ON REDIGERA LA PARTIE A SUR UNE COPIE, ET LA PARTIE B SUR UNE AUTRE.
SI UNE PARTIE N’EST PAS TRAITEE JOINDRE UNE COPIE BLANCHE A VOTRE NOM.
LE NON-RESPECT DE CES CONSIGNES ENTRAINERA UN RETRAIT DE 2 POINTS.
TOUTE APPLICATION NUMERIQUE EST PRECEDEE D’UN CALCUL LITTERAL ET EVENTUELLEMENT AFFECTEE D’UNE UNITE.
UNE CALCULATRICE NON PROGRAMMABLE, NON GRAPHIQUE AUTORISEE DOCUMENTS EN ANNEXE A VOTRE DISPOSITION POUR TOUT LE SUJET Le sujet est constitué de deux parties indépendantes traitant du filtrage sélectif.
La partie A aborde l’aspect théorique ; la partie B présentant une application.
1/6
COPIE I
Partie A Etude d’un circuit R,L,C (11 points)
On considère le circuit ci-contre alimenté par une tension sinusoïdale e(t) d’amplitude Emax et de pulsation ω.
A.1) Donner le modèle équivalent de Thévenin (eth, ZTh) du dipôle AB vu de la bobine.
Faire l’analyse dimensionnelle des résultats.
A.2) Déterminer l’expression de la tension u aux bornes de la bobine en
fonction de eth, Zth, L et ω, puis en fonction de e, C, L, ω et R.
A.3) Montrer que la fonction de transfert de cet opérateur peut se mettre sous la forme canonique :
avec x la pulsation réduite, A0 et Q deux réels.
On déterminera les expressions de A0 , Qet x en fonction de R, C, L et ω. Nommer la grandeur Q.
En déduire la nature du filtre ainsi que son ordre grâce aux diagrammes du formulaire reproduit en annexe pages 5 et 6.
A.4) Déterminer l’expression de |H| et de Arg(H ) en fonction de R, C, L et ω. A.5) Montrer que |H| passe par un maximum pour une pulsation ωr, dont on
déterminera l’expression en fonction des données du problème. Comment s’appelle ce phénomène ? Déterminer le déphasage θr de la tension u(t) par rapport à la tension e(t) à la pulsation ωr . Déterminer l’expression de l’amplitude (Umax)r à la pulsation ωr.
L’expérience a permis de mesurer les amplitudes Emax et Umax des tensions sinusoïdales e(t) et u(t) pour différentes valeurs de la pulsation ω et d’en déduire le graphique de |H| en fonction de la fréquence f de la tension e(t).
La courbe est représentée Figures 2 et 2bis en page 2.
A.6) Déterminer graphiquement la fréquence de résonance fr.
A.7.a. Donner la définition de la bande passante à -3 dB. Nommer les fréquences délimitant celle-ci. Déterminer graphiquement la largeur de la bande passante ∆f de cette résonance. La construction sera faite sur la Figure 2 page 2 et rendue avec la copie 1.
A.7.b. Déterminer la valeur numérique de Q.
A8) On souhaite modifier la valeur de la résistance pour obtenir une résonance plus aiguë, en conservant la même fréquence de résonance. Tracer qualitativement sur la Figure 2bis page 2 la courbe |H| en fonction de la fréquence f pour une résonance plus aiguë. Comment sont modifiés Q et
∆f ? Figure 1
IS P3
A RENDRE AVEC LA COPIE 1Mardi 12 janvier 2016
Figure 2 Figure 2 bis
3/6
COPIE II
Partie B : Filtre sélectif (9 points)
On considère l’opérateur Figure 3 ci-dessous. ue(t) est une tension alternative sinusoïdale : ue = Uemaxcosωt.
Figure 3
Sa fonction de transfert définie par a pour expression canonique :
avec et
B.1) On attaque ce filtre par une tension en créneau d’amplitude E, dont on donne le développement en série de Fourier :
!
"#$%cos 2*+ ! −
-cos 6*+ ! +
0cos 10*+ ! +
…4
.Représenter en fonction de fe et E le spectre d’amplitudes de ue(t) entre 0 et 5fe.
Préciser (en valeurs littérales) la fréquence et la valeur moyenne de la tension créneau ue(t).
B.2) A l’oscilloscope, on observe ue(t) sur la voie 1 et us(t) sur la voie2 avec les sensibilités verticales respectives de 5 V/div et 1 V/div. La sensibilité horizontale est 0,2 ms/div.
Sur le schéma Figure 3, représenter les branchements de l’oscilloscope.
Par analyse de l’oscillogramme de us(t) représenté Figure 4, déterminer les valeurs numériques de fe et de E.
vitesse de balayage: 0,2 ms/div
voie 1 voie 2
voie 1: 5 V/div voie 2: 1 V/div
Figure 4
IS P3
A RENDRE AVEC LA COPIE 2Mardi 12 janvier 2016
B.3) La courbe de gain du diagramme de Bode de la fonction de transfert H(jω) a l’allure représentée Figure 5 ci-dessous.
Figure 5
Par une étude asymptotique de la forme canonique donnée en énoncé, déterminer les pentes des portions linéarisées de la courbe.
B.4) Par analyse de l’oscillogramme de us(t), déterminer numériquement : B.4.a. le spectre d’amplitudes de us(t) ;
B.4.b. la fréquence propre du filtre.
Que penser du facteur de qualité ? Justifier ces réponses.
B.5) Dans le cas où C = 530 nF, R = 10 kΩ, déterminer R2. En déduire la valeur numérique de Q. Commenter.
5/6 Légende :
Traits pleins : Courbe de gain et ses asymptotes Traits pointillés : Courbe de phase et ses asymptotes
-90,00 -75,00 -60,00 -45,00 -30,00 -15,00 0,00
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0
1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
ArgH (°) GdB
x
0,00 15,00 30,00 45,00 60,00 75,00 90,00
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0
1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
ArgH (°) GdB
x
-180,00 -150,00 -120,00 -90,00 -60,00 -30,00 0,00
-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40
1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
ArgH (°) GdB
x
5 6 1
1 + 6
6 778 fc : fréquence de coupure
5 6 1
1 + 16
6 778 fc : fréquence de coupure
5 6 1
1 + 6 + 6 9
6 77 f0 : fréquence propre
>√9 (trait plein double) :
présence d’un phénomène de résonance
<√9 (trait plein simple) :
pas de résonance
E.C. P3 Diagrammes de Bode
des fonctions de transfert du 1er et du 2ème ordre
CHAPITRE 13-5 Version complète
Légende :
Traits pleins : Courbe de gain et ses asymptotes Traits pointillés : Courbe de phase et ses asymptotes
0 30 60 90 120 150 180
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30
1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
ArgH (°) GdB
x
-90 -60 -30 0 30 60 90
-60 -50 -40 -30 -20 -10 0
1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
ArgH (°) GdB
x
-90 -75 -60 -45 -30 -15 0 15 30 45 60 75 90
-50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10
1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03
ArgH (°) GdB
x
5 6 6 9
1 + 6 + 6 9
6 77 f0 : fréquence propre
>√9 (trait plein double) :
présence d’un phénomène de résonance
<√9 (trait plein simple) :
pas de résonance
5 6 1
1 + 6 − 16
6 77 f0 : fréquence propre
Les asymptotes se coupent en = 6 1
>?@ −20log C
5 6 1
1 + 1
6 − 16
6 77 f0 : fréquence propre
