ECE2 Fiche 2 : pr´ eparation aux parisiennes
Exercice [EMLyon 2004 ECS]
Dans tout le probl`eme,nd´esigne un entier naturel sup´erieur ou ´egal `a 2.
Mn(R) est l’ensemble des matrices carr´ees r´eelles d’ordre n et Mn,1(R) l’ensemble des matrices colonnes r´eelles `a n lignes. Une matriceM de Mn(R) ou de Mn,1(R) est dite positive si et seulement si tous les coefficients deM sont positifs ou nuls. On notera alorsM ≥0.
Une matriceM deMn(R) ou deMn,1(R) est ditestrictement positive si et seulement si tous les coefficients deM sont strictement positifs. On notera alorsM >0.
SiM etN sont deux matrices deMn(R) ou deMn,1(R) , la notationM ≥N (respectivementM > N ) signifie que M −N≥0 (respectivementM−N >0 ).
Une matrice M de Mn(R) est dite productive si et seulement si elle v´erifie les deux conditions suivantes :M est positive et il existe une matrice positiveP deMn,1(R) telle queP−M P >0.
I. Etude d’exemples.
1. En consid´erantU =
1 1 1
, montrer que la matriceA= 1 3
0 1 1 1 0 1 1 1 0
est productive.
2. Montrer que la matriceB=
1 4 1
2 1 3
0 0 1
n’est pas productive.
II. Caract´erisation des matrices positives.
SoitM une matrice de Mn(R).
1. Montrer que, siM est positive, alors, pour toute matrice positive X deMn,1(R), le produit M Xest positif.
2. R´eciproquement, montrer que, si, pour toute matrice positiveX deMn,1(R), le produitM X est positif, alors la matriceM est positive.
III. Caract´erisation des matrices productives.
1. SoitAune matrice productive deMn(R) dont le coefficient de lai-`eme ligne et de laj-`eme colonne est not´eai,j
et P une matrice positive de Mn,1(R) telles que P −AP > 0. On note p1, . . . , pn les coefficients de la matrice colonneP.
(a) Montrer queP >0.
(b) SoitX appartenant `aMn,1(R) telle queX≥AX. On notex1, . . . , xn les coefficients de la matrice colonneX. On d´esigne parc le plus petit des r´eels xj
pj
lorsque l’entierj d´ecrit l’ensemble{1, . . . , n}etk un indice tel que c= xk
pk. Etablir quec pk−
n
X
j=1
akjpj
≥0. En d´eduire quec≥0 et queX est positive.
(c) SoitX appartenant `aMn,1(R) telle queX =AX. En remarquant que−X ≥A(−X), montrer queX est nulle.
(d) On suppose queIn−Aest inversible, o`uIn est la matrice identit´e deMn(R). Montrer que, pour toute matrice positive X deMn,1(R), la matriceY = (In−A)−1X est positive (on pourra utiliser III.l.b). En d´eduire que (In−A)−1est positive.
2. (a) SoitB une matrice positive de Mn(R) telle queIn−B soit inversible et (In−B)−1 soit positive.
On note V = (In−B)−1U, o`uU est la matrice deMn,1(R) dont tous les coefficients sont ´egaux `a 1.
Montrer queV −BV >0.
(b) SoitM une matrice positive deMn(R) telle que 2M2=M. V´erifier que (In−M)(In+ 2M) =In et en d´eduire queM est productive.
