Table des mati`eres

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Table des mati` eres

1 Nombres complexes 1

1.1 Le corps des nombres complexes . . . 1

1.1.1 Sommes et produits de nombres complexes . . . 1

1.1.2 Conjugu´e et module . . . 2

1.2 Représentation géométrique d’un nombre complexe . . . 3

1.2.1 Forme cart´esienne . . . 3

1.2.2 Forme trigonom´etrique . . . 3

1.2.3 Forme exponentielle . . . 6

1.3 Solutions d’´equations polynomiales . . . 7

1.3.1 Equations de premier degr´´ e . . . 7

1.3.2 Racines carr´ees . . . 8

1.3.3 Equations de second degr´´ e . . . 10

1.3.4 Racinesn-`emes . . . 11

1.4 Applications `a la trigonom´etrie . . . 16

1.4.1 Formules d’Euler et de Moivre . . . 16

1.4.2 Formule du binˆome de Newton . . . 17

1.4.3 Applications . . . 19

1.5 Exercices . . . 22

1.6 Exercices, sujets ann´ees ant´erieures . . . 24

1.7 Exercices, rappels et compl´ements . . . 26

2 Ensembles et applications 28 2.1 La notion d’ensemble . . . 28

2.1.1 Inclusion et parties d’un ensemble . . . 28

2.1.2 Ensembles fondamentaux . . . 29

2.2 Construction d’ensembles . . . 29

2.3 Op´erations sur les ensembles . . . 31

2.4 La notion d’application . . . 32

2.4.1 Composition des applications . . . 32

2.5 Image directe et image r´eciproque . . . 33

2.5.1 Image directe d’une application . . . 33

2.5.2 Image r´eciproque d’une application . . . 34

2.6 Injection, surjection et bijection . . . 34

2.7 Exemples : transformations g´eom´etriques du plan . . . 36

2.7.1 Translations . . . 36

2.7.2 Rotations . . . 36

2.7.3 Homoth´eties . . . 37

2.8 Les ensembles finis, ensembles d´enombrables . . . 37 1

(2)

TABLE DES MATI `ERES 2

2.8.1 Ensembles finis . . . 37

2.8.2 Nombre de parties d’un ensemble fini . . . 39

2.8.3 Ensembles d´enombrables . . . 41

3 Introduction à l’algèbre linéaire 47 3.1 La structure d’espace vectoriel . . . 47

3.1.1 La notion d’espace vectoriel . . . 47

3.1.2 Propriétés élémentaires . . . 48

3.1.3 Exemples fondamentaux . . . 48

3.1.4 Notion de combinaisons lin´eaires . . . 48

3.1.5 Sous-espaces vectoriels . . . 48

3.1.6 Sous-espace engendr´e par une partie . . . 50

3.2 Base d’un espace vectoriel . . . 50

3.2.1 Familles g´en´eratrices . . . 50

3.2.2 Ind´ependance lin´eaire — Familles libres . . . 51

3.2.3 La notion de base . . . 52

3.3 Dimension d’un espace vectoriel . . . 55

3.3.1 La notion de dimension . . . 55

3.3.2 Exemple fondamental : syst`eme lin´eaire . . . 57

3.4 La méthode d’élimination de Gauss (ou méthode du pivot) . . . 58

3.4.1 Opérations élémentaires sur les équations d’un système linéaire . . . 58

3.4.2 Méthode de résolution d’un système linéaire . . . 59

3.4.3 Exemple . . . 60

3.4.4 Les systèmes linéaires homogènes . . . 60

3.5 Application aux familles libres et aux familles g´en´eratrices . . . 61

3.5.1 Comment montrer qu’une famille est libre ? . . . 61

3.5.2 D´etermination des relations lin´eaires liant une famille de vecteurs . . . 62

3.5.3 Comment montrer qu’une famille est g´en´eratrice ? . . . 62

3.5.4 Equation d’un sous-espace vectoriel´ . . . 63

3.6 Compl´ements . . . 64

3.6.1 Produits, sommes et sommes directes d’espaces vectoriels . . . 64

3.6.2 Dimensions des sommes, sommes directes, produits . . . 65

3.9 Exercices, compl´ements . . . 75

4 Propriétés deR 76 4.1 Compatibilité avec la structure algébrique . . . 76

4.2 Valeur absolue . . . 76

4.3 Intervalles . . . 77

4.4 Majorant, minorant, borne sup´erieure et borne inf´erieure . . . 78

4.5 Compl´etude deR . . . 78

4.6 Les nombres rationnels dansR . . . 79

4.7 Densit´e deQdansR . . . 80

4.8 Développement décimal d’un nombre réel . . . 81

(3)

TABLE DES MATI `ERES 3

5 Analyse de la variable r´eelle 87

5.1 Fonctions exponentielles . . . 87 5.2 Exercices . . . 89

Index 102

(4)

Chapitre 1

Nombres complexes

Désignons par R l’ensemble des nombres réels. Le carré d’un nombre réel x ∈ R est toujours positif ou nul :x²≥0. Ainsi, l’équation x²+ 1 = 0 n’admet pas de solution dans R. En fait, si x∈R, alorsx²+ 1≥1>0. Les nombres complexes, construits comme extension des nombres réels, furent introduits afin que de telles équations aient des solutions.

Bien que des références aux racines des nombres négatifs soient déjà apparues dans l’antiquité, les nombres complexes furent introduits à la fin du XVIe siècle par les mathématiciens italiens, et successivement formalisés par l’école fran¸caise.

1.1 Le corps des nombres complexes

Dans la suite, on noteiun nombre imaginaire ayant la propriétéi²=−1. Le nombre i, dit unité imaginaire, est l’une des deux solutions de l’équation algébriquex²+ 1 = 0.

Définition 1.1. Un nombrecomplexe zs’écrit de fa¸con unique sous la forme, ditecartésienne, suivante :

z=x+iy, avecx, y∈R. (1.1)

Dans l’équation (1.1), x s’appelle la partie réelle de z, notée x = Re(z) ; y s’appelle la partie imaginaire dez, notéey = Im(z).

On d´esigne parCl’ensemble des nombres complexes.

Notons qu’un nombre complexez=x+iy est r´eel si et seulement siy= Im(z) = 0. Un nombre z est ditimaginaire pur six= Re(z) = 0.

1.1.1 Sommes et produits de nombres complexes

L’ensemble des nombres complexes est muni d’une somme et d’un produit (qui ´etendent somme et produit usuels dans les r´eels).

D´efinition 1.2. Soient z=x+iy et w=u+ivdeux nombres complexes. Lasomme z+west donn´ee par

z+w= (x+iy) + (u+iv) := (x+u) +i(y+v).

Leproduit zwest donn´e par

zw= (x+iy)(u+iv) =xu+iyu+ixv+iyv:= (xu−yv) +i(yu+xv).

1

(5)

CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES 2 Notons que 0 = 0 +i0 est l’élément neutre de la somme : z+ 0 = 0 +z =z. De même fa¸con, 1 = 1 +i·0 est l’élément neutre du produit :z·1 = 1·z=z.

Notons aussi que siλ∈Rest un nombre r´eel, le produitλzest donn´e par

λ(x+iy) =λx+iλy.

Pour toutz∈C, il existe un nombre complexew:=−z, dit sym´etrique dez, tel quez+w= 0.

Siz=x+iy, alors−z=−x+i(−y).

Pour tout z ∈ C, z 6= 0, il existe un nombre complexe w := z⁻¹, dit inverse de z, tel que zw=wz= 1. Siz=x+iy, on peut montrer par calcul direct quez⁻¹=_x^x−iy2+y².

1.1.2 Conjugu´ e et module

D´efinition 1.3. Soitz=x+iy∈Cun nombre complexe.

Leconjugué zdez est donné par z=x−iy∈C. Lemodule |z|dez est donné par|z|=p

x²+y²∈[0,+∞[.

Notons que|z|²=zz, ou de mˆeme fa¸conz⁻¹=_|z|^z₂. A partir des d´` efinitions, on obtient les relations suivantes :

Re(z) = z+z

2 , Im(z) =z−z

2i . (1.2)

Propriétés du conjugué Pour tousz, w∈C, on a

• z+w=z+w,

• zw=z·w,

• z=z (on dit que l’op´erationz7→z estinvolutive),

• z∈Rest r´eel si et seulement siz=z,

• z∈iRest imaginaire pur si et seulement siz=−z.

Propri´et´es du module Pour tousz, w∈C, on a

• |z|= 0 si et seulement siz= 0,

• |z|>0 pour toutz6= 0,

• |z|=|z|,

• |zw|=|z| · |w|,

• Re(z)≤ |z|, avec égalité si et seulement siz∈R, et de même fa¸con Im(z)≤ |z|, avec égalité si et seulement siz∈iR,

• |z+w| ≤ |z|+|w|(in´egalit´e triangulaire),

• z=|z|si et seulement siz∈[0,+∞[.

Démonstration de l’inégalité triangulaire. D’abord, notons que

|z+w|²= (z+w)(z+w) =zz+ww+zw+wz=|z|²+|w|²+ 2 Re(zw).

De plus, Re(zw)≤ |zw|=|z| |w|. On en d´eduit

|z+w|²≤ |z|²+|w|²+ 2|z| |w|= (|z|+|w|)². On conclut en utilisant la croissance sur [0,+∞[ de la fonction racine carr´ee.

(6)

CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES 3

1.2 Repr´ esentation g´ eom´ etrique d’un nombre complexe

1.2.1 Forme cart´ esienne

Définition 1.4. Considerons le plan cartésienR², rapporté à un repère orthonormal (O,−→ i ,−→

j) donn´e. L’image d’un nombre complexez=x+iy dans le planR² est le pointM de coordonn´ees (x, y).

Le vecteur−−→

OM est le vecteur image de z. Le nombre complexez s’appelle l’affixe du pointM, ou du vecteur−−→

OM.

• Le module|z|est la longueur du segment|OM|, c’est-`a-dire, la distance entreO etM.

• L’image du conjuguéz dezest le symétrique de l’image dezpar rapport à l’axe des abscisses.

• L’image de−z est le sym´etrique de l’image dezpar rapport `a l’origineO.

• Etant donn´´ es deux nombres complexes z, w, l’image de la somme z+w est donn´ee par la somme des vecteurs images dezet w.

• Siλ∈Rest un nombre réel, l’image deλzest donnée par le vecteur image dezmultiplié par le scalaireλ.

Voir Figure 1.1 pour une représentation géométrique de ces opérations.

R iR

C

z

−z z

z+w

w

λz

Figure1.1 – Représentation géométrique en forme cartésienne, avecz,w∈C,λ >1.

1.2.2 Forme trigonom´ etrique

D´efinition 1.5. Lorsque z 6= 0, l’image dez est distincte de l’origineO. On appelle argument dez, not´e arg(z), une mesureαde l’angle (−→

i ,−−→

OM) (avec signe), bien défini à un multiple de 2π près. Sir=|z|est le module dez, on a donc

z=r(cosα+isinα),

dite forme trigonométrique, ouforme polaire, de z (voir la Figure 1.2 pour une représentation géométrique des nombres complexes en forme cartésienne et polaire).

Comme remarqué, l’argument d’un nombre complexe n’est bien défini qu’à un multiple de 2π près. On aura donc besoin de la définition suivante.

(7)

R iR

C

α= arg(z)

z=x+iy

x= Rez

y=Imz

r=|z|

Figure 1.2 – Forme cart´esienne et polaire d’un nombre complexe.

Définition 1.6. Soient a, b ∈ R deux nombres réels, et h ∈ R^∗ = R r{0} un nombre réel différent de zéro. On dit queaéquivaut à b moduloh, et on le note para≡b (modh), ou par a=b(modh), sia−best un multiple entier de h. En formules :

a≡b(mod 2π)⇐⇒ ∃^d´^ef k∈Ztel quea=b+kh.

Il y a une d´finition analogue pour les nombres complexes (il suffit de remplacerRparC).

Proposition 1.7. Soient a, b ∈ R, h, λ ∈ R^∗. Alors a ≡ b (modh) si et seulement si λa ≡ λb(modλh).

D´emonstration. On a :

a≡b(modh)⇐⇒ ∃k∈Z|a=b+kh⇐⇒ ∃k∈Z|λa=λb+kλh⇐⇒λa≡λb(modλh).

Or, étant donnée la forme trigonométrique d’un nombre complexe z = r(cosα+isinα), on retrouve facilement la forme cartésiennez=x+iy :

x= Re(z) =rcosα, y= Im(z) =rsinα.

D’autre part, étant donnée la forme cartésiennez=x+iy d’un nombre complexe, on se ramène

`

a la forme trigonom´etriquez=r(cosα+isinα) comme suit : r=|z|=p

x²+y², tanα= y x.

(8)

CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES 5 Six= 0,i.e.,z∈iR, on a

arg(iy) =α= (_π

2 si y >0,

−^π₂ si y <0.

Six6= 0, on a (la fonction arctan sera d´efinie au Chapitre 5) arg(x+iy) =α=

(arctan ^y_x

six >0, arctan ^y_x

+π six <0.

Exemples 1.8. • L’argument de 1, ou plus généralement d’un nombre réel positif, vaut 0 (mod 2π).

L’argument d’un nombre r´eel n´egatif vautπ(mod 2π).

• L’argument de l’unité imaginaire i vaut ^π₂ (mod 2π). Plus généralement, l’argument d’un nombre imaginaire pur vaut±^π₂ (mod 2π), selon le signe de sa partie imaginaire.

• L’argument de 1 +iest ^π₄ (mod 2π) ; l’argument de√

3−iest−^π₆ (mod 2π).

• Si λ ∈ R^∗ = R r{0} est un nombre r´eel non nul et z ∈ C est un nombre complexe, on a arg(λz)≡arg(z) (mod 2π) siλ >0, et arg(λz)≡arg(z) +π(mod 2π) siλ <0.

Remarque 1.9. A partir de l’interpr´` etation géométrique de la distance et de l’argument d’un nombre complexe, on obtient que l’inégalité triangulaire|z+w| ≤ |z|+|w| est une égalité si et seulement siz= 0, ouw= 0, ou arg(z)≡arg(w) (mod 2π).

Propri´et´es de l’argument

Pour tousz, w∈C^∗:=C r{0}, on a :

• arg(z)≡ −arg(z) (mod 2π),

• arg(−z)≡arg(z) +π(mod 2π),

• arg(z⁻¹)≡ −arg(z) (mod 2π),

• arg(zw)≡arg(z) + arg(w) (mod 2π),

• arg(z^p)≡parg(z) (mod 2π), pour toutp∈Z.

La seule relation non triviale est la quatri`eme, due aux formules d’addition trigonom´etrique.

Proposition 1.10 (Formules d’addition trigonom´etrique). Soientα, β∈R. Alors on a

cos(α+β) = cosαcosβ−sinαsinβ, (1.3) cos(α−β) = cosαcosβ+ sinαsinβ, (1.4) sin(α+β) = sinαcosβ+ cosαsinβ, (1.5) sin(α−β) = sinαcosβ−sinαcosβ, (1.6) Démonstration. On montre d’abord la relation (1.4). Considérons deux anglesαetβ, comme sur la Figure 1.3, les pointsU,A,B,Cétant sur le cercle unité.

Les coordonn´des des pointsU, A,B,C sont les suivantes :

U = (1,0), A= (cosα,sinα), B= (cosβ,sinβ), C= (cos(α−β),sin(α−β).

Notons que les triangles de sommetsAOB etCOU sont congruents. En faits, les longueursOU, OA,OB,OC valent 1,i.e.sont égales au rayon du cercle unité. De plus, les angles\U OC etBOA\ sont égaux àα−β. Il s’en suit que les longueursU C etABsont égales. On a donc :

U C²= cos(α−β)−12

+ sin(α−β)2

= cos(α−β)2

+ 1−2 cos(α−β) + sin(α−β)2

= 2−2 cos(α−β),

(9)

R

iR C

A B

C U AB

UC αβ α

− O β α−β

Figure1.3 – Formule d’addition trigonom´etrique.

où on a utilisé la relation trigonométrique cos(α−β)²

+ sin(α−β)²

= 1. De mˆeme : AB²= cosα−cosβ²

+ sinα−sinβ²

= (cosα)²+ (cosβ)²−2 cosαcosβ+ (sinα)²+ (sinβ)²−2 sinαsinβ

= 2−2 cosαcosβ.

On en d´eduit l’´equation (1.4).

Pour montrer l’´equation (1.3), il suffit prendre l’´equation (1.4) pourα et −β et de se rappeler que cos(−β) = cosβ et sin(−β) =−sinβ

cos(α+β) = cos(α−(−β)) = cosαcos(−β) + sinαsin(−β) = cosαcosβ−sinαsinβ.

Pour montrer l’´equation (1.5), on utilise les r´elations cos ^π₂ −α

= sinαet sin ^π₂ −α

= cosα comme suit :

sin(α+β) = cosπ

2 −α−β

= cosπ 2 −α

cosβ+ sinπ 2 −α

sinβ = sinαcosβ+ cosαsinβ, ainsi que (1.4).

Enfin, l’équation (1.6) est obtenue à partir de (1.5), en rempla¸cantβpar−βcomme précédemment.

1.2.3 Forme exponentielle

Laformule d’Euler

e^iα= cosα+isinα, (1.7)

avecα∈R, nous permet d’écrire un nombre complexe sousforme exponentielle. En effet, sizest un nombre complexe écrit en forme trigonométrique commez=r(cosα+isinα), par la formule d’Euler (1.7) on peut écrire

z=re^iα, our≥0 etα∈R.

Par les formules d’addition trigonométriques, siz=reîαet w=seîβ, on a zw=rseî(α+β);

(10)

R

iR C

z w

α β α+β

r rs s

zw

Figure1.4 – Produit de deux nombres complexes.

donc les modules se multiplient, et les arguments s’aditionnent. On a obtenu une interprétation géométrique du produit de deux nombres complexes (voir Figure 1.4).

Remarque 1.11. Attention (1.7) est une convention d’écriture : on montrera en seconde année que l’on peut donner un sens intrinsèque à expzpour zdansC.

Remarque 1.12. Notons que, comme la forme trigonométrique, la forme exponentielle n’est pas uniquement déterminée. En effet reîα et seîβ déterminent le même valeur complexe si et seulement sir=s >0 etα≡β (mod 2π), our=s= 0.

Propri´et´es de la forme exponentielle.

Notons que siz=re^iα, alors

• z=re^−iα,

• −z=re^i(α+π),

• |z|=r,

• ¹_z =¹_re^−iα,

• z^p =r^pe^ipα pour toutp∈Z.

1.3 Solutions d’´ equations polynomiales

1.3.1 Equations de premier degr´ ´ e

Considerons d’abord une ´equation de premier degr´e : az+b= 0,

(11)

CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES 8 où a ∈ C^∗, b ∈ C. De fa¸con directe, on trouve que l’unique solution d’une telle équation est donnée par

z1=−b a. Remarque 1.13. Notons qu’on a

az+b=a

z+b a

=a(z−z1), o`u z1est la solution de l’´equationaz+b= 0.

Avant de passer au cas des équations du second degré commen¸cons par un cas particulier, celui des racines carrées.

1.3.2 Racines carr´ ees

Soit doncw∈Cun nombre complexe. On veut trouver les solutions complexes dez²=w.

M´ethode exponentielle.

Ecrivons´ z=reîα etw=seîβ sous forme exponentielle. On az²=wsi et seulement si r²eî2α=z²=w=seîβ,

d’o`u on obtient

r=√

s, 2α≡β (mod 2π),

c’est-à-direα=β/2 modπ, soitα=β/2 mod 2πouα=β/2 +πmod 2π(Proposition 1.7). Donc les racines carrées dew=seîβ sont données par

±√ se^iβ/2, care^iπ=−1 (voir aussi Remarque 1.17).

Voir Figure 1.5 pour une représentation géométrique de la méthode exponentielle.

M´ethode cart´esienne.

Ecrivonsz=x+iy et w=u+iven forme cart´esienne. On az²=w si et seulement si (x²−y²=u,

2xy=v.

De plus, on a

x²+y²=|z|²=|w|=p

u²+v². A partir des premi`` ere et troisi`eme ´equations on a : 2x²=u+√

u²+v² et 2y² =√

u²+v²−u; on obtient doncxetyà signe près (rappelons quex,y∈R). La deuxième équation nous permet de déterminer les signes respectifs dexety.

Exemple 1.14. Considerons l’´equation de second degr´e

z²+ 2z+ 1 +i= 0 (1.8)

(12)

R

iR C

z1

β 2

s w

√s β

β 2+π

z2

Figure1.5 – Racines carr´ees d’un nombre complexew=se^iβ.

D’après le Théorème 1.16, les solutions sont données par z=−2±δ

2 =−1±δ

2, o`u δ²= 4−4(1 +i) =−4i.

Donc il nous faut donc calculer les deux racines carr´ees±δ/2 de−i.

En suivant la m´ethode exponentielle, on a−i= 1·e^−iπ/2. Donc les solutions sont donn´ees par

±e^−iπ/4.

Par la formule de Euler, on ae^−iπ/4= cos(−π/4) +isin(−π/4) =√

2/2−i√ 2/2.

On pouvait aussi suivre la méthode cartésienne. Les solutions de l’équation (x+iy)²=−isatisfont







x²−y²= Re(−i) = 0, x²+y²=| −i|= 1, 2xy= Im(−i) =−1,

d’où on déduit x² = y² = 1/2 et x, y sont de signes opposés car xy = −1/2 < 0, donc soit x=−y=√

2/2, soitx=−y=−√ 2/2.

Pour résumer, les deux solutions de l’équation (1.8) sont données par z1=−1 +

√ 2 2 −i

√ 2

2 , z2=−1−

√ 2 2 +i

√ 2 2 .

(13)

CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES 10 Notons que

(z−z1)(z−z2) = z+ 1−

√2 2 +i

√2 2

! z+ 1 +

√2 2 −i

√2 2

!

= (z+ 1)²−

√2 2 −i

√2 2

!2

= z²+ 2z+ 1 +i.

Exemple 1.15. On veut d´eterminer les racines carr´ees dew= 1 +i.

On veut trouver les solutionsz=x+iy de l’équationz²=w. Il faut donc résoudre le système







x²−y²= Re(w) = 1, x²+y²=|w|=√

2, 2xy= Im(w) = 1.

Donc on a 2x²= 1 +√

2, 2y²=√

2−1, etx,y sont de mˆeme signe, carxy= ¹₂ >0.

Donc soitx=

√

2+2√ 2 2 , y=

√

2√ 2−2

2 , soitx=−

√

2+2√ 2 2 , y=−

√

2√ 2−2

2 .

Si on ´ecrit w en forme exponentielle, on obtient w = √

2eîπ/4. Les racines carrées de w sont données parz₁=√⁴

2e^iπ/8et z₂=√⁴

2e^i5π/8=−z1. Par la formule d’Euler, on en d´eduit

cosπ 8

= 1

√4

2Re(z1) =

p2 +√ 2 2 sinπ

8

= 1

√4

2Im(z1) =

p2−√ 2

2 .

Comparer les r´esultats avec la Figure 1.9.

1.3.3 Equations de second degr´ ´ e

Pour les équations de second degré, on a l’énoncé suivant.

Théorème 1.16. Les solutions d’une équation de second degré

az²+bz+c= 0, (1.9)

avec a,b,c∈Ceta6= 0, sont donn´ees par

z= −b±δ

2a , (1.10)

o`uδ est un nombre complexe tel que δ² = ∆ :=b²−4ac. Le nombre ∆ est dit discriminant de l’´equation (1.9).

Remarque 1.17. Notons que si δ₁ est une solution de δ² = ∆, alors δ₂ =−δ1 est une autre solution de la mˆeme ´equation. En fait,

δ²₂= (−δ1)²= (−1)²δ₁²= 1·∆ = ∆.

Cette remarque justifie le signe±dans (1.10), en concordance avec la notation commune√

∆≥0 quand ∆≥0 est un r´eel positif.

(14)

CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES 11 Remarque 1.18. En littérature (UNIQUEMENT dans la littérature étrangère, en particulier pas dans la littérature fran¸caise qui est celle qui nous sert de référence), on peut trouver la notation√

wavec w∈Cun nombre complexe quelconque. Dans ce cas, √

w indique n’importe quelle solution complexe de l’´equationz²=w.

Démonstration. Appliquons la méthode de complétion du carré à l’equation (1.9), comme suit.

0 =az²+bz+c=a

z²+b az+ b²

4a²

− b²

4a+c=a

z+ b 2a

2

−b²−4ac 4a = 0.

Notonsw=z+b/2a. On obtient alors

w²= b²−ac 4a² =

± δ 2a

2

, soit

w²−

± δ 2a

²

= 0←→

w− δ

2a w+ δ 2a

= 0, d’o`u on d´eduit

z=w− b 2a = ±δ

2a − b 2a.

Remarque 1.19. Si z1, z2 sont les solutions complexes d’une équation de second degréaz²+ bz+c= 0, données par (1.10), alors on a

az²+bz+c=a(z−z1)(z−z2).

On en d´eduit quez1+z2=−_a^b et z1z2= ^c_a.

Remarque 1.20. Soitaz²+bz+c= 0 une équation de second degré, et notons ∆ =b²−4ac son discriminant. Alors les deux solutions z₁, z₂ données par (1.10) coincident (z₁ = z₂) si et seulement si ∆ = 0. Dans ce cas on dit que l’équation admet une solutionde multiplicité 2. En fait, on peut écrire

az²+bz+c=a(z−z₁)².

1.3.4 Racines n-` emes

On veut résoudre l’équationzⁿ=wpour un nombre complexewdonné.

En notation exponentielle z = reîα, w = seîβ, l’équation zⁿ = w implique r = √ⁿ

s et nα ≡ β (mod 2π). Par la Proposition 1.7 les solutions sont donn´ees parα≡ ^β_n mod^2π_n

, c’est-`a-dire, par α = ^β_n + ^2kπ_n , pour k ∈ Z. On constate que lorsque k parcourt Z on obtient n solutions distinctes ; on peut donc par exemple supposer quek= 0,. . ., n−1.

G´eom´etriquement, on peut noter que les solutions de zⁿ =wappartiennent au cercle de centre 0 et rayon pⁿ

|w|, et ils forment un polygone régulier àncôtés.

Exemple 1.21. On cherche à trouver les racines 3-èmes de 8i(voir la Figure 1.6). On veut donc résoudrez³= 8i= 8eⁱ^π². On obtientz=reîαavecr=√³

8 = 2 etα=^π₆ +^2kπ₃ , aveck= 0, 1, 2.

On a donc

z1= 2eⁱ^π⁶, z2= 2eⁱ^5π⁶ , z3= 2eⁱ^3π² .

(15)

CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES 12 En forme cart´esienne, on obtient

z₁= 2 cosπ

6

+isinπ 6

=√ 3 +i, z₂= 2

cos

5π 6

+isin

5π 6

=−√ 3 +i, z3= 2

cos

3π 2

+isin

3π 2

=−2i.

On peut verifier directement ces solutions : (±√

3 +i)³=±3√

3 + 9i±3√

3i²+i³= 8i, (−2i)³=−8i³= 8i.

Remarquons que les trois solutions forment les sommets d’un triangle équilatéral centré à l’origine (voir Figure 1.6). Notons que on a aussiz₁z₂z₃= 8ietz₁+z₂+z₃= 0. Ces faits sont généraux (voir Proposition 1.29).

R iR

C

z1= 2eⁱ^π⁶ z2= 2eⁱ^5π⁶

z3= 2eⁱ^3π² w= 8eⁱ^π²

Figure1.6 – Racines 3-i`emes dew= 8i.

Racines n-i`emes de l’unit´e

Un cas particulier de racine d’un nombre complexe est donn´e par les racines de l’unit´e 1.

Comme précédemment, les solutions dezⁿ= 1 sont données par z=eⁱ^2kπⁿ , k= 0, . . . , n−1.

Les racinesn-ièmes de l’unité sont les sommets d’un polygone régulier àn côtés, appartiennent au cerce de rayon 1, et l’une de ces racines est donnée par 1.

En notation cart´esienne, on obtient z= cos

2kπ n

+isin

2kπ n

, k= 0, . . . , n−1.

Exemples 1.22. On écrit de fa¸con explicite les racines n-ièmes de l’unité pour n = 1, . . ., 5 (voir aussi Figure 1.7).

(16)

• La seule solution dez= 1 estz0=e⁰= 1.

• Les solutions dez²= 1 sontz0 =e⁰= 1 etz1 =e^iπ=−1, et elles forment les sommets d’un segment qui passe par l’origine.

• Les solutions de z³ = 1 sont z0 = e⁰ = 1, z1 = e^i2π/3 = (−1 +i√

3)/2, z2 = e^i4π/3 = (−1−i√

3)/2, et elles forment les sommets d’un triangle ´equilat´eral.

• Les solutions dez⁴= 1 sont z0=e⁰= 1, z1=eîπ/2=i,z2 =eîπ =−1,z3=eî3π/2=−i, et elles forment les sommets d’un carré régulier.

• Les solutions dez⁵= 1 sontz₀ =e⁰= 1, z₁ =eî2π/5,z₂ =eî4π/5,z₃ =eî6π/5,z₄ =eî8π/5, et elles forment les sommets d’un pentagone régulier.

z0

z₁

z2

z0

z1

z₂

z3

z0

z₁ z2

z4

z₃

Figure1.7 – Racines 3-ièmes, 4-ièmes, 5-ièmes de l’unité.

Remarquons que, siη est une racine n-ème de l’unité, alors η^k est une racine n-ème de l’unité pour toutk. En fait, siηⁿ= 1, on a (η^k)ⁿ =η^kn= (ηⁿ)^k= 1^k= 1.

Définition 1.23. Soitn∈N^∗. Une racinen-èmeη de l’unité est diteprimitive siη^m6= 1 pour tout 0< m < n.

Proposition 1.24. Si η est une racinen-ième de l’unité telle que le sous-ensemble{η^k|k∈Z} co¨ıncide avec l’ensemble de toutes les racinesn-ièmes de l’unité, alorsηest une racine primitive.

Une racineη de l’unité est primitive si et seulement si toutes les racines n-èmes de l’unité sont données par{η^k, k∈Z}.

La Proposition 1.24 reste valable si on écritk= 1,. . .,nà la place dek∈Zdans son énoncé.

D´emonstration. Pour l’implication directe, il suffit de montrer que siηest primitive, alorsη^k6=η^h pour tout 1≤k, h≤n,h6=k. Supposons queη^k=η^h avec 1≤k < h≤n. Alorsη^h−k = 1 avec 1≤h−k < n, ce qui contredit le fait queη est une racine primitive.

Pour l’implication inverse, supposons qu’il existe m < ntel queη^m= 1. Mais alors η^k =η^k+m pour toutk, et l’ensembleS={η^k|k∈Z}contient au plus méléments différents. Mais il existe n > m racinesn-èmes distintes, donc S ne contient pas toutes les racines n-èmes de l’unité, ce qui contredit l’hypothèse.

Notons que z0 = 1 est une racine n-i`eme de l’unit´e pour tout n ∈ N^∗, mais elle n’est jamais primitive pourn≥2.

Exemples 1.25. • Casn= 2. `A partir de la d´efinition, la racinez₀= 1 n’est pas primitive, car z¹₀= 1, mais z₁=−1 est bien primitive, carz₁¹=−16= 1.

• Cas n= 3. Soient z₀ =e⁰ = 1,z₁ =e^i2π/3 = (−1 +i√

3)/2,z₂ =e^i4π/3 = (−1−i√

3)/2 les trois racines cubiques de l’unit´e. Notons que z²₁ = z2 et z₂² = z1. La Proposition 1.24 assure quez0n’est pas primitive, par contre z1et z2sont des racines cubiques primitives.

(17)

• Cas n= 4. Soient z0 =e⁰ = 1, z1 =eîπ/2 =i, z2 = eîπ =−1,z3 =eî3π/2 =−i les racines quatrièmes de l’unité. Notons quez₁²=z2,z₁³=z3. Par la proposition 1.24z1est primitive. De même fa¸con,z3 est primitive. Comme z₂²= (−1)² = 1, par définition z2 n’est pas une racine quatrième primitive. Enfinz0= 1 n’est pas non plus primitive.

• Casn= 5. Soient z0=e⁰ = 1,z1=eî2π/5, z2=eî4π/5, z3=eî6π/5, z4=eî8π/5. Dans ce cas, la seule racine qui n’est pas primitive estz0= 1. Les racinesz1et z4sont primitives. On note aussi quez²₂=z₄,z₂³=z₁ et z⁵₂=z₃, d’où on en déduit quez₂ est primitive. De mêmez₃ est primitive.

• Considérons les racines 6-èmes de l’unité (Figure 1.8). Elles sont données parz_k =eîπk/3, avec k= 0, . . . ,5.

En forme cart´esienne, on a z₀ = 1, z₁ = (1 +i√

3)/2, z₂ = (−1 +i√

3)/2, z₃ = −1, z₄ = (−1−i√

3)/2,z5= (1−i√ 3)/2.

Les racines z1 et z5 sont primitives. En fait, z^k₁ = (eîπ/3)^k = eîπk/3 =zk, et de mêmez₅^k = eî5kπ/3, doncz₅^k=z_6−k pourk= 1, . . ., 6.

Par contre,z0,z2,z3,z4ne sont pas primitives. En fait, z0=z₂³=z₃²=z³₄= 1.

On obtient {z^k₀|k ∈ Z} = {1}, {z^k₂|k ∈ Z} = {1, z2, z4} (les racines cubiques de l’unité), {z₃^k|k ∈ Z} = {1,−1} (les racines carrées de l’unité), {z₄^k|k ∈ Z} = {1, z2, z4} (encore les racines cubiques de l’unité).

e⁰ⁱ=1 e^π3i=¹₂+i

√3 2

e^πi=−1

R iR

C

e^2π3i

=−¹₂+i

√ 3 2

e^4π3i=−¹₂−i

√3 2

e^5π3i=¹₂−i

√ 3 2

Figure1.8 – Racines 6-ièmes de l’unité. Les racines primitives sont entourées

Remarque 1.26. A partir de la Proposition 1.24 on obtient que` eî2π/n ete^−i2π/nsont toujours racines primitivesn-èmes de l’unité.

Notons aussi que si z est une racine n-ème d’un nombre complexe w, les autres racines sont données par les nombres zη, où η varie parmi les racines n-èmes de l’unité. En faits, (zη)ⁿ = zⁿηⁿ=w·1 =w.

Si η est une racine n-ème primitive de l’unité, toutes les racinesn-èmes de wsont données par zη^k aveck= 0, . . . , n−1.

Remarque 1.27. Notons que eî2πk/n est une racine primitive n-ème de l’unité si et seulement ket nsont premiers entre eux.

(18)

CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES 15 Exemple 1.28. Dans cet exemple, on va calculer (en forme cartésienne) les racines 6-èmes de 8i, et on va en déduire les valeurs de cos ₁₂^π

et sin ₁₂^π

. On pourra comparer ces resultats avec la Figure 1.9.

Les racines 6-`emes de 8isont donn´ees en forme exponentielle par w0=√

2eⁱ¹²^π, w1=√

2eⁱ^5π¹², w2=√ 2eⁱ^9π¹², w₃=√

2eⁱ^13π¹² , w₄=√

2eⁱ^17π¹² , w₅=√ 2eⁱ^21π¹² . Parmi ces solutions, on sait ´ecrire en forme cart´esiennew₂=√

2e^i3π/4=−1 +i, etw₅=−w₂=

1−i.

On en d´eduit quew₀=√

2e^iπ/12=√

2eî21π/12eî4π/12=w₅η, oùη=z₁=eîπ/3= (1 +i√

3)/2 est une des racines 6-èmes primitives de l’unité donnée par l’Exemple 1.25. On a donc

√ 2

cosπ 12

+isinπ 12

= (1−i)(1 +i√

3)/2 = 1 +√ 3 2 +i

√3−1

2 ,

d’o`u on en d´eduit

cosπ 12

=

√2 +√ 6

4 , sinπ 12

=

√6−√ 2

4 .

Propriétés des racines n-èmes.

Soientw∈Cun nombre complexe etz1,. . .,zn les racinesn-`emes dew. Alors on peut montrer que

zⁿ−w=

n

Y

k=1

(z−zk).

Une preuve de ce résultat suit de l’algorithme de division des polynômes, qui nous dit que sip(z) est un polynôme tel que p(z0) = 0, alors (z−z0) divise p(z). Par récurrence sur le nombre des racines, on obtient le résultat.

De cette formule, on en déduit les propriétés suivantes.

Proposition 1.29. Soient w∈Cun nombre complexe et z1,. . .,zn ses racinesn-`emes. Alors

on a n

Y

k=1

zk = (−1)ⁿ⁺¹w,

n

X

k=1

zk= 0. (1.11)

Démonstration. On peut déduire les équations (1.11) directement comme suit. Écrivonsw=seîβ sous forme exponentielle. On a vu quezk= √ⁿ

seⁱ^β+2kπⁿ . Pour le produit, on a donc

n

Y

k=1

z_k =

n

Y

k=1

√n

seⁱ^β+2kπⁿ =se^iβe⁽ⁱ^2πⁿ ^P^k^k)=we^iπ(n+1)= (−1)ⁿ⁺¹w,

où on a utilisé la propriétéPn

k=1k=ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ . Pour la somme, soitS=Pn

k=1z_k, et soitη=e^i2π/nune racine primitive n-`eme de 1. On a S=

n

X

k=1

zk=

n

X

k=1

ηzk =ηS, d’o´uS= 0, car η6= 1.

(19)

π 4

π 8 π 6

π 12 π

3 3π

8 5π 12

0

π

2 √

2 2 +i

√2 2

√3 2 +i¹₂

√

2+√ 2 2 +i

√

2−√ 2

√ 2 6+√

2 4 +i

√6−√ 2 4

1

1 2+i

√3 2

√

2−√ 2 2 +i

√

2+√ 2 2

√6−√ 2 4 +i

√6+√ 2

i 4

C

3π 4 5π

6

2π 3

5π 8

7π 12

π

7π 8 11π 12

cos(π−α) =−cos(α) sin(π−α) = sin(α)

5π 4 7π

6

4π 3 11π

8 9π

8 13π 12

17π

12 3π

2

cos(π+α) =−cos(α) sin(π+α) =−sin(α)

z7→ −z

−1

7π 4

11π 6

5π 13π 3 19π 8

12

−i

23π 12 15π

8

cos(2π−α) = cos(−α) = cos(α) sin(2π−α) = sin(−α) =−sin(α)

z7→z

Figure 1.9 – Expression de cos(α) et sin(α) pour certains angles α ∈ [0,2π] sous forme cart´esiennez= cos(α) +isin(α) =e^iα.

1.4 Applications ` a la trigonom´ etrie

1.4.1 Formules d’Euler et de Moivre

La formule d’Euler (1.7) et les ´equations (1.2) permettent d’exprimer le cosinus et le sinus d’un angle en termes d’exponentielles complexes :

cosα= Re(e^iα) = e^iα+e^−iα

2 , sinα= Im(e^iα) =e^iα−e^−iα

2i . (1.12)

Ces formules sont toujours appel´eesformules d’Euler.

De la formule d’Euler (voir aussi (1.15)), on en d´eduit aussi laformule de de Moivre :

(cosα+isinα)ⁿ = cos(nα) +isin(nα) (1.13)

(20)

CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES 17 pour toutn∈Z. En fait, on a

(cosα+isinα)ⁿ= (e^iα)ⁿ=e^inα= cos(nα) +isin(nα).

1.4.2 Formule du binˆ ome de Newton

D´efinition 1.30. Soient 0≤k≤ndes entiers. On d´efinit lecoefficient binomial n

k

(luk parmin) le nombre

n k

:= n!

k!(n−k)!, o`u n! =Qn

m=1m=n(n−1)· · ·2·1 est lafactorielle den. On pose par convention 0! := 1.

Dans la litt´erature, la notationC_n^k `a la place de n

k

est ´egalement utilis´ee.

Le coefficient binomial nous donne le nombre des parties de cardinalit´e kdans un ensemble de cardinalit´en(voir Chapitre??).

Notons que, directement de la d´efinition, on a n

0

= n

n

= 1 et n

k

= n

n−k

. De plus, les coefficients binomiaux satisfont la propri´et´e suivante.

Lemme 1.31. Soientn,h∈Navec 1≤h≤n. Alors n

h−1

+ n

h

=

n+ 1 h

. D´emonstration. Par calcul direct, on a :

n h−1

+

n h

= n!

(h−1)!(n−h+ 1)! + n!

h!(n−h)!

= n!

(h−1)!(n−h)!

1

n−h+ 1 +1 h

= n!

(h−1)!(n−h)!

n+ 1 h(n−h+ 1)

= (n+ 1)!

h!(n+ 1−h)!

=

n+ 1 h

.

Ce lemme nous permet de calculer de fa¸con r´ecursive les coefficients binomiaux, et construire ce qu’on appelle letriangle de Pascal :

(21)

h=0

n=0 //

0 0

h=1

n=1 //

1 0

1 1

h=2

n=2 //

2 0

2 1

2 2

h=3

n=3 //

3 0

3 1

3 2

3 3

h=4

n=4 //

4 0

4 1

4 2

4 3

4 4

5 0

5 1

5 2

5 3

5 4

5 5

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

On peut finalement montrer laformule du binˆome de Newton.

Th´eor`eme 1.32. Soientz,w∈C, et n∈N. Alors (z+w)ⁿ=

n

X

k=0

n k

z^kw^n−k. (1.14)

Démonstration. On procède par récurrence sur n. Pour n= 0, 1 = (z+w)⁰ = 0

0

z⁰w⁰ = 1 est bien verifi´e. Supposons que l’´equation (1.14) vaut pour n, et montrons-la pour n+ 1. Par

(22)

CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES 19 hypoth`ese de r´ecurrence, on a

(z+w)ⁿ⁺¹= (z+w)(z+w)ⁿ = (z+w)

n

X

k=0

n k

z^kw^n−k

=

n

X

k=0

n k

z^k+1w^n−k+

n

X

k=0

n k

z^kw^n−k+1

=

n+1

X

h=0

n h−1

+

n h

z^hw^n+1−h,

o`u on pose n

h

= 0 si h <0 ou si h > n. Mais par le Lemme 1.31 on a n

h−1

+ n

h

= n+ 1

h

, et on a obtenu l’´equation (1.14).

1.4.3 Applications

Ecrire´ cos(nα)et sin(nα) en fonction de puissances de cosαetsinα.

En utilisant la formule de de Moivre, on peut ´ecrire cos(nα) et sin(nα) en fonction de puissances de cosαet sinα.

Pourn= 2, on obtient

cos(2α) +isin(2α) = (cosα+isinα)²= (cos²α−sin²α) +i(2 cosαsinα).

On en d´eduit :

cos(2α) = cos²α−sin²α= 2 cos²α−1, sin(2α) = 2 cosαsinα.

Pourn= 3, on obtient

cos(3α) +isin(3α) = (cosα+isinα)³

= (cos³α−3 cosαsin²α) +i(3 cos²αsinα−sin³α).

On en d´eduit :

cos(3α) = cos³α−3 cosαsin²α= 4 cos³α−3 cosα, sin(3α) = 3 cos²αsinα−sin³α= 3 sinα−4 sin³α.

Des formules analogues peuvent ˆetre obtenues pour toutn:

(23)

cos(2mα) =

m

X

h=0

(−1)^h 2m

2h

cos^2(m−h)αsin^2hα,

sin(2mα) =

m−1

X

h=0

(−1)^h 2m

2h+ 1

cos^2(m−h)−1αsin^2h+1α,

cos((2m+ 1)α) =

m

X

h=0

(−1)^h

2m+ 1 2h

cos^2(m−h)+1αsin^2hα,

sin((2m+ 1)α) =

m

X

h=0

(−1)^h

2m+ 1 2h+ 1

cos^2(m−h)αsin^2h+1α.

A partir des formules pr´` ec´edentes, on obtient les formules suivantes pour la fonction tangente : tan(2α) = sin(2α)

cos(2α)= 2 cosαsinα

cos²α−sin²α = 2 tanα 1−tan²α, tan(3α) = sin(3α)

cos(3α)= 3 cos²αsinα−sin³α

cos³α−3 cosαsin²α =3 tanα−tan³α 1−3 tan²α ,

tan(2mα) = Pm−1

h=0(−1)^h 2m

2h+ 1

tan^2h+1α Pm

h=0(−1)^h 2m

2h

tan^2hα ,

tan((2m+ 1)α) = Pm

h=0(−1)^h

2m+ 1 2h+ 1

tan^2h+1α Pm

h=0(−1)^h

2m+ 1 2h

tan^2hα

.

Notons qu’on peut aussi exprimer cos(2α) et sin(2α) en fonction de tanα, comme suit : cos(2α) = cos²α−sin²α=cos²α−sin²α

cos²α+ sin²α= 1−tan²α 1 + tan²α, cos(2α) = 2 cosαsinα= 2 cosαsinα

cos²α+ sin²α= 2 tanα 1 + tan²α. Lin´earisation decosⁿαet sinⁿα.

On veut exprimer cosⁿαet sinⁿαcomme combinaison lin´eaire de cos(kα) et sin(kα) pour certains k∈N.

Par les formules d’Euler et la formule du binˆome de Newton, on a pourn= 2 : cos²α =

e^iα+e^−iα 2

²

=1

4 e^2iα+ 2 +e^−2iα

= 1

2

e^2iα+e^−2iα 2

+ 1

= 1

2(cos(2α) + 1),

(24)

sin²α =

e^iα−e^−iα 2i

²

=−1

4 e^2iα−2 +e^−2iα

= −1 2

e^2iα+e^−2iα 2

−1

= 1

2(1−cos(2α)). De mani`ere analogue, pourn= 3 on obtient

cos³α=

e^iα+e^−iα 2

³

=1

8 e^3iα+ 3e^iα+ 3e^−iα+e^−3iα

= 1 4

e^3iα+e^−3iα 2

+ 3

e^iα+e^−iα 2

= 1

4(cos(3α) + 3 cosα),

sin³α=

e^iα−e^−iα 2i

³

=−1

8i e^3iα−3e^iα+ 3e^−iα−e^−3iα

=−1 4

e^3iα−e^−3iα 2i

−3

e^iα−e^−iα 2i

=1

4(−sin(3α) + 3 sinα). En g´en´eral, on peut montrer les formules suivantes :

cos^2mα= 1 2^2m−1

1 2

2m m

+

m

X

h=1

2m m−h

cos(2hα)

! ,

sin^2mα= 1 2^2m−1

1 2

2m m

+

m

X

h=1

(−1)^h 2m

m−h

cos(2hα)

! ,

cos^2m+1α= 1 2^2m

m

X

h=0

2m+ 1 m−h

cos (2h+ 1)α

! ,

sin^2m+1α= 1 2^2m

m

X

h=0

(−1)^h

2m+ 1 m−h

sin (2h+ 1)α

! .

Exponentielle complexe

La formule d’Euler (1.7) nous permet de d´efinir l’exponentielled’un nombre complexez=x+iy comme suit :

e^z=e^x+iy=e^x·e^iy=e^x(cosy+isiny).

L’exponentielle complexe ´etend l’exponentielle r´eelle (voir le Chapitre 5), car siz=x+i0, alors e^z=e^x+i0=e^x(cos 0 +isin 0) =e^x(1 +i0) =e^x.

De plus, étant donnés deux nombres complexesz=x+iy etw=u+iv, grâce aux propriétés de l’argument et des formules d’addition trigonométrique, on obtient

e^z+w=e(x+u)+i(y+v)=e^x+u cos(y+v) +isin(y+v)

=e^xe^u (cosycosv−sinysinv) +i(cosysinv+ sinycosv)

=e^xe^u(cosy+isiny)(cosv+isinv)

=e^ze^w.

(25)

CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES 22 Donc l’exponentielle complexe d’une somme satisfait la même propriété formelle que l’exponentielle réelle.

On en déduit (par récurrence sur|n|) la propriété

(e^z)ⁿ=e^nz (1.15)

pour toutn∈Z.

Remarque 1.33. Notons que deux nombres complexes z =x+iy et w=u+iv ont la mˆeme exponentiellee^z=e^wsi et seulement si

x=u, y≡v (mod 2π), c’est-`a-dire,y=v+ 2kπpour un certaink∈Z.

Autres applications

Exemple 1.34. On calcule la forme cart´esienne de (¹⁺ⁱ

√3

2 )¹⁶. En forme exponentielle, ¹⁺ⁱ

√3

2 =

eîπ/3. Donc (eîπ/3)¹⁶=eî16π/3. Notons que 16π/3 = 4π+ 4π/3 Donc

e^i16π/3=e^i4π/3= cos(4π/3) +isin(4π/3) =−1

2 −i

√3 2 . Exemple 1.35. On veut calculer la somme trigonom´etrique de la formePn−1

k=0cos(kα).

Notons que cette somme est la partie r´eelle de la somme

n−1

X

k=0

cos(kα) +isin(kα)

=

n−1

X

k=0

e^ikα=:S_n.

La dernière somme n’est autre que la somme desnpremiers termes d’une progression géométrique de premier terme 1 et raisoneîα. Sieîα= 1, c’est-à-dire,α= 0 (mod 2π), alorsSn=n. Supposons queeîα6= 1. Alors on a

S_n= 1−e^inα

1−eîα =eînα/2(e^−inα/2−eînα/2)

eîα/2(e^−iα/2−eîα/2) =eî(n−1)α/2sin(nα/2) sin(α/2) . On en déduit que

n−1

X

k=0

cos(kα) = Re(Sn) = cos((n−1)α/2)sin(nα/2) sin(α/2) .

1.5 Exercices

Questions de cours.

(a) Donner la définition de nombre complexe sous forme cartésienne (ou algébrique).

(b) Donner la d´efinition de partie r´eelle et imaginaire d’un nombre complexe.

(c) D´efinir la somme et le produit de deux nombres complexes sous forme cart´esienne.

(d) D´efinir le conjugu´e et le module d’un nombre complexe.

(e) Que signifiedeux nombres r´eelsa,bsont ´equivalents modulo h∈]0,+∞[?

(26)

CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES 23 (f) Donner la d´efinition d’argument d’un nombre complexe.

(g) D´ecrire les formes trigonom´etrique et exponentielle d’un nombre complexe.

(h) D´ecrire le produit de deux nombres complexes sous forme exponentielle.

(i) Donner la formule de résolution d’une équation de second degré à coefficients complexes.

Quel est le discriminant d’une telle ´equation ?

(j) Décrire la méthode cartésienne pour trouver les racines carrées d’un nombre complexe.

(k) Décrire la méthode exponentielle pour trouver les racinesn-ièmes d’un nombre complexe.

(l) Donner la d´efinition de racine primitive de l’unit´e.

(m) ´Enoncer les formules d’Euler.

(n) ´Enoncer la formule de Moivre.

(o) Soitnun entier, d´efinirn!, i.e.factoriel n. D´efinir les coefficients binomiaux.

(p) ´Enoncer la formule du binˆome de Newton.

Exercice 1.1. Ecrire sous forme alg´´ ebrique les nombres complexes suivants : (a) 2

1−2i, (b) 1

1−2i+ 1

1 + 2i, (c) 2 +i 3−2i, (d)

1 +i 2−i

²

, (e) 2 + 5i

1−i +2−5i

1 +i , (f) 2 + 5i

1−i −2−5i 1 +i . Exercice 1.2. Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants : (a)−3√

2, (b)πi, (c) √

3−i,

(d) (1−i)⁹, (e) (√

5−i)(√

5 +i), (f) e³⁺⁴ⁱ.

Exercice 1.3. Ecrire sous forme trigonom´´ etrique et exponentielle les nombres complexes suivants :

(a)−3√

2, (b)πi, (c) √

3−i,

(d) (i−1)⁹, (e)√

2 +√

6i, (f) 1−i

√3 +i, (g)i+√

2e⁻ⁱ^3π⁴ , (h)eⁱ^π³ +eⁱ^2π³, (i)√

3i+e^−iπ, (j) 3 + 4i, (k)x+x²i,x∈R.

Exercice 1.4. D´eterminer les nombres complexesz tels que :

(a)|z−i|= 1, (b)z²=z,

(c)zz=z³, (d)iRe(z²)−Im(z²) =z,

(e)z²+z−1 est r´eel, (f)z²+ 2z−2 est imaginaire pur, (g) arg(z+ 2z) =^π₃ mod 2π.

Exercice 1.5. Soitθ∈Run nombre réel. Résoudre dansCles équations suivantes : (a) z²−2 cos(θ)z+ 1 = 0,

(b) z⁴−2 cos(2θ)z²+ 1 = 0.

(27)

CHAPITRE 1. NOMBRES COMPLEXES 24 Exercice 1.6. Soientz1= 3√

2(1 +i),z2=√ 3 +i.

(a) Déterminer les formes exponentielle et trigonométrique dez1 et z2. (b) Déterminer la forme cartésienne de z=^z_z¹₂

2

.

(c) D´eterminer les formes exponentielle et trigonom´etrique dez.

(d) En d´eduire les valeurs de cos₁₂^π et sin₁₂^π. Exercice 1.7. Soitw= 1 +i.

(a) Déterminer les racines carrées dewsous forme cartésienne.

(b) Déterminer les formes exponentielle et trigonométrique dewet ses racines carrées.

(c) En d´eduire les valeurs de cos^π₈ et sin^π₈.

1.6 Exercices, sujets ann´ ees ant´ erieures

Exercice 1.8(Partiel, 2010). Résoudre dansCl’équation :z²−(1−i)z−2 +i= 0. On exprimera les racines sous forme algébrique (ou cartésienne).

Exercice 1.9(Partiel, 2011). R´esoudre dansCl’´equation : ¹₂z²+2√

2z+3+i= 0.On exprimera les racines sous forme algébrique (ou cartésienne, c’est-à-dire sous formea+ib, aveca,bdes réels).

Exercice 1.10(Partiel, 2011). Résoudre dansCl’équation :z⁴−(2 +i)z²+ 1 +i= 0.On pourra commencer par résoudre l’équationZ²−(2 +i)Z+ 1 +i = 0 et on exprimera les racines sous forme algébrique (ou cartésienne).

Exercice 1.11 (Examen, 2011). D´eterminer les nombres complexes z tels que : z³ = 8i sous forme polaire, puis sous forme alg´ebrique.

Exercice 1.12(Examen, 2011). Dans cet exerciceθ d´esignera un nombre r´eel.

(a) Trouver les solutionsZ complexes de l’´equation :Z²−2 cos(θ)Z+ 1 = 0.

(b) Donner les solutions complexes de l’équation z³=eîθ, et de l’équation

z³=e^−iθ.

(c) Calculer le polynˆome (z−eⁱ^θ³)(z−e⁻ⁱ^θ³) et montrer que ses coefficients sont des nombres r´eels.

(d) En utilisant les questions précédentes, montrer que le polynôme suivant z⁶−2 cos(θ)z³+ 1

peut s’écrire comme produit de trois polynômes à coefficients réels de degré 2 que l’on écrira explicitement.

Exercice 1.13(Examen, 2011). (a) D´eterminer tous les nombres complexesz tels que z⁵= 16−16i√

3.

(b) R´esoudre dansCl’´equation

z²+ (1 + 4i)z−5−i= 0.