ANNEE : 2020 /2021 FICHE DE MATHEMATIQUES TD N0 2 CLASSE: PD

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ANNEE : 2020 /2021 FICHE DE MATHEMATIQUES TD N

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2 CLASSE: PD

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Exercice 1

𝐴𝐵𝐶 est un triangle. On désigne par 𝐷 le symétrie de 𝐵 par rapport à 𝐴 ; 𝐼 milieu de [𝐴𝐶] et le point 𝐽 tel que

𝐵𝐽 ⃗⃗⃗⃗ =

²₅

𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗

_.

Démontrer que les points 𝐷, 𝐽 𝑒𝑡 𝐶 sont alignés . Exercice 2

Soit 𝐴𝐵𝐶 est un triangle.

1.Construire les points 𝑃, 𝑄 𝑒𝑡 𝑅 tels que :

𝐶𝑃 ⃗⃗⃗⃗⃗ =

¹₃

𝐶𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗

_,

𝐴𝑄 ⃗⃗⃗⃗⃗ =

¹₃

𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗

_et

𝐵𝑅 ⃗⃗⃗⃗⃗ =

⁴₅

𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗

_. 2.Démontrons que les droites (𝐴𝑅) , (𝐵𝑃) 𝑒𝑡 (𝐶𝑄) sont concourantes .

Exercice 3

Le plan est muni d’un repère orthonormé (𝑂, 𝑖,⃗ 𝑗 ⃗⃗ ) ; soient 𝐴 (2

1) 𝑒𝑡 𝐵 (−1 0 ) . On désigne par 𝐺 = 𝑏𝑎𝑟{(𝐴, 1); (𝐵, 2)}

1)Placer les points 𝐴, 𝐵 𝑒𝑡 𝐺 dans le repère

2. On désigne par (𝛤) l’ensemble des points 𝑀 du plan tel que 𝑀𝐴²+

2𝑀𝐵

²

=

⁵⁶₃ a)Démontrer que 𝑀𝐴²+2𝑀𝐵²=3𝑀𝐺²+²⁰

3

b)Déterminer et construire l’ensemble (𝛤) Exercice 4

𝐴𝐵𝐶 est un triangle équilatéral de coté 3 cm. On désigne par (𝛴) l’ensemble des points 𝑀 du plan tel que

2𝑀𝐴

²

− 𝑀𝐵

²

+ 𝑀𝐶

²

=

⁵⁵₂

1)Construire le 𝐺 = 𝑏𝑎𝑟{(𝐴, 2); (𝐵, −1); (𝐶, 1)}

2) Calculer 𝐺𝐴² , 𝐺𝐵²𝑒𝑡 𝐺𝐶²

3.a) Démontrer que 2𝑀𝐴²− 𝑀𝐵²+ 𝑀𝐶²= 2𝑀𝐺²+ 2𝐺𝐴²− 𝐺𝐵²+ 𝐺𝐶² b) Déduire que

2𝑀𝐴

²

− 𝑀𝐵

²

+ 𝑀𝐶

²

= 2𝑀𝐺

²

−

⁹₂

4)Déterminer et construire (𝛴)

(2)

Exercice 5

Soit 𝑥 ∈ ℝ avec 𝑥 ≠^𝜋

2+ 𝑘𝜋 ; 𝑘 ∈ ℤ

1)Exprimer cos 3𝑥 en fonction de cos 𝑥 et sin 3𝑥 en fonction de sin 𝑥 2)Démontrer que

tan 3𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 ×

_{1−3𝑡𝑎𝑛}^{3−𝑡𝑎𝑛}²₂^𝑥_𝑥

Exercice 6 I)

Soit 𝑥 un nombre réel non multiple de ^𝜋

2 1.a) Montrer que sin 2𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 b) Démontrer que ^{𝑠𝑖𝑛3𝑥}_{𝑠𝑖𝑛𝑥}

−

^{𝑐𝑜𝑠3𝑥}_{𝑐𝑜𝑠𝑥}

= 2 2.Exprimons en fonction de

cos 2𝑥 a) ^{𝑠𝑖𝑛3𝑥}_{𝑠𝑖𝑛𝑥}

+

^{𝑐𝑜𝑠3𝑥}_{𝑐𝑜𝑠𝑥}

b)

^{𝑠𝑖𝑛5𝑥}_{𝑠𝑖𝑛𝑥}

+

^{𝑐𝑜𝑠5𝑥}_{𝑐𝑜𝑠𝑥} II)

Soit 𝑥 un nombre réel

1.Démontrer que : (𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥)²+ (𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥)²= 2 2.Dans chaque cas calculer 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑥

a) 𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = −1 b)

𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑒𝑡 𝑠𝑖𝑛𝑥 =

¹₂ Exercice 7

1.a) Démontrer que ∀𝑥 ∈ ℝ,

𝑐𝑜𝑠

⁴

𝑥 + 𝑠𝑖𝑛

⁴

𝑥 =

¹₄

(3 + 𝑐𝑜𝑠4𝑥)

b)Déduire la Résoudre dans ℝ de l’équation

𝑐𝑜𝑠

⁴

𝑥 + 𝑠𝑖𝑛

⁴

𝑥 =

³₄

2.a) Démontrer que

∀ 𝑎, 𝑏 𝑥 ∈ ℝ, sin(𝑎 + 𝑏) − sin(𝑎 − 𝑏) = 2𝑐𝑜𝑠𝑎 𝑠𝑖𝑛𝑏

b) Résoudre alors dans

^ℝ l’équation cos (𝑥 +^𝜋

3) sin (𝑥 +^𝜋

6) +^1+√3

4 = 0

3.a) Vérifier que √3 + 2√2 = 1 + √2, et factoriser le polynôme 𝑝 (en produit de facteur premier)

𝑝(𝑥) = −4𝑥

²

+ 2(−1 + √2)𝑥 + √2

b. Déduire l’ensemble solution dans ]−𝜋, 𝜋] de l’inéquation 𝑝(𝑠𝑖𝑛𝑥) = 0

Exercice 8

(3)

1.Résoudre dans

]−𝜋, 𝜋] l’équation 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑥 =

^√6₂

2.Résoudre dans ]−𝜋, 𝜋] × ]0,2𝜋] les systèmes suivants :

{𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦 = 0

2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑦 = 3

{ 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝑠𝑖𝑛𝑦 =

¹₂

2𝑐𝑜𝑠𝑥 − 𝑠𝑖𝑛𝑦 = 1

3.Résoudre dans

]−𝜋, 𝜋] l’équation cos (𝑥 +

^𝜋₃

) = 𝑠𝑖𝑛𝑥 4.Résoudre dans]0,2𝜋] l’inéquation 𝑡𝑎𝑛

²

𝑥 − 3 ≥ 0

Examinateur : M.ALPHA

Objectifs visés : 100% Aux Examens Officiels Session 2021.