l]~)~

C(h) = sup liFO(u~ + 8n(h), u~ + ,h) - - P'(O(u~ uo)II 9

8 ~ [ 0 , 1 ]

3~ais ]'(O(u o + h), u o + h) -~ T'(O(uo), u ~ = O, en n o t ~ n t r ls const~nte de Lipschitz p o u r 0, l'ineg~lit6 (25) d o n n e donc

II]'~(O(uo), uo)~(h) + _N~o(O(uo), uo)hi] < (1 + r2)89 . Posons

u(s, h) = u o + 6(u ~ + 8h + 8~/(h) = s [ u o + h + O(uo+ h)] + (1 -- 8)[,to+ O(uo)].

On a,

c(h) < sup []~"(u(8, z~)) - ~"(~(o, o))[I.

s ~ [ 0 , 1 ]

II est clair que, lorsque h t e n d vers zero duns Eo, (u(s, h) + ])/a converge vers u(s, o) + ] u(O, O) + /

d~ns L~([0, T], R ") ,

6b

u n i f o r m e m e n t en ~ [0~ 1]. On en 46duit (Coroll~ire 2.2) que C(h) t e n d vers zero q u ~ n d h t e n d vers zero. On ~ donc

',! 0(~. ~ + h) -- 0(u ~ + [ ~ ( 0 ( u ~ u~176 u~ hll < C~(h)Ilhll

L. LASSO UED:

Solutions p~riodiques d'u~ syst~me di]]drentiel, ere.

89

~ u

lira

C1(h) ~ O

h-~O

e'est-~-dire que 0 est diff6rentiable et

(26) o,(~o) = _ [F'(o(~o), ~o)]-~oC~ ~o).

E n u t i h s a n t ~ n o u v e a u le corollaire 2.2, on volt que

uo---> O'(u o)

est continue, 0 est done de elasse C 1.

D ' a u t r e p a r t (26) signifie que p o u r t o u t

h e . E ~ O'(uO)h

est l'uniquc couple (v% v-) e E + x E - tel que

{ p,[r + 0(u0))(~+ + ~-)] = - ~,[r + 0(~o)) ~]

p-[m,,(uo + O(uo))(v+ + v-)] = - p-[r + 0(~o)) h]

c'est-~-dire tel que

~,,(uo+ O(uo))(v+ + v - + h) e ~ o.

O'(u~

est done e~r~ct6ris6 p a r

(27) r O(uO)(Eh + O'(~o)h] e ~ ~

P g o P o s i T i o ~ 2.4. - L ' a p p l i e a t i o n ~v est de elasse C ~ sur

E ~ et

en t o u t p o i n t u o r i n d i c e de Morse (respectivement le coindice) de ~v en Uo est l'indice (respeetivement le eoindice) de la restriction de la f o r m e q u u d r a t i q u e ~b"(uo+ 0(uO)) ~ l ' o r t h o g o n a l p o u r c e t t e f o r m e de l'esp~ce E + O E - .

D ~ o ~ s ~ A m I O Z r - D'apr~s le thdor~me 1.1, ~o est de elasse C ~ et

~,(u0) = ~ , ( ~ 0 + 0(uo))

r 6rant G g t e a u x diffdrentiuble et 0 de classe C1~ ~0' est G~teuux diff6rentiable et

~,,(uo) = ~ " ( u . + 0(~O))o(id~.+ 0'(uo)).

Le coroUuire 2.2 m o n t r e que ~o" est continue, ~o' est donc de clusse C ~, et qo de classe C ~.

D ' ~ u t r e p a r t , p o u r t o u t h e ~o,

q#'(u~ = qb"(u~ - O(u~ O'(u~ qY'(uO-f - O(uo))(h + O'(u~ O'(u~

car q~"(uo+

O(uO))(h-]- O'(uO)h)

a p p a r t i e n t ~ E o e t

O'(uO)h "s ~ + ~ . E - .

:Notons _~ l ' o r t h o g o n a l dans E de

E + O E -

p o u r is f o r m e q u a d r a t i q u e

q~"(u~ O(u~

P o u r t o u t h a p p u r t e n a n t h Eo, (26) m o n t r e que l'616ment

h-{- O'(u~

90 L. LASSOUED:

Solutions pgriodiques d'un syst~me di]/drentiel, etc.

~pp~rtient ~ F. Inversement, soit u ~pp~rten~nt ~ i~, c'est-~-dire tel que

~,,(u0 + 6(uo)) u e ~ o .

Si

h = poU, O'(u~

~tunt l'615ment de

E + O E -

eur~t~ris4 p a r (26), on voit que

et

(i'(u ~ h = p + u § p _ u

u = h + ~'(u0)h.

Ainsi, lorsque h d~crit E ~ l'~l~ment

h § O'(u~

d~crit l'esp~ce F , d'ofi le r~sult~t

~none~ sur lqndice e t le eoindiee de Morse de ~ en u ~

3. Estimations ~ I~in]ini. Thdor~mes dYxistenee.

O n 46finit:

(2s)

T

Q~,~(u~

^{I//u~ § § ~ a}

0 I +

T

Q~,~(u~ ~-) = IUuo + Uu-t ~ - -~ l"[

0 I -

O n a:

L E ~ E 3.1. - II existe u n e e o n s t a n t e r6elle C telle que p o u r t o u t u s ~ E ~ u ~ me

~ R -, on air

(29) ~(u~ ~+~E~-minQ~'~(u~ u+) § 2 k~ + K ~ - 1~1"-- C l O t - C (30)

q:(uO)<muxQ~,~(uO, u _ ) § l ( 1

~-o~- ~ ~ + ~ 1 ) I~l~+ Cl~l + c .

t ,T

DE~[O~STlCATION. D~ns tous les c~lculs, on n o t e C r o u t e const~nte indSpen- d a n t e de ~.

Soit done u ~

~ R ~,

on ~:

f I~~ dt = I~l-2 ~

I +

1 -

1)

IluOl[~ = ~ + [~I 2 .

L. LASS0~ED: Solutions p~riodiques d ' u n syst~me diMdrentiel , etc. 91 D'autre part, on a:

q~(u ~ = m ~ x r a i n r - u + + u - )

u - ~ E - u + e E +

done

q~(u ~ > r a i n qi(u~ + u +) .

U+E~+

Or

(P(u~ + u+) = (P~(u~ + u+) + ~(u~ + u+)

et

a d \ a l

I + I -

(11) d o n n e

aft) ~ u~ + u+ + dt >~ - - r ^B

a ZF~

I + I -

E n d~veloppant et en m i n o r ~ n t on o b t i e n t :

u o + u + + l > + - - 2 Iiti1 - o

I + I -

Soit

uo + u* + > f~l~ +

I + i +

c r ~ l - c .

D'~utro part en utilisant (12)

9

u ~

I - I -

< ~

1

Ir ~ + clef + c .

E n r e g r o u p a n t on o b t i e n t

~(uo+ u+)>~ql,~(u o, u+) + ~ k ~ K~- [~l~-- Cl~l-- C

4'off (29).

92 L. IJASSOUED: Solutions pgriodiques d'un syst~me di]/drentiel, etc.

(30) se d 6 m o n t r e de fagon analogue, en 6 e r i v a n t que

~(u ~ < m a x q)(u ~ + u - ) .

u - e B -

L E ~ r E 3.2. - I1 existe u n e u n i q u e f o n e t i o n y~,~ e C~,+([0,/'], R ) solution de:

(31)

Si on n o t e

(32)

~) § kay = kaff2m

T

~tdt = 0

0

g / = 0 sur I - et

p.p. sur I +

f~ = o

^@

I +

T

M (k) = f Hm(Hm -- dt

9

M~(k) est u n r6el s t r i c t e m e n t positif et on

(33)

rain Q,.~(u ~ u+) = -89 =~/~(1~) WI~ + z,(f).~ + x~(i)

off x~(]) et m~(]) s e n t des v e c t e u r s de R ~ fonctions u n i q u e m e n t de ], t o u s d e u x nuls s i f = O .

D~ONSTI~ATION. ^{- O n}

xf

T

lf

Q~,~(uo, u+) = - - ~ 1Hu~ § IIu+t~ + " ~ a

0 I +

I1 est clair que Q~,~(u ~ ") est do classe C ~ sur E + a v e e

Vh ^{e E +}

T

,,

o f

Ql.~(u , u+)hh = - Illh[~ + ~ " a

0 + I

O r

~- ~-~+>o.

L. L),SSOV~D:

Solutions pdriodiques d'un syst~me di]/drentiel, etc.

93 Q~,k(uO, .) est done s t r i e t e m e n t convexe sur E+ et a t t e i n t pur cons6quent son mi- n i m u m sur /~+ en u n u n i q u e v+ v~rifiant

(

(34) p+ ]a]//~(~+ + u~ + T~ + = o

ce qui s'~crit encore

Soit h r l ' o p d r a t e u r de E + dans lui-m~me d~fini p a r :

N(u +) : p+([allI~u+) + --ft.

(Jolnmo on

_~ est u n isomorphisme de E+ et (34) 4quivaut

R e m a r q u o n s que, p a r lin6arit6,

p+ d~signant l'op~rateur de projection de E~ sur E + et hr~ l ' o p 4 r a t e u r dSfini sur E1 p a r

~ ( u t) = pt(l~lll~u+~) + -~.

Posons

e t

(35) s'~crit done

v + : - - g~# + h .

94 ^L. LASSOVEI): Solutions p~riodiques d ' u n sYst~me di]]~rentiel, etc.

Calculons alors la v a l e u r du m i n i m u m de Q~,~(uo~ u+). T e n a n t c o m p t e 48 (34) on ob$ient

T

0 I +

T T

= - ~ IHu~ g~+ + ~ (--g~+

0 0 I +

] d r , h + ] ) a

T T

0 0

a v e e

T

0 I +

dt

et

i

f( §

I +

I1 est clair que x~(]) et x~(]) ne d @ e n d e n t que de / et sont t o u s 4 e u x nuls si / = O.

II resto ~ expliciter g l = ~ - ~ ( p + ( l a l H ' m ) ) . On a

p t ( i < m g 0 + g,/~ = p~+(l~lm~)

<::> 3! c ~ R t e l qne

a ( l I ~ g l - - c ) -}- g~/k = a l I 2 m sur I +

<=> 3! e e R t e l qlte y = F l 2 g ~ - - c soit s o l u t i o n de ij -]- Icay = k a I I ~ m sur I +

<=> gl = ?~ off y e C1.+([0, T], R) est s o l u t i o n de ij @ kay = k a l I ~ m sttr I +

T

[ j = o (3].) ^{. 1}

0

? ) = 0 s u r I- et | ~ = O.

i +

~. LASSOUED:

Solq~tions pdriodiques d'~n syst~me di]/drentiel, etc.

95 E n n o t a n t Y~,7: la solution de (31) et

T T T

0 0 0

on a bien

Q,,,(uo, ++) = ^- 89 + x~(l)'~ § x~(l).

M~(k)

est s t r i c t e m e n t positif car lorsque ] - ~ 0, et ~~ 0, on a:

2 0 9

r a i n Q~,~(u o, u+) = - i i , ( k ) l ~ I <Q~,~(u , O) < O

LEI~M_E 3.3. I1 existe une unique fonction Y,.7:e C~'+([0, T], R) solution de

(36)

i] § kay -~ kaiI2m p.p. sur I -

T

f

^{~).= 0}

0

? .

~ 0 sur I+ et [ f f ~ 0

, /

I -

On n o t e

(37)

T

i~(k) =f/?~(/Im- ~,~)

0

M~(k)

est u n r6el s t r i c t e m e n t positif et p o u r u o ~ - m ~ on a (38) m a x Q~,~(u o, u-) = - ~M~(~)l~l~ § x~(/).$ § x,(])

u-~.~,-

off x3(/) et

xd(])

sont des vecteurs de R ~ fonctions u n i q u e m e n t de

],

tons d e u x nuls si I = 0 .

D~O~ST~A~IO~. - On suit la d~marche de la d d m o n s t r a t i o n qui prdc~de.

Q~,~(u~ .)

est s t r i c t e m e n t concave sur E - et on calcule la valeur de m a x i m u m , ce qui c o n d u i t ~ (38).

M~(k)

est s t r i c t e m e n t positiI car lorsque ] = 0 et u%e 0,

Q,,~(u ~ ~-)

est s t r i c t e m e n t n~gatif.

96 L. LASSOUED:

Solutions p~riodiques d'un syst~me di]]drentiel, etc.

On peut alors d6montrer:

T K ~ O ~ E 3.4. - a e t ~U v6rifiant los h y p o t h e s e s faites a u p a r a g r a p h o I a v e e A < 1/2 +, si l ' u n o des conditions

1 1

(39) k~ + K a ~ > M~(k)

Oll

1 1

(40) K a + k~- <

M~(k)

est rdalisde,

le

p r o b l ~ m e (1) a d m e t , p o u r t o u t

] ~ F_,,

a u moins u n e solution.

D~O~ST~AT~O~. - Los relations (29) du l e m m e 3.1 et (33) d u l e m m e 3.2 4 o n n e n t

z[:[

~(u~ 1~+ i;~-

^{C .}

D o n c si

1 1

- - > ~ ( k )

k~ + K ~ - o n a

lira q~(u ~ = + co

IIu ~ I-+ +

et ~ s t t e i n t doric son m i n i m u m sur

E%

espace de dimension finie. On en d~duit (Th6or~me 3.1) Fexis~ence d ' u n p o i n t critique p o u r r donc d ' u n e solution a u pro- b l a m e 1 (proposition 2.3).

D e m ~ m e on a ((30) et (38))

1 [ 1 1 M2(k)]I~I~_~CI~]_~ C

et si 1/k~ + -

1/k~-~ M~(k), ~

a t t e i n t son m a x i m u m sur Eo et la conclusion est la m~me.

Les conditions (39) et (40) ne sont pus explicites et les quantitSs • l ( k ) e t ~ ( k ) ne seront p~s t o u j o u r s f~ciles ~ d S t e r m i n e r duns la p r a t i q u e . I1 f a u t en effet % s o u d r e los syst~mes (31) et (36). On t r o u v e r ~ duns [15] diffSrentes e s t i m a t i o n s c o n d u i s a n t des r~sult~ts m o i n s gSn~raux m s i s d ' i n t e r p r ~ t a t i o n plus claire que celle des con- ditions (39) et (40). On utilisera ici d e u x de ces e s t i m a t i o n s qui c o n d u i s e n t ~ des

L. LASS0VED:

Solutions pdriodiques

d'~n

syst~me di/ldrentiel, etc.

97 conditions explieites. Notons ~ cet effer

(41)

(42) M, =fIZZ+~I ~

I +

otk

(rues I +)

I +

L E ~ : E 3.5. -- On ~:

1) Si

k<1/21, MI(k)<M3;

2) M , < M~(k).

1) Dans le GaS o~ ] = 0 on a

T T

0 0

done si k < 1/21

E n c o m p a r a n t ~vee (33) on o b t i e n t

done

a , v e e

2) On

M , ( k ) < M ~ .

T

e2,~(uo, u-) < - 89 f llIu o + IIu-?

0

T

ma, x Q=,.~(uo, u - ) < m a x - - 8 9 ~ + v] ~

0

9 ' = {~, ~ zoo([o, r ] , n . ) l ~ = eonst~nte s,.~ Z + } .

98 L. LASSOUED: Solutions pdriodiques d'un systbme di]ldrentiel, etc.

Mais le m a x i m u m de -- 89 sur /v est a%eint en l ' u n i q u e w e/V r que

d o n e

et

On a uinsi

et en e o m p ~ r u n t uvee (38)

Flu ~ w = O sur I -

'W =

- - I I u ~ sur I - ( m e s i + ) u ~ sur I +

I +

I +

max Q~,,(u ~ u-) <--89

u - e E -

M, < Ms(A).

I n t r o d u i s o n s les n o t a t i o n s :

(43)

i ~---~+

ka--

~ , = ~ ~=-~_

K~(k) = -~ ~--~_ + M4 9

On p e u t 6noncer:

T I ~ O l ~ 3.6. - Les h y p t h ~ s e s 6runt eelles du th6or~me 3.4,

1) On s u p p o s e a - > ~+ e t k < k3. _AJors si K > K3(k), le 9robl~me (1) a d m e t

~u m o i n s u n e solution.

2) On s u p p o s e ~ - < = + ou ~ - > ~+ e t k > k~. Alors si K > K~(k), le p r o b l ~ m e (1) ~ d m e t a u m o i n s u n e solution.

L. LASSOUED: Solutions p~riodiques d~un syst~me di/]drentiel, ere. 99 D]~ONSTRATION.

1) I1 est clair d'apr~s ce qui pr6e~de que si

1 1 1

k < ~-1 e t k~ + K ~ > M3

il y a existence d ' a u moins une solution au probl~me (1). I1 suffit alors d ' a n a l y s e r e e t t e condition. Comme K~<k, on dolt avoir

~ - > i ~ .

I1 est done n6eessaire que

~- > ~+ et k < ka.

Cette derni6re condition entralne k < 1/~1, et il f a u t et il suffit ensuite que K v6rifie K s ( k ) < K < k

2) L e r a i s o n n e m e n t est identique.

4:. Etude du eas ]--= O.

~ o t o n s (1') le probl~me o b t e n u p o u r 1-= 0

[

^~ + a ~ ' ( x ) = o

(1') x(0) =

x(T)

/ ~(o) = ~ ( r ) .

Ce probl~me a une solution triviale x -- 0, le p o i n t critique de lb associ6 6rant nul, le p o i n t critique de ~0 e o r r e s p o n d a n t 6galement. Se pose done le probl~me de la n o n trivialit6 du p o i n t critique de ~o o b t e n u p a r minimisation ou maximisation. Or on salt que ~0 est de classe C ~, et que son indiee et son coindice ~ l'origine sont respecti- v e m e n t 6gaux ~ l'indiee et au coindice de la restriction de la f o r m e q u a d r a t i q u e lb"(0), donn6e p a r la formule

T

0

~ l ' o r t h o g o n a l p o u r e e t t e f o r m e de l'espaee E+ @ E - .

100 :L. LASSOUED: Solutions pdriodiques d~un syst~me di]]grentiel, etc.

I1 n ' e s t pus en g~n6ral ais4 de d 4 t e r m i n e r duns la p r a t i q u e cet indice et ce coindice on a d o n c reeours ~ des e s t i m a t i o n s de ~ ~ l'origine.

Signalons u u p a r s v a n t a u c~s off la m & h o d e d~crite ei-dessus donne la solution t r i v i a l e : e ' e s t le eas a - < ~ + , ear on a duns ee cus:

~ ( u o) < o = ~(o)

e t le m a x i m u m 4o q~ eat done attein~ en 0.

E n effet:

q~(u ~ < m a x qS(u ~ ~- u-) < m a x O~[u ~ ~- u-)

u - e E - u - ~ E -

/ + I -

I -

L a e o n v e x i t 5 de ~D p e r m e t d'~crire

et en i n t ~ g r a n t

done

et lorsque cr < c~ +,

\ a l J \ a l

I -

~ ( u o + u-) < o ,

encore p a r convexit& D ' o f l le r~sulta~.

On n o t e r a duns ee qui suit:

~ " ( 0 ) = A0 ql)"(O) = B 0 = Ao I

Ko et ko r e s p e c t i v e m e n t la plus p e t i t e et la plus g r a n d e v a l e u r p r o p r e de Ao.

L. LASSOVE~):

Solutions p~riodiqges d'un syst}mv di]]drentiel, etc.

101 On a done;

On n o t e 6galemen* ((28))

On a alors:

1 I < B o < ⁱ

Q~,o(u~ u+) = Q~,~.(uo, u+)

Q~,o(U ~ u-) = Q~,~.(u ~ u-) .

L E ~ a ~ 4.1. - ~ v6rifie a u voisinage de z6ro dans Eo: (u ~ : m~, $ ~ R ~)

(44)

q(uO)>min@~,o(uo, u+) + l ( l _{~+~+ ~ ~ -} i ) ~o~.~ + o(1~19

(~5) ^~(u~ ~ ~-1 + ~ ~ -

§

_ Bo~-~ + o(t~1 ~) .

u-e]~-

D~O~STI%ATIO~. - On suit que Vu + e E+~ Vu- e J~-~

r u+(uo) + ~-)<~(~o)< r + ~+ + ~-(uo)).

D one

r + u+(~o)) < ~(~o) < ~(~0 + ~-(~o)).

Or

r u+(uo)) = ~(~o+ ~+(~o)) + r ~+(~o))

T

0

Q u a n d uo t e n d vers z6ro darts B ~ (u ~ +

u+(uo))/a

t e n d vers z6ro clans L ~176 (Propo- sition 2.1). On en d6duit, en 6erivan* q u ' a u voisinage de 0:

W(y) ---- 89 + O(tyl 2) ,

T

f Bo(UO + ~+(uo)). (uo + u+(uo)) +

q%(uo+ u+(~o)) = ~

0

o(b o!]2)

102 L.L.~SSOUED:

Solutions p~riodiques d~un syst~me di/]~rentiel, etc.

Be q u i s~4cri$ e n c o r e

T

~(uo + u§ = ~

0

+ o(I~1 ~)

doric

~ ( u . + u+(uo))> ~ j - ~ = ~o~.$ + ~ ~ + o(l~i ~)

4'off, en r e g r o u p i n g , l'in~guli~@ (44).

O n ob~ien~ de 1~ m ~ m e f a g o n l'in~gulit~ (45).

T m ~ o ~ 4.2. - Les hypo%h~ses 4Cant celles d u Ch4or~me 3.4 d u n s c h a c u n des 4 e u x cus s u i v n n t s

§

il y u e x i s t e n c e 4 ' a n e s o l u t i o n n o n ~riviale uu p r o b l g m e (1').

D ~ O ~ S T Z A T I O ~ . - S u p p o s o n s q u e C(1,o) soit v6rifi6e. D u n s co cas on lira ? ( u ~ = +

Iluoil-~ + e t ~ a t t e n t son m i n i m u m sur E ~

D ' a u t r e p a r t a u v o i s i n a g e de z4ro on

~o(u ) < - ~ ~'~q,~o)t~l" + ~ ~ - Bo~.~ + o(l~t ~) .

S o i t ~1 u n v e c t e u r de R ~ v~rifiunt 1

P o u r t o u t s r6el on

s~+o(s~).

L. LASSOIZED:

Solutions pdriodiques d'un syst~me di]]drentiel, etc.

103 On en 46duit p o u r s suffis~mmen~ p e t i t

q~(sm~J

^< 0 e t l'origine n'es~ doric p~s u n m i n i m u m de 9.

~ done u n p o i n t critique non nul et le probl6me (1') une solution non trivi~le.

Le second c~s se ~r~i~e de l~ mSme f ~ o n en consid6r~nt

q~(sm~J

off ~ v6rifie

I%E)~QYE 4.3. - On p e u t v6rifier que ce th6or~me ne s'~pplique p~s duns le cas d ' u n 97 quudr~tique, lgonCrons, p a r exemple, que si (C~.o) est v6rifi6e, alors on k o > k.

Supposons le contr~ire, on ~ alors

~Iais on voit facilement que M~(. ) est une fonc~ion croissant% done

~o

^{~ - ~ >}

i~(~o)

et ce%e condition implique que l'origine es~ u n m i n i m u m local p o u r % ce qui~ d'~pr~s 1~ d 6 m o n s t r ~ i o n du th6or~me, n'es~ p~s le ea, s lorsque (Qo) est v6rifi6e.

Do mSme, on peu~ voir que si (C~,0) es~ v6rifi6e, on ~ soi~ ko > k, soit Ko < K . Duns l'esprir des l e m m e 3.5 e~ th6or~me 3.6, on p e u t 6noncer:

T ~ o ~ E .

1) Si

- Les h y p o t h e s e s 6rant celles d u th6or~me 3.4 ~vec de plus

k<k~, K>K3(k)

et si lu plus grunde v~leur p r o p r e k0 de 9Y'(0) v6rifie k 0 > k4

le probl~me (19 a d m e t une solution non triviale.

2) Si

7~>k4, K>K~(~)

et si 1~ plus p e t i t e vuleur p r o p r e K0 do 97"(0) v6rifie K o < k3

le probl~me (1') ~dmer une solution non r

104 L. L A S S O U E D : Solutions pdriodiques d'un syst~me di//~rentiel, etc.

DI~Ys -- Elle d6coule de celle d u t h 6 o r b m e 3.6. L a c o n d i t i o n ko > k a s s u r e q u e l ' o r i g i n e n'esr p a s u n m i n i m u m local de ~, 18 c o n d i t i o n Ko < ks q u ' i l n'es~ p a s u n m a x i m u m local.

5. Cas o~t ~U est asymptotiq~tement q~tadratique ~ l'in/ini.

O n f~it l ' h y p o t h ~ s e s u p p l 6 m e n t a i r e s u i v ~ n t e s u r o j :

( ~ )

r = A ~ x -4- o(x) off lira o(x) _ 0 et o~ A ~ ~ L+(R +) v6rifie d ' u n e p a r t

KI <K~I < A ~ <k~I <kl

et d~autre lOSrt Is condition dire de n o n r6sonance: il n~existe ioas de so- lution n o n n u l l e sm s y s t ~ m e

gd @ a ( t ) A ~ x = 0 x(O) = x ( T )

~ ( 0 ) = ~ ( T ) .

011 ~ a,]ors:

LElV~H~ 5.1. - ~d)---~ qJ* v6rifie

[ %V(y) ---- Bo~y ~- o(y)

!

(46)

a v e e B~---- A Z ~ e t lira l~ -- O.

[~l-.+oo [YJ

D ~ O ~ S T R A T I O ~ . -- T o u t d ' a b o r d , de l'in6galir [r < A Ix I on d 6 d u i t en u t i - l i s a n t (7) :

l i m IqlJ'(y)l = d- ~ . Soien~ alors y e E et x---- %O'(y). D e 18 r e l a t i o n

o n d 6 d u i t

Mais

y = ~ ' ( x ) = A ~ x "4- o(x)

2D'(y) -= A ~ l y d- A~Io(qD'(Y)) 9

iA-~lo('OO'(y))]

! [%O'(y)l

lo(SD'(y))

lYl < ~ [Yl f~'(y)l

L. LASSOVED: Solutions p&iodiques d'un sys$~me dij]&entiel, ere. 105 et done

d'ofl le r6sultat.

lira IA-~~ ..= O

l ~ p p e l o n s que l'on a not6 s l'op6r~teur d6fini sur /~ p a r

9 r

0

et d6finissons l ' o p 6 r a t e u r T sur E p a r

T

0

LEYnVrE 5.1. - L ' o p 6 r a t e u r (-- L -}- /') est u n isomorphisme de E.

D ~ 0 ~ s ~ A ~ I O N . - On s~it que ~5 est un op6rateur c o m p a c t (I. Proposition 2.1) v&ifions que T e s t u n op6rateur de F r e d h o l m d'indice z6ro.

Soient u, v ~ p p ~ r t e n a n t ~ E. L ' 6 q u a t i o n T u - = - v 6quiv~ut

a v e e ~ e R ~ soit

(47)

E n int6gr~nt e n t r e 0 et T on o b t i e n t

(48)

q~

T 0

Si ~ - ~ ~+, (47) et (48) d 6 t e r m i n e n t l'unique u v6rifiant T u = v, et T e s t d~ns ce eas u n isomorphisme.

Si ~ . - = ~+ on v6rifie ais6ment que le n o y a u de T n ' e s t a u t r e que l'espace E ~ et son image l'espace E+ ~ - E - . L ' o p 6 r a t e u r T e s t done Yredholm l'indice z6ro.

106 L. LiKSSOUED: Solutions pdriodiques d'un syst~me di]]drentiel, ere.

On en 464uit que l ' o p 6 r a t e u r (-- L § T) est dans les d e u x cas u n o p 6 r a t e u r de F r e d h o l m &indice z6ro. D ' a u t r e p a r t , on a:

( - - L -4- T ) u = o . ~ . II~u § B = u = ~ ~ R ~

@

x --- I/2 u - - ~ e s t solution de

x(O) = x ( ~ ) k(o) = ~ ( T )

e t p u i s q u e A ~ v6rifie l ' h y p o t h 6 s o de n o n r6sonnance, (-- L § T) est injectif.

On en d64uit que (-- 15 § T) est u n i s o m o r p h i s m e de E.

P ~ o P o s i ~ o ~ 5.2. - T o u t e suite u~ 4 ' e l 6 m e n t s de E p o u r laqueHe ~5'(u,) t e n d v e r s z6ro a d m e t u n e sous-suite c o n v e r g e n t e . L a fonctionnelle r v6rifie done la c o n d i t i o n (C) de Palais Smale.

D ] ~ I ~ I O N S T I ~ A T I O N . - O n a

T

0

done

r = ( - L § u § R(u)

en notant

R(u) = ia]

T

0

P o u r t o u t e > 0 il existe u n e c o n s t u n t e C telle qu6 V y e R ~ io(y)i<elyl § C

on en d6duit f a e i l e m e n t

IfR(u)ll~<2~11ulf~ + c .

~ a i s (49) d o n n e

= ( - L § T ) - 1 ( r R(u))

L. LASSOUED:

Solutions pdriodiques d'un syst~me di]]drentiel, etc.

107 done

flails< I1(- L § ~)-"U(~'(~)II § IIR(.u)ll)

d'o~

tI'~'(~)II/> (11(- L § T)-~I]-~- 2~)lIull~- e .

I1 suffit de choisir e < U(-- Z §

T)-~II-*/2

p o u r obtenir l i m

II~'(u)ll = § co.

Soit alors une suite

(u~)ie N

d'616ments de E telle que

~5'(u~) ---> 0 dans E .

D'upr6s ce qui pr6c6de la suite u~ est bornde, on p e u t done supposer qu'clle converge fuiblement duns E vers u n 616ment u. Muis on a V i e N

(50) r = I,~l (/I~,§ ~ o ' [ ~ - ~ . ~

a V e 6

T

0

I1 est clair que la suite ~ est born6e, on suppose done qu'elle converge dans R - . (50) 6quivaut alors

II~u, § ~,) .

Posons

w , = ]a]~ § l a I ~ ( - n ~ u , § ~,). r

I1 est clair que w~ converge f o r t e m e n t duns L ~, ct que

I~1' - ~

On v6rifie faeilement que p o u r t o u t w e L 2,

(,~llalg~'(wll,~lq

a p p a r t i e n t ~ Z ~.

108 L. LASSOUED:

Solutions p~riodiques d'un syst~me di]]grentiel, ere.

U n th6orgme de Krusnoselski ([~]) assure qa'a, lors l'upplication

w ~ (a/[a[t).

9 cU'(w/lalt)

est c o n t i n u e de L ~ duns L ~. On en d6dnit que u~ converge duns E.

Lu fonctionnelle 9 v6rifie done une condition plus f o r t e que lu condition (C) de Puluis Smule. E n effet c e t t e condition de Puluis Smale est la suivunte:

a~'(~,) ~ 0

u~ poss~de une sous-suite c o n v e r g e n t e .

u Y e e

l (%) = O'(u,) 0

u~ = ~ ~ j § u-(~D + u?)

D'upr~s lu proposition q u i pr6c~de, lu suite ui u d m e t nne sons-suite c o n v e r g e n t e duns E, done up = p~ u d m e t une sous-suite c o n v e r g e n t e duns E~ ce qui d 6 m o n t r e le corolluire.

On n o t e O~,,.= Q~,~; O~,~,= Q2,~r On u:

L~M~_E 5.4. - Au voisinuge 4e l'infini ~v v6rifie: (on n o t e u ~ m~)

(51)

qp(u~ Q~(u~ u+) d- l ( 1 - - - - l ~ Br § O(l~l~ )

(5)2

~(u~ o, u +) + ~ - ~ - - _ B ~ . ~ +

0(1~1 ~) .

u - e ~ -

D~O~ST~ATIO~ ~. - De lu propri6t6

W'(y) = B~y § O(y)

on d6duit:

W(y) -= 89 § O([y[ ~)

~ l'infini.

On utflise a lots I~ propri6t6

~(Uo) > r + u+(~o))

COI~OLLAI~E 5.3. - ~v v6rifie lu condition (C) de P~lais S m i l e .

D~0NSTRATION. - Soit (U~)~N o une suite d'616ments de E ~ telle que ~ (u~) converge vers z6ro d~ns E ~ On u ((22))

L. L~SSO~D: Solutions p&iodiques d'uq~ syst~me diff&entiel, ere, 109 qui donne

~(u~ > r176 + u+(uo)) +

1

done

T

0

T

0

dt

On en d4duit (51).

On d~montre (52) en ~erivant ~ ( u ~ 1 6 2 1 7 6 - u-(u~

On peut alors 6noncer:

T ~ o g ~ m 5.5. - On suppose que ~U v~rifie les hypotheses ( ~ ) , (~U~), (~U~) avee A < 1/~ +. Duns chacun des deux cas suivants:

1~ k-~ ~-+- <: M2(k~) et ~ ~ - > M~(ko)

§

~o) K-~ ~ - > M~(k~) e t ~ o ~ - ~ < ~(ko)

le probl~me (1') ~4met au moins une solution non triviale.

D~o~sT~ATIo~. - l~emarquons tout d'abord que l'hypoth~se (r implique que (r est r~alisde pour tous r~els k et K vdrifiant

K < K~o<~kr k .

Cas lo). Le lemme 4.1 montre que la relation (l/ko)(!/a + - 1 / ~ - ) > Ml(ko) en- tr~ine que l'origine eat un minimum local strict pour ~.

D'autre part, notons ~ un vecteur de R ~ tel que:

1

D'aptr~s le lemme qui precede et le lemme 3.3~ pour s e R :

2(111 ~ )

110 L. L~SSOCED: Solutions p~riodiques d~un syst~me di]/~rentiel, ere.

~ v e o

l i m ~ O.

S--> + oo 8 8

On en d6duit si (1//r162 + -- 1/~-) < Me(koo) quo l i m qD(sm$~) = - - oo

8--~ cO

0 = s~m~ on air et en p~rticulier quail oxiste u n s~ e R tel que pour %

< o .

Comme ~ v6rifie la condition de Palais Smile, on pout appliquer le th6or~me d~Ambrose%i-Rabinowitz [3] et conclure ~ l'existence d ' u n point critique non nul pour ~. D'o/1 le r~sultat.

Le raisonnement est le m~me.

Cas 20).

puisque

Si ~2 ~ R " v6rifie

L'origine est u n m a x i m u m local strict

1

pour u n s2~ R suffis~mment grand, on a

q~(s2m~) > 0 ((lemmes 5.4 et 3.2)) et le th~or~mo d~Ambrosetti-R~binowitz s~applique.

I~Ei~$.ARQUE 5 . 6 . - Oil p e u t v~rifier (rem~rque 4.3) q u e c e th~or~me ne s~applique pas darts le cas ot~ ~:r est qu~dr~tique.

On ~ ~g~lement le th~or~me moins g~nSral:

TH~0~#.~E 5.7. - L e s hypotheses ~tant cellos d u th~or~me 5.5, le probl~me (1') admot au moins une solution non triviale dans chacun des deux cas:

1 o) /r et /r162 20) K ~ < ks et K o > k~.

1(1 1)

IJ~ LASSOUED: Solutions pdriodiques d'un syst~me di]]drentivl, etc. 111

B I B L I O G R A P H I E

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