2014-2015

(1)

ISA BTP, 2◦ann´ee ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2014-2015

CONTR ˆOLE CONTINU

Coniques, quadriques, formes quadratiques

Dur´ee : 1h30 Les calculatrices sont autoris´ees.

Tous les exercices sont ind´ependants.

Il sera tenu compte de la r´edaction et de la pr´esentation.

Exercice 1 Dans le plan muni d’un repère orthonormé R = (O ;−→i ,−→j ), on note C la conique d’équation

(E) : x2+ 6xy + y2+ 4x = 0

1. Isoler la partie quadratique q(x, y) de l’´equation (E) et construire sa matrice A. 2. Montrer que les valeurs propres de A sont λ1 = 4 et λ2 = −2.

3. Donner en les justifiant le rang et la signature de q ainsi que la nature de C.

4. Déterminer un repère orthonormé ˜R = (O ; −→e1, −→e2) fait de vecteurs propres de A. On

associera −→e1 à λ1 et −→e2 à λ2 et on précisera la matrice de passage P de R à ˜R.

5. `A l’aide de la matrice P , montrer que l’´equation de C dans ˜R est ( ˜E) : 4˜x2− 2˜y2+ 2√2˜x − 2√2˜y = 0

(˜x, ˜y) correspondant aux coordonnées d’un point quelconque du plan dans le repère ˜R. 6. À l’aide de la mise sous forme canonique, déterminer un changement de variables

x0 ₌ _{x − α}_˜

y0 = y − β˜

tel que l’équation de C dans le repère R0 associé aux coordonnées (x0, y0) soit (E0) : −8x02+ 4y02= 1

7. Que dire du point Ω = (α, β)R˜, centre du rep`ere R0?

8. Déterminer les coordonnées de Ω dans le repère R.

9. Donner les coordonnées des deux sommets S et S0 de C dans R0 puis déterminer les coordonnées de ces sommets dans ˜R puis dans R.

10. Dans le repère ci-joint, placer le repère R0 = (Ω ; −→e1, −→e2), les axes de symétrie, les

som-mets S et S0 et une esquisse de la courbe C. Après avoir justifié le fait que la courbe C passe par le centre O du repère R, on fera apparaˆıtre sur le dessin les symétriques de O par rapport aux différents axes et au centre de symétrie de C.

(2)

Exercice 2 On se place dans le plan muni d’un repère orthonormé R = (O ; −→i ,−→j ). Pour tout α > 0, α 6= 1, on note Cα la courbe dont l’équation dans R est

(Eα) :

x2

α +

y2 α − 1 = 1 1. Montrer que toutes les courbes Cα sont des coniques.

2. Montrer que pour tout α > 0 diff´erent de 1, la courbe Cα admet les axes (Ox) et (Oy)

comme axes de sym´etrie et montrer que le centre O du rep`ere est le centre de Cα.

3. Donner (en justifiant le r´esultat) la nature de Cα en fonction de α. On pr´ecisera pour

chaque cas l’axe focal de Cα.

4. Montrer que toutes les courbes Cαont les mêmes foyers, dont on précisera les coordonnées

dans le repère R. On rappelle qu’avec les notations usuelles associées aux équations réduites des coniques à centres, on peut établir les relations suivantes, ±c correspon-dant aux coordonnées non nulles des foyers :

• pour une ellipse : a2 _{= b}2_{+ c}2

• pour une hyperbole : c2 _{= a}2_{+ b}2

5. Écrire un programme python permettant de représenter différentes courbes Cα ainsi que

leurs foyers communs dans un mˆeme rep`ere.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 3 Soient a ∈ R et A =   a 1 − a 0 1 − a a 0 0 0 a + 1  

1. Donner la forme quadratique q(x, y, z) associ´ee `a la matrice A.

2. D´eterminer les valeurs propres de A et en d´eduire la signature de la forme quadra-tique q(x, y, z) en fonction de a.

3. Associer les cas et les surfaces d’´equations q(x, y, z) = 1 ci-dessous.

Cas 1 Cas 2 Cas 3 Cas 4 Cas 5

a < −1 a = −1 −1 < a < 1 2 a = 1 2 a > 1 2

Surface S1 Surface S2 Surface S3 Surface S4 Surface S5

? ? ?

(3)

ISA BTP 2◦ann´ee ANN ´EE UNIVERSITAIRE 2014-2015

NOM : ... Pr´enom : ...

~i

~j

(4)

CORRECTION

Exercice 1 : 1. q(x, y) = x2_{+ 6xy + y}2 _{et A =} 1 3 3 1 . 2. det(A − λI2) = 1 − λ 3 3 1 − λ = (1 − λ)2− 32 = (1 − λ − 3)(1 − λ + 3) = (−2 − λ)(4 − λ) Ainsi, Spec(A) = {4, −2}.

3. Les deux valeurs propres de A ´etant non nulles, on a rg(q) = 2. De plus, ces valeurs propres ´etant de signes contraires, on a σ(q) = (1, 1). La courbe C est donc une hyperbole. 4. • E1 : AX = λ1X

AX = 4X ⇐⇒ x + 3y = 4x

3x + y = 4y ⇐⇒

−3x + 3y = 0

3x − 3y = 0 ⇐⇒ y = x

Le sous espace propre E1 est donc la droite d’´equation y = x. Un vecteur norm´e de

cette droite est −→e1 = √ 2 2 (1, 1). • E2 : AX = λ2X AX = −2X ⇐⇒ x + 3y = −2x 3x + y = −2y ⇐⇒ 3x + 3y = 0 3x + 3y = 0 ⇐⇒ y = −x

Le sous espace propre E2 est donc la droite d’´equation y = −x. Un vecteur norm´e de

cette droite est −→e2 = √

2

2 (−1, 1).

La matrice de passage P de R `a ˜R est alors P = √ 2 2 1 −1 1 1 . 5. En notant X = x y R et ˜X = ˜ x ˜ y ˜ R

les coordonn´ees d’un point M du plan respec-tivement dans les rep`eres R et ˜R, on a X = P ˜X. Ainsi

( x = √ 2 2 (˜x − ˜y) y = √ 2 2 (˜x + ˜y)

L’´equation de C devient alors (E) : x2 + 6xy + y2+ 4x = 0 ⇔ √ 2 2 (˜x − ˜y) !2 + 6 √ 2 2 (˜x − ˜y) ! √ 2 2 (˜x + ˜y) ! + √ 2 2 (˜x + ˜y) !2 + 4. √ 2 2 (˜x − ˜y) = 0 ⇔ 1 2(˜x 2₋ 2˜x˜y + ˜y 2_{) + 3(˜}_x2_{− ˜}_y2_{) +} 1 2(˜x 2₊ 2˜x˜y + ˜y 2_{) + 2}√_2(˜_{x − ˜}_{y) = 0} ⇔ 4˜x2− 2˜y2+ 2√2˜x − 2√2˜y = 0 : ( ˜E)

(5)

6. ( ˜E) : 4˜x2− 2˜y2+ 2√2˜x − 2√2˜y = 0 ⇔ 4 x˜2+ √ 2 2 x˜ ! − 2y˜2+√2˜y= 0 ⇔ 4   x +˜ √ 2 4 !2 − 1 8  − 2   y +˜ √ 2 2 !2 − 1 2  = 0 ⇔ 4 x +˜ √ 2 4 !2 − 2 y +˜ √ 2 2 !2 = −1 2 ⇔ −8x02+ 4y02= 1 avec ( x0 = x +˜ √ 2 4 y0 = y +˜ √ 2 2 7. Le point Ω = − √ 2 4 − √ 2 2 ! ˜ R

est le centre de la conique C. 8. Les coordonn´ees de Ω dans R sont

xΩ yΩ R = P × − √ 2 4 − √ 2 2 ! = √ 2 2 1 −1 1 1 − √ 2 4 − √ 2 2 ! = 1 4 −3 4 R

9. D’après l’équation réduite de C dans R0, les sommets de S et S0 ont pour coordonnées S = 0 −1 2 R0 et S0 = 0 1 2 R0

Dans ˜R, cela donne

S = ˜ xS ˜ yS ˜ R = x 0 S− √ 2 4 y0_S− √ 2 2 ! = − √ 2 4 −1+√2 2 ! ˜ R et S0 = − √ 2 4 1−√2 2 ! ˜ R

Dans R, cela donne

S = xS yS R = P × ˜ xS ˜ yS = √ 2 2 1 −1 1 1 − √ 2 4 −1+√2 2 ! = 1+√2 4 −3+√2 4 ! R et S0 = 1−√2 4 −3+√2 4 ! R

10. L’équation de C dans R étant x2+ 6xy + y2+ 4x = 0 est vérifiée par le point O = 0 0

R

. C passe donc bien par le point O. Après avoir tracé les axes de symétrie de C, parallèles aux droites d’équations y = ±x et passant par le point Ω, on peut construire les trois points O2, O3 et O4 issus des différentes symétries. On obtient le dessin suivant :

(6)

~i

~j

O

₂

O

₄

O

₃

Ω

S

0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 2 :

1. L’équation de chacune des courbes Cαcorrespond à l’annulation d’un polynôme de degré 2

(pr´ecis´ement p(x, y) = x2

α +

y2

α−1 − 1). Il s’agit donc de coniques du plan.

2. Soit α > 0 diff´erent de 1 et soient M = x y R un point de Cα, M0 = x −y R et M00 = −x y R

les sym´etriques de M respectivement par rapport aux axes (Ox) et (Oy) du rep`_{ere R. Puisque M ∈ C, on a} x_α2 +_α−1y2 = 1 Mais alors

x2 α + (−y)2 α − 1 = x2 α + y2 α − 1 = 1 et (−x)2 α + y2 α − 1 = x2 α + y2 α − 1 = 1

Les coordonnées des points M0 et M00 vérifient donc l’équation de Cα. Ce sont donc tous

deux des point de Cα et Cα est sym´etrique par rapport `a chacun de ces axes.

Par ailleurs, le centre O du repère R étant à l’intersection de deux axes de symétrie de Cα,

c’est un centre de sym´etrie de Cα. Il s’agit donc du centre de Cα.

3. Pour tout α > 0 différent de 1, on reconnaˆıt dans l’équation de Cα l’équation réduite

(7)

• si α > 1, on a 1

α−1 > 0. La signature de la forme quadratique q(x, y) = x2

α +

y2 α−1

est (2, 0). Les cas α > 1 correspondent donc `a des ellipses. D’autre part, l’axe focal de ces ellipses correspond `a la variable dont le coefficient est le plus petit. Puisque _α1 > _α−11 , l’axe focal des ellipses Cα, α > 1 est l’axe (Ox).

• si 0 < α < 1, on a 1

α−1 < 0. La signature de la forme quadratique q(x, y) est donc (1, 1).

Les cas 0 < α < 1 correspond donc à des hyperboles. D’autre part, l’axe focal de ces hyperboles correspond à la variable dont le coefficient est positif, soit encore l’axe (Ox). 4. Les foyers des coniques Cα étant situés sur l’axe (Ox) leurs coordonnées sont de la forme

F = (−c, 0) et F = (c, 0). D’autre part, avec les notations usuelles des ´equations r´eduites, on a a2 = α et b2 = α − 1 si α > 1 1 − α si 0 < α < 1 Ainsi • si α > 1, on a c2 _{= a}2_{− b}2 _{= α − (α − 1) = 1} • si 0 < α < 1, on a c2 _{= a}2_{+ b}2 _{= α + (1 − α) = 1.}

Dans tous les cas, on a c = 1. Les coordonn´ees des sommets de Cα sont donc F = (−1, 0)

et F = (1, 0) et ne d´ependent pas de α. 5. graphe=point([(-1,0),(1,0)]) graphe+=plot(0,(x,-2,2)) graphe+=implicit plot(x,(x,-2,2),(y,-2,2)) for a in srange(0.1,2.1,0.1): graphe=graphe+implicit plot(x**2/a+y**2/(a-1)==1,(x,-2,2),(y,-2,2)) graphe

On obtient alors le graphe suivant :

-2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2

(8)

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? Exercice 3 : 1. En notant X =   x y z  , on a q(x, y, z) = tXAX = ax2+ ay2+ (a + 1)z2+ 2(1 − a)xy 2. det(A − λI3) = a − λ 1 − a 0 1 − a a − λ 0 0 0 a + 1 − λ = (a + 1 − λ) a − λ 1 − a 1 − a a − λ = (a + 1 − λ) (a − λ)2− (1 − a)2 = (a + 1 − λ) (a − λ − (1 − a)) (a − λ + (1 − a)) = (a + 1 − λ)(2a − 1 − λ)(1 − λ)

Les valeurs propres de A sont donc Spec(A) = {1, a + 1, 2a − 1}. Ainsi, • Si a < −1, on a σ(q) = (1, 2), • Si a = −1, on a σ(q) = (1, 1), • Si −1 < a < 1 2, on a σ(q) = (2, 1), • Si a = 1 2, on a σ(q) = (2, 0), • Si a > 1 2, on a σ(q) = (3, 0). 3.

Cas 1 - S2 Cas 2 - S4 Cas 3 - S1 Cas 4 - S3 Cas 5 - S5

? ? ?