V.— Groupes de Galois des cubiques et des quartiques

M1 – Théorie de Galois – Université Lyon I – 2011-2012 1

V.— Groupes de Galois des cubiques et des quartiques

Exercice 1 a) Soitk un corps de caractéristique 6= 2,3. Soitf(X) un poly- nôme irréductible surk. Montrer que si son discriminant est un carré dansk, alorsGalk(f)'Z/3Zet queGalk(f)'S3sinon(le discriminant du polynôme (X−x1)(X−x2)(X−x3)est ∆ = (x1−x2)²(x2−x3)²(x1−x3)²).

b) Déterminer le groupe de Galois surQdes polynômes suivants : X³−X−1 etX³+X²−2X−1 .

Exercice 2 (Résolvantes) Soit f(X1, ..., Xn) ∈ Z[X1, ..., Xn]. Soit G un sous-groupe deSn. On noteH le sous-groupe desσ∈Gtels quef^σ=f.

On suppose que P(X) est un polynôme séparable de degrén sur un corps k. On noteL/k un corps de décomposition deP surketx₁, ..., x_n ses racines dansL. On définit :

RG(f, P) := Y

σH∈G/H

X−f(x_σ(1), ..., x_σ(n))

∈L[X] .

a) Montrer que siGal(L/k)⊆G, alorsRG(f, P)∈k[X].

b) Montrer que si de plus, R_G(f, P) a une racine simple dans k, alors Gal(L/k)est conjugué à un sous-groupe deH.

Exercice 3 (Groupe de Galois des quartiques) On note V le sous- groupe{1,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}deS4.

a) Montrer queV est distingué dans S4et que V 'Z/2Z×Z/2Z. b) SoitGun sous-groupe transitif deS4. Montrer queGest

S4, A4, V ou un sous-groupe isomorphe à Z/4ZouD8

(on note D8 le groupe diédral d’ordre 8 (c’est le groupe des isométries du carré)).

c) Soit P(X) := X⁴+pX²+qX +r un polynôme irréductible à coeffi- cients dans un corpskde caractéristique6= 2,3. Vérifier queP(X)a4racines distinctes,x1, x2, x3, x4 dans son corps de décompositionL.

d) On posef := (X1+X2)(X3+X4). On noteR(X) :=RS₄(f, P).

Montrer queR(X) = (X−θ₁)(X−θ₂)(X−θ₃)où :

θ1:= (x1+x2)(x3+x4), θ2:= (x2+x3)(x1+x4), θ3:= (x3+x1)(x2+x4) .

e) Montrer queR(X) =X³−2pX²+ (p²−4r)X+q².

f) Montrer queθ₁−θ₂= (x₃−x₁)(x₂−x₄). En déduire queR(X)etP(X) ont le même discriminant∆.

g) SoitGle groupe de Galois deLsurk. On noteG1:=G∩V. Montrer que L^G∩V =k(θ1, θ2, θ3) =:M

le corps de décomposition deR(X)surk.

h) Montrer que le tableau suivant décrit bien toutes les possibilités pour le groupe de Galois du polynômeP(X)surk:

∆6∈k² R(X)irréductible surk G=S4

∆∈k² R(X)irréductible surk G=A₄

∆∈k² R(X)scindé surk G=V

∆6∈k² R(X)a une racine dansk P(X)irréductible sur M G'D₈

∆6∈k² R(X)a une racine dansk P(X)réductible sur M G'Z/4Z

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i)Applications : Montrer que si le polynômeX⁴+bX²+dest irréductible surk, alors son groupe de Galois estV sidest un carré dansk,Z/4Zsid6∈k² et ^b_d² −4∈k² etD₈sinon.

Déterminer les groupes de Galois surQdes polynômesX⁴−X−1etX⁴+ 8X+ 12.