Constitution du G.R.E.S. au 15 décembre 1996 EDITORIAL

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ENFA - Bulletin du GRES n°4 – décembre 1996 page 0

Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr

EDITORIAL

Constitution du G.R.E.S. au 15 décembre 1996

ANGELIQUE Françoise LEGTA de NANCY

FAGES Jean ENFA TOULOUSE

FAURE Jean-Claude LEGTA de CARCASSONNE

GAUMET Jean-Pascal LEGTA LE ROBILLARD

MALEGANT Jean-Yves ENITIAA de NANTES

MARTIN Henri LEGTA de DIJON-QUETIGNY

MELLAN André LEGTA de LA ROCHE SUR FORON

MERCIER Alain ENFA TOULOUSE

PARNAUDEAU Jean-Marie LEGTA de VENOURS

PAVY Jacques LEGTA LE ROBILLARD

PRADIN Jean LEGTA de MOULINS

RIOU Alexis LEGTA de QUIMPER

URDAMPILLETTA Vincent LEGTA de SURGERES

VARLOT Chantal LEGTA de CHALONS SUR MARNE

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ENFA - Bulletin du GRES n°4 – décembre 1996 page 1

Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr

Jean-Marie PARNAUDEAU Petit problème : (activité d’introduction)

Le bulletin du GRES est envoyé dans tous les LEGTA et il y a eu 3 bulletins expédiés, quelle est la probabilité, sachant que vous avez reçu le bulletin 4, que vous ayez reçu mes trois premiers bulletins ? Pour simplifier, on pourra supposer que les bulletins sont envoyés indépendamment les uns des autres, qu’il y a 120 LEGTA.

Après avoir consulté d’éminents spécialistes, il paraît que cette probabilité est de 1. Pour avoir fait quelques sondages, en suivant un protocole très rigoureux, il apparaît que cette probabilité est très surestimée.

Voilà le problème de statistique qui nous préoccupe.

Dans certains LEGTA, le bulletin est au CDI, mais les matheux ne le savent pas. Dans d’autres, la distribution du courrier est aléatoire : le bulletin « atterrit » au hasard dans un casier.*Nous prévoyons de faire une réédition des premiers numéros, sous la forme d’un seul fascicule, pour ceux et celles qui ne les auraient pas reçus ; n’hésitez pas à en faire la demande.

Nous avons reçu plusieurs lettres de lectrices et de lecteurs. Certains nous ont signalé des erreurs (eh oui ! il y en a) ; rappelons que pour trois fautes signalées, vous gagnez un abonnement gratuit. En fin de bulletin, nous en publions quelques unes ainsi qu’une réponse à Inès PERRET.

A ce propos, nous avons tous (dans nos cartons) des exercices ou des travaux dirigés qui « marchent » bien ; soit pour introduire une notion, soit pour la faire pratiquer, soit…

Nous serions heureux de les publier (avec éventuellement vos propres remarques sur le déroulement en classe…) afin de faire partager votre expérience à tous les collègues et en particulier à ceux qui commencent à enseigner dans ces classes.

Ain de mettre en place des stages de formation en statistique et en probabilités, un questionnaire, émanant du ministère, va arriver dans les établissements. Soyez nombreux à y répondre. Les futurs stages (année 1997-1998) seront organisés en fonction des besoins recenses.

Beaucoup de « suites » dans ce bulletin : les box-plots ; le test F et les courbes d’efficacité. Les candidats au CAPESA interne vont aussi trouver de quoi occuper leurs vacances de NOËL.

En vous souhaitant une bonne lecture, tous les membres du GRES vous présentent leurs meilleurs vœux pour l’année 1997.

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ENFA - Bulletin du GRES n°4 – décembre 1996 page 2 Contact : Conf PY-MATH@educagri.fr

LA SAGA DES BERNOULLI

Pendant près de deux siècles, de Paris à Saint-Pétersbourg en passant par Bâle, le nom des Bernoulli a été associé aux Mathématiques, à la Physique, à la Philosophie et à la Médecine.

L’histoire de cette saga commence avec Nicolas Bernoulli. Originaire d’Anvers, il se réfugie à Bâle, chassé des Pays-Bas par les persécutions des conquérants espagnols et du Duc d’Albe en particulier, il devient dans son pays d’adoption un important personnage politique et un théologien renommé.

L’un des trois fils de Nicolas, Jacques, dit le 1^er (1654-1705), n’est autre que le célèbre mathématicien dont nous parlons dans nos cours de probabilité.

Ce fils d’"immigré", pourrait-on dire, devient Professeur à l’Université de Bâle dés l’âge de 33 ans et le restera jusqu'à sa mort .

Il acquiert une notoriété remarquable relative notamment à ses essais sur les probabilités, sur les "grands nombres".

Il est également l’artisan de toute une série de travaux sur la géométrie, il traite de la fameuse

"lemniscate", de spirales logarithmiques diverses et variées (celle du père Ubu par exemple qu’il fit graver sur sa tombe).

Il se passionne pour le tout nouvel essai de Leibnitz, « Acta eruditorum » (1684), sur le calcul

"différentiel" (terme inventé par Leibnitz lui même), et commence à initier tout ce que l’Europe compte de savants à la notion qu’il a lui même désignée sous le nom d’"intégrales". Le terme depuis a fait son chemin !

Huit ans après sa mort, son ouvrage majeur, "Ars conjectandi", sera publiée par son neveu Nicolas, professeur à Padoue.

Son frère Jean, qu’il forme à la mathématique, prend sa succession à l’Université de Bâle, poursuit son œuvre sur ce sujet et sur bien d’autres ("équation de Bernoulli", "nombre de Bernoulli", etc.).

Jean fut aussi, et cela n’est pas rien, le professeur de Géométrie de d’Alembert et d’Euler. C’est également lui qui invente le terme de "fonction" et donne ses lettres de noblesse à cette notion.

Les deux frères furent membres correspondants de l’Académie des Sciences de Paris qui se chargea parfois de "tamponner" leurs célèbres querelles.

Daniel Bernoulli (1700-1782), fils de Jean, est professeur de mathématiques à St Pétersbourg, puis naturellement à Bâle. C’est le médecin, le philosophe, et le physicien de la famille.

Daniel Bernoulli est surtout célèbre pour ses travaux sur la mécanique des fluides ("Hydrodynamica" paru en 1738).

Contrairement à son oncle et à son père, Daniel n’est pas un disciple de Descartes, mais un partisan convaincu de Newton, ce qui engendra quelques querelles dans la famille...

Durant la même période, il élabore la théorie cinétique des gaz.

Les neveux de Daniel (les trois fils de Jean II) prirent de brillantes successions, tant à Berlin, en Astronomie, qu’à St Pétersbourg, en Physique.

L’un de ces neveux (j’en vois qui ne suivent plus ! NDLR) eut un fils, Jean-Christophe, qui au 18^emesiècle, devint professeur de mathématiques. Devinez où ? ... à ...Bâle et cela dura jusqu’en 1863 ! !

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L’un d’entre vous s’appelle t- il Bernoulli ? Si oui, contactez nous ! ! ! Pour en savoir plus, vous pouvez consulter :

Le livre d’Alain Bouvier et Michel George, « Le dictionnaire de mathématiques » au P.U.F .

L’ouvrage de JP Colette, une « Histoire des Mathématiques, aux Editions du renouveau pédagogique ( Montréal, Québec ).

L’ouvrage de Alain Desrosières, « La politique des grands nombres » aux Editions La Découverte.

Le fascicule de l’IREM de Poitiers « Thèmes pour l’Enseignement de la statistique et des probabilités » ( Février 1994 ).

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A PROPOS DU TEST F

Deuxième partie

Dans le bulletin N°3 nous avons présenté la problématique du test F, test d'égalité des variances respectives σ₁² et σ₂² de deux populations P1 et P2 supposées distribuées normalement.

Rappelons les hypothèses de ce test :

H0 : "σ₁² = σ₂²" et H1 : "σ₁² ≠ σ₂²"

Ces hypothèses sont respectivement équivalentes aux hypothèses suivantes : H'0 : "σ

σ

1 2

2

2 =1" et H'1 : σ σ

1 2

2

2 ≠1"

La formulation de l’hypothèse alternative implique que ce test est un test bilatéral.

La règle de décision, présentée dans la première des remarques complémentaires, s'énonce ainsi : si F_obs ≥F

− 1 2

α alors on rejette l'hypothèse H0 au risque α. Il convient ici d'être très attentif car cet énoncé peut faire penser à une situation unilatérale alors qu'il n'en est rien.

Quelques rappels ...

1. Situation expérimentale :

On prélève respectivement des deux populations P1 et P2 deux échantillons aléatoires simples et indépendants (EASI) de tailles respectives n1 et n2.

Soit s₁² et s₂² les variances respectives de ces deux échantillons.

L'hypothèse H₀ traduit le fait que les différences observées sur les échantillons prélevés sont explicables uniquement par les fluctuations d'échantillonnage.

2. Variables aléatoires d'échantillonnage :

Notons S₁² (respectivement S₂²) la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire simple de taille n1 (respectivement n2), issu de la population P1 (respectivement P2), associe sa variance s₁² (respectivement s₂²).

( ) ( )

n S X _i X et n S X X

i i n

i i

i n 1 1

2

1 1

1

2

2 2 2

2 2

1

1 2 2

= − = −

=

∑ ∑

=

(6)

D'après le théorème de Fisher¹, la variable aléatoire n S₁ ₁² (respectivement n S₂ ₂²) est distribuée selon un σ χ₁² ² à n₁-1 (respectivement σ χ₂² ² à n₂-1) degrés de liberté.

En conséquence, la variable aléatoire F

n S n

= −

−

1 1 2

1 1

2

2 2 2

2 2

2

1 1

( )

σ σ

est distribuée selon la loi de Fisher-

Snédecor à n₁-1 et n₂-1 degrés de liberté.

3. Statistique du test (ou variable de décision) :

Sous l'hypothèse H0 : "σ₁² = σ₂²", la variable aléatoire F

n

n S

n

n S

= −

−

1 1

1 2

2 2

1 1

, encore notée

S S

1 2

2

2 , est donc distribuée selon la loi de Fisher-Snédecor à

ν1 = n1-1 et ν2 = n2-1 degrés de liberté.

Le rapport S S

1 2

2

2 peut être interprété comme le rapport des deux estimateurs sans biais des variances respectives σ₁² et σ₂² des deux populations P₁ et P₂.

On dit que "F suit la loi F(ν1 ; ν2) ".

4. Choix et représentation graphique du risque de première espèce :

Pour un risque de première espèce α donné, on définit (voir figure ci-dessous) les deux nombres notés respectivement F et F

ν ν α ν ν α

1; 2 2; 1; 2 1;− 2 par les relations suivantes :

prob F( F ) et prob F( F )

; ; ; ;

≤ = ≥ =

−

ν ν α α ν ν α α

1 2 2 2 1 2 1 2 2

1consulter, par exemple, l'ouvrage de P. Tassi "Méthodes statistiques" - Edition Economica

(7)

F Densité de probabilité d’une loi de Fisher-Snédecor

On dit que les intervalles [ ; ] [ ; [

; ; ; ;

0

1 2 2 1 2 1 2

F et F

ν ν α ν ν −α + ∞ sont symétriques en probabilité. Ils correspondent au rejet de l'hypothèse H0 au risque α.

Il résulte de la définition des deux nombres F et F

ν ν α ν ν α

1; 2 2; 1; 2 1; − 2 que

prob F( F F )

; ; ; ;

ν ν α ν ν α α

1 2 2 1 2 1 2

< < = −1

− .

] ; [

; ; ; ;

F F

ν ν α ν ν α

1 2 2 1 2 1− 2 est l’intervalle d’acceptation de l'hypothèse H0. Lorsque α < 0,2 alors F F

ν ν α ν ν α

1 2 2 1 2 1 2

1

; ; < < ; ;

−

Fν ν α

1; 2 2; F

ν ν α 1; 2 1; − 2

α/2 α/2

(8)

5. Règle de décision :

On calcule, à partir des deux échantillons indépendants prélevés, le rapport

F

n

n s

n

n s

obs = −

−

1 1

1 2

2 2

1 1

.

On définit alors la règle de décision suivante : Si F_obs ≤F ou F_obs ≥ F

−

ν ν α ν ν α

1; 2 2; 1; 2 1; 2

alors on rejette l'hypothèse H0 au risque α, sinon on accepte l'hypothèse H₀.

Or "F suit la loi F(ν1 ; ν2)" est équivalent à "1

F suit la loi F(ν2 ; ν1)"

En particulier, prob F F et prob

F F

( ) ( )

; ; ; ;

≤ = ≥ =

−

ν ν α α ν ν α α

1 2 2 2 2 1 1 2

1

2 Or, F≤F

ν ν α 1; 2 2;

est équivalent à 1 1

1 2 2

F≥ F

ν ν α

; ;

Donc, 1

1 2 2

2 1 1 2

F F

ν ν α ν ν α

; ;

= −

Par suite, F≤F

ν ν α 1; 2 2;

est équivalent à 1

2 1 1 2

F ≥F

− ν ν α

; ;

La règle de décision s'énonce alors :

Si F F ou

F F

obs

≥ ≥

− −

ν ν α ν ν α

1 2 1 2 2 1 1 2

1

; ; ; ;

alors on rejette l'hypothèse H0 au risque α, sinon on accepte l'hypothèse H0.

Pour α < 0,2 les deux nombres F et F

ν ν α ν ν α

1; 2 1; − 2 2; 1 1;− 2 sont supérieurs à 1.

Il en résulte qu’il suffit de calculer le quotient F_obs en prenant pour numérateur la plus grande des deux quantités n

n s et n

n s

1 1

1

2 2

2

2 2

1 1

− − , encore notées respectivement s₁² et s₂², et l'autre au dénominateur.

Dès lors, F_obs ≥ 1 et, pour α < 0,2, la règle de décision s'énonce :

(9)

Si F_obs ≥F

− 1 2

α alors on rejette l'hypothèse H0 au risque α, sinon on accepte l'hypothèse H₀.

L'énoncé de cette règle de décision peut laisser penser que l'on a affaire à un test unilatéral alors qu'il s'agit ici d'un test bilatéral.

Par ailleurs, il faut être très attentif et ne pas retenir F_1−α pour valeur critique associée au risque α.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Exercice 1

On considère une variable aléatoire F dont la loi de probabilité est la loi de Fisher-Snédecor F(10 ; 8).

1°) Déterminer un intervalle ]a ; b[ tel que la probabilité prob(a < F < b) = 0,95 et tel que les intervalles [0 ; a] et [b ; +∞[ soient symétriques en probabilité.

2°) Répondre à la même question pour la variable aléatoire 1 F^.

Eléments de correction :

1°) On a prob F( F F )

; ; ; ;

1 2 1 2

2 1

2

< < = −1

− avec α = 0,05 Donc, prob F( ₁₀_{;8; ,}_{0 025} < <F F₁₀_{;8; ,}_{0 975}) = 0 95, On obtient

F

F F

10 0 975

10 0 025

8 10 0 975

4 30 1

;8; ,

; ; ,

= ,

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪ ^soit

F F

10 0 975

10 0 025

4 30 1 3 85

;8; ,

, ,

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

Or, 1

3 85 0 26

, ≈ , . Par suite, prob(0,26 < F < 4,30) = 0,95 L'intervalle ]a ; b[ cherché est donc ]0,26 ; 4,30[.

2°) On a prob F

F F

( )

; ; ; ;

2 1 2 1

2 1

2

1 1

< < = −

− avec α = 0,05 Donc, prob F

F F

( _{8 10 0 025}_; _{; ,} 1 _{8 10 0 975}_; _{; ,} ) ,

< < = 0 95

on obtient

F

F F

8 10 0 975

8 10 0 025

10 0 975

3 85 1

; ; ,

;8; ,

, )

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪ ^soit

F F

8 10 0 975

8 10 0 025

3 85 1 4 30

; ; ,

, ) ,

=

⎧

⎨⎪

⎩⎪

(10)

Or, 1

4 30 0 23

, ≈ , . Par suite, prob

( ,0 23 F1 , ) , 3 85 0 95

< < = . L'intervalle ]a ; b[ cherché est donc ]0,23 ; 3,85[.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Exercice 2

On considère deux populations P1 et P2, distribuées normalement, de variances respectives σ₁² et σ₂².

On prélève un échantillon E1 de taille 16 de la population P1 et un échantillon E2 de taille 21 de la population P2, les deux échantillons sont considérés comme étant des échantillons aléatoires simples et indépendants (EASI).

Leurs variances respectives sont :

pour l'échantillon E1 : s₁² =3861 et pour l'échantillon E2 : s₂² =1705.

Peut-on considérer au risque 0,05 que les variances des deux populations sont différentes ou non ?

Eléments de correction :

* Hypothèses du test :

H₀ : "σ₁² = σ₂²" et H₁ : "σ₁² ≠ σ₂²" (test bilatéral)

* Statistique du test (variable de décision) :

, ,

s n

n s et s n

n s

1

2 1

1 1

2

2 2

2

2 2

1 4118 4

1 1790 25

= − = =

− =

s₁² > s₂², donc la variable de décision est F S

= S ¹

2

2 . Elle est distribuée selon la loi de Fisher-Snédecor à 15 et 20 degrés de liberté.

* Choix du risque de première espèce : α = 0,05 (précisé dans l'énoncé).

* Détermination de la valeur critique :

F F

15 20 1 2

15 20 0 975 2 57

; ; ; ; , ,

−_α = =

* Règle de décision :

Si F_obs ≥ 2,57 alors on rejette l'hypothèse H0 au risque 0,05 sinon on accepte l'hypothèse H₀.

(11)

* Calcul de la valeur F_obs :

F

n

n s

n

n s

obs = −

−

1 1

1 2

2 2

1 1

c'est-à-dire F_obs = 4118 4 1790 25

,

, soit environ 2,30

* Décision :

Fobs < 2,57 donc on accepte l'hypothèse H0.

Remarque : une erreur consisterait à retenir pour valeur critique F F

15 20 1; ; − = 15 20 0 95; ; ,

α , soit

F15 20 1 2 20

; ; ,

−_α = , et à conclure dans ce cas au rejet de l'hypothèse H₀ au risque 0,05.

* Conclusion :

Au vu des observations effectuées et compte tenu du risque choisi, on ne peut pas affirmer que les variances des deux populations sont différentes.

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A propos de la COURBE D'EFFICACITE

Exemple 1 :

Une machine automatique remplit des paquets de semences. On considère que la variable aléa- toire masse d'un de ces paquets est distribuée normalement et a un écart type constant égal à 0,25g. Soit μ la masse moyenne d'un paquet de la production.

Quand la machine est bien réglée, μ est égale à 30,1g, valeur de référence.

Mais parfois la machine se dérègle. Dans ce cas, la masse moyenne de la production est supé- rieure à 30,1g. Le test consiste à vérifier que la machine est réglée sur la bonne moyenne.

On formule donc les hypothèses suivantes :

Hypothèse initiale H0 : "μ = 30,1 " (La machine est bien réglée) Hypothèse alternative H1 : "μ > 30,1 " (La machine est déréglée).

On prélève au hasard, dans cette production, un échantillon de 50 sachets (type Echan- tillon Aléatoire Simple).

Soit X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 50 éléments, associe la masse moyenne de cet échantillon.

On fixe la règle de décision suivante : si x < 30,14g , on accepte H0 si x > 30,14g , on refuse H0

Nous allons nous intéresser aux risques de première espèce et de deuxième espèce associés à ce plan de contrôle.

Les hypothèses ont été posées ci dessus.

Le modèle : Par hypothèse, la variable X est distribuée normalement donc la distribution de X

est normale. La variable U définie par U X n

= − μ

σ est normale centrée réduite.

1) Calculons alors la probabilité de rejeter H0 dans le cas où H0 est vraie (risque α).

Si H0 est vraie, alors U = X−30 1 0 25

50 , , D' où :

α = > = > −

= > = − =

prob X( , ) prob U( , , prob U

, ) ( , ) , ,

30 14 30 14 30 1

0 25 50

1 13 1 0 8708 0 1292

(13)

En pratiquant régulièrement ce contrôle, dans environ 13 cas sur 100, nous rejetterons H 0 alors que H 0 est vraie.

2) Calculons maintenant la probabilité d'accepter H0 dans le cas où H0 est fausse (risque β).

Si H1 est vraie, μ est supérieure à 30,1. C' est la seule information dont nous disposons, nous ignorons sa valeur exacte. A priori, μ peut prendre toute valeur de l'intervalle ] 30,1 ;+∞ [.

β est fonction de μ puisque β μ

= < = < −

prob X( , ) prob U( ,

, )

30 14 30 14

0 25 50

β est fonction du degré de fausseté de H0.

Nous pouvons calculer quelques valeurs de β en donnant à μ des valeurs arbitraires choisies dans l'intervalle précédent.

exemple : si μ = 30,12 alors β = prob(U < 0,57) = 0,7157.

si μ = 30,14 alors β = prob(U < 0) = 0,50.

si μ = 30,15 alors β = prob(U < -0,28) = 1 - 0,6103 = 0,3897 si μ = 30,20 alors β = prob(U < -1,70) = 1 - 0,9554 = 0,0446 si μ = 30,25 alors β = prob(U < -3,11) = 1 - 0,9991 = 0,0009

Interprétation : si μ = 30,15 (la machine est déréglée), 39 fois sur 100 nous considére- rons qu’elle est bien réglée, puisque nous accepterons H0.

En donnant ainsi différentes valeurs à μ nous pouvons tracer point par point la courbe représen- tative de la fonction qui à μ associe la valeur de β. Cette courbe est appelée courbe d'efficacité du contrôle. Elle donne la probabilité de ne pas voir un dérèglage de la machine quand ce déré- glage existe. Vous pouvez remarquer que plus ce déréglage est important, moins on risque de ne pas le déceler, ce qui est rassurant !

courbe d' efficacité

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

30,04 30,06 30,08 30,1 30,12 30,14 30,16 30,18 30,2 30,22

Remarque : Lorsque μ = 30,1 la probabilité de refuser H0 est α qui vaut environ 0,13.

Donc la probabilité d'accepter H0 est, dans ce cas, 1 - α soit environ 0,87.

(14)

A partir de ce graphique, il est possible d'estimer la probabilité d'accepter H0 pour une valeur de μ donnée.

Les propos ci dessus étaient orientés vers la courbe d'efficacité. Cependant ce type de contrôle amène d'autres questions.

Comment a-t-on défini la règle de décision ? Est-elle arbitraire ?

Non, bien sûr. On peut, par exemple se fixer la taille de l'échantillon (n = 50), risque de premiè- re espèce (α = 0,05) et déterminer alors cette règle :

Sous H0 : μ = 30,1 donc

α = > = > −

=

⇔ − = ⇔ =

prob X a prob U a

a a

( ) ( ,

, ) ,

,

, , ,

30 1 0 25

50

0 05 30 1

0 25 50

1 645 30 16

Pour un risque α de 0,05 et un échantillon de taille 50, nous déciderons que : si x< 30,16g, on accepte H0

si x > 30,16g, on accepte H1

Autre réflexion : Avec la règle de décision initiale, quelle doit être la taille de l'échantillon si on retient un risque de première espèce égal à 0,05 ?

Le raisonnement est analogue. On a, sous H0 :

α = > = > −

=

⇔ = ⇔ ≈

prob X prob U

n

n n

( , ) ( , ,

, ) ,

,

, ,

30 14 30 14 30 1

0 25 0 05 0 04

0 25 1 645 106

Avec la règle de décision initiale et un risque α de 0,05, il faut effectuer le contrôle en prélevant des échantillons de 106 sachets.

Pour chacun de ces deux plans de contrôle, le calcul du risque de deuxième espèce est à refaire. Mais n'est-ce pas là un bon entraînement et surtout un grand plaisir ? Bon courage et à bientôt dans le prochain bulletin du GRES...

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Exemple 2 : (pour s’entrainer)

Une fabrication contient une proportion π d'éléments non conformes. On prélève dans cette fabrication un échantillon aléatoire simple de 200 éléments. Soit F la variable aléatoire qui à chaque échantillon de 200 éléments, associe la proportion d'éléments non conformes.

On suppose que π est égale à 3%. On veut mettre en place un test qui permet de vérifier cette hypothèse.

1 ) Déterminer une règle de décision, pour un risque de première espèce de 5%.

2 ) Déterminer alors le risque de deuxième espèce associé à cette règle. On envisagera plusieurs valeurs de π , telles que 4%, 5%, 6%, 7%,...

3 ) Construire la courbe d'efficacité de ce contrôle.

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(19)

(20)

CAPESA interne 1996 - 2ème épreuve

Nous présentons ci-dessous des propositions de corrigés des exercices 3, 4 et 5.

Exercice 3 : Probabilité conditionnelle

Dans une usine trois machines, notées respectivement M1, M2 et M3, fabriquent des pièces d’un même type. Chacune de ces pièces est fabriquée par une seule machine. En moyenne, les pourcentages de pièces défectueuses fabriquées sont de 0,4% pour M1, 0,6% pour M2 et 0,5%

pour M3. Dans une livraison de 1000 pièces, 400 proviennent de M1, 350 de M2 et 250 de M3.

L’expérience consiste à choisir au hasard une pièce parmi ces 1000 et à vérifier qu’elle n’est pas défectueuse.

1°) Représenter à l’aide d’un arbre ou d’un tableau toutes les données relatives à la description de cette expérience.

2°) Calculer la probabilité que la pièce prélevée soit défectueuse.

3°) La pièce prélevée est défectueuse. Calculer la probabilité qu’elle provienne de la fabrication par M1 ou M3.

Proposition de corrigé

1°) Représentons les données relatives à la description de l'expérience a) Tableau :

Vous trouverez une proposition de tableau dans le courrier des lecteurs.

b) Arbre :

Considérons les événements suivants :

D : "la pièce prélevée est défectueuse" et Mi : "la pièce prélevée a été fabriquée par la machine Mi"

L'univers Ω associé à l'expérience envisagée est l'ensemble des 1000 pièces faisant partie de la livraison.

(21)

Notons D l'événement contraire de l'événement D.

Ω

M1

0,40

0,35 M2

0,25

M3

0,004 D∩M₁ D∩M₁ 0,006 D∩M₂ D∩M₂ 0,005 D∩M₃

D∩M₃

A chaque étage de l’arbre, les événements forment une partition de l’univers Ω, à condition que toutes les branches soient placées.

2°) Calculons la probabilité que la pièce prélevée soit défectueuse

Les événements Mi constituent un système complet d'événements donc,

prob D prob D M

prob D prob M prod D

prod D

i i

i

i Mi

i i

( ) ( )

( ) ( ) ( )

, , ,

( )

= ∩

= ×

= × + × + ×

= + +

=

∑

1 3

0 00160 0 00210 0 00125

prob(D) 0,40 0,004 0,35 0,006 0,25 0,005 prob(D)

0,00495

La probabilité que la pièce prélevée soit défectueuse est égale à 0,00495.

3°) Calculons la probabilité que la pièce défectueuse prélevée provienne de la fabrication par M₁ ou M₃

Il s'agit de calculer la probabilité conditionnelle prob_D(M₁∪M₃)

Les événements M1 et M3 sont incompatibles donc :

prob M M prob M prob M

prob M M prob D M

prob D

prob D M prob D

prob M M prob M M

D D D

D

D D

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ,

,

, ; ( )

1 3 1 3

0 00160 0 00495

0 00125 0 00495

19 33

∪ = +

∪ = ∩

+ ∩

∪ = + ∪ =

(22)

La probabilité que la pièce défectueuse prélevée provienne de la fabrication par M1 ou M3

est égale à 19/33.

Exercice 4 : Test statistique relatif à une loi discrète

Soit m et n deux entiers naturels tels que 0≤ m< n. Soit X et Y deux variables aléatoires réelles continues.

On désire tester l’hypothèse « X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes de même distribution de probabilité ».

Sous cette hypothèse, la probabilité que X - Y prenne une valeur strictement positive est égale à la probabilité que X - Y prenne une valeur strictement négative.

L’expérience envisagée conduit à la prise en compte de n différences non nulles x_i − y_i^{, pour} 1≤ ≤i n, valeurs de la variable aléatoire X - Y.

Soit Z la variable aléatoire qui, à chaque expérience, prend pour valeur le nombre de différences x_i −y_i, pour 1≤ ≤i n, strictement positives. On note α la probabilité que Z prenne une valeur strictement supérieure à m. L’hypothèse est à rejeter lorsque Z prend une valeur strictement supérieure à m.

On admet que la probabilité que X - Y prenne la valeur 0 est nulle.

1°) Calculer α en fonction de m et n.

2°) On fixe α = 0,05.

a) Calculer m pour n = 10 et rédiger la règle de décision pour le test envisagé.

b) On souhaite établir un algorithme de calcul de m en fonction de n.

b1) Rédiger cet algorithme d’abord en langage courant puis dans le langage de programmation de votre calculatrice (préciser la marque et le modèle).

b2) Programmer cet algorithme sur votre calculatrice et donner les valeurs de m correspondant aux valeurs suivantes de n : 15, 20, 25, 30.

c) Peut-on envisager une autre méthode de calcul de m lorsque n = 900 ? Proposition de corrigé

Sous l'hypothèse à tester, on a : prob(X - Y > 0) = prob(X - Y < 0).

Puisque l'on ne s'intéresse qu'aux valeurs possibles de X - Y non nulles, on a : prob(X - Y > 0) = prob(X - Y < 0)= 0,5

Z est la variable aléatoire qui, à chaque expérience, prend pour valeur le nombre de différences di = xi - yi strictement positives.

La loi de probabilité de Z est la loi binomiale B(n;0,5).

Pour tout entier k, 0≤ ≤k n, prob Z⁽ ⁼ k⁾⁼ C_n^k^{( , )}^{0 5} ⁿ

1°) Calculons α en fonction de m et n

α = prob(Z > m) ; m est un entier tel que 0≤ <m n. α =

= +

∑= _n^k ⁿ k m

k n

C ^{( , )}^{0 5}

1

soit α =

= +

∑= ( , )0 5

1

n nk

k m k n

C

2°) Calculons m pour n = 10 et rédigeons la règle de décision

(23)

On a

1 10

10 ^k 0 05 210 k m

k

= +C

=∑ ⁼ ^, ^× ^soit ₁₀

1 10

k 51 2 k m

k

= +C

=∑ ⁼ ^,

Or, 1010

109

108

107

1 10 45 120

C ⁼ ^; C ⁼ ^; C ⁼ ^; C ⁼

D'où,

10 10

109

108 1010

109

51 2

C + C < , < C

⁺

C

⁺

C

Donc m + 1 = 9 d'où m = 8 Règle de décision :

Si Z ≤ 8 alors on accepte l'hypothèse

Si Z > 8 alors on refuse l'hypothèse au risque 0,05.

b1) Rédigeons un algorithme de calcul de m L'entier naturel m vérifie : nk

k m

k n n

= +

C

∑

= ⁼ ^×

1

0 05 2,

Langage courant Langage CASIO 8800 GC

1. Début 2. Entrer n

3. Calculer A ←⎯ 0,05 x 2ⁿ 4. S ←⎯ 0

5. m ←⎯ n + 1 6. Tant que S ≤ A

faire

m ←⎯ m − 1 S ←⎯ S + nm

C

fin faire 7. Afficher m 8. Fin

"N=" ? → N 0,05×2x^yN → A 0 → S : N + 1 → M Lbl 1 : S ≤ A ⇒ Goto 2

"M=" ₅ M ₅ Goto 3 Lbl 2 : M − 1 → M

S + (N!÷(M! ×(N−M)!)) → S Goto 1

Lbl 3

b2) Donnons les valeurs de m correspondant aux valeurs de n indiquées

n 15 20 25 30 m 11 14 17 19 c) Présentons une autre méthode de calcul de m lorsque n = 900

E(Z) = 0,5n, soit E(Z) = 450 et σ(Z) = 0 25, n, soit σ(Z) = 15.

Dans le cas n = 900, la loi de probabilité de Z peut être approchée par la loi normale de moyenne 450 et d’écart-type 15 avec correction de continuité. Soit R une variable aléatoire dont la loi de probabilité est la loi normale N(450 ; 15). La loi de probabilité de la variable

U= Z−450

15 est donc la loi normale N(0;1).

On cherche l’entier m tel que prob(Z > m) = 0,05

En appliquant la correction de continuité on a : prob(Z > m) = prob(R > m + 0,5)

(24)

prob(R > m + 0,5) = prob m

U> + −

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

0 5 450 15 ,

On cherche donc l’entier m tel que prob m

U> + −

⎛⎝⎜ ⎞

⎠⎟

0 5 450 15

, = 0,05

Or prob(U > 1,645) = 0,05 donc m−449 5= 15 , 1 645

, On obtient m = 474,175

Nous avons donc prob(Z > 474,175) = 0,05 La fonction de répartition étant strictement croissante on a :

prob(Z > 474) > 0,05 et prob(Z > 475) < 0,05 L’entier m est donc égal à 475.

Exercice 5 : Mise en place d’une séquence pédagogique

Un vendeur de journaux souhaite, pour un journal donné, analyser ses ventes. Un exemplaire de ce journal, acheté 3 francs à l’éditeur, est vendu 6 francs. Chaque exemplaire invendu est repris 1,20 franc.

Pour analyser le profit quotidien de son négoce, le vendeur de journaux comptabilise ses achats et la demande par paquets de 10 exemplaires. Pour cela, il calcule le gain ou la perte lorsqu’il achète 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60 exemplaires. La demande quotidienne ne dépasse jamais 60 exemplaires. Il est capable de faire une statistique sur cette demande dans une période suffisamment grande et, aidé par un de ses amis étudiants, il en déduit la loi de probabilité suivante :

Exemplaires demandés quotidiennement 0 10 20 30 40 50 60 Probabilité de cette demande 0,05 0,05 0,05 0,10 0,25 0,30 0,20 Construire, à partir de ce qui précède, une séance de travaux dirigés :

- en mettant en évidence les différents gains et pertes possibles, les gains espérés, - en indiquant le gain maximal espéré.

Proposition de corrigé

Il s'agit, à partir de l'énoncé de l'exercice, de présenter une séance de travaux dirigés.

On peut, par exemple, proposer aux étudiants de B.T.S.A. l'exercice suivant : Exercice :

Un vendeur de journaux souhaite, pour un journal donné, analyser ses ventes. Un exemplaire de ce journal, acheté 3 francs à l’éditeur, est vendu 6 francs. Chaque exemplaire invendu est repris 1,20 franc.

Le vendeur de journaux comptabilise ses achats et la demande par paquets de 10 exemplaires.

Pour cela, il calcule le gain ou la perte lorsqu’il achète 0, 10, 20, 30, 40, 50, 60 exemplaires.

La demande quotidienne ne dépasse jamais 60 exemplaires. La loi de probabilité de cette demande est la suivante :

(25)

Exemplaires demandés quotidiennement 0 10 20 30 40 50 60 Probabilité de cette demande 0,05 0,05 0,05 0,10 0,25 0,30 0,20 On note I l'ensemble {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60}. Soit i un élément de I. On désigne par Xi la variable aléatoire qui, pour i exemplaires du journal mis en vente et pour chaque demande quotidienne, prend pour valeur le gain ou la perte réalisé par le vendeur.

Nota : le nombre d'exemplaires du journal demandés peut être supérieur au nombre d'exemplaires vendus.

1°) Quelle est, pour un même nombre d'exemplaires du journal vendus, la perte du gain du vendeur lorsqu'il est mis en vente 10 exemplaires supplémentaires du journal ?

2°) Quelle est, pour un même nombre d'exemplaires du journal mis en vente, l'augmentation du gain du vendeur lorsqu'il est vendu 10 exemplaires supplémentaires ?

3°) Déterminer, en fonction du nombre d'exemplaires du journal mis en vente, les gains ou pertes possibles.

4°) Définir la loi de probabilité de la variable aléatoire X_i pour tout élément ide I.

5°) Calculer, en fonction du nombre d'exemplaires du journal mis en vente, les gains espérés. Quel est le gain maximal espéré ?

Proposition de solution :

1°) Calculons la perte du gain du vendeur lorsqu'il est mis en vente 10 exemplaires supplémentaires du journal

Soit i un élément de I. Pour i exemplaires du journal mis en vente et pour aucun exemplaire demandé la valeur de Xi est (-3)i + 1,2i soit -1,8i.

Par suite, pour un même nombre d'exemplaires du journal vendus, la perte du gain du vendeur est égale à 18 F lorsqu'il est mis en vente 10 exemplaires supplémentaires.

Les valeurs possibles de ces pertes de gain sont en progression arithmétique de raison -18.

2°) Calculons l'augmentation du gain du vendeur lorsqu'il est vendu 10 exemplaires supplémentaires

Pour un même nombre d'exemplaires du journal mis en vente, le gain du vendeur augmente de 10×(6 − 1,2) soit 48 F lorsque le vendeur vend 10 exemplaires supplémentaires.

Pour i exemplaires du journal mis en vente, les valeurs possibles de X_i sont inférieures ou égales à (6 - 3)i soit 3i. Elles sont en progression arithmétique de raison 48.

3°) Déterminons, en fonction du nombre d'exemplaires du journal mis en vente, les gains ou pertes possibles

Les gains ou pertes possibles sont présentés dans le tableau ci-dessous :

(26)

Ces valeurs sont les valeurs possibles des variables aléatoires X_i, i étant un élément de I.

Exemplaires vendus

0 10 20 30 40 50 60

0 0

10 -18 30

20 -36 12 60

30 -54 -6 42 90

40 -72 -24 24 72 120

50 -90 -42 6 54 102 150

60 -108 -60 -12 36 84 132 180

4°) et 5°) Définissons la loi de probabilité de la variable aléatoire Xi pour tout élément i de I et calculons les gains espérés

Exemplaires demandés quotidiennement

0 10 20 30 40 50 60

Gain Probabilité de cette demande

0,05 0,05 0,05 0,10 0,25 0,30 0,20

espéré E(X_i)

0 X₀ 0 0 0 0 0 0 0 0

10 X₁₀ -18 30 30 30 30 30 30 27,6

20 X20 -36 12 60 60 60 60 60 52,8

30 X30 -54 -6 42 90 90 90 90 75,6

40 X₄₀ -72 -24 24 72 120 120 120 93,6

50 X₅₀ -90 -42 6 54 102 150 150 99,6

60 X₆₀ -108 -60 -12 36 84 132 180 91,2

Le gain quotidien maximal espéré est égal à 99,6 F.

(27)

CAPESA interne - Session 1995 - Deuxième épreuve

Voici 3 des 4 exercices de la deuxième épreuve du CAPESA Interne de Mathématiques.

Nous vous proposerons des corrigés de ces exercices dans un prochain bulletin.

Exercice 1 : Qualité d'une fabrication

Par hypothèse, une fabrication contient une proportion π d'éléments non conformes.

200 éléments sont prélevés, au hasard, de cette fabrication et constituent un échantillon.

Soit X la variable aléatoire qui à chaque échantillon de 200 éléments associe le nombre d'éléments non conformes.

1. Quelle est la loi de probabilité de X (on calculera sa moyenne et sa variance) ? 2. On suppose que π est égal à 3%. Cette hypothèse sera notée Ho dans la suite de

l'énoncé. On se fixe comme règle de décision :

"si le nombre d'éléments non conformes est strictement supérieur à 8 alors on refuse Ho et si ce nombre est inférieur ou égal à 8 alors on accepte Ho".

a. Quelle est la probabilité de refuser Ho alors qu'elle est vraie ?

b. A partir de quel nombre d'éléments non conformes doit-on refuser Ho pour que la probabilité de refuser Ho soit égale à 0,05 ? (on retiendra le nombre d'éléments non conformes pour lequel cette probabilité prend la valeur la plus proche de 0,05)

3. a. Déterminer la probabilité d'accepter Ho alors que π = 4% .

b. Reprendre le calcul précédent pour π = 5% ; π = 6% ; π = 7% ; π = 3%.

c. Pour quelle valeur de π la probabilité d'accepter Ho est-elle égale à 0,10 ?

Exercice 2 : Contrôle d'une fabrication

Pour la mise au point d'une machine d'une fabrication, devant respecter des normes imposées par la règlementation en vigueur, on met en place un processus de contrôle (ou tri) de la manière suivante :

- Prélèvement d'un échantillon d'éléments au hasard.

- Examen des éléments prélevés pour voir s'ils sont conformes ou non aux normes imposées.

- Conclusion, à la suite de cet examen, concernant la fabrication : conforme ou non aux normes imposées.

- Décision d'action : modifier le réglage de la machine ou ne rien faire suivant que l'on refuse ou accepte les éléments fabriqués.

On note :

C l'ensemble des éléments conformes dans la fabrication.

(28)

π la proportion réelle des éléments non conformes dans la fabrication.

A l'ensemble des éléments acceptés au contrôle.

On suppose que la proportion d'éléments non conformes est égale à 3%.

Une étude préliminaire a permis d'estimer les probabilités d'erreur de tri :

. probabilité de refuser un élément conforme, ou erreur de première espèce, égale à 0,05.

. probabilité d'accepter un élément non conforme, ou erreur de seconde espèce, égale à 0,10.

1. Quelle est la proportion des éléments fabriqués qui sera refusée par le processus de contrôle

? En d'autres termes, quelle est la probabilité qu'un élément, pris au hasard dans la fabrication, soit refusé ?

2.a. Pour mesurer l'efficacité du processus de contrôle, il est intéressant de déterminer la proportion des éléments non conformes parmi les éléments acceptés. Calculer la probabilité qu'un élément accepté soit non conforme.

b. Comparer ce résultat à la probabilité qu'un élément soit non conforme sans aucun tri, conclure.

3. La proportion réelle des éléments non conformes est supposée varier maintenant de 1% à 10%. Tracer point par point, avec un pas de 1%, la courbe représentative de la fonction qui à π associe la probabilité qu'un élément accepté soit non conforme.

Exercice 4 : Construction d'un énoncé

L'objectif de l'exercice est de construire un énoncé, pour une évaluation en classe de B.T.S.A., qui ait pour thème :

"Test de conformité d'une proportion"

ou

"Comparaison d'une proportion à une proportion donnée par hypothèse"

1. Préciser les objectifs visés dans l'évaluation.

2. Rédiger un énoncé.

3. Rédiger un corrigé, à l'intention des étudiants, accompagné d'une grille d'évaluation (critères et barème).