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D.M.n°1
Barème : 1.a:0,25*3 1.b:1(-0.25/er.) 1.c:0.25 1.d:1 2.a:1. 2.b:2. 2.c:1. 2.d:1 3.a:1 3.b:1
Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une
nouvelle région. En juillet 2014, il achète $/t{260;270;280;290;300;310;320}$
colonies d'abeilles qu'il installe dans cette région.
Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s'attend à perdre
$/t{7;9}%$ des colonies durant l'hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d'installer $/t{40;50;60}$ nouvelles colonies chaque printemps.
1. On considère l'algorithme suivant :
Variables : n est un nombre entier naturel C est un nombre réel.
Traitement : Affecter à C la valeur ………
Affecter à n la valeur 0.
Tant que C < 400 faire
C prend la valeur C – C×……… + ………
n prend la valeur n + 1 Fin Tant que
Sortie : Afficher n
a. Compléter l'algorithme à l'aide des données de l'énoncé.
b. Compléter le tableau ci-dessous (on ne sera pas obligé d'utiliser toutes les colonnes). Les résultats seront arrondis à l'entier le plus proche.
Test
$C<400$ ………
… ………
… ………
… ………
… ………
… ………
… Valeur de
$C$ ………
… ………
… ………
… ………
… ………
… ………
… ………
… Valeur de
$n$ 0 1 ………
… ………
… ………
… ………
… ………
… Test
$C<400$ ………
… ………
… ………
… ………
… ………
… ………
… Valeur de
$C$ ………
… ………
… ………
… ………
… ………
… ………
… ………
… Valeur de
$n$ ………
… ………
… ………
… ………
… ………
… ………
… ………
… c. Quelle valeur est affichée à la fin de l’exécution de cet algorithme ? d. Interpréter cette valeur dans le contexte du problème.
2. On modélise l'évolution du nombre de colonies par une suite (Cn) le terme Cn
donnant une estimation du nombre de colonies pendant l'année 2014 + n. Ainsi, C0 est le nombre de colonies en 2014.
a. Exprimer, pour tout entier n le terme Cn+1 en fonction de Cn.
b. On considère la suite (Vn) définie pour tout entier n par $V_n = C_n - /fs{#3*100;#2}$. Prouver que Vn soit une suite géométrique.
c. En déduire l'expression de Cn en fonction de n.
d. En utilisant l'expression obtenue au c, déterminer combien de colonies l'apiculteur peut espérer posséder en juillet 2024.
3. L'apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir si, avec les paramètres actuels, il peut atteindre cet objectif, et, si oui, en
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combien d'années.
a. Comment modifier l'algorithme pour répondre à sa question ?
b. En démontrant le résultat obtenu avec l’algorithme, donner une réponse à cette question de l'apiculteur. On admettra éventuellement que
limn→∞ qn=0 si |q|<1.
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