Petit cours de forcing
Jean-Louis Krivine
Université Paris VII, C.N.R.S.
Dernière mise à jour le 29 mars 2007
Syntaxe : le forcing
On considère un ensembleP muni d’une opération binaire :p,q7→pqavecp q=q p,pp= p, (pq)r=p(qr). On définit une relation d’ordre surPen posantp≤q⇔p q=p. On a donc pq=inf(p,q).
On fixe un segment initial⊥deP (p≤q∈ ⊥ ⇒ p∈ ⊥) et on poseC =P\⊥;C est appelé ensemble des conditions. Deux conditionsp,qsont ditescompatiblessip q∈C.
Une partieX deC est :
•uneantichaînesip,q∈X,p6=q⇒p q∈ ⊥.
•unechaînesip,q∈X ⇒p≤q ouq≤p.
•saturéesip≤q∈X ⇒p∈X (segment initial deC).
•densesi (∀p∈C)(∃q∈X)q≤p.
•dense sous psi (∀p0∈C;p0≤p)(∃q∈X)q≤p0.
•prédensesi (∀p∈C)(∃q∈X)pq∈C.
Le saturé d’un sous-ensemble prédense deC est donc dense saturé.
Une antichaîne maximale deCest prédense.
Pour toute partie X deC, on poseX⊥={p∈C; (∀q ∈X)p q∈ ⊥}. Alors X⊥ est saturée et X∪X⊥est prédense.
Remarque.Tout ensemble ordonnéEest isomorphe à une partie dense d’un tel ensembleC: on prend pour P l’ensemble des segments initiaux de E, l’opération binaire est ∩ et ⊥a pour seul élément le segment initial vide. L’injection deE dansC =P\ {;} est donnée par a7→{x∈E;x≤a}.
On considère un modèleM de ZF, et on choisit dansM un ensemble de conditionsC. Pour chaque formule closeF(a1, . . . ,ak), écrite avec∀,→,⊥, le symbole de relation binaire ε/ et a1, . . . ,ak∈M, on définitp||−F(a1, . . . ,ak), qui est une formule de ZF :
p||−aε/best∀q[(a,q)∈b→pq∈ ⊥] ;p||− ⊥estp∈ ⊥;
p||−A→B est∀q[q ||−A→pq||−B] ;p||−∀x Aest∀x(p||−A).
Remarque. Les lettres p,q, . . . désignent des conditions, donc∀p est une abréviation pour (∀p∈C).
Lemme 1. i) p||−⊥ ⇒p||−F . ii) p||−F ⇒pq||−F .
iii) Si p6||−F , il existe q∈C , q≤p, q||−¬F .
(i) et (ii) : immédiat, par récurrence surF. (iii) On fait la preuve par récurrence surF :
1. Sip6||−aε/b, il existeq tel que (a,q)∈b et p q∈C. On montre quepq||−aε/b → ⊥: en effet, sir||−aε/b, alorsqr∈ ⊥doncpqr∈ ⊥.
2. Sip6||−A→B, il existeqtel queq||−A,pq6||−B. Par hypothèse de récurrence, il exister∈C, r ≤pq,r ||−B → ⊥. On montre quer ||−(A→B)→ ⊥: en effet, sis||−A→B, alorssq||−B, doncr sq ||− ⊥, soitr s||−⊥puisquer q=r.
3. Sip6||− ∀x A[x], alors il existe a tel que p6||−A[a]. Par hypothèse de récurrence, il existe q∈C,q≤ptel queq||−A[a]→ ⊥. On montre queq ||−∀x A[x]→ ⊥: en effet, sir ||− ∀x A[x], alorsr ||−A[a], doncr q ||− ⊥.
C.Q.F.D.
Lemme 2(Lemme d’adéquation).
Soient x1, . . . ,xnles variables libres de A1, . . . ,Ak. Si A1, . . . ,Ak`A et
si pi ||−Ai[a1/x1, . . . ,an/xn](1≤i≤k), alors p1. . .pk||−A[a1/x1, . . . ,an/xn].
Démonstration par récurrence sur la longueur de la preuve deA1, . . . ,Ak`A ; on considère la dernière règle utilisée.
Axiome :A=Ai; évident.
Modus ponens : on aA1, . . . ,Ak `B → Aet A1, . . . ,Ak `B. Par hypothèse d’induction, on a p1. . .pk||−B→A,p1. . .pk ||−B, doncp1. . .pk||−A.
Introduction de→: on aA≡B →C et A1, . . . ,Ak,B `C. Sip||−B, par hypothèse de récur- rence, on ap1. . .pkp||−C. Il en résulte quep1. . .pk||−B→C.
Introduction de∀: on aA≡ ∀x B[x] etA1, . . . ,Ak`B[x],xn’étant pas libre dans A1, . . . ,Ak. Par hypothèse de récurrence, on ap1. . .pk||−B[a] pour touta, doncp1. . .pk||− ∀x B[x].
Elimination de∀: on a A≡B[a] et A1, . . . ,Ak` ∀x B[x]. Par hypothèse de récurrence, on a p1. . .pk||− ∀x B[x] et doncp1. . .pk||−B[a].
Loi de Peirce : on doit montrer quep||−(¬A→A)→A. Soit doncq||− ¬A→A. Sipq6||−A, il exister∈C,r≤pq,r ||− ¬A(lemme 1). On a doncqr ||−A, d’oùr ||−Apuisquer≤q. Comme r ||− ¬A, on en déduitr||−⊥, ce qui est une contradiction.
C.Q.F.D.
Définition de nouveaux symboles de prédicat
On va étendre le langage {ε/ } en ajoutant de nouveaux symboles de relation. Si, par exemple, on veut ajouter le nouveau symbole de prédicat binaire R, il suffit d’écrire la formule de ZF qui représente p||−R(x,y). Toutefois, cette formule n’est pas complètement arbitraire.
Pour pouvoir étendre la preuve du lemme 1, (et donc celle du lemme 2), on impose les trois conditions suivantes :
p||− ⊥ →p||−R(x,y) ;
p||−R(x,y),q≤p→q||−R(x,y) ;
p6||−R(x,y)→(∃q∈C){q≤p,q ||− ¬R(x,y)}.
La troisième condition s’énonce aussi : (∀q≤p)(∃r≤q)r||−R(x,y)→p||−R(x,y)
(noter que∀q signifie (∀q∈C), de même pour∃r).
La méthode générale pour obtenir une formule satisfaisant ces trois conditions est de pren- dre n’importe quelle relation ternaireΦ(p,x,y) surM et de poser :
(∗) p||−R(x,y)⇔ ∀q(Φ(q,x,y)→p q∈ ⊥).
On définit ainsi les deux nouveaux prédicats binaires∉et⊂, de façon que : a∉b≡ ∀x(x⊂a,a⊂x→xε/b) ;a⊂b≡ ∀x(x∉b→xε/a).
Autrement dit, on veut que :
(∗∗) p||−a∉b⇔p||− ∀x(x⊂a,a⊂x→xε/b) ; p||−a⊂b⇔p||−∀x(x∉b→xε/a) c’est-à-dire :
p||−a∉b⇔ ∀r∀x[(x,r)∈b→ ∀q∀q0(q ||−x⊂a,q0||−a⊂x→p q q0r∈ ⊥)] ; p||−a⊂b⇔ ∀r∀x[(x,r)∈a→ ∀q(q||−x∉b→pqr∈ ⊥)].
Les deux formules de ZF : p||−a ∉b et p||−a ⊂b sont donc définies par induction sur le couple d’ordinaux (rga∪rgb, rga∩rgb). Leur définition ayant la forme (∗) ci-dessus, le lemme d’adéquation reste donc valable.
De plus, d’après (∗∗), les deux axiomes suivants sont forcés (par toute condition) :
∀a∀b[a∉b↔ ∀x(x⊂a,a⊂x→xε/b)] ;
∀a∀b[a⊂b↔ ∀x(x∉b→xε/a)].
Sémantique : les génériques
Lemme 3(Lemme de contraction de Mostowski).
i) Si R est une relation binaire bien fondée sur un ensemble E , il existe une fonctionφet une seule de domaine E telle que φ(a)={φ(x);x∈E,R(x,a)}.
L’image deφest un ensemble transitif.
ii) Si la relation R est bien fondée et extensionnelle,φest un isomorphisme de(E,R)sur l’en- semble transitif φ(E)muni de la relation∈.
i) La preuve est immédiate, car la propriétéφ(a)={φ(x);x∈E,R(x,a)} est une définition de φpar induction sur la relation bien fondéeR.
ii) On montre queφ(a)=φ(b)⇒a=bpar induction surapour la relation bien fondéeR.
C.Q.F.D.
Définition.L’ensemble transitifφ(E) est appelé lecontracté (collapse)etφest appelée lafonc- tion contractante (collapsing function)de l’ensemble bien fondé (E,R).
Notation. SoientF une formule, ou un ensemble de formules, etM(x) une formule à une variable libre. On désigne parFM(x)la restriction deF à la classeM(x) : dansF, on rem- place chaque quantificateur∀x(· · · par∀x(M(x)→ · · ·
Lorsque la classeM(x) est de la formex∈M, oùM est un ensemble, on écriraFM.
Théorème 4. SoitT une théorie consistante contenant ZF + ACdép. Alors la théorie suivante est consistante (M est un nouveau symbole de constante) :
T +TM + « M est un ensemble transitif dénombrable ».
En effet, d’après le théorème de compacité, il suffit de trouver un modèle de la théorie : T +FM + «M est un ensemble transitif dénombrable », oùF est une conjonction d’axiomes deT. SoitU|= T ; d’après le schéma de réflexion, il existe un ordinalαtel queVα|=F. D’après le théorème de Lowenheim-Skolem (qui est conséquence de ACdép.), il existe un
ensembleU⊂Vα, U dénombrable et extensionnel,U|= F. D’après le lemme 3(ii),U est isomorphe à un ensemble transitif dénombrableM ; doncM|=F etU|=FM.
C.Q.F.D.
On suppose donc maintenant queM est un modèle d’une théorieT contenant ZF + ACdép.
qui est un ensemble dénombrable transitif, pris dans un universU qui satisfaitT. Remarque.Ceci n’implique pas queU|=Cons(ZF).
Un ensembleGdeU,G⊂C, est ditC-générique surM si : p∈G,p≤q ⇒q∈G; p,q∈G⇒pq∈G;
G∩D6= ;pour toute partie denseDdeC,D∈M.
Dans cette dernière condition, on peut remplacer le mot « dense » par « prédense » ou encore par « dense saturée ».
Remarque.SiC a la propriété suivante : « toute condition a deux minorants incompatibles », alorsG∉M (en effet,C\G est alors une partie dense deC). On sera toujours dans cette situation.
Théorème 5. Pour tout p∈C , il existe, dansU, un C -générique G surM tel que p∈G.
On considère, dansU, une énumération (Dn)n∈ωdes parties denses deC qui sont dansM, avecD0=C. On définit, dansU, une suite décroissantepn∈C en posantp0=p etpn+1= un minorant depnqui est dansDn+1. On pose alorsG={p∈C; (∃n∈ω)p≥pn}. Il est trivial de vérifier queGrépond à la question.
C.Q.F.D.
On définit surM des relations binaires ε/G,∉G,⊂G (que nous noterons ε/ ,∉,⊂pour simpli- fier) en posant :aε/Gb⇔(∃p∈G)p||−aε/bet de même pour les deux autres.
Le modèle (M,ε/G,∉G,⊂G) sera notéMG.
Le lemme suivant donne une interprétation simple deεG.
Lemme 6. aεGb⇔(∃p∈G) (a,p)∈b.
Par définition, on aaε/Gb⇔(∃p∈G)∀q(p q∈C→(a,q)∉b). Donc :
aεGb ⇔(∀p∈G)∃q{p q∈C, (a,q)∈b}. Il en résulte que (∃p ∈G) (a,p)∈b ⇒ aεGb. Pour montrer l’implication inverse, on poseA={p∈C; (a,p)∈b}. AlorsA∪A⊥est prédense et il existe doncp∈G∩(A∪A⊥). Or, par hypothèse, il existeqtel quep q∉ ⊥et (a,q)∈b, donc p∉A⊥. Doncp∈G∩A.
C.Q.F.D.
Lemme 7(Lemme de vérité). Pour toute formule close F[a1, . . . ,an] du langage{ε/ ,∉,⊂}, à paramètres dansM, on aMG|=F[a1, . . . ,an]⇔(∃p∈G)M|=(p||−F[a1, . . . ,an]).
On remarque que {p∈C;p||−F oup||−¬F} est une partie dense deC, qui est dansM. En effet, sip6||− ¬F, il existeq ||−F,p q6||− ⊥. Doncp q∈C,pq≤petp q||−F.
Il en résulte que, pour toute formule closeF, il existep∈G, p||−F oup||− ¬F. On ne peut avoir les deux : car sip,q∈G,p||−F,q||− ¬F, alorsp q∈G∩ ⊥, ce qui contreditG⊂C. On fait la preuve du lemme par récurrence surF.
C’est évident pouraε/b,a∉b,a⊂b, par définition deε/G,∉Get⊂G.
SiMG 6 |=A→B, alorsMG|= AetMG6 |=B. Par hypothèse d’induction, il existep∈G,p||−A
et (∀q ∈G)q6||−B. D’après la remarque précédente, il existe doncq ∈G,q||−¬B. S’il existe r∈G,r ||−A→B, alorspr ||−B etpqr∈ ⊥. Maispqr∈G, ce qui est une contradiction.
SiMG|= A→B, alorsMG|=B ouMG 6 |= A. Dans le premier cas, il existep∈G,p||−B. Donc p||−A→B. Dans le second cas, par hypothèse de récurrence, on a (∀p∈G)p6||−A. Il existe doncp∈G,p||−¬Aet doncp||−A→B.
SiMG6 |= ∀x A[x], alorsMG6 |= A[a] pour una. Par hypothèse de récurrence, on a :
(∀p∈G)p6||−A[a]. Il existe doncp∈G,p||−¬A[a]. S’il existeq∈G,q ||−∀x A[x], alorspq∈ ⊥ etpq∈G, ce qui est une contradiction.
Si MG|= ∀x A[x], on remarque que {p ∈C; p||− ∀x A[x] ou ∃a(p||− ¬A[a])} est une partie dense deC qui est dansM.
En effet, sip6||− ∀x A[x], alorsp6||−A[a] pour una; d’après le lemme 1, il existeq∈C,q≤p tel queq||− ¬A[a].
On a donc une condition p ∈G telle que p||− ∀x A[x] ou p||− ¬A[a] pour un a. Mais ce dernier cas est exclu, car on aurait alors (∀q∈G)q6||−A[a] et doncMG6 |= A[a] par hypothèse de récurrence.
C.Q.F.D.
Lemme 8. MG|= ∀a∀b[a∉b↔ ∀x(x⊂a,a⊂x→xε/b)]et MG|= ∀a∀b[a⊂b↔ ∀x(x∉b→xε/a)].
On a vu, en effet, que ces deux formules sont forcées par toutes les conditions. Il suffit donc d’appliquer le lemme 7.
C.Q.F.D.
D’après le lemme 6, il est clair queεGest une relation bien fondée surM. D’après le lemme 3, il existe donc une fonction contractante, que nous noteronsφG, pour la relation bien fondée εGsur l’ensemble dénombrableM. L’image deφGest un ensemble transitif dénombrable de U que l’on noteM[G]. On en fait un modèle du langage {∉,⊂} avecl’interprétation naturelle des deux symboles∉,⊂(c’est-à-dire la non-appartenance et l’inclusion dansU).
Lemme 9. Soit F[a1, . . . ,an]une formule close du langage{∉,⊂}, à paramètres dansM. Alors M[G]|=F[φGa1, . . . ,φGan]⇔MG|=F[a1, . . . ,an].
Preuve par récurrence surF. SiF ≡A→B, le résultat est immédiat.
SiF ≡ ∀x A[x], on aM[G]|= F ⇔ (∀a∈M)M[G]|= A[φGa]. Par hypothèse de récurrence, ceci équivaut à (∀a∈M)MG|=A[a], c’est-à-direMG|=F.
Reste le cas des formules atomiques a∉b eta ⊂b. On fait la preuve par induction sur le couple d’ordinaux (rga∪rgb, rga∩rgb).
Cas dea∉b:
On aM[G]|=φGa∉φGb⇔U|=φGa∉φGb. Par définition des fonctions contractantes, ceci équivaut à (∀x∈M)(φGx=φGa→xε/Gb) ou encore :
(∀x∈M;xεGb)(φGx⊂φGa,φGa⊂φGx→ ⊥).
Or, sixεGb, on a rgx<rgb(lemme 6). Par hypothèse d’induction, on a donc : φGx⊂φGa⇔MG|=x⊂a et φGa⊂φGx⇔MG|=a⊂x.
La formule considérée équivaut donc à (∀x∈M;xεGb)MG|=(x⊂a,a⊂x→ ⊥) c’est-à-direMG|= ∀x(x⊂a,a⊂x→xε/Gb)
soit finalement, d’après le lemme 8,MG|=a∉b.
Cas dea⊂b:
On aM[G]|=φGa⊂φGb⇔U|=φGa⊂φGb. Par définition des fonctions contractantes, ceci équivaut à (∀x∈M)(φGx∉φGb→xε/Ga) ou encore :
(∀x∈M;xεGa)(φGx∉φGb→ ⊥). Or, sixεGa, on a rgx<rga(lemme 6).
Par hypothèse d’induction, on a donc : φGx∉φGb⇔MG|=x∉b.
La formule considérée équivaut donc à (∀x∈M;xεGa)MG|=(x∉b→ ⊥)
c’est-à-direMG|= ∀x(x∉b→xε/Ga) soit finalement, d’après le lemme 8,MG|=a⊂b.
C.Q.F.D.
Le lemme suivant est l’outil essentiel du forcing. Par rapport au lemme 7, on a perdu le symbole ε/ , mais on a gagné une interprétation naturelle des symboles∉et⊂.
Lemme 10(Lemme de vérité). Soit F[a1, . . . ,an]une formule close du langage{∉,⊂}, à para- mètres dansM. AlorsM[G]|=F[φGa1, . . . ,φGan]⇔(∃p∈G)p||−F[a1, . . . ,an].
Conséquence immédiate des lemmes 7 et 9.
C.Q.F.D.
Théorème 11. (MG,ε)|=ZFεetM[G]|=ZF.
On montre, exactement comme dans [1], que chaque axiome de ZFεest forcé par toute con- dition. On en déduit, d’après le lemme 7, que (MG,ε)|= ZFε. Mais on a vu dans [1] que les axiomes de ZF sont conséquence de ZFε et, par suite, on a (MG,∉,⊂)|= ZF. D’après le lemme 9, on voit queM[G]|=ZF.
C.Q.F.D.
Lemme 12. M ⊂M[G]et G∈M[G].
DansM, on définit par induction la relation fonctionnellea7→aˆen posant : ˆ
a ={( ˆx,p); x ∈a,p ∈C}. On a alors aisément, par induction sur a : φG( ˆa)=a pour tout a∈M. Il en résulte queM ⊂M[G].
On poseΓ={( ˆp,q);p,q∈C,q≤p}. On montre queφG(Γ)=G, d’oùG∈M[G] : SiφG(a)∈φG(Γ), alors il existextel queφG(a)=φG(x) etxεGΓ; par suite,
(∃q∈G) (x,q)∈Γ. On doncx=pˆavecq≤p, d’oùp∈G. On a alorsφG(a)=φG(x)=φG( ˆp)= p, doncφG(a)∈G. On a ainsi montréφG(Γ)⊂G.
Inversement, sip∈G, on a ( ˆp,p)∈Γet donc ˆpεGΓd’oùp=φG( ˆp)∈φG(Γ).
C.Q.F.D.
Lemme 13. i)M etM[G]ont les mêmes ordinaux.
ii) SiM|=AC , alorsM[G]aussi.
i) CommeM ⊂M[G], tout ordinal deM est dansM[G]. Inversement, on montre aisément, par induction sura, que rgφG(a)≤rgapour toutadansM. Tout ordinal deM[G] est donc dansM.
Soient a ∈M etb sa clôture transitive ; la fonctionφGb est définie dansM[G] puisque G∈M[G]. DansM, il existe une surjectionσ:α→b oùαest un ordinal. AlorsφG◦σest, dansM[G], une surjection deαsur {φG(x);x∈b}.
Or cet ensemble contientφG(a)={φG(x);xεGa}.
C.Q.F.D.
La condition de chaîne dénombrable
L’ensemble ordonnéC satisfait lacondition de chaîne dénombrablessi toute suite décrois- sante de conditions a un minorant dansC.
Remarque. Dans la terminologie usuelle du forcing, on dit queC satisfait la condition de chaîne dénombrable si touteantichaînedeC est dénombrable. J’appellerai naturellement cette condition, lacondition d’antichaîne dénombrable.
Une antichaîne est un ensemble de conditions deux à deux incompatibles ; autrement dit, unecliqueau sens des espaces cohérents. On définit une structure d’espace cohérent surC, comme suit : p,q sont compatibles dans cet espace cohérent ssi ils sont incompatibles ou égaux dans l’ensemble ordonnéC.
Théorème 14. Si M|= ACdép. et si C satisfait la condition de chaîne dénombrable, alors M[G]|=ACdép. et toute suite d’éléments deM qui est dansM[G]est déjà dansM.
En particulier,P(ω)etℵ1sont les mêmes dansM etM[G].
Supposons queM[G]|= ∀x∃y R(x,y,φGa) (φGaest un paramètre quelconque, pris dans M[G]). D’après le lemme 10, il existeg ∈Gtel queg ||− ∃y R(x,y,a) pour toutx. Il en résulte queDx={p∈C;∃y(p||−R(x,y,a))} est dense sousg pour chaquex. Par suite :
M|= ∀x(∀p≤g)∃y(∃q∈C){q≤p,q||−R(x,y,a)}.
Appliquons ACdép. dansM : étant donné (x0,p0) avecp0≤g, on obtient une suite
(xn,pn)n∈ω, pn étant une suite décroissante de conditions telle que pn+1||−R(xn,xn+1,a).
Soitpun minorant de la suitepn. On a doncp||−R(xn,xn+1,a) pour toutn∈ωetp≤p0. Par suite
{p∈C; il existe dansM une suite (xn)n∈ωtelle quep||−R(xn,xn+1,a) pour toutn∈ω} est dense sousg. Il existe donc un telp∈Get d’après le lemme 10, on a alors :
M[G]|=R(φGxn,φGxn+1,φGa) pour toutn∈ω. Cela montre queM[G]|=ACdép.
Lemme 15. SiM|=ACdép. et si C satisfait la condition de chaîne dénombrable, alors l’inter- section d’une suite de parties denses saturées de C qui est dansM est encore dense saturée.
SoientDnune telle suite etp∈C. On définit immédiatement une suite décroissantepn∈C telle quep0≤p etpn∈Dn pour toutn. Soitq un minorant de tous lespn. Alors q ≤p et q∈T
n∈ωDn.
C.Q.F.D.
Lemme 16. Avec les mêmes hypothèses, soit(xn)n∈ω∈M, telle queφGxn ∈M pour chaque n∈ω. Alors(φGxn)n∈ω∈M.
On poseDn={p∈C;∃y(p||−xn=yˆ)}. Il est clair queDn∪D⊥n est dense saturée pour chaque n. DoncT
n∈ωDn∪D⊥n l’est aussi (lemme 15) et il existe doncp0∈G∩T
n∈ωDn∪D⊥n.
OrG∩Dn6= ;pour toutn∈ω; en effet, puisqueφGxn∈M, il existeytel queφGxn=φGyˆet il existe doncq∈G,q||−xn=yˆ(lemme 10).
Il en résulte queG∩D⊥n = ;pour toutn ∈ωet on a doncp0∈G∩T
n∈ωDn. Puisque p0∈ Tn∈ωDn, il existe (yn)n∈ω∈M telle quep0||−xn=yˆn pour toutn ∈ω. Puisquep0∈G, on déduit du lemme 10 queφGxn=ynpour toutn∈ωce qui donne le résultat cherché.
C.Q.F.D.
On peut alors montrer la deuxième partie du théorème 14.
Supposons que l’interprétation, dansM[G], de la formuleR(x,y,φGa) soit contenue dans M×M et queM[G]|= ∀x∃y R(x,y,φGa). En raisonnant comme ci-dessus pour montrer ACdép., on obtient une suite (xn)n∈ω∈M telle queM[G]|=R(φGxn,φGxn+1,φGa) pour tout n∈ω. On a doncφGxn∈M pour toutn∈ωet, d’après le lemme 16, on a (φGxn)n∈ω∈M.
C.Q.F.D.
Les deux applications suivantes sont essentielles pour la suite :
Application 1.
Théorème 17. SoitΦune formule d’arithmétique du second ordre telle que : ZF + ACdép. + « il existe une bijection deℵ1surP(ω)»`Φ. Alors ZF + ACdép.`Φ.
Remarque.Il est facile de renforcer ce théorème, en remplaçant l’hypothèse par :
ZF + AC + HGC`Φ, avec la même conclusion. Il suffit de prendre le sous-modèle L(R,γ) du modèleM[G] obtenu dans la preuve ci-dessous. Mais ceci ne servira pas dans la suite.
Supposons que la théorieT suivante : ZF + ACdép. +¬Φsoit consistante. On considère donc un modèle transitif dénombrableM deT. On prend pourCl’ensemble des fonctions injectivesp:α→P(ω) avecα∈ ℵ1(αest donc un ordinal dénombrable). La relation d’ordre est :
p≤q⇔p⊃q; deux conditions compatibles sont donc comparables. SoitGunC-générique surM ;Gest donc un ensemble de fonctions deux à deux comparables.
On remarque que, pour toutα∈ ℵ1, il existep∈Gtelle queαsoit dans le domaine dep. En effet, l’ensemble des conditions qui ont cette propriété est évidemment dense dansC. Pour la même raison, pour toutP∈P(ω), il existep∈Gtelle queP soit dans l’image dep.
On pose alorsγ=S
{p;p∈G} et on voit queγ∈M[G] est une bijection de l’ordinalℵ1deM sur l’ensemble des parties deωqui sont dansM.
Mais il est trivial queC satisfait la condition de chaîne dénombrable. Donc, d’après le théo- rème 14,P(ω) etℵ1sont les mêmes dansM etM[G] ; de plusM[G]|= ACdép. Il en résulte que : M[G]|=ZF + ACdép. + « il existe une bijection deℵ1surP(ω) ». Par hypothèse surΦ, on en déduit queM[G]|=Φ. C’est une contradiction, carM|= ¬ΦetP(ω) est le même dans M etM[G].
C.Q.F.D.
Application 2.
On prend pourP l’algèbre de BooleP(ω)/Pf(ω) (Pf(ω) est l’ensemble des parties finies deω) ; le seul élément de⊥est le zéro de cette algèbre. Alors l’ensemble de conditionsC= P\{0} satisfait la condition de chaîne dénombrable : soit, en effet,Xkune suite décroissante dansC. A l’aide de ACDép., on obtient une suiteXk∈Xk, qui est donc une suite de parties infinies deωtelle que Xk+1\Xk soit fini pour tout k∈ω. On définit une suite d’entiersnk en posantn0=le premier élément de X0; nk+1=le premier élément deT
i≤k+1Xi qui est
>nk. On poseY ={nk;k∈ω}, qui est donc une partie infinie deω. AlorsY \Xkest fini, donc Y ⊂Xkpour toutk∈ω,Y étant la classe d’équivalence deY.
On voit aisément que tout génériqueGest un ultrafiltre surP(ω)/Pf(ω), donc un ultrafiltre
non trivial surP(ω).
On montre que cet ultrafiltre estsélectif, c’est-à-dire : si (Ek)k∈ω est une partition deωen ensembles finis, il existeX ∈Gtel queX∩Ekait au plus un élément pour toutk.
Il suffit, pour cela, de montrer que les classes d’équivalence de tels ensembles sont denses dansC, ce qui est immédiat.
Le choix non extensionnel
L’axiome du choix non extensionnel, noté ACε, s’énonce : ∀x[c(x)ε/x→ ∀y(yε/x)], oùcest un symbole de fonction unaire, que l’on ne suppose pas compatible avec=.
Définition.x=yest une abréviation pourx⊂y∧y⊂x.
Lemme 18. ACεimplique ACdép.
On définit f(x)=c({yεa; (x,y)∈r}), puish(n)=fn(x0).
De (∀xεa)(∃yεa) (x,y)∈r, on déduit alors (∀x0εa)(∀n∈ω) (h(n),h(n+1))∈r.
C.Q.F.D.
Remarque. Il est facile de réaliser ACεà l’aide d’une instruction de signature ou d’horloge, en partant d’un modèle de ZFC.
Lemme 19. Soient(M,ε)un modèle de ZFε+ACεet C un ensemble de conditions dansM. Si G est C -générique surM et si G est bien ordonné dans(MG,ε), alorsMG satisfait ACε.
D’après ACεdansM, on peut poser :
f(x,p)=c({y;∃q(pqεC∧(y,q)εx)})=c({y;p6||−yε/x}) et on a : M|= ∀x(∀pεC)[p||−f(x,p)ε/x→p||−∀y(yε/x)].
SoitΓun représentant deGdansM. On a, dansM :p||−pεΓet donc aussi : p||−(∀qεΓ)(f(x,q)ε/x)→f(x,p)ε/x. Finalement, on a dansM :
∀x(∀pεC)[p||−(∀qεΓ)(f(x,q)ε/x)→ ∀y(yε/x)].
DoncMG|= ∀x[(∀qεG)(f(x,q)ε/x)→ ∀y(yε/x)].
MaisMG|=«Gest bien ordonné » et par suite : MG|= ∀x[h(x)ε/x→ ∀y(yε/x)] ;
h(x) est défini commef(x,q) pour le premierqεG tel que f(x,q)εx s’il en existe, et arbi- trairement sinon.
C.Q.F.D.
Définition.Soitaun nom pour un ensemblea; on a donc∀x[x∈a↔(∃yεa)x=y]. On dira queaest unnom propre de asi (∀x∈a)(∃!yεa)x=y.
Soient ℵ1, P(ω) des noms pour ℵ1 et P(ω) dansM. Une condition est une partie p de ℵ1×P(ω) qui définit une injection d’un ordinalα< ℵ1dansP(ω) : pour toutβ<α, il existe un nomet un seulβdeβet un nomP et un seuld’une partie deωtels que (β,P)εp. L’ordre est l’inclusion inverse :p≤q ⇔ ∀x(xε/p→xε/q).
L’ensemble de conditionsCainsi défini satisfait la condition de chaîne dénombrable ; donc ℵ1etP(ω) sont les mêmes dansM etM[G].
Le génériqueGest une partie deℵ1×P(ω) qui a les propriétés suivantes :
•C’est une bijection deℵ1surP(ω).
•La première projection deGest un nom propre pourℵ1(il est bien ordonné parε).
•La seconde projection deGest un nom propre pourP(ω).
Il en résulte, en particulier, queG est bien ordonné (de typeℵ1). Le lemme 19 s’applique donc et on voit queMG|=ACε.
La même preuve donne, plus généralement :
Lemme 20. On suppose queM|=ACεet qu’il existe un nom propre pour le cardinalκdeM. On construit alors une extension génériqueMG telle que :
MG|=ZFε+ ACε;
κ+etP(κ)sont les mêmes dansM et dansM[G]; G est une bijection deκ+surP(κ);
la première (resp. seconde) projection de G est un nom propre deκ+(resp.P(κ)).
Soient κ+, P(κ) des noms pourκ+ et P(κ) dans M. Une condition est une partie p de κ×P(κ) qui définit une injection d’un ordinalα<κdansP(κ) : pour toutβ<α, il existe un nomet un seulβdeβet un nomP et un seuld’une partie deκtels que (β,P)εp. L’ordre est l’inclusion inverse :p≤q ⇔ ∀x(xε/p→xε/q).
L’ensemble de conditionsCainsi défini satisfait la condition de chaîne≤κ.Comme il existe un nom propre pourκ, toute fonctionφ:κ→M qui est dansM[G] est, en fait, dansM. En particulier,κ+etP(κ) sont les mêmes dansM etM[G].
Le génériqueGest une partie deκ+×P(κ) qui a les propriétés suivantes :
•C’est une bijection deκ+surP(κ).
•La première projection deGest un nom propre pourκ+(il est bien ordonné parε).
•La seconde projection deGest un nom propre pourP(κ).
Il en résulte, en particulier, queG est bien ordonné (de typeκ+). Le lemme 19 s’applique donc et on voit queMG|=ACε.
C.Q.F.D.
En itérant cette construction, on obtient un modèle de ZFε + ACε, dans lequel 2ℵn est bien odonné de type ℵn+1 pour tout n ∈ω. Donc, si B0=ω, Bn+1=P(Bn), alors Bn est bien ordonné de typeℵn.
References
[1] Jean-Louis Krivine. Typed lambda-calculus in classical Zermelo-Fraenkel set theory.
Arch. Math. Log., 40, 3, p. 189-205 (2001).
http://www.pps.jussieu.fr/~krivine/articles/zf_epsi.pdf
