Année2014-2015 FlorenceLevé ThéoriedesLangagesFormelsChapitre1

(1)

Théorie des Langages Formels Chapitre 1

Florence Levé

Florence.Leve@u-picardie.fr

Année 2014-2015

1/36

(2)

de l’informatique.

Objectifs de l’enseignement :

I comprendre les concepts de base de la théorie des langages formels ;

I comprendre son rôle et son intérêt en informatique

I savoir manipuler et utiliser langages, automates, grammaires.

De nombreuses notions et approches de l’informatique vont être évoquées, notamment à travers les exemples :

I algorithmique, complexité, preuve de programme, expressions régulières, . . .

Pré-requis : connaissance minimale de la notion d’ensemble Modalités de contrôle des connaissances :

I sup(E, (E+P)/2),

I pas le droit aux documents.

2/36

(3)

édition), chapitres 1 à 4.

Théorie des automates (méthodes et exercices corrigés), P. Séébold, Vuibert 1999.

Méthodes mathématiques pour l’informatique (4ème édition), J. Vélu, chapitres 21 et 22, Dunod 2005.

Théorie des langages et des automates, J.-M. Autebert, Masson 1994 (deuxième partie, p41–67).

Éléments de théorie des automates,

J. Sakarovitch, Vuibert 2003 (chapitre 1, p55–232).

Nombreux sites webs : n’hésitez pas à faire vos propres recherches.

Ce cours est basé sur celui dispensé par Gwénaël Richomme les années précédentes.

3/36

(4)

Un langage formel = un ensemble de mots.

Exemples

I L’ensemble des mots définis dans un dictionnaire.

I L’ensemble des phrases que l’on peut écrire en français.

• Remarque : alphabet = lettres, espace et symboles de ponctuation, . . .

I L’ensemble des programmes en langage JAVA.

4/36

(5)

Analyse lexicale : est-ce que mon programme utilise les mots de base du langage ?

I utilisation d’automates dans les compilateurs.

Analyse syntaxique : est-ce que les mots/phrases de mon programme sont correctement construits ?

I utilisation de grammaires dans les compilateurs.

I (problème : reconnaissance des langues naturelles) Est-ce que le programme fait ce que je veux ?

I indécidable.

I preuve à la main dans de nombreux cas !

Quels langages peuvent être reconnus par une machine ?

5/36

(6)

Informatique :

I Besoin de décrire de manière finie certains langages infinis

I Premiers langages de programmation : algol, ...

I Claude Shannon 1949 : description de protocoles de communication

Logique :

I Besoin de définir formellement le discours mathématique

I Stephen Cole Kleene 1954 : montre qu’un langage est reconnaissable si et seulement s’il peut être engendré, à partir des lettres de l’alphabet, à l’aide des trois opérations union, produit et étoile.

Linguistique

I Besoin de décrire les langues naturelles

I Début des années 50 : premières tentatives visant à utiliser l’ordinateur pour traduire un texte

I Noam Chomsky 1956 : hiérarchie des langages.

6/36

(7)

Langages récursivement énumérables Langages contextuels

Langages algébriques

Langages rationnels

7/36

(8)

Langages rationnels

{rationnels}

I ={reconnaissables}

I langages reconnus par un automate et/ou définis par une expression régulière.

7/36

(9)

Langages rationnels

⊂{algébriques}

I langages définis par une grammaire ou reconnus par un automate à pile.

7/36

(10)

Langages rationnels

⊂{contextuels}

I langages définis par une grammaire contextuelle.

7/36

(11)

Langages rationnels

⊂{récursivement énumérables}

I langages acceptables par une machine de Turing (permet d’étudier la décidabilité d’un problème).

7/36

(12)

Texte en entrée :

de t

t o t o

t

lettre différente de t

lettre différente de o et de t

t

lettre différente de t lettre différente

de o et de t lettre

différente

8/36

(13)

Texte en entrée : Une histoire de toto de plus

de t

t o t o

t

de o et de t lettre

différente

8/36

(14)

de t

t o t o

t

de o et de t lettre

différente

8/36

(15)

de t

t o t o

t

de o et de t lettre

différente

8/36

(16)

Texte en entrée : Une_histoire de toto de plus

de t

t o t o

t

de o et de t lettre

différente

8/36

(17)

Texte en entrée : Unehistoire de toto de plus

de t

t o t o

t

de o et de t lettre

différente

8/36

(18)

de t

t o t o

t

de o et de t lettre

différente

8/36

(19)

de t

t o t o

t

de o et de t lettre

différente

8/36

(20)

de t

t o t o

t

de o et de t lettre

différente

8/36

(21)

de t

t o t o

t

de o et de t lettre

différente

8/36

(22)

de t

t o t o

t

de o et de t lettre

différente

8/36

(23)

de t

t o t o

t

de o et de t lettre

différente

8/36

(24)

Texte en entrée : Une histoirede toto de plus

de t

t o t o

t

de o et de t lettre

différente

8/36

(25)

Texte en entrée : Une histoire_de toto de plus

de t

t o t o

t

de o et de t lettre

différente

8/36

(26)

Texte en entrée : Une histoirede toto de plus

de t

t o t o

t

de o et de t lettre

différente

8/36

(27)

Texte en entrée : Une histoire detoto de plus

de t

t o t o

t

de o et de t lettre

différente

8/36

(28)

Texte en entrée : Une histoire de_toto de plus

de t

t o t o

t

de o et de t lettre

différente

8/36

(29)

Texte en entrée : Une histoire detoto de plus

de t

t o t o

t

de o et de t lettre

différente

8/36

(30)

de t

t o t o

t

de o et de t lettre

différente

8/36

(31)

de t

t o t o

t

de o et de t lettre

différente

8/36

(32)

de t

t o t o

t

de o et de t lettre

différente

8/36

(33)

Applications de la recherche de mots/motifs

I Recherche dans un index

• index d’un fichier ;

• index du web.

I Recherche de virus

• fichier : un mot (une suite) de 0 et de 1.

• virus : un mot (ou un ensemble de mots)

• base des signatures : un gros automate (version simplifiée)

9/36

(34)

Génération de compilateurs (et donc de nouveaux langages informatiques)

I Automates : analyse lexicale ;

I Grammaires : analyse syntaxique.

I Remarque : la science de la compilation fait appel à des techniques supplémentaires : transformation de code, contrôle de type, ...)

10/36

(35)

Expressions régulières

Utilisées par les mécanismes de recherche/remplacement

I éditeurs de texte : JEdit, emacs

I Recherche dans des dictionnaires en ligne : dictionnaire de l’académie française (essayer par exempleˆa[a-z]*iste)

I commandes de base unix : ls, grep, sed, . . .

I inclus dans des langages de script : perl, javascript, . . .

11/36

(36)

Les langages formels apparaissent ou sont liés à de nombreux domaines, de l’informatique ou non :

réseaux, systèmes d’exploitation, logiciels (compilation, traduction, vérification),

modélisation, présentation de protocoles, algorithmes calculabilité, complexité, logique,

combinatoire des mots, dynamique symbolique, théorie des nombres,

linguistique (traitement de la langue naturelle), électronique,

bioinformatique (séquençage du génome), imagerie (analyse d’images),

. . .

12/36

(37)

Un langage est un ensemble de mots. Pour étudier les langages, le plan du cours sera le suivant :

Définitions, mots, langages, langages rationnels Automates et langages reconnaissables

I définitions, fonctionnement d’un automate

I équivalence avec langages rationnels

I déterminisme

I minimalité

Langages non reconnaissable Grammaires

13/36

(38)

lettres appartenant à un alphabet.

Lettre: symboles.

Alphabet : ensemblefini non vide de lettres.

Exemples

1. Alphabet latin, grec, . . .

2. Chiffres : {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,} 3. Caractères ASCII, UNICODE, . . . 4. Parties de ces alphabets :{a,b},{0,1}

Attention : les symboles doivent être non ambigüs ! {a,b,ab},

{ab,a,ba}

ne sont pas des alphabets.

14/36

(39)

lettre minuscule majuscule

alpha α

beta β

gamma γ Γ

delta δ ∆

epsilon ε

phi φ Φ

psi ψ Ψ

rho ρ

mu µ

nu ν

15/36

(40)

Mot : suite de lettres.

I Notation: les lettres sont accolées.

I Exemples: bonjour, abaababaab, 0110101, . . .

I Formellement,a1. . .anest le mot constitué dans l’ordre des lettresa1puisa2 puis . . .an.

I On ne tient pas compte de la signification éventuelle.

Mot vide : suite vide de lettres :ε.

Attention ! Ne pas confondre le mot videεavec l’ensemble vide ∅

16/36

(41)

Définition : laconcaténationde deux mots u et v est le mot obtenu en mettant bout à bout dans l’ordre les lettres de u puis les lettres deb.

Notation : uv ou u.v

La concaténation est aussi appeléeproduit de concaténation Exemple :(aabac).(dab) vaut aabacdab

Formellement, si

n ≥0 etp≥0 sont deux entiers, a₁, . . . ,a_n,b₁, . . . ,b_p sont des lettres, alors

(a₁. . .a_n).(b₁. . .b_p) =a₁. . .a_nb₁. . .b_p

17/36

(42)

Formellement, si

(a₁. . .a_n).(b₁. . .b_p) =a₁. . .a_nb₁. . .b_p

17/36

(43)

Formellement, si

(a₁. . .a_n).(b₁. . .b_p) =a₁. . .a_nb₁. . .b_p

17/36

(44)

Propriétés de la concaténation :

I uε=u=εu

I (uv)w =u(vw)

Propriété: l’ensemble des mots muni de la concaténation forme un monoïde.

Monoïde : ensemble muni d’une opération interne associative possédant un élément neutre.

Autres exemples de monoïdes : (IN,+),(IN⁺,×)

L’ensemble des mots définis sur un alphabetA se note A^∗

18/36

(45)

Propriété fondamentale :

Tout mot se décompose de manière unique sur les lettres.

a₁. . .a_n =b₁. . .b_p implique

n =p

et a_i =b_i pour tout 1≤i ≤n.

Le monoïde A^∗ est dit libre (de base A).

19/36

(46)

Longueur d’un mot : nombre de lettres qui le composent.

Notation : |u|est la longueur deu.

Exemple :|abaab|= 5 Propriétés :

I |ε|=0

I |uv|=|u|+|v|

20/36

(47)

I |ε|=0

I |uv|=|u|+|v|

20/36

(48)

I |ε|=0

I |uv|=|u|+|v|

20/36

(49)

|u|_a : nombre d’occurrences de la lettrea dans un motu Exemple :|abaab|_a= 3

Propriétés :

I |ε|a=0

I |uv|_a=|u|_a+|v|_a

I |u|=X

a∈A

|u|a

21/36

(50)

Propriétés :

I |ε|a=0

I |u|=X

a∈A

|u|a

21/36

(51)

Propriétés :

I |ε|a=0

I |u|=X

a∈A

|u|a

21/36

(52)

Facteur :u =pvs

Préfixe (facteur gauche) : dans l’exemple précédent, p,pv, sont des préfixes deu.

Suffixe (facteur droit) : dans l’exemple précédent, s,vs sont des suffixes de u.

Exemple: Facteurs, préfixes et suffixes du mot abaab ?

22/36

(53)

Un ensemble est caractérisé par la notion d’appartenance

I pour un ensembleE, tout objetx appartient ou non àE.

I x∈E :x appartient àE (on dit aussi quex est dansE) ;

I x6∈E :x n’appartient pas àE.

23/36

(54)

Parextension : en précisant les valeurs de l’ensemble entre accolades (valeurs séparées par des virgules).

I Exemple :E ={a,c,f}

Parcompréhension, en précisant la propriété que vérifient les élements de l’ensemble.

I Ensemble des entiers pairs =

{x ∈IN|x mod2=0}

I Ensemble des mots surAde longueur paire = {x∈A^∗| |x|mod2=0}

24/36

(55)

Deux ensembles sontégaux si les éléments de l’un appartiennent à l’autre et réciproquement.

En d’autres termesE =F

I si pour toutx dansE,x appartient à F et pour toutx dansF, x appartient àE

I (avec les notations de la logique) (∀x∈E,x ∈F) et (∀x ∈F, x∈E)

Exemples, aveca,b etc trois lettres différentes :

I {ab,ac,a,b}={a,ab,b,ac}

I {a,bc}={a,a,bc,a,bc,a}

Attention

I {ab,ac,a,b} 6={ab,ac}

I {ab,ac,b} 6={ab,ac,a}

25/36

(56)

Très utile pour synthétiser des idées/présentations ! Un langage à apprendre !

∃ il existe

∀ pour tout

⇒ implique : dire qu’une propriété p impliqueune propriétéq signifie quesi la propriété est vérifiéealorsla propriété q l’est aussi

(p⇒ q) est aussi une propriété (vraie si p est fausse)

⇔ est équivalent à : dire qu’une propriétép équivautà une propriété q signifie que p etq sont simultanément vraie ou simultanément fausse.

26/36

(57)

Un ensemble E est ditinclusdans un ensemble F si tout élément deE appartient à F (∀x ∈E,x ∈F).

I Notation :E ⊆F

Un ensemble E est ditstrictement inclus dans un ensembleF si E ⊆F et E 6=F.

I Notation :E ⊂F Exemples :

I {ab,ac,a,b} ⊆ {a,ab,b,ac}(en fait =)

I {ab,ac} ⊂ {ab,ac,a,b}

I {ab,ac,a,b} 6⊂ {ab,ac}

Propriété importante :

X ⊆Y et Y ⊆X ⇔ X =Y

27/36

(58)

L’ensemble constitué d’aucun élément.

Notation : ∅.

Exercice

I ε:

• le mot vide

• d’ici à la fin de ce cours, l’expression rationnelle désignant l’ensemble{ε}

I ∅: l’ensemble vide

I {ε} : l’ensemble ayant comme seul élément le mot vide.

I {∅}: l’ensemble ayant comme seul élément l’ensemble vide.

28/36

(59)

Tableaux pour ensembles finis, voire tableaux triés Mais il peut y avoir plus efficace : arbres, . . . Automates

. . .

29/36

(60)

Union. X∪Y ={x |x ∈X ou x ∈Y}.

Intersection. X ∩Y ={x |x ∈X etx ∈Y}.

Complémentation.

X \Y ={x |x ∈X etx 6∈Y} (=X \(X ∩Y)).

Diagramme de Venn :

Y X\Y Y\X

X

Y X Y

X

30/36

(61)

X ∪ ∅=X, X ∩ ∅=∅, X \ ∅=X,

∅ \X =∅.

X ∪X =X, X ∩X =X, X \X =∅.

31/36

(62)

X ∪ ∅=X, X ∩ ∅=∅, X \ ∅=X,

∅ \X =∅.

X ∪X =X, X ∩X =X, X \X =∅.

31/36

(63)

X ∪ ∅=X, X ∩ ∅=∅, X \ ∅=X,

∅ \X =∅.

X ∪X =X, X ∩X =X, X \X =∅.

31/36

(64)

X ∪ ∅=X, X ∩ ∅=∅, X \ ∅=X,

∅ \X =∅.

X ∪X =X, X ∩X =X, X \X =∅.

31/36

(65)

X ∪ ∅=X, X ∩ ∅=∅, X \ ∅=X,

∅ \X =∅.

X ∪X =X, X ∩X =X, X \X =∅.

31/36

(66)

X ∪ ∅=X, X ∩ ∅=∅, X \ ∅=X,

∅ \X =∅.

X ∪X =X, X ∩X =X, X \X =∅.

31/36

(67)

X ∪ ∅=X, X ∩ ∅=∅, X \ ∅=X,

∅ \X =∅.

X ∪X =X, X ∩X =X, X \X =∅.

31/36

(68)

(commutativité)

X∪Y =Y ∪X,

X∩Y =Y ∩X. Attention !

X \Y n’est pas nécessairement égal àY \X ExempleX ={a},Y ={b}.

I X\Y =X ={a},

I Y \X =Y ={b}.

32/36

(69)

(associativité)

X ∪(Y ∪Z) = (X ∪Y)∪Z, X ∩(Y ∩Z) = (X ∩Y)∩Z. On peut donc enlever les parenthèses

Attention ! on peut avoir X \(Y \Z)6= (X \Y)\Z. Exemple :X ={a,b},Y ={a},Z ={a} :

I X\(Y \Z) =X,

I (X\Y)\Z ={b}

33/36

(70)

(associativité)

I X\(Y \Z) =X,

I (X\Y)\Z ={b}

33/36

(71)

(associativité)

I X\(Y \Z) =X,

I (X\Y)\Z ={b}

33/36

(72)

(distributivité)

X ∩(Y ∪Z) = (X∩Y)∪(X ∩Z), X ∪(Y ∩Z) = (X∪Y)∩(X ∪Z).

Lois de de Morgan :

X \(Y ∩Z) = (X\Y)∪(X \Z), X \(Y ∪Z) = (X\Y)∩(X \Z).

34/36

(73)

(distributivité)

X ∩(Y ∪Z) = (X∩Y)∪(X ∩Z), X ∪(Y ∩Z) = (X∪Y)∩(X ∪Z).

Lois de de Morgan :

X \(Y ∩Z) = (X\Y)∪(X \Z), X \(Y ∪Z) = (X\Y)∩(X \Z).

34/36

(74)

Le produit cartésien sera utile pour définir les transitions possibles d’un automate.

Soient E₁, . . . ,E_n des ensembles, leproduit cartésiende ces ensembles est égal à l’ensemble des n-uplets(x₁, . . . ,x_n)tels que x_i ∈E_i pour chaquei, 1≤i ≤n :

E1×E2×. . .×En={(x₁, . . . ,xn)|x_i ∈E_i,1≤i ≤n}

Exemple :{a,b} × {ab,ba,c}=

{(a,ab),(a,ba),(a,c),(b,ab),(b,ba),(b,c)}

Exemple :{1,2} × {a,b} × {2,3}=

{(1,a,2),(1,a,3),(1,b,2),(1,b,3),(2,a,2),(2,a,3),(2,b,2),(2,b,3)}

35/36

(75)

E1×E2×. . .×En={(x₁, . . . ,xn)|x_i ∈E_i,1≤i ≤n}

Exemple :{1,2} × {a,b} × {2,3}=

{(1,a,2),(1,a,3),(1,b,2),(1,b,3),(2,a,2),(2,a,3),(2,b,2),(2,b,3)}

35/36

(76)

E1×E2×. . .×En={(x₁, . . . ,xn)|x_i ∈E_i,1≤i ≤n}

Exemple :{1,2} × {a,b} × {2,3}=

{(1,a,2),(1,a,3),(1,b,2),(1,b,3),(2,a,2),(2,a,3),(2,b,2),(2,b,3)}

35/36

(77)

cardinal d’un ensemble fini = son nombre d’éléments.

Notation : Card(E) ou #E Exemple :

I Card({a,b}) =2

I Card({ab,ba,c}) =3

I Card({a,b} × {ab,ba,c}) =6.