HAL Id: tel-01314414
https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-01314414
Submitted on 11 May 2016
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of
sci-entific research documents, whether they are
pub-lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
Reachability games with counters : decidability and
algorithms
Julien Reichert
To cite this version:
Julien Reichert. Reachability games with counters : decidability and algorithms. Computer Science
and Game Theory [cs.GT]. École normale supérieure de Cachan - ENS Cachan, 2015. English. �NNT :
2015DENS0034�. �tel-01314414�
❘❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ●❛♠❡s ✇✐t❤
❈♦✉♥t❡rs✿
❉❡❝✐❞❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❆❧❣♦r✐t❤♠s
❚❤ès❡ ❞❡ ❞♦❝t♦r❛t
♣rés❡♥té❡ ♣❛r
❏✉❧✐❡♥ ❘❡✐❝❤❡rt
à
❧✬
➱❝♦❧❡ ◆♦r♠❛❧❡ ❙✉♣ér✐❡✉r❡ ❞❡ ❈❛❝❤❛♥
❡♥ ✈✉❡ ❞❡ ❧✬♦❜t❡♥t✐♦♥ ❞✉ ❣r❛❞❡ ❞❡
❉♦❝t❡✉r ❡♥ ■♥❢♦r♠❛t✐q✉❡
❡t s♦✉t❡♥✉❡ à ❈❛❝❤❛♥ ❧❡ ✸✵ ❥✉✐❧❧❡t ✷✵✶✺ ❞❡✈❛♥t ❧❡ ❥✉r② ❝♦♠♣♦sé ❞❡ ✿
❇é❛tr✐❝❡ ❇ér❛r❞
Prés✐❞❡♥t❡ ❞✉ ❥✉r②
❉✐❡t♠❛r ❇❡r✇❛♥❣❡r
❉✐r❡❝t❡✉r ❞❡ t❤ès❡
❍✉❜❡rt ❈♦♠♦♥✲▲✉♥❞❤
❊①❛♠✐♥❛t❡✉r
❈❛t❛❧✐♥ ❉✐♠❛
❊①❛♠✐♥❛t❡✉r
▲❛✉r❡♥t ❉♦②❡♥
❉✐r❡❝t❡✉r ❞❡ t❤ès❡
❏érô♠❡ ▲❡r♦✉①
❘❛♣♣♦rt❡✉r
■❣♦r P♦t❛♣♦✈
❘❛♣♣♦rt❡✉r
▲❛❜♦r❛t♦✐r❡ ❙♣é❝✐❢✐❝❛t✐♦♥ ❡t ❱ér✐❢✐❝❛t✐♦♥ ✭▲❙❱✮ ❀ ➱❝♦❧❡ ◆♦r♠❛❧❡ ❙✉♣ér✐❡✉r❡ ❞❡ ❈❛❝❤❛♥ ✻✶✱ ❛✈❡♥✉❡ ❞✉ Prés✐❞❡♥t ❲✐❧s♦♥ ❀ ✾✹✷✸✺ ❈❆❈❍❆◆ ❈❡❞❡①✱ ❋r❛♥❝❡✷
❘❡♠❡r❝✐❡♠❡♥ts
➚ ❧✬❤❡✉r❡ ♦ù ❥❡ t❡r♠✐♥❡ ❧❛ ré❞❛❝t✐♦♥ ❞❡ ❝❡ ♠❛♥✉s❝r✐t✱ ✐❧ ♠❡ r❡✈✐❡♥t ✉♥❡ s❝è♥❡ ❞❛t❛♥t ❞✬❛✉t♦♠♥❡ ✷✵✵✺✱ ❛✉ ré❢❡❝t♦✐r❡ ❞✉ ❧②❝é❡ ❑❧é❜❡r✳ ❆❧♦rs q✉❡ ❥✬❛✈❛✐s ❥✉st❡ ❛♥♥♦♥❝é ♠❛ ✈♦❧♦♥té ❞❡ s✉✐✈r❡ ❧✬♦♣t✐♦♥ ✐♥❢♦r♠❛t✐q✉❡✱ ✉♥❡ ❝♦♥♥❛✐ss❛♥❝❡ ❡♥ ▼P ♠✬❛ ❛♥♥♦♥❝é q✉❡ ❧✬✐♥❢♦r♠❛t✐q✉❡ ♥❡ ❝♦♥s✐st❛✐t ♣❛s q✉✬à ♣r♦✲ ❣r❛♠♠❡r ❞❡s ❥❡✉① ✈✐❞é♦s✳ ▲♦✐♥ s✬❡♥ ❢❛❧❧✉t ❡✛❡❝t✐✈❡♠❡♥t✱ q✉♦✐q✉❡ ❧❛ ♣r♦❣r❛♠♠❛t✐♦♥ ❞❡ ❥❡✉① ♣rît ✉♥❡ ♣❛rt✐❡ ❞❡ ♠♦♥ t❡♠♣s ❧✐❜r❡ ❞✉r❛♥t ❧❡s ❛♥♥é❡s q✉✐ s✉✐✈✐r❡♥t✳ ❈❡ ♠ê♠❡ ♠♦t✱ ✓ ❥❡✉① ✔✱ ♥❡ ♣♦✉✈❛✐t q✉❡ ♠✬✐♥tr✐❣✉❡r✱ ❞❡ ♠ê♠❡ q✉❡ ❧❡ ✈♦❝❛❜✉❧❛✐r❡ q✉✐ ❧✉✐ ét❛✐t ❛ss♦❝✐é✱ ♥♦t❛♠♠❡♥t ❧❡s str❛té❣✐❡s✱ ❡t ❥❡ ♠❡ s✉✐s ✐♥s❝r✐t ❛✈❡❝ ❡♥t❤♦✉s✐❛s♠❡ ❛✉ ❝♦✉rs ❞✉ ▼P❘■ ❡♥ q✉❡st✐♦♥✱ ❛✜♥ ❞✬ét✉❞✐❡r ❧❛ t❤é♦r✐❡ ❞❡ ❝❡ q✉❡ ❥✬❛♣♣❧✐q✉❛✐s ❡♥ ♣r❛t✐q✉❡ ❞❡✈❛♥t ✉♥ ♣❧❛t❡❛✉ ♦✉ ❝❛rt❡s ❡♥ ♠❛✐♥✳ ❈✬❡st é❣❛❧❡♠❡♥t ❡♥ ♣ré♣❛ q✉✬♦♥ tr♦✉✈❡ ❧❛ s♦✉r❝❡ ❞❡ ♠❛ ✈♦❝❛t✐♦♥ ♣r✐♥❝✐♣❛❧❡✱ à s❛✈♦✐r ❧✬❡♥s❡✐✲ ❣♥❡♠❡♥t✳ P❡♥❞❛♥t t♦✉t❡ ♠❛ s❝♦❧❛r✐té✱ ❥✬❛✐ ❡✉ ❧❛ ❝❤❛♥❝❡ ❞✬❛✈♦✐r ré❣✉❧✐èr❡♠❡♥t ❞✬❡①❝❡❧❧❡♥ts ✐♥st✐t✉t❡✉rs ❡t ♣r♦❢❡ss❡✉rs✱ ❡♥ ❢❛✐t ❜✐❡♥ tr♦♣ ♣♦✉r q✉❡ ❥❡ ❧❡s ❝✐t❡ t♦✉s✱ ♠❛✐s ❥❡ ♠❡ ❞♦✐s ❞❡ ♣ré❝✐s❡r q✉❡ ❝❡ s♦♥t ❞❡✉① ♣r♦❢❡ss❡✉rs ❞✬❤✐st♦✐r❡✱ ❇❡r♥❛r❞ ❘♦❜✐♥ ❡t ❈❤r✐st✐❛♥ ❈r♦♣s❛❧✱ q✉✐ ♠✬♦♥t ♠♦♥tré q✉❡ ❧❛ tr❛♥s♠✐ss✐♦♥ ❞❡ ❝♦♥♥❛✐ss❛♥❝❡s ♣♦✉✈❛✐t êtr❡ ✉♥ ❧♦✐s✐r t❛♥t ♣♦✉r ❧✬❡♥s❡✐❣♥❛♥t q✉❡ ♣♦✉r ❧✬é❧è✈❡✳ ▼❛✐s r❡✈❡♥♦♥s ❡♥ ♣ré♣❛✳ ❏✬❛✐ ♣❛ssé ✉♥❡ ♣r❡♠✐èr❡ ❛♥♥é❡ ❢♦r♠✐❞❛❜❧❡✱ ❣râ❝❡ ❛✉① ❡♥❝♦✉r❛❣❡♠❡♥ts ❞❡ ❋ré❞ér✐❝ ❈✉✈❡❧❧✐❡r ❡t ❚❤✐❡rr② ▼❡②❡r✱ ❡t ❥❡ r❡♠❡r❝✐❡ ❝❡ ❞❡r♥✐❡r ♣♦✉r ❧❛ ❝♦♥✜❛♥❝❡ q✉✬✐❧ ♠✬❛ ❛❝❝♦r❞é❡✱ ❛❧♦rs ♠ê♠❡ q✉❡ ♠♦♥ ♥✐✈❡❛✉ ❡♥ s❝✐❡♥❝❡s ♣❤②s✐q✉❡s s✉❜✐ss❛✐t ✉♥ ❡✛♦♥❞r❡♠❡♥t ❞♦♥t ✐❧ ♥❡ s✬❡st à ❝❡ ❥♦✉r ♣❛s ❡♥❝♦r❡ r❡♠✐s ✭❥❡ ♣❛r❧❡ ❞❡ ♠♦♥ ♥✐✈❡❛✉✮✱ ❡♥ ♠❡ ♣❡r♠❡tt❛♥t ❞❡ ♣❛ss❡r ❡♥ ▼P∗✱ ♦ù ❥✬❛✐ été ❝♦♥t❛♠✐♥é ♣❛r ❝❡ q✉✐ s❡♠❜❧❡ êtr❡ ❝♦♥♥✉ s♦✉s ❧❡ ♥♦♠ ❞✉ s②♥❞rô♠❡ ❞❡ ✓ ❥❡ ✈❡✉① ❢❛✐r❡ ❧✬❊◆❙ ❡♥ ✐♥❢♦ ✔✳ ❈❡tt❡ ✐♥té❣r❛t✐♦♥ à ❧✬❊◆❙✱ s✉r ✉♥❡ s♦♠❜r❡ ❤✐st♦✐r❡ ❞❡ ♠✐♥✐♠❛ ❧♦❝❛✉① ❞❛♥s ✉♥❡ ♠❛tr✐❝❡✱ ♠✬❛ ♣❡r♠✐s ❞✬❛♣♣r❡♥❞r❡ ❧✬✐♥❢♦r✲ ♠❛t✐q✉❡ ❞✬✉♥❡ ♣❛rt✱ ♠❛✐s s✉rt♦✉t ❞❡ ♣❛ss❡r ❧✬❛❣ré❣❛t✐♦♥ ❞✬❛✉tr❡ ♣❛rt✱ t♦✉❥♦✉rs ❞❛♥s ❞❡s ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ✐❞é❛❧❡s✳ ▼❡s r❡♠❡r❝✐❡♠❡♥ts ✈♦♥t à ❧✬éq✉✐♣❡ ♣é❞❛❣♦❣✐q✉❡ ❞✉ ❞é♣❛rt❡♠❡♥t ✐♥❢♦r♠❛t✐q✉❡ ❞❡ ❧✬é❝♦❧❡✱ ♥♦t❛♠♠❡♥t à ♠♦♥ t✉t❡✉r ❚❤♦♠❛s ❈❤❛t❛✐♥ ❝♦♥❝❡r♥❛♥t ❧❡ ❝✉rs✉s ❡t ❡♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r ❧❛ r❡❝❤❡r❝❤❡ ❞❡ st❛❣❡s✱ ❛✐♥s✐ q✉✬à ❈❧❛✉❞✐♥❡ P✐❝❛r♦♥♥② ❝♦♥❝❡r♥❛♥t ❧❛ ♣ré♣❛r❛t✐♦♥ à ❧✬❛❣ré❣❛t✐♦♥✳ ❏✬❛❥♦✉t❡ ✉♥❡ ♠❡♥t✐♦♥ ❞❡ ❞❡r♥✐èr❡ ♠✐♥✉t❡ ♣♦✉r ❙❡r❣❡ ❆❜✐t❡❜♦✉❧✱ ❣râ❝❡ à q✉✐ ❥✬❛✐ ♣✉ ♣r❡♥❞r❡ ❝♦♥t❛❝t ❛✈❡❝ ❞❡ ♥♦♠❜r❡✉① ♣r♦❢❡ss❡✉rs ❜✐❡♥✈❡✐❧❧❛♥ts ❡♥ ✈✉❡ ❞❡ ♠❡ ♣ré♣❛r❡r ♣♦✉r ♠♦♥ ❢✉t✉r ♣♦st❡ ❞✬❡♥s❡✐❣♥❡♠❡♥t q✉❡ ❥✬❛✐ ❧✬❤♦♥♥❡✉r ❡t ❧❛ ❥♦✐❡ ❞❡ ♣r❡♥❞r❡ à ❧❛ r❡♥tré❡✳ P✉✐sq✉❡ ❥❡ ♠✬ét❛✐s ♠✐s ❡♥ têt❡ ❞ès ♠♦♥ ❛rr✐✈é❡ à ❧✬é❝♦❧❡ q✉❡ ❥❡ ✈♦✉❧❛✐s ❡♥s❡✐❣♥❡r✱ ❥✬❛✐ ❝❡rt❡s ❢❛✐t ♣❡✉ ❞❡ ❝❛s ❞❡ ❧✬♦✉✈❡rt✉r❡ ❛✉ ♠♦♥❞❡ ❞❡ ❧❛ r❡❝❤❡r❝❤❡ q✉✐ ♠✬ét❛✐t ♣r♦♣♦sé❡✳ ❈❡♣❡♥❞❛♥t✱ ❛✈❛♥t ❧❡ ❞é❜✉t ❞❡ ♠❛ t❤ès❡✱ ❞❡ ♥♦♠❜r❡✉s❡s ♣❡rs♦♥♥❡s ♠✬♦♥t ♣❡r♠✐s ❞❡ ✈♦✐r q✉❡ ❝❡ ♠♦♥❞❡✲❧à ét❛✐t t♦✉t ❛✉ss✐ ❡♥r✐❝❤✐ss❛♥t q✉❡ ❝❡❧✉✐ ❞❛♥s ❧❡q✉❡❧ ❥❡ s✉✐s ❡♥tré ❡♥ s❡♣t❡♠❜r❡ ✷✵✶✹✳ ■❧ s✬❛❣✐t t♦✉t ❞✬❛❜♦r❞ ❞❡s éq✉✐♣❡s ✧▲♦❣✐❦ ✉♥❞ ❚❤❡♦r✐❡ ❞✐s❦r❡t❡r ❙②st❡♠❡✧ ❡t ✧▼❛t❤❡♠❛t✐s❝❤❡ ●r✉♥❞✲ ❧❛❣❡♥ ❞❡r ■♥❢♦r♠❛t✐❦✧ ❞❡ ❧✬✉♥✐✈❡rs✐té ❞✬❆✐①✲❧❛✲❈❤❛♣❡❧❧❡✱ ♦ù ❥✬❛✐ ❢❛✐t ✉♥ st❛❣❡ ❝♦✉rt ❡♥ ❥✉✐♥ ❡t ❥✉✐❧❧❡t ✷✵✵✽✳ ❉❛♥❦❡ s❡❤r ❛♥ ❊r✐❝❤ ●rä❞❡❧✱ ♠✐t ❞❡r ❍✐❧❢❡ ✈♦♥ ❾✉❦❛s③ ❑❛✐s❡r ❢ür ♠❡✐♥ ❡rst❡s Pr❛❦t✐❦✉♠✱ ❞❛s ✐❝❤ ✐♥ ❣❛♥③ ❣✉t❡♥ ❇❡❞✐♥❣✉♥❣❡♥ ✈❡r❜r❛❝❤t ❤❛❜❡✳ ❱✐❡❧❡♥ ❉❛♥❦ ❛✉❝❤ ❛♥ ❲♦❧❢❣❛♥❣ ❚❤♦♠❛s ✉♥❞ ❛♥ ❜❡✐❞❡♥ ❚❡❛♠❡♥ ❢ür ❛❧❧❡ ✐♥t❡r❡ss❛♥t❡ ●❡s♣rä❝❤❡✳ ▲✬❛♥♥é❡ s✉✐✈❛♥t❡✱ ❝✬ét❛✐t ♣❧✉s q✉✬✉♥ ♣r❡♠✐❡r ❝♦♥t❛❝t q✉✐ ♠✬❛tt❡♥❞❛✐t✱ ❛✉ ❝♦✉rs ❞❡ ♠♦♥ st❛❣❡ ❞❡ ▼✶ à ❇r✉①❡❧❧❡s✳ ❏✬❛✐ été ❛❝❝✉❡✐❧❧✐ ❞❛♥s ✉♥❡ éq✉✐♣❡ ❞②♥❛♠✐q✉❡ ❡t ❡♥❝❛❞ré ♣❛r ❏❡❛♥✲❋r❛♥ç♦✐s ❘❛s✲ ❦✐♥✱ ❛✐♥s✐ q✉❡ ●✐❧❧❡s ●❡❡r❛❡rts✳ ❈❡ ❢✉t ♣♦✉r ♠♦✐ ✉♥❡ ♦❝❝❛s✐♦♥ ❞❡ ♣❧✉s ❞❡ ❝ôt♦②❡r ❞❡s ❝❤❡r❝❤❡✉rs s②♠♣❛t❤✐q✉❡s ❡t ✐♥tér❡ss❛♥ts✱ ♣♦✉r ♥❡ ❝✐t❡r q✉❡ ❊♠♠❛♥✉❡❧✱ ◆❛✐②♦♥❣✱ ◆✐❝♦❧❛s✱ ❘❛✛❛❡❧❧❛✱ ❚❤✐❡rr② ❡t ❚r✐st❛♥✱ ❞♦♥t ❜❡❛✉❝♦✉♣ q✉❡ ❥✬❛✐ ❡✉ ❧❛ ❝❤❛♥❝❡ ❞❡ ❝r♦✐s❡r à ♥♦✉✈❡❛✉ ♣❛r ❧❛ s✉✐t❡✳ ■❧ ♠❛♥q✉❡ à ❝❡s ❞❡✉① ♣❛r❛❣r❛♣❤❡s ❞❡✉① ♥♦♠s✱ ❝❡✉① ❞❡ ♠❡s ❞✐r❡❝t❡✉rs ❞❡ t❤ès❡✱ ❉✐❡t♠❛r ❇❡r✲✸ ✇❛♥❣❡r ❡t ▲❛✉r❡♥t ❉♦②❡♥✱ r❡♥❝♦♥trés r❡s♣❡❝t✐✈❡♠❡♥t à ❆✐①✲❧❛✲❈❤❛♣❡❧❧❡ ❡t ❇r✉①❡❧❧❡s ❡t ❛rr✐✈és ❛✉ ▲❙❱ ❡♥tr❡✲t❡♠♣s✳ ❏❡ s♦✉❤❛✐t❡ ❡①♣r✐♠❡r ✐❝✐ t♦✉t❡ ♠❛ ❣r❛t✐t✉❞❡ ♣♦✉r ♠✬❛✈♦✐r ♣❡r♠✐s ❞❡ ❢❛✐r❡ ✉♥❡ t❤ès❡ s✉r ✉♥❡ ❞♦✉❜❧❡ t❤é♠❛t✐q✉❡✱ ❧❡s ❞♦♠❛✐♥❡s q✉✐ ♠✬❛✈❛✐❡♥t ❧❡ ♣❧✉s ✐♥tér❡ssé ♣❛r♠✐ ♠❡s ❝♦✉rs ❞❡ ▼✷✱ ❞❛♥s ✉♥ ❧✐❡✉ ❛❣ré❛❜❧❡✱ ❛✈❡❝ ❡t ❛✉ ❝ôté ❞❡ ♣❡rs♦♥♥❡s q✉❡ ❥❡ ❝♦♥♥❛✐ss❛✐s ❡t q✉❡ ❥✬❛♣♣ré❝✐❛✐s✳ ❏❡ r❡t✐❡♥❞r❛✐ ♥♦t❛♠♠❡♥t q✉❡ ❥✬❛✐ ❛♣♣r✐s ❡♥ tr♦✐s ❛♥s ❞❡s ❝❤♦s❡s q✉❡ ❥❡ ♥❡ ♠✬❛tt❡♥❞❛✐s ♣❛s à ❛♣♣r❡♥❞r❡ ✐❝✐✱ ♥♦t❛♠♠❡♥t ❡♥ ❝❡ q✉✐ ❝♦♥❝❡r♥❡ ❧❛ ❢❛ç♦♥ ❞❡ ♣rés❡♥t❡r ❞❡s rés✉❧t❛ts ❞❡ r❡❝❤❡r❝❤❡✱ q✉✐ s✬❛♣♣❛r❡♥t❡ à ❧❛ ♣é❞❛❣♦❣✐❡ ❡t q✉✐ ♠❡ ❢❛✐s❛✐t ✈✐s✐❜❧❡♠❡♥t ❧❡ ♣❧✉s ❞é❢❛✉t✳ ■❧ ❛ ❢❛❧❧✉ ❞❡ ❧❛ ♣❛t✐❡♥❝❡ ♣♦✉r ♠✬❛✐❞❡r à ♣❛ss❡r ❞❡ ❧❛ ❝♦♣✐❡ ❞✬❡①❛♠❡♥ à ✉♥ t❡①t❡ ❝❡♥sé ❢❛✐r❡ ♦✣❝❡ ❞❡ ré❢ér❡♥❝❡ ♣♦✉r ❞❡ ❢✉t✉rs tr❛✈❛✉①✱ ❡t ♠❡ ❞é❢❛✐r❡ ❞❡s é❝✉❡✐❧s ❝♦✉r❛♥ts q✉❡ ❥❡ ♥❡ ♠❛♥q✉❛✐s ♣❛s ❞❡ r❡♣r♦❞✉✐r❡✱ ♣❛r❛❣r❛♣❤❡ ❛♣rès ♣❛r❛❣r❛♣❤❡✱ ✈❡rs✐♦♥ ❛♣rès ✈❡rs✐♦♥✱ ❞❛♥s ♠❡s t❡①t❡s✳ ❊♥ ♦✉tr❡✱ êtr❡ ✉♥ ❜♦♥ ❝❤❡r❝❤❡✉r✱ ❝❡ ♥✬❡st ♣❛s q✉❡ tr♦✉✈❡r ❧❡s ré♣♦♥s❡s✱ ❢✉ss❡♥t✲❡❧❧❡s ♣❛rt✐❡❧❧❡s✱ ♠❛✐s ❛✉ss✐ tr♦✉✈❡r ❧❡s q✉❡st✐♦♥s✱ ❡t ❝❡❝✐ r❡st❡r❛ ♠♦♥ ♣♦✐♥t ❢❛✐❜❧❡ ❛✉ ♠♦♠❡♥t ♦ù ❝❡tt❡ ❜r❛♥❝❤❡ ❞❡ ❝❛rr✐èr❡ s✬❛rrêt❡✳ ■ ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ ❡①♣r❡ss s♣❡❝✐❛❧ t❤❛♥❦s t♦ ❏érô♠❡ ▲❡r♦✉① ❛♥❞ ■❣♦r P♦t❛♣♦✈ ❢♦r t❤❡✐r r❡✈✐❡✇ ✇♦r❦ ♦♥ ♠② t❤❡s✐s✱ ❛♥❞ ❛❧s♦ ❢♦r t❤❡ ♥✐❝❡ t✐♠❡ ■ ❤❛❞ ❛t t❤❡ ❘P ❝♦♥❢❡r❡♥❝❡s✳ ❆❧s♦ ♠❛♥② t❤❛♥❦s t♦ ❇é❛tr✐❝❡ ❇ér❛r❞✱ ❍✉❜❡rt ❈♦♠♦♥ ❛♥❞ ❈❛t❛❧✐♥ ❉✐♠❛ ❢♦r t❤❡✐r ♣❛rt✐❝✐♣❛t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❥✉r②✳ ❏❡ r❡♠❡r❝✐❡ ❡♥❝♦r❡ ♠♦♥ ❡♥t♦✉r❛❣❡ ❛✉ ▲❙❱✱ ❛✈❡❝ ✉♥❡ ♠❡♥t✐♦♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐èr❡ ❛✉① ❧♦❝❛t❛✐r❡s ❞✉ q✉❛tr✐è♠❡ ét❛❣❡✱ ♥♦t❛♠♠❡♥t ❝❡✉① ❞♦♥t ❥✬❛✐ t❡♠♣♦r❛✐r❡♠❡♥t ♣❛rt❛❣é ❧❡ ❜✉r❡❛✉ ✿ ❆❧❜❛♥✱ ❙❛♥❞✐❡✱ ❙③②♠♦♥✱ ❍❡r♥á♥✱ ●♦♥③❛❧♦✱ ▲♦ï❣✱ ❙✐♠♦♥ ❡t ●❡♦r❣✐♦s✳ ■ ❛❧s♦ t❤❛♥❦ ❆r❥✉♥✱ ✇❤♦ ✇♦r❦❡❞ ✇✐t❤ ♠❡ ♦♥ ♠② ✜rst ❛rt✐❝❧❡ ❛♥❞ ✇❤♦♠ ■ ❤♦♣❡ t♦ s❡❡ ❛❣❛✐♥✱ ❛s ✇❡❧❧ ❛s ▼❛r✐❡ ❛♥❞ ❆♥✉♣✱ ✇❤♦ ✇♦r❦❡❞ ✇✐t❤ ♠② ♦♥ ♠② ❧❛st ♣r♦♦❢s✳ ❉❛♥❦❡ ❛♥ ❛❧❧❡ ❞❡✉ts❝❤❡ ❋♦rs❝❤❡r✱ ❛❜❡r ❛✉❝❤ ✉♥❞ ü❜❡r❤❛✉♣t ❙❦❛t❢r❡✉♥❞❡ ✿ ❈❤r✐st♦♣❤✱ ❏❛♥❛ ✉♥❞ ❙t❡❢❛♥✳ ❏✬❛✐ ❡✉ ❜❡❛✉❝♦✉♣ ❞❡ ♣❧❛✐s✐r à ❢❛✐r❡ ♠♦♥ ♠♦♥✐t♦r❛t à ❧✬❊◆❙✱ ♣r✐♥❝✐♣❛❧❡♠❡♥t ♣♦✉r ❧❡s é❧è✈❡s ❞❡ ♣r❡♠✐èr❡ ❛♥♥é❡ ❞✉ ❞é♣❛rt❡♠❡♥t ✐♥❢♦r♠❛t✐q✉❡✱ ❡t ❥✬❡s♣èr❡ q✉❡ ❝❡ ♣❧❛✐s✐r ét❛✐t ♣❛rt❛❣é✳ ❏❡ s♦✉❤❛✐t❡r❛✐s ♥♦♠♠❡r ❞❡s é❧è✈❡s ❞❡ ❧❛ ♣r❡♠✐èr❡ ❤❡✉r❡✱ ❛✈❡❝ q✉✐ ❥✬❛✐ ❣❛r❞é ❞❡ ❜♦♥s ❝♦♥t❛❝ts ✿ ❨❛♥♥ ❡t ❈❧é♠❡♥t✱ ❝❡ ❞❡r♥✐❡r ♠✬❛②❛♥t ♣♦✉ssé ❞❛♥s ♠❡s ❞❡r♥✐❡rs r❡tr❛♥❝❤❡♠❡♥ts ❡♥ ❝❡ q✉✐ ❝♦♥❝❡r♥❡ ❧❡ ❜❡s♦✐♥ ❞✬êtr❡ t♦t❛❧❡♠❡♥t r✐❣♦✉r❡✉①✱ ❝❡ q✉✐ ❢❛✐t q✉✬✐❧ ❡st ❞❡✈❡♥✉ ❜✐❡♥ ♣❧✉s ❞✐✣❝✐❧❡ ❞❡ ♠❡ ♣r❡♥❞r❡ ❛✉ ❞é♣♦✉r✈✉ ❣râ❝❡ à ❧✉✐✳ ❈❡s tr♦✐s ❛♥♥é❡s ♦♥t ❛✉ss✐ ♣❛ssé à ✉♥❡ ✈✐t❡ss❡ ❡①❝❡♣t✐♦♥♥❡❧❧❡ ❣râ❝❡ ❛✉① tr♦✐s ❝❧✉❜s q✉✐ ♦♥t ♣✉ ❝♦♠♣t❡r s✉r ♠♦♥ ❛ss✐❞✉✐té ✿ ❜r✐❞❣❡✱ s❦❛t ❡t ♦♣ér❛✳ ❆✉t❛♥t ❞❡ s♦✉r❝❡s ❞❡ ❜♦♥s ♠♦♠❡♥ts✱ ❝♦♠♣❧étés ♣❛r ❞❡s s♦✐ré❡s ♣❛ssé❡s à ❥♦✉❡r ♦✉ à ❞✐s❝✉t❡r ❞❡ ❝❤♦s❡s ❡t ❞✬❛✉tr❡s✱ ❛✈❡❝ q✉❛tr❡ ♣❡rs♦♥♥❡s q✉❡ ❥❡ ❝✐t❡r❛✐s ❡♥tr❡ t♦✉s ✿ ➱r✐❝✱ ▼❛r✐❡✲❈❧é♠❡♥t✐♥❡✱ ▼✐❝❤❛ë❧ ❡t ❙②❧✈❛✐♥✳ ❏❡ ❝♦♥❝❧✉s ❝❡s r❡♠❡r❝✐❡♠❡♥ts ❡♥ ❧❡s ❛❞r❡ss❛♥t ❛✉① ♣❡rs♦♥♥❡s q✉✐ ♠❡ s♦♥t ❧❡ ♣❧✉s ❝❤èr❡s ✿ ♠❡s ♣❛r❡♥ts ❡t ♠❡s ❣r❛♥❞s✲♣❛r❡♥ts✱ q✉✐ ♥✬♦♥t ❥❛♠❛✐s ❝❡ssé ❞❡ ♠❡ s♦✉t❡♥✐r t♦✉t ❛✉ ❧♦♥❣ ❞❡ ♠❛ s❝♦❧❛r✐té ❡t q✉✐ ❝♦♥t✐♥✉❡r♦♥t ❛❧♦rs ♠ê♠❡ q✉❡ ❝❡❧❧❡✲❝✐ s✬❛❝❤è✈❡✳
❆❜str❛❝t
■♥ t❤✐s t❤❡s✐s✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ✇✐♥♥❡r ✐♥ ✈❛r✐♦✉s ♠♦❞❡❧s ♦❢ r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ❣❛♠❡s ♣❧❛②❡❞ ♦♥ ❝♦✉♥t❡r s②st❡♠s✳ ❆ ❣❛♠❡ ♦♥ ❛ ❣r❛♣❤ ✐s ♣❧❛②❡❞ ❜② t✇♦ ♣❧❛②❡rs✱ ✇❤♦ ♦✇♥ st❛t❡s✳ ❉✉r✐♥❣ ❛ ♣❧❛②✱ t❤❡ ♣❧❛②❡rs ❝r❡❛t❡ ❛ r✉♥ ♦♥ t❤❡ s②st❡♠ ❜② ♠♦✈✐♥❣ ❛ t♦❦❡♥ ❜❡t✇❡❡♥ st❛t❡s ❛❧♦♥❣ tr❛♥✲ s✐t✐♦♥s✱ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ❜❡✐♥❣ ♠❛❞❡ ❜② t❤❡ ♦✇♥❡r ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ✇❤❡r❡ t❤❡ t♦❦❡♥ ✐s✳ ❲❤❡♥ t❤❡ ❣❛♠❡ ✐s ♣❧❛②❡❞ ♦♥ ❛ ❝♦✉♥t❡r s②st❡♠ ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ d✱ tr❛♥s✐t✐♦♥s ✉♣❞❛t❡ ❛ ✈❡❝t♦r ♦❢ d ❝♦✉♥t❡rs✱ ✉s✉❛❧❧② ❜② ❝♦♠♣♦♥❡♥t✇✐s❡ ❛❞❞✐t✐♦♥s✳ ❈♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s ✐♥ ❛ ❝♦✉♥t❡r s②st❡♠ ❛r❡ ♣❛✐rs ❝♦♠♣♦s❡❞ ♦❢ ❛ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠ ❛♥❞ ❛ ❝♦✉♥t❡r ✈❡❝t♦r✳ ■♥ r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ❣❛♠❡s ♦♥ ❝♦✉♥t❡r s②st❡♠s✱ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ♦❢ t❤❡ ✜rst ♣❧❛②❡r ✐s t♦ r❡❛❝❤ ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥✳ ❚❤❡ ❞❡❝✐s✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ✇✐t❤ ❛ r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ❣❛♠❡ ✐s ✇❤❡t❤❡r t❤❡ ✜rst ♣❧❛②❡r ❤❛s ❛ ✇✐♥♥✐♥❣ str❛t❡❣② ❢♦r t❤❡ ❣❛♠❡ ❢r♦♠ ❛ ❣✐✈❡♥ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥✱ ✐♥ ♦t❤❡r ✇♦r❞s ✇❤❡t❤❡r t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ✐s ✇✐♥♥✐♥❣✳ ❲❤❡♥ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡✱ ✇❡ ✇♦♥❞❡r ✇❤❡t❤❡r ✐t ✐s ♣♦ss✐❜❧❡ t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ✇✐♥♥✐♥❣ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s✳ ❲❡ st✉❞② ✈❛r✐♦✉s ♠♦❞❡❧s ♦❢ ❝♦✉♥t❡r r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ❣❛♠❡s ❛♥❞ t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ❞✐✛❡r❡♥❝❡s ❜❡t✇❡❡♥ ♠♦❞❡❧s ♦♥ ❞❡❝✐❞❛❜✐❧✐t② ♦r ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠s t❤❛t ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r✳ ❚❤❡ ♠❛✐♥ ♣❛rt ♦❢ ♦✉r st✉❞② ❢♦❧❧♦✇s t✇♦ ❞✐r❡❝t✐♦♥s✿ ♦♥ t❤❡ ♦♥❡ ❤❛♥❞✱ ✇❡ ❝♦♠♣❛r❡ ♠♦❞❡❧s t❤❛t ❞✐✛❡r r❡❣❛r❞✐♥❣ t❤❡✐r s❡♠❛♥t✐❝s✱ ❛♥❞ ♦♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛ st❛t❡❧❡ss ♠♦❞❡❧ ♦❢ ❝♦✉♥t❡r s②st❡♠s✳ ❆❜♦✉t t❤❡ ✜rst ❞✐r❡❝t✐♦♥✱ t❤❡ s❡♠❛♥t✐❝s ♦❢ ♦✉r s②st❡♠s ❞✐✛❡r r❡❣❛r❞✐♥❣ ✇❤❛t ❤❛♣♣❡♥s ✇❤❡♥ ❛ ❝♦✉♥t❡r s❤♦✉❧❞ ❜❡❝♦♠❡ ♥❡❣❛t✐✈❡✳ ❲❡ ❢♦❝✉s ♣r✐♠❛r✐❧② ♦♥ t❤r❡❡ s❡♠❛♥t✐❝s✱ t❤❡ ✜rst t✇♦ ❜❡✐♥❣ st❛♥❞❛r❞✿ ■♥ ✈❡❝t♦r ❛❞❞✐t✐♦♥ s②st❡♠s ✇✐t❤ st❛t❡s ✭❱❆❙❙✮✱ ♦r ❡q✉✐✈❛❧❡♥t❧② ✉♥❞❡r t❤❡ ✏❱❆❙❙ s❡♠❛♥t✐❝s✑✱ ❛ tr❛♥s✐t✐♦♥ t❤❛t s❤♦✉❧❞ ♠❛❦❡ ❛ ❝♦✉♥t❡r ❜❡❝♦♠❡ ♥❡❣❛t✐✈❡ ✐s ❞❡❛❝t✐✈❛t❡❞✱ s♦ ❛❧❧ ❝♦✉♥t❡rs ❛r❡ ♥♦♥♥❡❣❛t✐✈❡ ✐♥t❡❣❡rs ❛❧❧ ❛❧♦♥❣ t❤❡ ♣❧❛②❀ t❤❡ s❡♠❛♥t✐❝s t❤❛t ✇❡ ❝❛❧❧ ✏Z s❡♠❛♥t✐❝s✑ ❛❧❧♦✇s ❛♥② ✐♥t❡❣❡r ✈❛❧✉❡ ❢♦r ❛❧❧ ❝♦✉♥t❡rs❀ ❛ t❤✐r❞ s❡♠❛♥t✐❝s✱ t❤❡ ✏♥♦♥✲❜❧♦❝❦✐♥❣ ❱❆❙❙ s❡♠❛♥t✐❝s✑✱ ❝♦♥s✐sts ♦❢ ❧❡tt✐♥❣ ❛❧❧ tr❛♥s✐t✐♦♥s ❛❝t✐✈❡✱ ②❡t r❡♣❧❛❝✐♥❣ ❛t ❡❛❝❤ st❡♣ ❛♥② ♥❡❣❛t✐✈❡ ✈❛❧✉❡ ❜② ③❡r♦✳ ❆❜♦✉t t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❞✐r❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ st✉❞② ❛ ♠♦❞❡❧ ❝❛❧❧❡❞ ✏r♦❜♦t ❣❛♠❡s✑✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ s②st❡♠ ❤❛s ❡①❛❝t❧② ♦♥❡ st❛t❡ ♣❡r ♣❧❛②❡r ❛♥❞ t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ s❡❧❢✲❧♦♦♣s✳ ■♥ s♦♠❡ s❡♥s❡✱ ✇❡ ❛❜str❛❝t ❢r♦♠ t❤❡ st❛t❡ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❢♦❝✉s ♦♥ t❤❡ ❝♦✉♥t❡rs ❛♥❞ ♦♥ t❤❡✐r ❡✈♦❧✉t✐♦♥✳ ❆❝❝♦r❞✐♥❣❧②✱ ✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦♥❡✱ st✉❞②✐♥❣ r♦❜♦t ❣❛♠❡s ✐♥✈♦❧✈❡s ✈❛r✐♦✉s r❡s✉❧ts ❛❜♦✉t ♠♦❞✉❧❛r ❛r✐t❤♠❡t✐❝✱ ♦♥ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❜❛s❡ ♠♦st str❛t❡❣✐❡s t❤❛t ✇❡ ❜✉✐❧❞✳ ❖✉r ♠♦t✐✈❛t✐♦♥ ❢♦r r♦❜♦t ❣❛♠❡s ✐s t♦ ❤❛✈❡ ❛ ♠♦❞❡❧ ♦❢ ❝♦✉♥t❡r r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ❣❛♠❡s ✇❤❡r❡ ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ✇✐♥♥❡r ✐s ❡❛s✐❡r t❤❛♥ ✐♥ t❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❝❛s❡✳ ■♥ ♦♥❡ ♦❢ ♦✉r ♦t❤❡r ♠♦❞❡❧s✱ ✇❡ ❛❧❧♦✇ ✉♣❞❛t❡s t❤❛t ❛r❡ r❡s❡ts ♦❢ t❤❡ ❝♦✉♥t❡rs ❛❧♦♥❣ t❤❡ tr❛♥s✐t✐♦♥s✱ ❛♥❞ ♠♦r❡ ❣❡♥❡r❛❧❧② ✉♣❞❛t❡s ❞❡✜♥❡❞ ❜② ❝♦♠♣♦♥❡♥t✇✐s❡ ❛✣♥❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s✳ ❲❡ ❛❧s♦ st✉❞② s②st❡♠s✱ ♥❛♠❡❞ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❝♦✉♥t❡r s②st❡♠s✱ ♦♥ ✇❤✐❝❤ ❛♥② ✉♣❞❛t❡ ♦❢ t❤❡ it❤ ❝♦✉♥t❡r r❡q✉✐r❡s t❤❛t t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ❛❧❧ ❝♦✉♥t❡rs ❢r♦♠ 1 t♦ i − 1 ✐s ③❡r♦✳ ❙✉❝❤ ❛ r❡str✐❝t✐♦♥ ✐s ❛❞❞❡❞ t♦ t❤❡ s❡♠❛♥t✐❝s ❛♥❞ ❣✐✈❡s t❤r❡❡ ♥❡✇ s❡♠❛♥t✐❝s✳ ✺✻ ❆❇❙❚❘❆❈❚ ❖✉r ♠❛✐♥ r❡s✉❧ts r❡❣❛r❞✐♥❣ s❡♠❛♥t✐❝s ❛r❡ ♠✉t✉❛❧ r❡❞✉❝t✐♦♥s ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❞❡❝✐s✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s ✉♥❞❡r ♦✉r t❤r❡❡ ♠❛✐♥ s❡♠❛♥t✐❝s✳ ❍❡♥❝❡✱ ✇❡ ❡①t❡♥❞ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦r ✉♥❞❡❝✐❞❛❜✐❧✐t② r❡s✉❧ts ♦❢ ❬❇❏❑✶✵❪✱ ✇❤❡r❡ ❣❛♠❡s ❛r❡ ♣❧❛②❡❞ ♦♥ ❱❆❙❙✱ t♦ ♦t❤❡r s❡♠❛♥t✐❝s✳ ❯♥❞❡r t❤❡ ♥♦♥✲❜❧♦❝❦✐♥❣ ❱❆❙❙ s❡♠❛♥t✐❝s✱ ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❝❛s❡ ❤❛s ❛ ❧♦✇❡r ❝♦♠♣❧❡①✐t② ✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦♥❡✿ ✇❤❡♥ t❤❡ ❝♦✉♥t❡r ✈❛❧✉❡ ✐♥ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ✐s 0✳ ❉❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ✇✐♥♥❡r ✐s t❤❡♥ P✲❝♦♠♣❧❡t❡ ✇✐t❤ ❛ ✉♥❛r② ❡♥❝♦❞✐♥❣ ✐♥st❡❛❞ ♦❢ P❙P❆❈❊✲❝♦♠♣❧❡t❡ ✇✐t❤ ❛ ✉♥❛r② ❡♥❝♦❞✐♥❣ ✇❤❡♥ t❤❡ ❝♦✉♥t❡r ✈❛❧✉❡ ✐s ❛ ♣♦s✐t✐✈❡ ✐♥t❡❣❡r✳ ❖✉r ♠❛✐♥ r❡s✉❧ts ♦♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ♦❢ r♦❜♦t ❣❛♠❡s✱ ❛r❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✳ ❋♦r ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦♥❡✱ ✇❡ ❞❡s❝r✐❜❡ ❛♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✇✐t❤ ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t②✱ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❛ r❡❞✉❝t✐♦♥ t❤❛t ✇❡ ♠❛❦❡ ❢r♦♠ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ✇✐♥♥❡r ♦❢ ❛ ❝♦✉♥t❞♦✇♥ ❣❛♠❡✱ ❛ ♠♦❞❡❧ ♦❢ ❝♦✉♥t❡r r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ❣❛♠❡s ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❬❏▲❙✵✼❪✳ ❆s ❛ ❝♦♥s❡q✉❡♥❝❡✱ ✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦♥❡✱ ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ✇✐♥♥❡r ♦❢ ❛ r♦❜♦t ❣❛♠❡ ❤❛s ❛ ❧♦✇❡r ❝♦♠♣❧❡①✐t② t❤❛♥ ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ✇✐♥♥❡r ♦❢ r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ❣❛♠❡s ♦♥ ❝♦✉♥t❡r s②st❡♠s✳ ❲❡ ❛❧s♦ ♣r♦✈❡ t❤❛t r♦❜♦t ❣❛♠❡s ❛r❡ ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡ ✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ t❤r❡❡✱ ❛♥❞ ✇❡ ❧❡❛✈❡ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ t✇♦ ❛s ❛♥ ♦♣❡♥ ♣r♦❜❧❡♠✳ ❋♦r ❞✐♠❡♥s✐♦♥ t✇♦✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ✇r✐tt❡♥ ❛ ❣r❛♣❤✐❝❛❧ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛t✐♦♥ ♦❢ ❛ st❡♣✇✐s❡ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✇✐♥♥✐♥❣ s❡t t♦ ❣❡t ❛♥ ✐♥s✐❣❤t ♦❢ t❤❡ s❤❛♣❡ t❤❛t t❤✐s ✇✐♥♥✐♥❣ s❡t ♠❛② ❤❛✈❡✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ♠♦❞❡❧s t❤❛t ✇❡ st✉❞②✱ ✇❡ ♣r♦✈❡ t❤❛t✿ ✭✐✮ ❛❧❧♦✇✐♥❣ ❝♦✉♥t❡r r❡s❡ts ❞♦❡s ♥♦t ❛✛❡❝t t❤❡ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤❡ ❞❡❝✐s✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦♥❡✱ ✭✐✐✮ ❛❧❧♦✇✐♥❣ ❛✣♥❡ ✉♣❞❛t❡s ♠❛❦❡s t❤❡ ❞❡❝✐s✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡ ✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ t✇♦✱ ❡✈❡♥ ✐♥ t❤❡ ♦♥❡✲♣❧❛②❡r ❝❛s❡✱ ❛♥❞ ✭✐✐✐✮ t❤❡ ❞❡❝✐s✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ♦♥ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❝♦✉♥t❡r s②st❡♠s ✐s ✐♥ ◆P ❢♦r ❛♥② ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ♦♥❡✲♣❧❛②❡r ❝❛s❡✳
❘és✉♠é
❉❛♥s ❝❡tt❡ t❤ès❡✱ ♥♦✉s ❝♦♥s✐❞ér♦♥s ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❝♦♥s✐st❛♥t à ❞ét❡r♠✐♥❡r ❧❡ ✈❛✐♥q✉❡✉r ❞❡ ❞✐✛ér❡♥ts ♠♦❞è❧❡s ❞❡ ❥❡✉① ❞✬❛❝❝❡ss✐❜✐❧✐té s✉r ❞❡s s②stè♠❡s à ❝♦♠♣t❡✉rs✳ ❯♥ ❥❡✉ s✉r ✉♥ ❣r❛♣❤❡ ❡st ❥♦✉é ♣❛r ❞❡✉① ❥♦✉❡✉rs à q✉✐ ❧❡s ét❛ts ❞✉ s②stè♠❡ ❛♣♣❛rt✐❡♥♥❡♥t✳ ❆✉ ❝♦✉rs ❞✬✉♥❡ ♣❛rt✐❡✱ ❧❡s ❥♦✉❡✉rs ❝♦♥str✉✐s❡♥t ✉♥❡ ❡①é❝✉t✐♦♥ ❞✉ s②stè♠❡ ❡♥ ❞é♣❧❛ç❛♥t ✉♥ ❥❡t♦♥ ❞✬ét❛t ❡♥ ét❛t ❧❡ ❧♦♥❣ ❞❡s tr❛♥s✐t✐♦♥s✱ ❧❡ ❝❤♦✐① ❞❡ ❝❤❛q✉❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ ét❛♥t ❧❛✐ssé ❛✉ ❥♦✉❡✉r à q✉✐ ❛♣♣❛rt✐❡♥t ❧✬ét❛t ♦ù ❧❡ ❥❡t♦♥ s❡ tr♦✉✈❡✳ ▲♦rsq✉❡ ❧❡ ❥❡✉ ❡st ❥♦✉é s✉r ✉♥ s②stè♠❡ à ❝♦♠♣t❡✉rs ❞❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ d✱ ❧❡s tr❛♥s✐t✐♦♥s ♠❡tt❡♥t à ❥♦✉r ✉♥ ✈❡❝t❡✉r ❞❡ d ❝♦♠♣t❡✉rs✱ ❣é♥ér❛❧❡♠❡♥t ♣❛r ❧✬❛❞❞✐t✐♦♥ ❞✬✉♥ ✈❡❝t❡✉r✳ ▲❡s ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s ❞❡s s②stè♠❡s à ❝♦♠♣t❡✉rs s♦♥t ❞❡s ♣❛✐r❡s ❝♦♠♣♦sé❡s ❞✬✉♥ ét❛t ❞✉ s②stè♠❡ ❡t ❞✬✉♥ ✈❡❝t❡✉r ❢♦r♠é ♣❛r ❧❡s ✈❛❧❡✉rs ❞❡s ❝♦♠♣t❡✉rs✳ ❉❛♥s ❧❡s ❥❡✉① ❞✬❛❝❝❡ss✐❜✐❧✐té s✉r ❞❡s s②stè♠❡s à ❝♦♠♣t❡✉rs✱ ❧✬♦❜❥❡❝t✐❢ ❞✉ ♣r❡♠✐❡r ❥♦✉❡✉r ❡st ❞✬❛tt❡✐♥❞r❡ ✉♥❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐èr❡✳ ▲❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❞❡ ❞é❝✐s✐♦♥ ❛ss♦❝✐é à ✉♥ ❥❡✉ ❞✬❛❝❝❡ss✐❜✐❧✐té ❝♦♥s✐st❡ à ❞ét❡r♠✐♥❡r s✐ ❧❡ ♣r❡♠✐❡r ❥♦✉❡✉r ❛ ✉♥❡ str❛té❣✐❡ ❣❛❣♥❛♥t❡ ❞❛♥s ❧❡ ❥❡✉ ❞❡♣✉✐s ✉♥❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ✐♥✐t✐❛❧❡ ❞♦♥♥é❡✱ ❝❡ q✉✐ r❡✈✐❡♥t à ❞✐r❡ q✉❡ ❧❛ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ✐♥✐t✐❛❧❡ ❡st ❣❛❣♥❛♥t❡✳ ▲♦rsq✉❡ ❝❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❡st ❞é❝✐❞❛❜❧❡✱ ♦♥ s✬✐♥tér❡ss❡ à ❧❛ ♣♦ss✐❜✐❧✐té ❞❡ ❞é❝r✐r❡ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s ❣❛❣♥❛♥t❡s✳ ◆♦✉s ét✉❞✐♦♥s ❞✐✈❡rs ♠♦❞è❧❡s ❞❡ ❥❡✉① ❞✬❛❝❝❡ss✐❜✐❧✐té s✉r ❞❡s s②stè♠❡s à ❝♦♠♣t❡✉rs✱ ❛✐♥s✐ q✉❡ ❧✬❡✛❡t ❞❡s ❞✐✛ér❡♥❝❡s ❡♥tr❡ ❧❡s ♠♦❞è❧❡s s✉r ❧❛ ❞é❝✐❞❛❜✐❧✐té ♦✉ ❧❛ ❝♦♠♣❧❡①✐té ❞❡s ♣r♦❜❧è♠❡s q✉❡ ♥♦✉s ❝♦♥s✐❞ér♦♥s✳ ▲✬❡ss❡♥t✐❡❧ ❞❡ ♥♦tr❡ ét✉❞❡ s✉✐t ❞❡✉① ❞✐r❡❝t✐♦♥s ✿ ❞✬✉♥❡ ♣❛rt✱ ♥♦✉s ❝♦♠♣❛r♦♥s ❞❡s ♠♦❞è❧❡s ❞♦♥t ❧❛ ❞✐✛ér❡♥❝❡ rés✐❞❡ ❞❛♥s ❧❛ sé♠❛♥t✐q✉❡✱ ❞✬❛✉tr❡ ♣❛rt ♥♦✉s ❝♦♥s✐❞ér♦♥s ✉♥ ♠♦❞è❧❡ s❛♥s ét❛ts ❞❡ s②stè♠❡s à ❝♦♠♣t❡✉rs✳ ❈♦♥❝❡r♥❛♥t ❧❛ ♣r❡♠✐èr❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥✱ ❧❛ sé♠❛♥t✐q✉❡ ❞é♣❡♥❞ ❞✉ ❝♦♠♣♦rt❡♠❡♥t ❞✉ s②stè♠❡ q✉❛♥❞ ✉♥ ❝♦♠♣t❡✉r ❞❡✈r❛✐t ❞❡✈❡♥✐r ♥é❣❛t✐❢✳ ◆♦✉s ♥♦✉s ❢♦❝❛❧✐s♦♥s ♣r✐♥❝✐♣❛❧❡♠❡♥t s✉r tr♦✐s sé♠❛♥t✐q✉❡s ✿ ❞❛♥s ❧❡s s②stè♠❡s ❞✬❛❞❞✐t✐♦♥ ❞❡ ✈❡❝t❡✉rs ❛✈❡❝ ét❛ts ✭❱❆❙❙ ❡♥ ❛♥❣❧❛✐s✮✱ ✉♥❡ tr❛♥s✐t✐♦♥ q✉✐ ❞❡✈r❛✐t r❡♥❞r❡ ✉♥ ❝♦♠♣t❡✉r ♥é❣❛t✐❢ ❡st ❞és❛❝t✐✈é❡✱ ❞❡ s♦rt❡ q✉❡ t♦✉s ❧❡s ❝♦♠♣t❡✉rs s♦♥t t♦✉❥♦✉rs ❞❡s ❡♥t✐❡rs ♥❛t✉r❡❧s ❀ ❧❛ sé♠❛♥t✐q✉❡ q✉❡ ♥♦✉s ❛♣♣❡❧♦♥s s♦♠♠❛✐r❡♠❡♥t ✓ Z s❡♠❛♥t✐❝s ✔ ❡♥ ❛♥❣❧❛✐s ❛✉t♦r✐s❡ t♦✉t❡s ❧❡s ✈❛❧❡✉rs ❡♥t✐èr❡s ♣♦✉r ❧❡s ❝♦♠♣t❡✉rs ❀ à ❝❡s ❞❡✉① sé♠❛♥t✐q✉❡s ❤❛❜✐t✉❡❧❧❡s s✬❛❥♦✉t❡ ✉♥❡ tr♦✐s✐è♠❡✱ q✉❡ ❧✬♦♥ ♣♦✉rr❛✐t tr❛❞✉✐r❡ ♣❛r ✓ sé♠❛♥t✐q✉❡ ❞❡ ❱❆❙❙ ♥♦♥✲❜❧♦q✉❛♥t ✔✱ ❡t q✉✐ ❝♦♥s✐st❡ à ❛✉t♦r✐s❡r t♦✉t❡s ❧❡s tr❛♥s✐t✐♦♥s✱ ❡♥ r❡♠♣❧❛ç❛♥t ❞✬é✈❡♥t✉❡❧❧❡s ✈❛❧❡✉rs ♥é❣❛t✐✈❡s ♣❛r ③ér♦✳ ❈♦♥❝❡r♥❛♥t ❧❛ s❡❝♦♥❞❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥✱ ♥♦✉s ét✉❞✐♦♥s ✉♥ ♠♦❞è❧❡ ✐♥t✐t✉❧é ✓ r♦❜♦t ❣❛♠❡s ✔✱ ♦ù ✐❧ ♥✬② ❛ q✉✬✉♥ ét❛t ♣♦✉r ❝❤❛q✉❡ ❥♦✉❡✉r✱ s❛♥s ❜♦✉❝❧❡ s✉r ❧❡s ét❛ts✳ ■❧ s✬❛❣✐t ❡♥ q✉❡❧q✉❡ s♦rt❡ ❞✬✐❣♥♦r❡r ❧✬ét❛t ♣♦✉r ♥❡ s❡ ❝♦♥❝❡♥tr❡r q✉❡ s✉r ❧❡s ❝♦♠♣t❡✉rs ❡t ❧❡✉r é✈♦❧✉t✐♦♥✳ ❆✐♥s✐✱ ❡♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✉♥❡✱ ❧✬ét✉❞❡ ❞❡s r♦❜♦t ❣❛♠❡s ❢❛✐t ❛♣♣❡❧ à ❞❡s rés✉❧t❛ts ❞✬❛r✐t❤♠ét✐q✉❡ ♠♦❞✉❧❛✐r❡✱ s✉r ❧❡sq✉❡❧s ♥♦✉s ♥♦✉s ❛♣♣✉②♦♥s ♣♦✉r ❞é❝r✐r❡ ❧❛ ♣❧✉♣❛rt ❞❡s str❛té❣✐❡s ❝♦♥str✉✐t❡s✳ ▲✬ét✉❞❡ ❞❡s r♦❜♦t ❣❛♠❡s ❡st ♠♦t✐✈é❡ ♣❛r ❧❛ ✈♦❧♦♥té ❞✬❛✈♦✐r ✉♥ ♠♦❞è❧❡ ❞❡ ❥❡✉① ❞✬❛❝❝❡ss✐❜✐❧✐té ❛✈❡❝ ❞❡s ❝♦♠♣t❡✉rs ♣♦✉r ❧❡q✉❡❧ ❞ét❡r♠✐♥❡r ❧❡ ✈❛✐♥q✉❡✉r ❡st ♣❧✉s ❢❛❝✐❧❡ q✉❡ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ❣é♥ér❛❧✳ ❉❛♥s ✉♥ ❛✉tr❡ ❞❡ ♥♦s ♠♦❞è❧❡s✱ ♥♦✉s ❛✉t♦r✐s♦♥s ❞❡s ♠✐s❡s à ✼✽ ❘➱❙❯▼➱ ❥♦✉r q✉✐ ré✐♥✐t✐❛❧✐s❡♥t ❞❡s ❝♦♠♣t❡✉rs✱ ✈♦✐r❡ ♣❧✉s ❣é♥ér❛❧❡♠❡♥t ❞❡s ♠✐s❡s à ❥♦✉r q✉✐ s♦♥t ❞❛♥s ❝❤❛q✉❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❞❡s ❢♦♥❝t✐♦♥s ❛✣♥❡s✳ ◆♦✉s ét✉❞✐♦♥s ❛✉ss✐ ❞❡s s②stè♠❡s✱ ❛♣♣❡❧és s②stè♠❡s à ❝♦♠♣t❡✉rs ❤✐ér❛r❝❤✐sés✱ ♦ù t♦✉t❡ ♠✐s❡ à ❥♦✉r ❞✉ i✲✐è♠❡ ❝♦♠♣t❡✉r ♥é❝❡ss✐t❡ q✉❡ t♦✉s ❧❡s ❝♦♠♣t❡✉rs ♥✉♠ér♦tés ❞❡ 1 à i − 1 s♦✐❡♥t ♥✉❧s✳ ❯♥❡ t❡❧❧❡ r❡str✐❝t✐♦♥ ❡st ❣r❡✛é❡ s✉r ❧❛ sé♠❛♥t✐q✉❡✱ ❝❡ q✉✐ ❞♦♥♥❡ ❡♥ ❢❛✐t tr♦✐s ♥♦✉✈❡❧❧❡s sé♠❛♥t✐q✉❡s ♣♦ss✐❜❧❡s✳ ◆♦s rés✉❧t❛ts ♣r✐♥❝✐♣❛✉① ❝♦♥❝❡r♥❛♥t ❧❡s sé♠❛♥t✐q✉❡s ❞❡s s②stè♠❡s s♦♥t ❞❡s ré❞✉❝t✐♦♥s ♠✉✲ t✉❡❧❧❡s ❡♥tr❡ ❧❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❞❡ ❞é❝✐s✐♦♥ ❛✈❡❝ ❧❡s tr♦✐s sé♠❛♥t✐q✉❡s ♣r✐♥❝✐♣❛❧❡s✳ ❆✐♥s✐✱ ♥♦✉s ét❡♥❞♦♥s à ❞✬❛✉tr❡s sé♠❛♥t✐q✉❡s ❧❡s rés✉❧t❛ts ❞❡ ❝♦♠♣❧❡①✐té ❡t ❞✬✐♥❞é❝✐❞❛❜✐❧✐té ❞❡ ❬❇❏❑✶✵❪✱ ♦ù ❧❡s ❥❡✉① ét✉❞✐és s♦♥t s✉r ❞❡s ❱❆❙❙✳ ❆✈❡❝ ❧❛ sé♠❛♥t✐q✉❡ ❞❡s ❱❆❙❙ ♥♦♥✲❜❧♦q✉❛♥ts✱ ✉♥ ❝❛s ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r ❛ ✉♥❡ ❝♦♠♣❧❡①✐té ♠♦✐♥❞r❡ ❡♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✉♥❡ ✿ q✉❛♥❞ ❧❛ ✈❛❧❡✉r ❞❛♥s ❧✬♦❜❥❡❝t✐❢ ❡st ③ér♦✳ ❉ét❡r♠✐♥❡r ❧❡ ✈❛✐♥q✉❡✉r ❡st ❛❧♦rs P✲❝♦♠♣❧❡t ❛✈❡❝ ✉♥ ❡♥❝♦❞❛❣❡ ❡♥ ✉♥❛✐r❡ ❛✉ ❧✐❡✉ ❞❡ P❙P❆❈❊✲❝♦♠♣❧❡t ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ❣é♥ér❛❧✱ é❣❛✲ ❧❡♠❡♥t ❛✈❡❝ ✉♥ ❡♥❝♦❞❛❣❡ ❡♥ ✉♥❛✐r❡✳ ◆♦s rés✉❧t❛ts ♣r✐♥❝✐♣❛✉① s✉r ❧❡ ♠♦❞è❧❡ ❞❡s r♦❜♦t ❣❛♠❡s s♦♥t ❧❡s s✉✐✈❛♥ts✳ ❊♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✉♥❡✱ ♥♦✉s ❞é❝r✐✈♦♥s ✉♥ ❛❧❣♦r✐t❤♠❡ ❞❡ ❝♦♠♣❧❡①✐té ♦♣t✐♠❛❧❡✱ ❞✬❛♣rès ✉♥❡ ré❞✉❝t✐♦♥ q✉❡ ♥♦✉s ét❛❜❧✐ss♦♥s ❞❡♣✉✐s ❧❡ ♣r♦❜❧è♠❡ ❝♦♥s✐st❛♥t à ❞ét❡r♠✐♥❡r ❧❡ ✈❛✐♥q✉❡✉r ❞✬✉♥ ❛✉tr❡ ♠♦❞è❧❡ ❞❡ ❥❡✉① ❞✬❛❝❝❡ss✐❜✐❧✐té ✿ ❧❡s ✓ ❝♦✉♥t❞♦✇♥ ❣❛♠❡s ✔ ❬❏▲❙✵✼❪✳ P❛r ❝♦♥séq✉❡♥t✱ ❡♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✉♥❡✱ ❞ét❡r♠✐♥❡r ❧❡ ✈❛✐♥q✉❡✉r ❞❡ r♦❜♦t ❣❛♠❡s ❛ ✉♥❡ ❝♦♠♣❧❡①✐té ♠♦✐♥❞r❡ q✉❡ ❞ét❡r♠✐♥❡r ❧❡ ✈❛✐♥q✉❡✉r ❞❡ ❥❡✉① ❞✬❛❝❝❡ss✐❜✐❧✐té s✉r ❞❡s s②stè♠❡s à ❝♦♠♣t❡✉rs✳ ◆♦✉s ♣r♦✉✈♦♥s é❣❛❧❡♠❡♥t q✉❡ ❧❡s r♦❜♦t ❣❛♠❡s s♦♥t ✐♥❞é❝✐❞❛❜❧❡s ❡♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ tr♦✐s✱ ❡t ❧❛ ❞é❝✐❞❛❜✐❧✐té ❡♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❞❡✉① ❞❡♠❡✉r❡ ✉♥❡ q✉❡st✐♦♥ ♦✉✈❡rt❡✳ ❊♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❞❡✉①✱ ♥♦✉s ❛✈♦♥s é❝r✐t ✉♥❡ ✐♠♣❧é♠❡♥t❛t✐♦♥ ❣r❛♣❤✐q✉❡ ❞❡ ❧❛ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♣❛s à ♣❛s ❞❡ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥s ❣❛❣♥❛♥t❡s ♣♦✉r ❛✈♦✐r ✉♥❡ ✐❞é❡ ❞❡ ❧❛ ❢♦r♠❡ ❞❡ ❝❡t ❡♥s❡♠❜❧❡ ❣❛❣♥❛♥t✳ ❉❛♥s ❧❡s ❛✉tr❡s ♠♦❞è❧❡s q✉❡ ♥♦✉s ét✉❞✐♦♥s✱ ♥♦✉s ♣r♦✉✈♦♥s q✉❡ ✿ ✭✐✮ ❧✬❛❥♦✉t ❞❡ ré✐♥✐t✐❛❧✐s❛t✐♦♥s ❞❡ ❝♦♠♣t❡✉rs ♥❡ ♠♦❞✐✜❡ ♣❛s ❧❛ ❝♦♠♣❧❡①✐té ❞❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❞❡ ❞é❝✐s✐♦♥ ❝♦♥s✐❞érés ❡♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ✉♥❡✱ ✭✐✐✮ ❛✉t♦r✐s❡r ❞❡s ♠✐s❡s à ❥♦✉r ❛✣♥❡s r❡♥❞ ❧❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❞❡ ❞é❝✐s✐♦♥ ✐♥❞é❝✐❞❛❜❧❡s ❡♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❞❡✉①✱ ♠ê♠❡ ❛✈❡❝ ✉♥ s❡✉❧ ❥♦✉❡✉r✱ ❡t ✭✐✐✐✮ ❛✈❡❝ ✉♥ s❡✉❧ ❥♦✉❡✉r✱ ❞ét❡r♠✐♥❡r s✐ ✉♥❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ❡st ❛❝❝❡ss✐❜❧❡ s✉r ✉♥ s②stè♠❡ à ❝♦♠♣t❡✉r ❤✐ér❛r❝❤✐sé ❡st ❞❛♥s ◆P q✉❡❧❧❡ q✉❡ s♦✐t ❧❛ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✳
❈❤❛♣t❡r ✶
■♥tr♦❞✉❝t✐♦♥
✏❉✐s♣❧❛② t✇❡♥t②✲♦♥❡ ♠❛t❝❤❡s ✐♥ ❛ r♦✇✳ ▲❡t t✇♦ ♣❧❛②❡rs r❡♠♦✈❡ t✉r♥ ❛❢t❡r t✉r♥ ❜❡t✇❡❡♥ ♦♥❡ ❛♥❞ t❤r❡❡ ♠❛t❝❤❡s ❡❛❝❤ t✐♠❡✳ ❚❤❡ ♣❧❛②❡r ✇❤♦ ♣✐❝❦s t❤❡ ❧❛st ♠❛t❝❤ ✇✐♥s✳✑ ■♥ t❤r❡❡ s❡♥t❡♥❝❡s✱ ✇❡ s✉♠ ✉♣ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♠♦st ♣♦♣✉❧❛r ✈❡rs✐♦♥s ♦❢ ◆✐♠ ❣❛♠❡s✳ ❚❤✐s ♠❛❦❡s t❤❡ ✜rst st❡♣ t♦✇❛r❞s t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ♦❢ ❣❛♠❡s ✇✐t❤ ❝♦✉♥t❡rs✱ ✇✐t❤ ❛♥ ❡①❛♠♣❧❡ t❤❛t ❜❡❛rs ❛ ❧♦♥❣ ❤✐st♦r②✿ ❚❤❡ ❣❡♥❡r❛❧ ❣❛♠❡ ✐ts❡❧❢ ❤❛s ❜❡❡♥ s♦❧✈❡❞ ♠♦r❡ t❤❛♥ ❤✉♥❞r❡❞ ②❡❛rs ❛❣♦✱ ❛♥❞ ❛ ♠❛❝❤✐♥❡ t❤❛t ♣❧❛②s ✐t ♣❡r❢❡❝t❧② ❛❧r❡❛❞② ❡①✐st❡❞ ❜❡❢♦r❡ t❤❡ ❢♦✉rt✐❡s✱ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❬❊♣s✶✷❪✳ ❈♦✉♥t❡rs✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ✉s✉❛❧❧② ✐♥t❡❣❡rs ❞✉❡ t♦ t❤❡ ✇❛② ❝♦♠♣✉t❡rs st♦r❡ ♥✉♠❜❡rs✱ ❡①♣r❡ss ❛♥②✲ t❤✐♥❣ t❤❛t ✇❡ ✇❛♥t t♦ q✉❛♥t✐❢②✱ ✇❤❡♥ ✈❛❧✉❡s ♦r ✢✉❝t✉❛t✐♦♥s ❛r❡ ✐♠♣♦rt❛♥t✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✐❢ ✇❡ ❤❛✈❡ t♦♦ ❧✐tt❧❡ ♦❢ ❛ r❡s♦✉r❝❡✱ ✇❡ ❜✉② ♦r ♣r♦❞✉❝❡ s✉♣♣❧✐❡s ✉♥t✐❧ ❛ ❝r✐t✐❝❛❧ ❧❡✈❡❧✱ ✇❤✐❝❤ ❝❛♥ ❜❡ ♠✉❝❤ ❤✐❣❤❡r✱ ✐s r❡❛❝❤❡❞✳ ❚❤❡ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ r❡✜❧❧ ♦❢ t❤❡ r❡s♦✉r❝❡s ✐ts❡❧❢ ❝❛♥ ❜❡ ❝♦♥tr♦❧❧❡❞ ❜② ♦t❤❡r ❛❣❡♥ts✱ ✈✐❡✇❡❞ ❛s ♦♣♣♦♥❡♥ts ✐♥ ❛ ❣❛♠❡✳ ❖t❤❡r ❛❣❡♥ts ❝❛♥ ❜❡ t❤❡ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✱ ✇✐t❤ ♦r ✇✐t❤♦✉t ❛ ♣r❡❞✐❝t❛❜❧❡ ❜❡❤❛✈✐♦✉r✳ ❈♦♥s✐❞❡r ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡ ❛♥ ❛✉t♦♠❛t✐❝ ❛✐r ❝♦♥❞✐t✐♦♥✐♥❣ t❤❛t ♠❛✐♥t❛✐♥s t❤❡ ✐♥s✐❞❡ t❡♠♣❡r❛✲ t✉r❡ ✐♥ ❛ ❝❡rt❛✐♥ r❛♥❣❡✳ ❚❤❡ ♦✉ts✐❞❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡ ❤❛s ❛♥ ✐♥✢✉❡♥❝❡ ♦♥ t❤❡ ✐♥s✐❞❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡✱ ❤❡♥❝❡ ♦♥ t❤❡ ❛❝t✐✈✐t② ♦❢ t❤❡ ❤❡❛t❡r✱ ✇❤✐❝❤ ✇✐❧❧ ❝♦♥s✉♠❡ ♠♦r❡ ♦r ❧❡ss ❡❧❡❝tr✐❝❛❧ ♣♦✇❡r✳ ❲❤❡♥ ✇❡ ♠♦❞❡❧ s✉❝❤ ❛ s②st❡♠✱ ✇❡ ❝❛♥ ❞✐s❝r❡t✐③❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡ ❛♥❞ ❡♥❡r❣② ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥✱ ✇✐t❤ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r② ♣r❡❝✐s✐♦♥✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡ ❤✉♥❞r❡❞t❤s ♦❢ ❞❡❣r❡❡s ❛♥❞ ✇❛tt✲❤♦✉r✱ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ✇♦r❦ ✇✐t❤ ✐♥t❡❣❡rs✳ ❲❤❡r❡ ✐s t❤❡ ❣❛♠❡❄ ❚❤❡ ♣r♦❣r❛♠♠❡r ♦❢ t❤❡ ❤❡❛t❡r ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ ♠✐♥✐♠✐③❡ t❤❡ ♣♦✇❡r ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡ r❡q✉✐r❡♠❡♥ts r❡♠❛✐♥ s❛t✐s✜❡❞✳ ■♥t✉✐t✐✈❡❧②✱ ✇❤❡♥ ✐t ✐s ❝♦❧❞ ♦✉ts✐❞❡✱ ✐t ✐s ❧❡ss ❡①♣❡♥s✐✈❡ t♦ ❦❡❡♣ t❤❡ ✐♥s✐❞❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡ ✐♥ t❤❡ ❧♦✇❡r ♣❛rt ♦❢ t❤❡ r❡q✉✐r❡❞ r❛♥❣❡✱ ❛♥❞ ❝♦♥✈❡rs❡❧② ✇❤❡♥ ✐t ✐s ✇❛r♠ ♦✉ts✐❞❡✳ ❖♥ t❤❡ ❡①❛♠♣❧❡ ✇✐t❤ t❤❡ ❛✐r ❝♦♥❞✐t✐♦♥✐♥❣✱ ✇❡ ❢❛❝❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ q✉❡st✐♦♥✿ ✇❤❛t ❝❛♥ ❛ s②st❡♠ ❞♦ ✇✐t❤ t❤❡ ❝♦✉♥t❡rs❄ ❚❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s s✐t✉❛t✐♦♥ ✐s ✉s✉❛❧❧② ♠♦❞❡❧❧❡❞ ❛s ❛ t✐♠❡❞ s②st❡♠✱ ❛♥❞ ✇❡ ❝❛♥ ✐♠❛❣✐♥❡ t❤❛t t❤❡ ✐♥❝r❡❛s❡ ♦❢ t❤❡ ✐♥s✐❞❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡ ✐s t❤❡ ✐♠❛❣❡ ♦❢ t❤❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡ ❜② ❛♥ ❛✣♥❡ ❢✉♥❝t✐♦♥✱ ❤❡♥❝❡ ✇❡ ♥❡❡❞ t♦ s♦❧✈❡ ❛ ❞✐✛❡r❡♥t✐❛❧ ❡q✉❛t✐♦♥ t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤✐s t❡♠♣❡r❛t✉r❡✳ ❲❤❡♥ ✇❡ ❛❜str❛❝t ❢r♦♠ t❤❡ t✐♠❡ ♣❛r❛♠❡t❡r ❛♥❞ ❞✐s❝r❡t✐③❡ t❡♠♣❡r❛t✉r❡✱ ✇❡ ❣❡t st❡♣ ❜② st❡♣ ✉♣❞❛t❡s ♦❢ t❤❡ ❝♦✉♥t❡rs✱ ❛♥❞ t❤❡s❡ ✉♣❞❛t❡s ❝❛♥ r❡♠❛✐♥ ❛s s✐♠♣❧❡ ❛s ❛❞❞✐♥❣ ❝♦♥st❛♥ts✳ ❚❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥st❛♥ts ✾✶✵ ❈❍❆P❚❊❘ ✶✳ ■◆❚❘❖❉❯❈❚■❖◆ t♦ ❛❞❞ ♥❡❡❞ ♥♦t ❜❡ t❤❡ s❛♠❡ ❛t ❡❛❝❤ st❡♣✱ t❤♦✉❣❤✳ ❆ ♣❛r❛♠❡t❡r ♦♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❝❤♦✐❝❡ ❞❡♣❡♥❞s ❝❛♥ ❜❡ ❛♥ ✐♥t❡r♥❛❧ st❛t❡ ♦❢ t❤❡ s②st❡♠✱ ♦r ❡✈❡♥ ❛ ♠♦r❡ ❣❧♦❜❛❧ st❛t❡ ❢♦r t❤❡ ✇❤♦❧❡ ♠♦❞❡❧✱ ❛ st❛t❡ t❤❛t ♣❧❛②❡rs✱ s♦ ♦✉r ❛❣❡♥ts✱ s❤❛r❡ ❛♥❞ t❤❛t ❝❤❛♥❣❡s ✇❤❡♥ t❤❡② ♣❧❛②✳
❙❝♦♣❡ ♦❢ t❤❡ t❤❡s✐s
■♥ t❤❡ ❞♦♠❛✐♥ ♦❢ ♠♦❞❡❧ ❝❤❡❝❦✐♥❣✱ t❤❡ ✉s❡ ♦❢ ✐♥t❡❣❡r ❝♦✉♥t❡rs ❤❛s ❝♦♠❡ ♥❛t✉r❛❧❧② t♦ r❡♣r❡s❡♥t ❛♥② ❞✐s❝r❡t❡ ♣❛r❛♠❡t❡r t❤❛t ♦♥❡ ✇❛♥ts t♦ ❝♦♥tr♦❧ ♦r ♠❡❛s✉r❡✳ ❚❤✐s ❤❛s ❧❡❞ t♦ ✈❛r✐♦✉s ♠♦❞❡❧s ♦❢ ❝♦✉♥t❡r s②st❡♠s✱ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ♣❤❡♥♦♠❡♥♦♥ t❤❛t ❝♦✉♥t❡rs r❡♣r❡s❡♥t✳ ❲❤❡♥❡✈❡r ❛♥ ✉♥❝♦♥tr♦❧❧❛❜❧❡ ❛♥t❛❣♦♥✐st✱ ❤✉♠❛♥ ♦r ♥♦t✱ t❛❦❡s ♣❛rt ✐♥ t❤❡ ♣❤❡♥♦♠❡♥♦♥✱ ❝♦✉♥t❡r s②st❡♠s ❜❡❝♦♠❡ ❣❛♠❡ ❛r❡♥❛s✳ ❋♦r ❡①❛♠♣❧❡✱ ✇❤❡♥ t❤❡ s②st❡♠ ✐s ❛ ❞❡✈✐❝❡ t❤❛t ♠✉st ♣❡r❢♦r♠ ❛ ❣✐✈❡♥ t❛s❦ ✇✐t❤♦✉t ❛♥② ❢✉rt❤❡r ❤✉♠❛♥ ✐♥t❡r✈❡♥t✐♦♥ ❛♥❞ t❤❡ ❛♥t❛❣♦♥✐st ✐s t❤❡ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✱ t❤❡ ♣r♦❣r❛♠ ♦❢ t❤❡ ❞❡✈✐❝❡ ♠✉st ❞❡❛❧ ✇✐t❤ ❛♥② ♣♦ss✐❜❧❡ ❝❛s❡✱ ✐♥ ♣❛rt✐❝✉❧❛r t❤❡ ❧❡❛st ❢❛✈♦r❛❜❧❡ ❝❛s❡✱ t❤❛t ❝❛♥ ❤❛♣♣❡♥ ✐♥ t❤❡ ❡♥✈✐r♦♥♠❡♥t✳ ❲❡ r❡♣r❡s❡♥t s✉❝❤ ❛ ♣r♦❣r❛♠ ❛s ❛ ♣❧❛②❡r t❤❛t ✉s❡s ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ str❛t❡❣② ❛❣❛✐♥st t❤❡ str❛t❡❣② ♦❢ ❤✐s ❛❞✈❡rs❛r②✳ ❙✐♥❝❡ t❤❡ ✐♥tr♦❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ ❝♦✉♥t❡r ♠❛❝❤✐♥❡s ❜② ▼✐♥s❦② ✐♥ ❬▼✐♥✻✼❪✱ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ t②♣❡s ♦❢ s♣❡❝✐❛❧ ❚✉r✐♥❣ ♠❛❝❤✐♥❡s ✇✐t❤ ✐♥t❡❣❡rs ♦♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡② ♣❡r❢♦r♠ s✐♠♣❧❡ ♦♣❡r❛t✐♦♥s ✐♥❝r❡❛s❡❞✱ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❢❡❛t✉r❡s t❤❛t ✇❡r❡ ♥❡❡❞❡❞✳ ❯s✉❛❧❧②✱ ✇✐t❤ ❢❡✇ ❞✐✛❡r❡♥t ♦♣❡r❛t✐♦♥s ❛❧r❡❛❞②✱ t❤❡ ♠❛❝❤✐♥❡s ✇❡r❡ ❚✉r✐♥❣✲♣♦✇❡r❢✉❧ ✇✐t❤ ❛t ❧❡❛st t✇♦ ❝♦✉♥t❡rs✱ t❤❡ ❦❡② ♦♣❡r❛t✐♦♥ ❜❡✐♥❣ t❤❡ ❛❜✐❧✐t② t♦ t❡st t❤❛t ❛ ❝♦✉♥t❡r ✐s ③❡r♦✳ P❡tr✐ ♥❡ts✱ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❬P❡t✻✷❪✱ ❛♥❞ ❱❡❝t♦r ❆❞❞✐t✐♦♥ ❙②st❡♠s ✭❱❆❙✮✱ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❬❑▼✻✾❪✱ ❛r❡ ❢❛♠♦✉s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ♠♦❞❡❧s ♦❢ ❝♦✉♥t❡r ♠❛❝❤✐♥❡s✿ ✇✐t❤♦✉t ③❡r♦ t❡sts✱ ✐♥ ❢❛❝t ✇✐t❤ ♣♦s✐t✐✈✐t② t❡sts ✐♥st❡❛❞✱ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ r❡❛❝❤✐♥❣ ❛ ♣❛rt✐❝✉❧✐❛r ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡ ❢♦r t❤❡s❡ ♠♦❞❡❧s✱ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ ❬▼❛②✽✹❪✳ ■♥ ♦✉r ✇♦r❦✱ ✇❡ t❛❦❡ ❛s ❛ ❜❛s✐s t❤❡ s❡♠❛♥t✐❝s ♦❢ ❱❡❝t♦r ❆❞❞✐t✐♦♥ ❙②st❡♠s ✇✐t❤ ❙t❛t❡s ✭❱❆❙❙✮✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❛❧s♦ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ❱❆❙✱ ❛ ♣♦ss✐❜❧❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ ❜❡✐♥❣ ❣✐✈❡♥ ✐♥ ❬❍P✼✾❪✳ ❱❆❙❙ ❜❡❝♦♠❡ ❣❛♠❡ ❛r❡♥❛s ❜② ❛ss✐❣♥✐♥❣ ❡❛❝❤ ✈❡rt❡① t♦ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ t✇♦ ♣❧❛②❡rs✱ ❆❞❛♠ ❛♥❞ ❊✈❡✳ ❚❤❡ ❣❛♠❡s t❤❛t ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ❛r❡ ❛❧✇❛②s t✉r♥✲❜❛s❡❞✳ ❆❝t✉❛❧❧②✱ ✐t st❛♥❞s ❛s ❛♥ ❡①❝❡♣t✐♦♥ t♦ st✉❞② ❝♦♥❝✉rr❡♥t ❣❛♠❡s ♦♥ ❝♦✉♥t❡r s②st❡♠s✱ ✇❤✐❝❤ ✐s t❤❡ ❝❛s❡ ✐♥ ❬❇❍❙❙✶✷❪✳ ■♥ ❬❇❏❑✶✵❪✱ t❤❡ ❛✉t❤♦rs ❣✐✈❡ ❞❡❝✐❞❛❜✐❧✐t② ❛♥❞ ❝♦♠♣❧❡①✐t② r❡s✉❧ts ❢♦r t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ✇✐♥♥❡r ♦❢ r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ❣❛♠❡s ♦♥ ❱❆❙❙✱ ✇❤❡r❡ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ✐s t♦ ♠❛❦❡ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ❝♦✉♥t❡r ③❡r♦✳ ■♥ ❬❈❤❛✶✵❪✱ t❤❡ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ♦❢ t❤❡ s❛♠❡ ♣r♦❜❧❡♠ ✐s ✐♠♣r♦✈❡❞ ✇❤❡♥ t❤❡ ♥✉♠❜❡r ♦❢ ❝♦✉♥t❡rs ✐s t✇♦✳ ❋♦r t❤❡ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ♦❢ ♠❛❦✐♥❣ ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ❝♦✉♥t❡r ③❡r♦✱ ✐t t✉r♥s ♦✉t t❤❛t t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ✇✐♥♥❡r ✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡ ✐♥ ❛♥② ❞✐♠❡♥s✐♦♥✱ ✇❤✐❝❤ ✐s s❡❧❞♦♠❧② t❤❡ ❝❛s❡ ✐♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧s t❤❛t ✇❡ st✉❞②✱ t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡s ❛r❡ s✐♥❣❧❡t♦♥s✳ ❍♦✇❡✈❡r✱ t❤❡ ❧✐t❡r❛t✉r❡ ❛❧s♦ ❝♦♥t❛✐♥s ❡①❛♠♣❧❡s ✇❤❡r❡ t❤❡ s②st❡♠s ❞♦ ♥♦t ❤❛✈❡ t❤❡ r❡str✐❝t✐♦♥ t❤❛t ❝♦✉♥t❡rs r❡♠❛✐♥ ♣♦s✐t✐✈❡ ❧✐❦❡ ✐♥ ❱❆❙❙✳ ■♥ ♦✉r ✇♦r❦✱ ✇❡ ❝❛❧❧ Z s❡♠❛♥t✐❝s t❤❡ s❡♠❛♥t✐❝s ✉♥❞❡r ✇❤✐❝❤ ❝♦✉♥t❡rs ❝❛♥ t❛❦❡ ❛♥② ✐♥t❡❣❡r ✈❛❧✉❡✳ ■t ✐s t❤❡♥ ❝♦♥❝❡✐✈❛❜❧❡ t♦ ❞❡✜♥❡ ❛s ❛♥ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ t❤❛t ❝♦✉♥t❡rs r❡♠❛✐♥ ♣♦s✐t✐✈❡✳ ❚❤✐s ✐s t❤❡ ❝❛s❡ ✐♥ ❡♥❡r❣② ❣❛♠❡s ❬❇❋▲+✵✽✱ ❋❏▲❙✶✶✱ ❈❉✶✵❪✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ ❧✐♥❦❡❞ t♦ ♠❡❛♥✲♣❛②♦✛ ❣❛♠❡s ❬❈❉❍❘✶✵✱ ❈❉✶✵✱ ❈❉✶✶❪ ❛♥❞ ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ♦❢ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ♣❧❛②❡rs ✐s t❤❛t ❛❧❧ ❝♦✉♥t❡rs r❡♠❛✐♥ ♥♦♥♥❡❣❛t✐✈❡✳ ❆♥♦t❤❡r ♠♦❞❡❧✱ ❝♦♥s✉♠♣t✐♦♥ ❣❛♠❡s✱ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❬❇❈❑◆✶✷❪✱ ✐s ❧✐❦❡ ❡♥❡r❣② ❣❛♠❡s ❜✉t ✇✐t❤ ω✲tr❛♥s✐t✐♦♥s✱ t❤❛t ❛❞❞ ❛♥ ❛r❜✐tr❛r✐❧② ❧❛r❣❡ ✐♥t❡❣❡r t♦ ♦♥❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦✉♥t❡rs✳✶✶ ■♥ t❤❡ ❣❛♠❡s t❤❛t ✇❡ st✉❞②✱ ✇❡ ♦♥❧② ❝♦♥s✐❞❡r r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ♦❜❥❡❝t✐✈❡s✳ ■♥ s♦♠❡ s❡♥s❡✱ r❡❛❝❤✲ ❛❜✐❧✐t② ♦❜❥❡❝t✐✈❡s ❛r❡ ✈❡r② st❛♥❞❛r❞✱ ❛s t❤❡② ❛r❡ ❥✉st ❡①♣r❡ss❡❞ ❜② t❤❡ ❢♦r♠✉❧❛ ✏❛t s♦♠❡ st❡♣✱ t❤❡ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ✐s ✐♥ ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r s❡t✑✱ ❛♥❞ t❤❡ ♣❛rt✐❝✉❧❛r s❡t ✐s ✉s✉❛❧❧② ❛ s✐♥❣❧❡t♦♥✳ ◆♦t❡ t❤❛t ❛♥ ❡♥✲ ❡r❣② ❣❛♠❡ ❝❛♥ ❜❡ r❡❞✉❝❡❞ t♦ ❛ r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ❣❛♠❡✱ ❛❧t❤♦✉❣❤ t❤❡ ♠♦st ✐♠♠❡❞✐❛t❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ r❡q✉✐r❡s t♦ ❛❞❞ t✇♦ ✈❡rt✐❝❡s ❧✐♥❦❡❞ ✇✐t❤ −k ❡❞❣❡s✱ ✇❤❡r❡ k ✐s t❤❡ ❧♦✇❡st ✐♥t❡❣❡r t❤❛t ✐s ❛❞❞❡❞ ✇❤✐❧❡ ❝r♦ss✐♥❣ ❛♥ ❡❞❣❡✱ ❛♥❞ k ✐s ♥❡❝❡ss❛r✐❧② ♥❡❣❛t✐✈❡ ✐❢ t❤❡ ❣❛♠❡ ✐s ♥♦♥tr✐✈✐❛❧✳ ❆❧s♦✱ ✐♥ ♦✉r ❝♦✉♥t❡r s②st❡♠s✱ ❛ ♣❧❛②❡r ❤❛s ❛ str❛t❡❣② t♦ ♣r❡✈❡♥t t❤❡ ❝♦✉♥t❡rs ❢r♦♠ ❜❡❝♦♠✐♥❣ ✉♥❜♦✉♥❞❡❞ ✐❢✱ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✱ t❤❡r❡ ❡①✐sts ❛ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ c s✉❝❤ t❤❛t t❤❡ s❛♠❡ ♣❧❛②❡r ❤❛s ❛ str❛t❡❣② t♦ r❡❛❝❤ c ❢r♦♠ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥✜❣✉r❛t✐♦♥ ❛♥❞ ❢r♦♠ c ✐ts❡❧❢✳ ❉❡t❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❝♦♥tr♦❧❧❛❜❧❡ ③❡r♦✲❝②❝❧❡s ✐s ✐♥✈♦❧✈❡❞✱ ❛♥❞ ❛❧s♦ ❞♦❛❜❧❡ ✐♥ ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ t✐♠❡ ✐♥ t❤❡ ♦♥❡✲♣❧❛②❡r ❝❛s❡✱ ❛s st❛t❡❞ ❜② t❤❡ ❛✉t❤♦rs ♦❢ ❬❑❙✽✽❪✳ ❘❡❣❛r❞✐♥❣ t❤❡ ❧❛❜❡❧s ♦❢ t❤❡ ❡❞❣❡s ✇❤❡♥ ❝♦✉♥t❡r ✉♣❞❛t❡s ❛r❡ ✈❡❝t♦r ❛❞❞✐t✐♦♥s✱ ✐t ✐s ✐♠♣♦rt❛♥t ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ❝♦♠♣❧❡①✐t② t♦ ♠❛❦❡ ❛ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧s ✇❤❡r❡ t❤❡ ❧❛❜❡❧s ❛r❡ ✈❡❝t♦rs ✇✐t❤ ♦♥❧② −1✱ 0 ♦r 1 ❛s ❝♦♠♣♦♥❡♥ts✱ ❛♥❞ t❤❡ ♠♦❞❡❧s ✇❤❡r❡ ❧❛❜❡❧s ❝❛♥ ❜❡ ❛♥② ✐♥t❡❣❡r ✈❡❝t♦r✳ ■♥ s♦♠❡ s❡♥s❡✱ t❤✐s ❞✐st✐♥❝t✐♦♥ ✐s t❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ❜❡t✇❡❡♥ ❜✐♥❛r② ❛♥❞ ✉♥❛r② ❡♥❝♦❞✐♥❣✳ ❖♥❡ ♦❢ ♦✉r r❡❞✉❝t✐♦♥s✱ ♥❛♠❡❧② ❜❡t✇❡❡♥ t✇♦ ❞❡❝✐s✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s ❢♦r r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ❣❛♠❡s ✇✐t❤ s✐♥❣❧❡t♦♥ ❛♥❞ ♥♦♥✲s✐♥❣❧❡t♦♥ ♦❜❥❡❝t✐✈❡s✱ ✐s ♣♦❧②♥♦♠✐❛❧ ❢♦r ✉♥❛r② ❡♥❝♦❞✐♥❣s ❜✉t ♥♦t ❢♦r ❜✐♥❛r② ❡♥❝♦❞✐♥❣s✳ ❆❝t✉❛❧❧②✱ s♦♠❡ ❛✉t❤♦rs✱ ❧✐❦❡ ✐♥ ❬❇❏❑✶✵❪ ❛♥❞ ❬❈❤❛✶✵❪✱ ❡✈❡♥ r✉❧❡ ♦✉t t❤❡ ❝❛s❡ ✇❤❡r❡ ♦t❤❡r ✐♥t❡❣❡rs t❤❛♥ −1✱ 0 ❛♥❞ 1 ❛♣♣❡❛r ✐♥ t❤❡ ❧❛❜❡❧ ♦❢ ❡❞❣❡s✳ ■♥ ♦✉r ✇♦r❦✱ s♦♠❡ ♠♦❞❡❧s t❤❛t ✇❡ ♣r❡s❡♥t ❛r❡ ❧❡ss ❝♦♠♠♦♥ t❤❛♥ ❱❆❙❙ ♦r ❝♦✉♥t❡r s②st❡♠s ✇✐t❤♦✉t r❡str✐❝t✐♦♥✳ ❚❤✐s ✐s ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡ t❤❡ ❝❛s❡ ♦❢ s②st❡♠s✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❝❛❧❧ ♥♦♥✲❜❧♦❝❦✐♥❣ ❱❆❙❙✱ ✇❤❡r❡ ♥❡❣❛t✐✈❡ ❝♦✉♥t❡r ✈❛❧✉❡s ❛r❡ r❡♣❧❛❝❡❞ ❜② ③❡r♦✳ ❖♥ t❤❡s❡ s②st❡♠s✱ t❤❡ ✉s✉❛❧ ❞❡❝✐s✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s ❤❛✈❡ ❛ ❧♦✇❡r ❝♦♠♣❧❡①✐t② ✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦♥❡ t❤❛♥ s✐♠✐❧❛r ♣r♦❜❧❡♠s ♦♥ ❱❆❙❙✳ ❆♥♦t❤❡r ✉♥❝♦♠♠♦♥ ♠♦❞❡❧ ✐♥tr♦❞✉❝❡s ❛ ❤✐❡r❛r❝❤② ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❝♦✉♥t❡rs✱ ❛♥❞ t❤❡ s❡♠❛♥t✐❝s ♦❢ t❤❡ ♠♦❞❡❧ r❡q✉✐r❡s t❤❛t ❛ ❝♦✉♥t❡r ❝❛♥♥♦t ❜❡ ♠♦❞✐✜❡❞ ✐❢ ❛ ❧♦✇❡r ❝♦✉♥t❡r ✐s ♥♦t ③❡r♦✳ ❚❤❡ ❧❛tt❡r ♠♦❞❡❧ ✐s ✐♥s♣✐r❡❞ ❜② ❱❆❙ ✇✐t❤ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ③❡r♦✲t❡sts✱ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❬❘❡✐✾✺❪✿ ✇❡ ❛tt❛❝❤ st❛t❡s ❛♥❞ ❛ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ③❡r♦✲t❡st✱ ♣♦ss✐❜❧② ✈♦✐❞✱ ❛t ❡✈❡r② st❡♣✳ ❱❆❙ ✇✐t❤ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ③❡r♦✲t❡sts ❡①t❡♥❞ ❱❆❙ ✇✐t❤ ♦♥❡ ③❡r♦✲t❡st✱ ♦♥ ✇❤✐❝❤ s♦♠❡ ❞❡❝✐s✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s✱ ❛❧t❤♦✉❣❤ ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡ ✇✐t❤ ❛r❜✐tr❛r② ③❡r♦✲t❡sts✱ ❜❡❝♦♠❡ ❞❡❝✐❞❛❜❧❡✱ ❛s ✇❡ ❝❛♥ s❡❡ ✐♥ ❬❆▼✵✾✱ ❇❋▲❩✶✵✱ ❇❋▲❩✶✷✱ ❇♦♥✶✶✱ ❋❙✶✵✱ ❘❡✐✵✽❪✳
❖✉t❧✐♥❡
■♥ ❈❤❛♣t❡r t✇♦✱ ✇❡ ♣r❡s❡♥t r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ❣❛♠❡s ♦♥ ❝♦✉♥t❡r s②st❡♠s ✉♥❞❡r t❤r❡❡ ❞✐✛❡r❡♥t s❡♠❛♥t✐❝s✳ ■♥ t❤❡ ✜rst s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ♣r❡s❡♥t t❤❡ s❡♠❛♥t✐❝s ♦❢ ✈❡❝t♦r ❛❞❞✐t✐♦♥ s②st❡♠s ✇✐t❤ st❛t❡s✱ ♦r ❱❆❙❙ s❡♠❛♥t✐❝s✳ ❇❡❝❛✉s❡ t❤❡ ❱❆❙❙ s❡♠❛♥t✐❝s ✐s t❤❡ ♠♦st ❝♦♠♠♦♥ s❡♠❛♥t✐❝s✱ ✇❡ t❛❦❡ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ✇✐♥♥❡r ✉♥❞❡r ✐t ❛s t❤❡ ❜❛s✐s ❢♦r ♦✉r r❡❞✉❝t✐♦♥s t♦ ❣✐✈❡ r❡s✉❧ts ✉♥❞❡r ♦t❤❡r s❡♠❛♥t✐❝s✳ ❚❤❡ s❡❝♦♥❞ s❡❝t✐♦♥ ❞❡❛❧s ✇✐t❤ t❤❡ Z s❡♠❛♥t✐❝s✱ ✐✳❡✳✱ t❤❡ s❡♠❛♥t✐❝s ✉♥❞❡r ✇❤✐❝❤ ❝♦✉♥t❡r ✈❛❧✉❡s ♠❛② ❜❡ ♥❡❣❛t✐✈❡✳ ❲❡ ❜❡❣✐♥ ✇✐t❤ t❤❡ ♦♥❡✲♣❧❛②❡r ❝❛s❡✱ ❢♦r ✇❤✐❝❤ t❤❡ r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠ ❤❛s s♠❛❧❧ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ t❤❡ r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠ ♦♥ ❱❆❙❙✳ ❆❢t❡r t❤❛t✱ ✇❡ ♣r♦✈❡ t❤❛t t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ✇✐♥♥❡r ✐♥ r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ❣❛♠❡s ♦❢ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ t✇♦✱ ✇❤✐❝❤ ✐s ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡ ✉♥❞❡r t❤❡ ❱❆❙❙ s❡♠❛♥t✐❝s✱ ✐s ❛❧s♦ ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡ ✉♥❞❡r t❤❡ Z s❡♠❛♥t✐❝s✳ ❲❡ ❡♥❞ t❤❡ s❡❝t✐♦♥ ❜② s❤♦✇✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ✇✐♥♥❡r ♦❢ r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ❣❛♠❡s ❤❛s t❤❡ s❛♠❡ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✶✷ ❈❍❆P❚❊❘ ✶✳ ■◆❚❘❖❉❯❈❚■❖◆ ♦♥❡ ✉♥❞❡r t❤❡ Z s❡♠❛♥t✐❝s ❛♥❞ ✉♥❞❡r t❤❡ ❱❆❙❙ s❡♠❛♥t✐❝s✳ ❚❤❡ t❤✐r❞ s❡❝t✐♦♥ ✐♥tr♦❞✉❝❡s t❤❡ ♥♦♥✲❜❧♦❝❦✐♥❣ ❱❆❙❙ s❡♠❛♥t✐❝s✳ ■♥ ♦✉r st✉❞② ♦❢ ❝♦✉♥t❡r r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ❣❛♠❡s✱ ✇❡ ❞✐st✐♥❣✉✐s❤ ✇❤❡t❤❡r t❤❡ ❝♦✉♥t❡r ✈❛❧✉❡ ✐♥ t❤❡ ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ✐s ♣♦s✐t✐✈❡ ♦r ③❡r♦✳ ■♥ t❤❡ ✜rst ❝❛s❡✱ t❤❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ❞❡❝✐s✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠s ❢♦r ❱❆❙❙ ❛♥❞ ♥♦♥✲❜❧♦❝❦✐♥❣ ❱❆❙❙ ❛r❡ ✐♥t❡rr❡❞✉❝✐❜❧❡✳ ■♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ ❝❛s❡✱ t❤❡ ❛ss♦❝✐❛t❡❞ ❞❡❝✐s✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ❤❛s ❛ ♠✉❝❤ ❧♦✇❡r ❝♦♠♣❧❡①✐t② ❢♦r ♥♦♥✲❜❧♦❝❦✐♥❣ ❱❆❙❙✳ ❚❤❡ ✜rst t❤r❡❡ s❡❝t✐♦♥s ❢♦r♠ ❛♥ ❡①t❡♥s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✇♦r❦ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❬❘❡✐✶✸❪✳ ❚❤❡ ❢♦✉rt❤ s❡❝t✐♦♥ ♣r❡s❡♥ts ❛♥ ❡①t❡♥❞❡❞ ♠♦❞❡❧✱ ✇❤❡r❡ ❝♦✉♥t❡r ✉♣❞❛t❡s ✐♥❝❧✉❞❡ r❡s❡ts t♦ ③❡r♦✳ ❲❡ ♣r♦✈❡ t❤❛t t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ✇✐♥♥❡r ♦❢ ❛ ♦♥❡✲❞✐♠❡♥s✐♦♥❛❧ ❝♦✉♥t❡r r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ❣❛♠❡ ✇✐t❤ r❡s❡ts ✐s ❞❡❝✐❞❛❜❧❡ ✇✐t❤ t❤❡ s❛♠❡ ❝♦♠♣❧❡①✐t② ❛s ✐♥ t❤❡ ♠♦❞❡❧ ✇✐t❤♦✉t r❡s❡ts✳ ■♥ ♦✉r ♣r♦♦❢✱ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r s②st❡♠s ✉♥❞❡r t❤❡ Z s❡♠❛♥t✐❝s✱ ②❡t t❤❡ r❡❞✉❝t✐♦♥ t❤❛t ✇❡ ❣✐✈❡ ❛❧s♦ ❤♦❧❞s ✉♥❞❡r t❤❡ ♦t❤❡r t✇♦ s❡♠❛♥t✐❝s✳ ■♥ t❤❡ ✜❢t❤ s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ st✉❞② ❛ ❣❡♥❡r❛❧✐③❛t✐♦♥ t❤❛t s✉❜s✉♠❡s ❝♦✉♥t❡r ❛❞❞✐t✐♦♥s ❛♥❞ r❡s❡ts✿ ❛✣♥❡ ✉♣❞❛t❡s✳ ❍❡r❡✱ ✇❤❡♥ ❛♥ ❡❞❣❡ ✐s t❛❦❡♥✱ t❤❡ ✈❛❧✉❡ ♦❢ ❡❛❝❤ ❝♦✉♥t❡r ✐s ♠♦❞✐✜❡❞ ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ❛✣♥❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✐♥ t❤❡ ❝♦rr❡s♣♦♥❞✐♥❣ ❝♦♠♣♦♥❡♥t ♦❢ t❤❡ ❧❛❜❡❧ ♦❢ t❤❡ ❡❞❣❡✳ ❲❡ ♣r♦✈❡ t❤❛t t❤❡ r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠✱ s♦ ❛ ♦♥❡✲♣❧❛②❡r ❣❛♠❡✱ ✐s ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡ ✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ t✇♦✳ ■♥ t❤❡ s✐①t❤ s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❣✐✈❡ t❤r❡❡ ♥❡✇ s❡♠❛♥t✐❝s✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ r❡str✐❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ Z✱ ❱❆❙❙ ❛♥❞ ♥♦♥✲❜❧♦❝❦✐♥❣ ❱❆❙❙ s❡♠❛♥t✐❝s✳ ❯♥❞❡r t❤❡ ♥❡✇ s❡♠❛♥t✐❝s✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❝❛❧❧ s❡♠❛♥t✐❝s ♦❢ ❤✐❡r❛r❝❤✐❝❛❧ ❝♦✉♥t❡r s②st❡♠s✱ ❢♦r ❛♥② i ❜❡t✇❡❡♥ 1 ❛♥❞ t❤❡ ❞✐♠❡♥s✐♦♥✱ t❤❡ it❤ ❝♦✉♥t❡r ❝❛♥ ♦♥❧② ❜❡ ♠♦❞✐✜❡❞ ✐❢ ❝♦✉♥t❡rs 1 t♦ i − 1 ❛r❡ ③❡r♦✳ ❲❤❡t❤❡r t❤❡ ❝♦✉♥t❡rs ❝❛♥ ❜❡❝♦♠❡ ♥❡❣❛t✐✈❡ ♦r ♥♦t ❞❡♣❡♥❞s ♦♥ t❤❡ ❝♦♠❜✐♥❛t✐♦♥ ✇✐t❤ t❤❡ t❤r❡❡ ♠❛✐♥ s❡♠❛♥t✐❝s✳ ❍❡r❡ ❛❣❛✐♥✱ ✇❡ ❥✉st ❝♦♥s✐❞❡r t❤❡ r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ♣r♦❜❧❡♠ ❛♥❞ ✇❡ ♣r♦✈❡ t❤❛t ✐t ✐s ✐♥ ◆P ❢♦r ❛♥② ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ❛♥❞ ✉♥❞❡r ❛♥② s❡♠❛♥t✐❝s✳ ■♥ ❈❤❛♣t❡r t❤r❡❡✱ ✇❡ ✐♥tr♦❞✉❝❡ r♦❜♦t ❣❛♠❡s✱ ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❝❛s❡ ♦❢ ❝♦✉♥t❡r r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ❣❛♠❡s ✉♥❞❡r t❤❡ Z s❡♠❛♥t✐❝s✳ ■♥ ❛ r♦❜♦t ❣❛♠❡✱ ❡❛❝❤ ♣❧❛②❡r ♦✇♥s ❡①❛❝t❧② ♦♥❡ ✈❡rt❡①✱ ❛♥❞ t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ s❡❧❢✲❧♦♦♣s✱ s♦ ♣❧❛②s ❛r❡ r♦✉♥❞✲❜❛s❡❞✳ ❆❧s♦✱ ❆❞❛♠ ❛❧✇❛②s st❛rts ❛♥❞ ❊✈❡✬s ♦❜❥❡❝t✐✈❡ ✐s t♦ r❡❛❝❤ t❤❡ ♦r✐❣✐♥ ❛❢t❡r ♦♥❡ ♦❢ ❤❡r t✉r♥s✳ ❘♦❜♦t ❣❛♠❡s ❤❛✈❡ ♠❛♥② r❡❣✉❧❛r✐t② ♣r♦♣❡rt✐❡s✱ ❢♦r ❡①❛♠♣❧❡ ❊✈❡✬s ✇✐♥♥✐♥❣ s❡t ✐s ❝❧♦s❡❞ ✉♥❞❡r ❛❞❞✐t✐♦♥✳ ❆❧s♦✱ ✐♥ s♦♠❡ ❝❛s❡s✱ ❛ ❤✉♠❛♥ ❝❛♥ s♦❧✈❡ t❤❡ ❣❛♠❡✱ ❡s♣❡❝✐❛❧❧② ✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦♥❡✿ ❲❤❡♥ ❛❧❧ ♠♦✈❡s ❛r❡ ❡✈❡♥✱ ♥♦ ♦❞❞ ♣♦s✐t✐♦♥ ✐s ✇✐♥♥✐♥❣ ❢♦r ❊✈❡❀ ❲❤❡♥ ❆❞❛♠ ❤❛s ❛t ❧❡❛st ♦♥❡ ♣♦s✐t✐✈❡ ♠♦✈❡ ❛♥❞ ❊✈❡ ❤❛s ♥♦ ♥❡❣❛t✐✈❡ ♠♦✈❡s✱ ♥♦ ♣♦s✐t✐✈❡ ♣♦s✐t✐♦♥ ✐s ✇✐♥♥✐♥❣ ❢♦r ❊✈❡❀ ❡t❝✳ ■♥ t❤❡ ✜rst s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ✇r✐t❡ ❛♥ ❊❳P❚■▼❊ ❛❧❣♦r✐t❤♠ t❤❛t ❝♦♠♣✉t❡s ❊✈❡✬s ✇✐♥♥✐♥❣ s❡t ✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦♥❡ ❛s ❛ ✉♥✐♦♥ ♦❢ ❛ ✜♥✐t❡ s❡t✱ ❛r♦✉♥❞ ③❡r♦✱ ❛♥❞ ❛ ✈♦✐❞ ♦r ✐♥✜♥✐t❡ s❡t✱ ❜❡②♦♥❞ ❣✐✈❡♥ ❜♦✉♥❞s t♦✇❛r❞s ±∞✳ ❲❡ ♣r♦✈❡ t❤❡ ❝♦rr❡❝t♥❡ss ♦❢ t❤❡ ❛❧❣♦r✐t❤♠ ✉s✐♥❣ ❛ ❞❡❡♣❡r ✈✐❡✇ ♦❢ t❤❡ ♣r♦♣❡rt✐❡s ♦❢ r♦❜♦t ❣❛♠❡s t❤❛♥ ✇❤❛t ✇❡ ♣r❡s❡♥t ❡❛r❧✐❡r ✐♥ t❤✐s ♣❛r❛❣r❛♣❤✳ ■♥ t❤❡ s❡❝♦♥❞ s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❣✐✈❡ ❛ ❧♦✇❡r ❜♦✉♥❞ ❢♦r t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ✇✐♥♥❡r ♦❢ ❛ r♦❜♦t ❣❛♠❡ ✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ ♦♥❡✱ ♥❛♠❡❧② ❊❳P❚■▼❊✲❤❛r❞✱ ✇❤✐❝❤ ♠❛❦❡s ♦✉r ❛❧❣♦r✐t❤♠ ❛s②♠♣t♦t✐❝❛❧❧② ♦♣t✐♠❛❧✳ ❚❤❡ ♣r♦♦❢ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ ❛ r❡❞✉❝t✐♦♥ ♦❢ ❝♦✉♥t❞♦✇♥ ❣❛♠❡s✱ ✐♥tr♦❞✉❝❡❞ ✐♥ ❬❏▲❙✵✼❪✱ ✇❤✐❝❤ ❛r❡ s❡❡♥ ❛s ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ♠♦❞❡❧ ♦❢ ❝♦✉♥t❡r r❡❛❝❤❛❜✐❧✐t② ❣❛♠❡s✳ ❚❤❡ ✜rst t✇♦ s❡❝t✐♦♥s ❛r❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ✇♦r❦ ♣r❡s❡♥t❡❞ ✐♥ ❬❆❘✶✸❪✳
✶✸ ■♥ t❤❡ t❤✐r❞ s❡❝t✐♦♥✱ ✇❡ s❤♦✇ t❤❛t t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ✇✐♥♥❡r ♦❢ ❛ r♦❜♦t ❣❛♠❡ ✐s ✉♥❞❡❝✐❞❛❜❧❡ ✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ t❤r❡❡✱ ✇✐t❤ ❛ t❡❝❤♥✐❝❛❧ ♣r♦♦❢ t❤❛t ✇❡ ♣r❡s❡♥t ✐♥ t❤r❡❡ st❡♣s✳ ■♥ ❈❤❛♣t❡r ❢♦✉r✱ ✇❡ ❣✐✈❡ s♦♠❡ ❝♦♠♠❡♥ts ❛❜♦✉t r♦❜♦t ❣❛♠❡s ✐♥ ❞✐♠❡♥s✐♦♥ t✇♦✱ ❜❛s❡❞ ♦♥ ❛ ❣r❛♣❤✐❝❛❧ t♦♦❧ t❤❛t ✐♠♣❧❡♠❡♥ts ❛ st❡♣✲❜②✲st❡♣ ❝♦♥str✉❝t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✇✐♥♥✐♥❣ s❡t ♦❢ ❊✈❡✳ ❲✐t❤ t❤❡ ❝♦♥❝r❡t❡ r❡s✉❧ts ❛♥❞ t❤❡ ❡①❛♠♣❧❡s ♦❢ ✐♥st❛♥❝❡s t❤❛t ❣✐✈❡ ❛ ✇✐♥♥✐♥❣ s❡t ♦❢ ✉♥❝♦♠♠♦♥ s❤❛♣❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡ ❛r❣✉♠❡♥ts ❢♦r ❛♥❞ ❛❣❛✐♥st ❞❡❝✐❞❛❜✐❧✐t② ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠ ♦❢ ❞❡t❡r♠✐♥✐♥❣ t❤❡ ✇✐♥♥❡r✱ ✇❤✐❝❤ ✇❡ ❧❡❛✈❡ ❛s ♦♣❡♥✳
