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èreL Les pourcentages
Ce chapitre se place dans le cadre de l’information chiffrée.
I. Appliquer un pourcentage simple 1°) Règle
t % de
100 xx t
Nous nous plaçons d’emblée dans l’optique d’un pourcentage vu comme opérateur.
2°) Exemple
Dans un collège de 300 élèves (= la base, l’ensemble de référence), il y a 60 % de filles.
x t Quel est le nombre de filles ?
300 60 180
100
Il y a 180 filles dans ce collège.
II. Calculer un pourcentage 1°) Règle
Partie Tout 100 2°) Commentaire
Lorsqu’il s’agit d’une proportion, on fait le quotient du petit nombre sur le grand.
Il s’agit d’un produit.
3°) Exemple
Dans un collège de 300 élèves, il y a 120 filles.
Quel est le pourcentage de filles ?
120 100 40
300
Dans ce collège, il y a 40 % de filles.
4°) Remarque
Un pourcentage simple exprimant une proportion est toujours compris entre 0 et 100.
III. Calculer une valeur après un pourcentage d’augmentation et de diminution 1°) Règle (opérateur associé à un pourcentage d’évolution)
Augmentation de t % 1 100
t
VD VA
: 1 100
t
Diminution de t % 1 100
t
VD VA
: 1 100
t
N.B. : Le 1 qui intervient dans les formules sont des nombres immuables : ce sont des chiffres de formules.
1 + 100
t ou 1 – 100
t
2°) Vocabulaire
Coefficient multiplicateur associé à une
augmentation de t % diminution de t % CM 1
100
t CM 1 100
t
Principe des opérateurs réciproques 5
3 15 : 5
3°) Exemples
Un article coûte 50 €.
Il subit une augmentation de 10 % (taux d’augmentation).
Par combien a-t-il été multiplié ? Quel est le nouveau prix ?
CM 1 10 1,1
100
3 Le prix a été multiplié par 1,1.
50 1,1 55
Le nouveau prix est de 55 €.
Un article coûte 50 €.
Son prix subit une diminution de 10 % (taux de diminution).
Par combien a-t-il été multiplié ? Quel est le nouveau prix ?
CM 1 10 0,9
100
Le prix a été multiplié par 0,9.
50 0, 9 45
Le nouveau prix est de 45 €.
4°) Remarque
Le coefficient multiplicateur associé à une augmentation est toujours > 1.
Le coefficient multiplicateur associé à une diminution est toujours < 1.
Un taux d’augmentation peut être égal supérieur à 100.
IV. Calculer une valeur avant une augmentation ou une diminution 1°) Règle
On calcule le CM
On divise par le CM.
2°) Exemple
Un article coûte 154 € après une réduction de 30 %.
Quel est son prix avant réduction ?
CM 1 30 0, 7
100
Le prix avant réduction était de 220 €.
Version fausse 0,7
VD VA
: 0,7
30 %
VD VA 30 %
154 : 0, 7220
4 V. Calculer un pourcentage d’augmentation ou de diminution connaissant le coefficient multiplicateur 1°) Formule
Pourcentage CM1 100
Si le résultat est positif → augmentation.
Si le résultat est négatif → diminution.
2°) Exemples
CM 1,84
CM 1
100
1, 84 1
100 0,84 100 84 Augmentation de 84 %. CM0, 75
CM 1
100
0, 75 1
100 0, 25 100 25 Diminution de 25 %.VI. Calculer un pourcentage d’augmentation connaissant VD et VA
1°) Règle
A D
D
V V
Pourcentage 100
V
Si le résultat est positif, alors augmentation.
Si le résultat est négatif, alors diminution.
2°) Exemple
Le prix d’un article passe de 90 € à 120 €.
Quel est le pourcentage d’augmentation ?
120 90 30
pourcentage 100 100 33, 3
90 90
(valeur arrondie au dixième) Le prix a augmenté d’environ 33,3 %.
3°) Remarque
On ne peut pas simplifier le quotient VAVD
VD comme cela dans la formule (car il y a un – au numérateur).
VII. Calculer un pourcentage correspondant à des variations successives 1°) Exemple
Une augmentation de 20 % suivie d’une augmentation de 30 %.
Quel est le pourcentage d’augmentation global ?
Méthode :
On travaille avec les coefficients multiplicateurs.
CM11, 2 CM21, 3
Principe de composition des opérateurs 2 3
6
CM1 CM2
CM
1 2
CMCMCM 1, 2 1,3 1,56
pourcentage CM 1 100
1,56 1
100 0, 56 100 56L’augmentation globale est de 56 %.
2°) Règle
Dans le cas de variations successives, grand principe : on travaille avec les CM.
On calcule les CM associés à chaque variation.
On les multiplie.
On calcule le % correspondant à ce CM.
3°) Remarque On n'additionne
ne soustrait pas des % d’augmentation ou de diminution.
(une augmentation de 20 % suivie d’une augmentation de 30 % augmentation de 50 %).
4°) Cas particulier très important
Déterminer la variation globale correspondant à une augmentation de 30 % suivie d’une diminution de 30 %.
1
CM 1 30 1,3
100
2
CM 1 30 0, 7
100
1 2
CMCM CM 1,3 0, 7 0,91
pourcentage CM 1 100
0,91 1
100 0, 09 100 9
La variation globale est une diminution de 9 %.
On ne revient pas à la valeur de départ.
Une augmentation de t % ne compense pas une diminution de t %.
5°) Complément
Augmentation de t % suivie d’une diminution de t %.
CM1 1 100
t
CM2 1 100
t
1 2
CMCM CM
1 1
100 100
t t
2
1 100
t
2
1 10 000
t
CM1 donc la variation globale est une diminution.
7 VIII. Calculer des pourcentages de pourcentages
1°) Règle
Prendre t1 % de t2 % c’est prendre 1 2 % 100
t t
. 2°) Exemple
Dans un lycée, il y a 60 % de filles. Parmi celles-ci, 30 % sont en 1ère. Quel est le % de filles du lycée qui sont en 1ère ?
Ou mieux
Quel pourcentage du nombre d’élèves du lycée représente le nombre de filles qui sont en 1ère ? Il s’agit d’un calcul de % de %.
Attention aux bases
60 % par rapport au nombre total d’élèves 30 % par rapport au nombre total de filles
30 60 100 18
Le nombre de filles qui sont en 1ère représente 18 % du nombre d’élèves du lycée.
Ne pas confondre avec les CM.
IX. Additionner des % simples 1°) Attention
On ne peut pas additionner des pourcentages d’évolution.
2°) Règle
On peut additionner des pourcentages simples calculés sur une même base (c’est-à-dire un même ensemble de référence) et se référant à des ensembles disjoints.
3°) Exemple
Dans un groupe scolaire, 30 % ont moins de 10 ans et 40 % élèves ont entre 10 et 15 ans.
Alors 70 % des élèves ont moins de 15 ans.
(Les deux pourcentages sont calculés sur la même base, les deux pourcentages se réfèrent à des ensembles disjoints).
Illustration : diagramme d’ensemble
8 4°) Un point sur le vocabulaire
Taux d’augmentation ou de diminution : pourcentage d’augmentation ou de diminution Pourcentage simple : proportion
Pourcentage d’évolution : variation (augmentation ou diminution) Variation absolue/variation relative :
Le prix d’un article passe de 10 € à 15 €.
Variation absolue : 15 10 5€ Variation relative : 15 10
100 50 10
Il y a eu une augmentation de 50 %.
Pourcentages simples : addition possible s’ils sont calculés sur une même base
Pourcentages d’évolution : pas d’addition possible (une augmentation de 30 % puis de 20 % n’est pas une augmentation de 50 %).
X. Calculer des prix avec des taxes (TVA) ; principe de formation des prix 1°) Principe 1
Prix TTC = Prix Hors Taxe + Montant de la TVA Prix final
2°) Principe 2
Montant de la TVA
Prix HT
Taux de la TVA
Exemple : TVA de 19,6 %
Montant de la TVA Prix HT 19,6
100.
Le montant de la TVA est calculé en prenant pour base le prix HT.
3°) Principe 3 TVA de t %
Prix TTC = Prix HT augmenté de t %
CM 1
100
t
Prix TTC P rix HT 1 100
t
Exemple : TVA de 19,6 % 1,196
Prix HT Prix TTC :1,196
On retrouvera ce type de problème dans les problèmes de facturation.
4°) Exercice
Le prix TTC d’une Playstation II est de 150 € avec une TVA de 19,6 %.
Calculer le prix HT.
Prix HTP rix TTC :1,196 150 :1,196
125, 42 (valeur arrondie au centième)
Le prix hors taxe de la Playstation II est d’environ 125,42 €.
XI. Utiliser des « outils » graphiques pour résoudre des problèmes 1°) Exemple
Dans une entreprise, 70 % des salariés sont des employés et 30 % sont des cadres.
80 % des employés sont mariés et 40 % des cadres sont célibataires.
Déterminer la part en pourcentage des salariés mariés dans cette entreprise.
Arbre de pourcentages salariés
70 % 30 %
employés cadres
80 % 20 % 60 % 40 % mariés célibataires mariés célibataires
Employés mariés : 80 70
100 56
Il y a 56 % d’employés mariés dans l’entreprise.
Cadres mariés : 60 30
100 18
Il y a 18 % de cadres mariés dans l’entreprise.
On peut additionner des pourcentages simples calculés sur une même base et se référant à des ensembles disjoints.
118 56 74
Il y a donc 74 % de salariés mariés dans l’entreprise.
3°) Bilan
Pour résoudre des problèmes, on peut utiliser :
des arbres
des tableaux
des diagrammes d’ensembles
